NUMERICAL CALCULATION OF VELOCITY FIELDS FOR VISCO-ELASTIC MATERIALS IN CYLINDRICAL CHANNELS
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 2
, 2019
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department of Economics and Enterprise Management)
Russian Federation
Russian Federation
2.
Astrakhan State Technical University
Astrakhan, Astrakhan, Russian Federation
Astrakhan, Astrakhan, Russian Federation
3.
Astrakhan State Technical University
(Postgraduate Student of the Department of Technological Machines and Equipment)
Russian Federation
Russian Federation
4.
Astrakhan State Technical University
Astrakhan, Astrakhan, Russian Federation
Astrakhan, Astrakhan, Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 19
to 28
Status:
Published
Received:
05.04.2019
Accepted:
25.04.2019
Published:
25.04.2019
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 664.236.047.001.57:66.099.2
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 664.236.047.001.57:66.099.2
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
modeling, raw gluten, viscoelastic materials, draw plate cylinder, Navier-Stokes equation, analysis of velocity fields evolution, non-Newtonian fluids
Abstract (English):
The article touches upon the application of the numerical finite difference method for solving Navier-Stokes equation in case of one-dimensional problem of passing a cooled viscoelastic material inside circular nozzles. There have been analyzed the specific features of using the method and presented the results of its application. The object of study was not chosen at random, because viscous properties of raw gluten are variable and depend on the temperature, chemical composition and properties of the feedstock. Working not properly with the object of research (phenomenon, process), but with its model helps to characterize its properties and behavior in various situations relatively quickly and without significant costs. The need to identify patterns of internal heat and mass transfer, which is based on studying the kinetics of the process, is obvious for physic-mathematical modeling of heat and mass transfer processes of wheat gluten granulation, in particular, analyzing the mechanism of moisture removal during its drying under radiation power supply. The results of the conducted research are consistent with the available data on the subject, and the suggested approach to solving the problem of choosing rational hydrodynamic regimes has been applied due to the difficulty of experimental determining the velocity fields and problematic analyzing the system of hydrodynamic differential Navier-Stokes equations with variable proportionality ratios.
The article touches upon the application of the numerical finite difference method for solving Navier-Stokes equation in case of one-dimensional problem of passing a cooled viscoelastic material inside circular nozzles. There have been analyzed the specific features of using the method and presented the results of its application. The object of study was not chosen at random, because viscous properties of raw gluten are variable and depend on the temperature, chemical composition and properties of the feedstock. Working not properly with the object of research (phenomenon, process), but with its model helps to characterize its properties and behavior in various situations relatively quickly and without significant costs. The need to identify patterns of internal heat and mass transfer, which is based on studying the kinetics of the process, is obvious for physic-mathematical modeling of heat and mass transfer processes of wheat gluten granulation, in particular, analyzing the mechanism of moisture removal during its drying under radiation power supply. The results of the conducted research are consistent with the available data on the subject, and the suggested approach to solving the problem of choosing rational hydrodynamic regimes has been applied due to the difficulty of experimental determining the velocity fields and problematic analyzing the system of hydrodynamic differential Navier-Stokes equations with variable proportionality ratios.
