MODELING WIND INFLUENCE ON SKYDIVER’S TRAJECTORY
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 1
, 2022
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Ryazan Guards Higher Airborne Command School
(Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department of Mathematics and Natural Sciences)
employee
employee
2.
Ryazan Guards Higher Airborne Command School
(Lecturer of the Department of Mathematics and Natural Sciences)
employee
Russian Federation
employee
Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 81
to 89
Status:
Published
Received:
27.01.2022
Accepted:
28.01.2022
Published:
28.01.2022
Subject area:
UDK 004 Информационные технологии. Вычислительная техника...
Language:
Russian
Keywords:
mathematical model of parachutist movement, system of ordinary differential equations, equilibrium state, regression analysis, floating trajectory, landing speed
Abstract (English):
The article considers a mathematical model of a parachutist floating on the open parachute in the wind. The aim of the work is to study a system of differential equations describing the speed of the motion of the parachutist when descending on the open parachute, in order to establish the dependence of the trajectory of movement of the parachutist, the presence and stability of equilibrium states on the wind. Initially, a system of ordinary differential equations is considered, which determines the relationship between the acceleration of the parachutist and the speed along each of the three coordinates of space in windless weather. Then the influence of the wind is taken into account. The theorem on the number and stability of equilibrium states is proved. Numerical values of coefficients of the system of differential equations are obtained on the basis of real data received with the help of special software installed on the parachutist's mobile device by the method of nonlinear regression analysis. The equilibrium states of the jump, their stability and the maximum value of the speeds at the moment of landing with the presence of wind are determined. For the obtained system of ordinary differential equations, a theorem is proved on the magnitude of the skydiver's drift, the curvature and torsion of the trajectory depending on the wind.
The article considers a mathematical model of a parachutist floating on the open parachute in the wind. The aim of the work is to study a system of differential equations describing the speed of the motion of the parachutist when descending on the open parachute, in order to establish the dependence of the trajectory of movement of the parachutist, the presence and stability of equilibrium states on the wind. Initially, a system of ordinary differential equations is considered, which determines the relationship between the acceleration of the parachutist and the speed along each of the three coordinates of space in windless weather. Then the influence of the wind is taken into account. The theorem on the number and stability of equilibrium states is proved. Numerical values of coefficients of the system of differential equations are obtained on the basis of real data received with the help of special software installed on the parachutist's mobile device by the method of nonlinear regression analysis. The equilibrium states of the jump, their stability and the maximum value of the speeds at the moment of landing with the presence of wind are determined. For the obtained system of ordinary differential equations, a theorem is proved on the magnitude of the skydiver's drift, the curvature and torsion of the trajectory depending on the wind.
Keywords:
mathematical model of parachutist movement, system of ordinary differential equations, equilibrium state, regression analysis, floating trajectory, landing speed
mathematical model of parachutist movement, system of ordinary differential equations, equilibrium state, regression analysis, floating trajectory, landing speed
Введение
В данной работе будем исследовать проблему влияния ветра на траекторию движения парашютиста и его состояния равновесия при снижении на раскрытом парашюте.
Рассмотрим движение воздушных масс, которое происходит параллельно земле. Предположим, что ветер будет менять свои параметры от слоя к слою по высоте. Для учета этих изменений пользуются понятием среднего ветра. Средний ветер – расчетный ветер постоянной скорости и направления, который оказывает такое же результирующее действие на падающее тело за время его прохождения нескольких слоев, как и реальный ветер в этих же слоях. Для расчетов применяется приближенный способ – «метод весов», заключающийся в том, что высоту десантирования H разбивают на n равных слоев одинаковой мощности h, в каждом из которых направление ветра и его скорость считают постоянными величинами . Величину
называют средним ветром [1, 2].
При совершении прыжка с парашютом направление движения транспортного средства часто выбирается противоположным направлению ветра . Именно эта ситуация рассматривается в данной статье.