Keywords:
modeling, raw gluten, viscoelastic materials, draw plate cylinder, Navier-Stokes equation, analysis of velocity fields evolution, non-Newtonian fluids
modeling, raw gluten, viscoelastic materials, draw plate cylinder, Navier-Stokes equation, analysis of velocity fields evolution, non-Newtonian fluids
Уровень и высокие темпы развития вычислительной техники открыли новые возможности для фундаментальных исследований и их приложений в области математического моделирования физических процессов и управления техническими системами. Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования (например, перемещением сырой клейковины (глютена) внутри каналов фильеры), а с его моделью дает возможность относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных материальных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Необходимость выявления закономерностей внутреннего тепломассопереноса, которое основывается на исследованиях кинетики процесса, очевидна для физико-математического моделирования тепломассообменных процессов гранулирования клейковины пшеничной, в частности анализа механизма влагоудаления в процессе его подсушки при радиационном энергоподводе. Постановка задачи Сырая клейковина пшеничная, согласно классификации [1], относится к третьей группе вязкоупругих или максвелловских жидкостей, которые текут под воздействием напряжения, но после снятия его частично восстанавливают свою форму, подобно упругим твердым телам. К таким веществам относят некоторые смолы и материалы тестообразной консистенции, в частности и объект исследования. Учитывая структурно-механические и реологические свойства неньютоновских вязкоупругих жидкостей при перемещении внутри каналов с круглым сечением (большая вязкость, малые диаметр штранга и скорость его продвижения, для клейковины по предлагаемой технологии Re ≈ 0,82 < 2320), можно однозначно утверждать, что их движение происходит в ламинарном режиме. При движении реальной (вязкой) жидкости в ее потоке, кроме сил давления и тяжести, возникают силы трения, действие которых проявляется в возникновении внутри потока касательных напряжений. В таком случае для определения эволюции профиля скоростей по сечению потока, который можно принять одномерно плоским (рис. 1), целесообразно тем или иным способом решить систему дифференциальных уравнений Навье - Стокса [2, 3]. Рис. 1. Схема профиля скоростей по сечению потока сырой клейковины в канале фильеры: T - температура штранга; μ - коэффициент динамической вязкости; ρ - плотность формируемого штранга; P1 - давление в питателе; P2 - давление в рабочей камере; w - проекция скорости; z - ось координат При этом проекция скорости w зависит только от расстояния до плоскости отсчета, перпендикулярной направлению оси передвижения. Тогда уравнение движения штранга в цилиндре фильеры можно представить в виде где τ - время движения, с; z - координата по оси, перпендикулярной направлению оси передвижения, м; - ускорение свободного падения, м/с2; ρ - плотность, кг/м3; - градиент давления, Па/м; μ - коэффициент динамической вязкости, Па·с. При движении сжимаемой (как в нашем случае) жидкости в ней дополнительно возникают силы сжатия и растяжения, вызванные трением. В таком варианте уравнение движения принимает вид где частная производная выражает изменение скорости по оси z, связанное с действием сил тяжести и растяжения, при этом ; ρg - отражает влияние сил тяжести - корректировка сил трения, растяжения и сжатия в зависимости от условий формования, причем каждый член уравнения имеет размерность соответствующей силы, отнесенной к единице объема жидкости. Проведя математические преобразования, получим: При моделировании допускаем, что влиянием сил тяжести и изменением статического давления, ввиду малых диаметра и длины штранга (от 3-х до 8 мм), можно с достаточной для инженерных расчетов точностью пренебречь, тогда где - коэффициент кинематической вязкости, м2/с. Для решения данного уравнения при определении граничных условий полагают [1], что из-за сил трения между слоями перемещение слоев будет происходить с различными скоростями, причем центральный цилиндрический слой движется с максимальной скоростью. По мере удаления от него к периферии цилиндра скорость элементарных кольцевых слоев будет снижаться, а непосредственно у стенки фильеры жидкость как бы прилипает к ней, и скорость на границе обращается в нуль. В итоге будет решена задача по определению конечной, средней по слою, скорости на входе в рабочую зону гранулятора при условии заданного перепада давления. Методы исследования, результаты и их обсуждение В реальности граничная скорость wгран не равна нулю вследствие проскальзывания жидкости вдоль стенки. Скорость проскальзывания wпр определялась путем оценки разности модельной скорости при нулевых граничных условиях и определенной экспериментальным путем скорости на выходе из фильеры. Определение wпр сырой клейковины в канале фильеры проводилось на оригинальной экспериментальной установке (рис. 2), которая позволяет создавать варьируемую разность давлений, равную напору, необходимому для осуществления формования в промышленных условиях. Рис. 2. Схема экспериментальной установки для определения wпр клейковины в канале фильеры в процессе формования: 1 - формируемый штранг; 2 - емкость для сбора продукта; 3 - весы; 4 - шиберная заслонка; 5 - рабочая емкость; 6 - секундомер; 7 - исследуемый продукт; 8 - крепежное соединение; 9 - термопара; 10 - компрессор Определение скорости проскальзывания wпр в фильере экспериментальной установки осуществлялось при следующих параметрах: температура продукта 0 °С; давление перед фильерой 2 кгс/см2; давление на выходе из фильеры - атмосферное. На основе анализа результатов эксперимента (табл. 1) была определена средняя скорость проскальзывания wпр клейковины на выходе из канала фильеры. Таблица 1 Среднее значение скорости проскальзывания клейковины wпр на выходе из канала фильеры Показатель wпр ∙ 103, м/с Экспериментальные значения 1,1 / 1,4 / 1,2 / 1,3 / 1,5 Среднее значение ≈1,3 На основе анализа результатов моделирования установлено, что снижение скорости - как на границе, так и по диаметру фильеры - происходит по экспоненциальному закону при ее стремлении к нулю, тогда где τт и τн - текущее и начальное время движения, с, соответственно. Вследствие снижения при движении по шнековому питателю температуры клейковины с 293 до 272 К (криоскопическая температура для клейковины равна 271,8 К), предусмотренного предлагаемой технологией, происходит повышение ее вязкости, зависящей от температуры. Экспериментально определено, что в этом температурном интервале динамическая вязкость существенно зависит от температуры. Зная среднюю скорость движения клейковины и высоту питателя, можно рассчитать время ее перемещения τ, а также зависимость от него вязкости продукта. В нашем случае на входе в фильеру коэффициент динамической вязкости μкл ≈ 5 Па∙с. Потери напора на трение для стационарных неньютоновских жидкостей можно рассчитывать по уравнению того же вида, что и для ньютоновских жидкостей [1]. В таком варианте потеря давления в трубопроводе (с учетом того, что , где hп - потеря напора): , где второе слагаемое в скобке равно нулю, т. к. местные сопротивления ξм.с в нашем случае при ламинарном движении практически отсутствуют, тогда Коэффициент трения при ламинарном перемещении потока можно рассчитывать по уравнению в случае расчета потери напора на трение у нестационарных неньютоновских жидкостей, если они уже подвергались сдвигу и их течение стало установившимся [1]. Используя для упрощенных расчетов значения средних величин вязкости и скорости передвижения и принимая во внимание, что , получим выражение для расчета потери напора в виде Согласно проведенным расчетам снижение давления в фильере не превышает 0,5 атм при наихудших в этом аспекте гидродинамических условиях, поэтому разницы между давлением перед фильерой (1 атм даже без подпрессовки в экструдере) и в вакуумной камере достаточно для организации процесса прохождения клейковины через канал фильеры. К примеру, если длина фильеры, как в нашем случае, l = 3 мм, потеря давления составляет примерно 1 000 Па, что несущественно, но подпрессовка в шнековом питателе необходима при забивании фильеры, например в случае попадания в исходный материал посторонних включений или отклонения значений характеристик клейковины при изменении технологии ее получения. Для достижения поставленной цели, а именно расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, разработана математическая модель (рис. 3) по алгоритму программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры (рис. 4), задача была решена численным методом конечных разностей [4]. Рис. 3. Эволюция полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры Рис. 4. Блок-схема программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры Такой подход к решению задачи выбора рациональных гидродинамических режимов применен ввиду сложности экспериментального определения полей скоростей и трудности аналитического решения системы гидродинамических дифференциальных уравнений [5, 6] Навье - Стокса при переменных коэффициентах пропорциональности. Для численного решения дифференциального уравнения параболического типа в частных производных при заданных начальных и граничных условиях применен метод конечных разностей по неявной схеме [7, 8]. Реализация этой математической модели выполнена в среде специализированного программного обеспечения Mathcad Professional при установленных режимных параметрах (начальная скорость потока сырой клейковины при входе в канал фильеры wнач = 0,5 м/с, начальная температура сырой клейковины Тнач = 272 К и, как следствие, коэффициент динамической вязкости μкл ≈ 5 Па∙с). Графическая аппроксимация скоростных полей при рациональных режимах показывает, что скорость распределения w по глубине штранга имеет экстремальный характер [9]. Также отмечены значительные скоростные градиенты в начале движения при их сглаживании в процессе перемещения клейковины по фильере, что подтверждает обоснованность сделанных выводов и допущений. На рис. 3 графически представлена эволюция полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, изменяющаяся во времени, полученная посредством разработанной математической модели, для формовочного диска шнекового питателя, являющегося составным узлом камеры гранулятора диаметром 8 мм и высотой 3 мм. В табл. 2 представлены значения скоростей по толщине штранга, изменяющихся в зависимости от продолжительности процесса формования, и рассчитанные средние значения скоростей сырой клейковины wср (средняя объемная скорость), м/с. Таблица 2 Полученные при реализации модели (рис. 3) значения скоростей по толщине продукта , м/с, и рассчитанная средняя объемная скорость прохождения клейковины wср, м/с Процесс формования, τ × 103 Толщина штранга, мм Продолжительность, с 0 1,22 2,44 3,66 4,88 6,10 7,32 8,54 9,76 11 0 0,002 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 0,8 0,5 0,0026 0,159 0,021 0,068 0,012 0,031 0,0059 0,015 0,003 1,6 0,5 0,25 0,151 0,136 0,063 0,066 0,028 0,032 0,012 0,015 2,4 0,5 0,37 0,219 0,168 0,105 0,074 0,051 0,033 0,025 0,015 3,2 0,5 0,424 0,276 0,184 0,13 0,085 0,06 0,039 0,028 0,019 4 0,5 0,44 0,297 0,191 0,137 0,089 0,062 0,042 0,029 0,02 4,8 0,5 0,424 0,276 0,184 0,13 0,085 0,06 0,039 0,028 0,019 5,6 0,5 0,37 0,219 0,168 0,105 0,074 0,051 0,033 0,025 0,015 6,4 0,5 0,25 0,151 0,136 0,063 0,066 0,028 0,032 0,012 0,015 7,2 0,5 0,0026 0,159 0,021 0,068 0,012 0,031 0,0059 0,015 0,003 8 0,002 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 wср, м/с 0,5 0,23 0,174 0,11 0,079 0,051 0,037 0,024 0,017 0,011 Для удобства анализа полученной графической зависимости (рис. 3 и табл. 2) на рис. 5 представлена графическая зависимость средней объемной скорости wср, м/с, от продолжительности процесса формования τпр, с, в канале фильеры шнекового питателя. Рис. 5. Графическая зависимость средней объемной скорости wср, м/с, от продолжительности процесса движения сырой клейковины по каналу фильеры В автоматических процессах (объектах) зачастую необходимо изменять или поддерживать постоянными какие-либо физические величины, называемые регулируемыми переменными (частоту вращения вала турбины, координаты движущегося объекта, напряжение, температуру, уровень, давление и пр.), в данном случае - поддержание скорости движения клейковины в шнековом питателе на уровне 0,5 м/с (рис. 5). Контроль регулирования рациональной скорости движения клейковины в шнековом питателе возможен путем оценки степени заполнения полостей между стенками приемного бункера и шнекового питателя (рис. 6, а). а б Рис. 6. Контроль регулирования скорости прохождения материала в канале питателя: а - схема установки оптического датчика и контроль расстояния; б - оптический датчик контроля При стабильной работе аппарата с заданными параметрами и обеспечении постоянства расхода данные полости не должны быть заполнены, поэтому посредством датчика (рис. 6, б) контролируется заданное расстояние от верхней внутренней поверхности питателя до поверхности материала. В случае изменения заданного расстояния скорость вращения рабочего шнека необходимо либо увеличить, либо уменьшить. Конструкция