Моделирование влияния ветра на траекторию движения парашютиста
Движение парашютиста опишем в прямоугольной декартовой системе координат Охуz. Ось Оy направим горизонтально, в сторону движения транспортного средства (ТС), ось Оz направим вертикально вверх, ось Оx – перпендикулярно осям Оy и Оz; за начало координат О возьмем ортогональную проекцию начального положения парашютиста, движущегося к поверхности земли (рис. 1).
Рис. 1. Система координат: – абсолютная скорость парашютиста; – скорость в штилевую погоду;
А – центр масс парашютиста
Fig. 1. Coordinate system: – absolute speed of the parachutist; – speed in calm weather;
A – skydiver’s center of gravity
Пусть x(t), y(t), z(t) – координаты движения парашютиста в момент времени t.
Стандартную модель прыжка парашютиста можно рассматривать как модель прыжка в безветренную погоду. Изменение скорости движения парашютиста в пространстве можно описать следующей системой дифференциальных уравнений [3, 4]:
где , , – скорости парашютиста по координатам х, y, z соответственно; коэффициенты определяются площадью поперечного сечения тела, по отношению к воздушному потоку, формой тела, свойствами и плотностью среды; зависят от ускорения свободного падения и массы тела, .
Учтем теперь влияние ветра.
Абсолютная скорость парашютиста равна , где – скорость в штилевую погоду. Значение скорости определяется по формуле , .
Таким образом, результирующая скорость
с учетом ветра по координате y может быть представлена как .
Следовательно, система дифференциальных уравнений, описывающая изменение скорости движения парашютиста в пространстве с учетом ветра, совпадающего с направлением движения самолета, может быть записана в виде
(1)
Для определения коэффициентов системы (1) рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(2) С помощью специального программного обеспечения, установленного на мобильное устройство парашютиста, получены координаты траектории движения парашютиста на четвертом этапе. Из полученных данных сформируем массив (что обозначает индекс ф?) ,
отображающую зависимость координат от времени. С помощью специального программного обеспечения, установленного на мобильное устройство парашютиста, получены координаты траектории движения парашютиста на этапе снижения на раскрытом парашюте. Из полученных данных сформируем массив , отображающий зависимость трех координат от времени.
Используя данные массива, методом регрессионного анализа определим коэффициенты системы (2), , . Получим систему дифференциальных уравнений вида
(3)
Применим метод нелинейного регрессионного анализа к системе дифференциальных уравнений (1) при , используя значение скоростей , определяемых системой (3).
Будем иметь
(4)
Из курса воздушно-десантной подготовки известно, что средняя скорость ветра в момент десантирования не должна превышать 10 м/с, поэтому будем рассматривать следующие значения ветра: ω = 0; 1; 2; 4; 6; 8; 10 [5].
Для всех значений ω, перечисленных выше, построим соответствующую систему дифференциальных уравнений
(5)
Обозначим через точку приземления парашютиста с координатами при скорости ветра равной .
Определение 1. Расстояние между точками будем называть величиной сноса парашютиста за счет влияния ветра .
Для анализа зависимости структуры траектории от ветра обозначим через и кривизну
и кручение траектории, соответственно, при скорости ветра [6].
Определение 2. Числа
и назовем, соответственно, коэффициентами кривизны и кручения траектории, соответствующими ветру .
Теорема 1. Предположим, что:
1) направление движения транспортного средства противоположно направлению ветра ,
2) изменение скорости движения парашютиста в пространстве описывается системой дифференциальных уравнений (5).
Тогда:
3) коэффициенты кривизны и кручения траектории парашютиста зависят от скорости ветра
и определяются показательным и линейным уравнениями парной регрессии , ;
4) величина сноса парашютиста определяется линейным уравнением парной регрессии от
и имеет вид .
Доказательство.
В процессе доказательства будем рассматривать случай, когда .
Система дифференциальных уравнений, описывающая изменение скорости движения парашютиста, в этом случае будет иметь вид
(6)
Для систем дифференциальных уравнений (4)
и (6), в пакете прикладных программ Maple, численно найдем теоретическую траекторию движения парашютиста.
Построим траектории движения парашютиста
в штилевую погоду и с учетом ветра (рис. 2).
Рис. 2. Траектории движения парашютиста без учета (ω = 0)
и с учетом влияния ветра (ω = 1)
Fig. 2. Trajectories of the parachutist without taking into account the wind influence (ω = 0)
and taking into account the wind influence (ω = 1)
Численными методами, в пакете прикладных программ Maple, определим коэффициенты
и траектории парашютиста, когда и . Получим
Для и найдем также координаты точек приземления . Получим, что , .
Вычислим величину сноса : м.
Аналогичные рассуждения проведем и для случаев, когда
Полученные результаты запишем в табл. 1.
Таблица 1
Table 1
Зависимость коэффициентов kω, σω и величины сноса ρω от скорости ветра
Dependence of the coefficients kω, σω and the magnitude of the drift ρω on the wind speed
Скорость
ветра , м/с Координата
приземления
по оси Ox Координата
приземления
по оси Oy Коэффициент
Коэффициент
Величина сноса
0 229,684 183,774 0,0035 0,0259 0,0
1 245,992 197,380 0,0038 0,0235 21,238
2 262,301 210,987 0,0051 0,0235 42,477
4 294,918 238,199 0,0051 0,0236 84,955
6 327,534 265,411 0,0057 0,0261 127,433
8 360,151 292,623 0,0101 0,0266 169,91
10 392,768 319,836 0,0128 0,0281 212,388
На основании результатов, представленных
в табл. 1, определяем коэффициенты линейной регрессии . Получаем , , т. е. . Средняя ошибка аппроксимации составляет 3,6 %.
Далее находим коэффициенты показательной регрессии , , . Получаем, что и средняя ошибка аппроксимации равна 9,9 %.
В заключении определим коэффициенты пар-ной линейной регрессии . Получаем , , т. е. .Средняя ошибка аппроксимации равна 0,0004 %.
Теорема доказана.
Моделирование влияния ветра на существование и устойчивость состояний равновесия
Исследуем теперь систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1) на предмет существования и устойчивости состояний равновесия. Ограничимся рассмотрением случая, когда .
Пусть вначале , тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений (1) примет вид
(7)
Для нахождения и определения устойчивости состояний равновесия системы дифференциальных уравнений (7) положим . Тогда из системы (7) получим уравнение для
(8)
Так как , то , соотношение (8) примет вид
(9)
Дискриминант уравнения (9) определяется равенством
(10)
Согласно равенству (10) найдем корни уравнения (9):
(11)
Если для уравнения (9) выполняются неравенства
(12)
то корни (11) уравнения (9) будут отрицательными.
Для определения получим уравнение
(13)
или
Обозначим
(14)
Тогда уравнение (13), с учетом равенства (14), имеет решения . Более того, если , то , если же , то .
Для определения устойчивости состояний равновесия , введем следующие обозначения:
Найдем частные производные функций
Собственные значения матрицы линейной части системы уравнений (7) в состояниях равновесия , определяются равенствами
(15)
Тогда при выполнении условий
(16)
собственные значения матрицы линейной части (15) окажутся отрицательными. Следовательно, состояния равновесия , будут являться устойчивыми.
Таким образом, установлена справедливость следующей теоремы.
Теорема 2. Предположим, что для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7) выполняются неравенства (12).
Тогда:
1) если , то система дифференциальных уравнений (7) имеет состояния равновесия ;
2) если , то система дифференциальных уравнений (7) имеет состояния равновесия ;
3) если, дополнительно, выполняются неравенства (16), то состояния равновесия , являются устойчивыми.
Следствие 2.1. Если выполняется хотя бы одно из неравенств , то состояния равновесия , являются
неустойчивыми.
Следствие 2.2. Пусть , тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений (1), в данном случае, примет вид
Осуществим замену переменной, положив . Получим систему дифференциальных уравнений, аналогичную системе (7):
(17)
Система дифференциальных уравнений (17), при выполнении условий теоремы 2, имеет два состояния равновесия: , которые, в зависимости от выполнения условий (16), будут либо устойчивыми, либо неустойчивыми.
Обратимся теперь к записанным координатам траектории движения парашютиста . Методом регрессионного анализа, используя данные массива , пересчитаем коэффициенты системы дифференциальных уравнений (7) для этого случая. Получим
(18)
Теорема 3. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (18) имеет два состояния равновесия, одно из которых является устойчивым, другое – неустойчивым.
Доказательство. Исследуем систему (18) на наличие и устойчивость состояний равновесия, используя теорему 2.
Проверим выполнение условий (12). Имеем
И поскольку , то, в силу теоремы 2, система дифференциальных уравнений (17) имеет два состояния равновесия: , .
Для выяснения вопроса устойчивости полученных состояний равновесия проверим выполнение условий (16).
Таким образом, согласно теореме 2, можно сделать вывод о том, что состояние является устойчивым,
а состояние является
неустойчивым.
Графически состояние представлено на рис. 3.
Рис. 3. Устойчивое состояние равновесия
Fig. 3. Steady equilibrium
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Из приведенных рассуждений следует, что скорость парашютиста по координате
x стремится к –3,214 м/с; по координате y к 0 м/с; по координате z к –1,386 м/с. Результирующая скорость по всем трем координатам стремится к 3,5 м/с.
Следствие 3.2. При наличии ветра система дифференциальных уравнений (18), описывающая скорость движения парашютиста, будет иметь вид
(19)
Согласно теоремам 2 и 3 система уравнений (19) будет иметь два состояния равновесия: устойчивое и неустойчивое .
Следствие 3.3. В случае ветра скорость парашютиста по координате x стремится к –3,214 м/с; по координате y – к , м/с; по координате z –
к –1,386 м/с. Результирующая скорость по всем трем координатам стремится к .
Зависимость скорости парашютиста в момент приземления от скорости ветра представлена в табл. 2.
Таблица 2
Table 2
Зависимость скорости парашютиста в момент приземления от скорости ветра
Dependence of the speed of the parachutist on the wind speed at landing
Скорость ветра , м/с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Скорость в момент приземления Vпр, м/с 3,500 3,640 4,031 4,610 5,315 6,103 6,946 7,826 8,732 9,657 10,595
В целях безопасности совершать прыжки с парашютом разрешается при скорости ветра у земли не более 6 м/с днем и 4 м/с ночью [5]. Как следует из табл. 3, скорость парашютиста в момент приземления днем не будет превышать 6,946 м/с, ночью – 5,315 м/с.
Заключение
Представленная в работе система обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и ее частные случаи (5), (7) и (18) могут быть использованы для моделирования влияния ветра на движение парашютиста при снижении на раскрытом парашюте. В частности, может быть вычислена величина сноса парашютиста за счет влияния ветра, а также определена скорость в момент приземления. Кривизна и кручение траектории, кроме структуры, позволяют определить полную нагрузку, которую испытывает парашютист при совершении прыжка.
1. Lobanov N. A. Osnovy rascheta i konstruirovaniya parashyutov. M.: Mashinostroenie, 1965. 365 s.
2. Lyalin V. V., Morozov V. I., Ponomarev A. T. Parashyutnye sistemy. M.: Fizmatlit, 2009. 506 s.
3. Klochkova I. Yu. Matematicheskoe modelirovanie dvizheniya parashyutista na etape snizheniya na raskrytom parashyute // Differencial'nye uravneniya i matematicheskoe modelirovanie. 2021. № 2. S. 26-30.
4. Mamonov S. S., Klochkova I. Yu. Modelirovanie dvizheniya parashyutista pri raskrytom parashyute // Vestn. Ryazan. radiotehn. un-ta. 2018. T. 66. S. 64-70.
5. Gerasimenko I. A. Vozdushno-desantnaya podgotovka. M.: Voen. izd-vo, 1986. 407 s.
6. Vygodskiy M. Ya. Differencial'naya geometriya. M.: Gos. izdan. tehn.-teoret. lit., 1949. 511 s.