датчиков расстояния разработана для реализации двух задач, выполняемых датчиками: максимальной точности измерений и высокой скорости обработки данных при измерениях в диапазоне нескольких миллиметров. В конструкции датчиков контроля расстояния (рис. 6, б) используется метод измерения скорости возврата луча. Световой пучок направляется на поверхность тестируемого объекта (источником света может быть, например, лазерный диод). В корпусе датчика установлена оптика приемника, которая принимает отраженные лучи на светочувствительном элементе. В зависимости от положения отраженного луча и известной геометрии определяется расстояние до тестируемого объекта. На рис. 7 приведена блок-схема алгоритма управления скоростью движения сырой клейковины в шнековом питателе до узла формования с регулируемой величиной: расстояние от верхней внутренней поверхности питателя до поверхности материала. Рис. 7. Блок-схема алгоритма управления скоростью в питателе гранулятора: ЗУ - задающее устройство; КУ - контроль управления скорости; КП - контроллер параметра; СИ - датчик контроля интервала времени измерения; ИМ - исполнительный механизм Схема состоит из объекта управления и устройства управления. Объект управления - это основной элемент системы, сырая клейковина, заданный режим движения которой должен поддерживаться устройством управления (оптическим датчиком контроля расстояния) при помощи управляющих (регулирующих) органов. Под управляющим подразумевается устройство, обеспечивающее процесс управления, т. е. целенаправленное действие, приводящее к желаемому изменению управляемой переменной. Для уменьшения ошибки регулирования в систему вводят обратную связь. Задающее устройство (ЗУ) оказывает управляющее воздействие на вход системы, формируя программу изменения регулируемой величины. Задающее устройство подает сигнал после получения данных с датчика контроля (рис. 6, б) и передает информацию через контроллер параметра (КП) о текущей скорости посредством ЗУ, далее КП исполнительному механизму (ИМ) - вариатору, который непосредственно является корректирующим звеном системы. Выявление соответствий требуемого и полученного значения выполняет сравнивающее устройство. Если величина расстояния не отклоняется от заданного, то через заданный промежуток времени происходит повторный замер сигнала через КУ. На основании полученных графических зависимостей можно утверждать, что среднеобъемная скорость сырого глютена в начальный период резко снижается (см. рис. 5) до половины своего первоначального значения вследствие имеющегося местного сопротивления, связанного с резким изменением толщины клейковинного слоя, переходящего из питателя в канал фильеры с разными диаметрами, а затем на втором участке плавно снижается, что обусловлено его ламинарным движением в канале. Следует отметить, что рассчитанное среднеобъемное распределение скорости по толщине клейковинного штранга соответствует рекомендованному пороговому его значению на выходе из смесителя, равному 0,011 м/с. Таким образом, разработанные скоростные режимы прохождения сырой клейковины в канале формования штранга могут быть рекомендованы для внедрения в производственную практику. Заключение Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования, а с его моделью позволяет относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных материальных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Произведен расчет эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, разработана математическая модель по алгоритму программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов, задача была решена численным методом конечных разностей. Разработанные скоростные режимы прохождения сырой клейковины в канале формования штранга могут быть рекомендованы для внедрения в производственную практику.
1. Kasatkin A. G. Osnovnye processy i apparaty himicheskoy tehnologii: ucheb. dlya vuzov. M.: OOO TID Al'yans, 2005. 753 s.
2. Lapchik M. P., Ragulina M. I., Henner E. K. Elementy chislennyh metodov. M.: Akademiya, 2007. 224 s.
3. Pontryagin L. S. Obyknovennye differencial'nye uravneniya. M.: Lenand, 2019. 336 s.
4. Aleksanyan I. Yu., Buynov A. A. Vysokointensivnaya sushka pischevyh produktov. Penosushka. Teoriya. Praktika. Modelirovanie: monogr. Astrahan': Izd-vo AGTU, 2004. 380 s.
5. Ortega Dzh., Pul U. Vvedenie v chislennye metody resheniya differencial'nyh uravneniy. M.: Nauka, 1986. 288 s.
6. Hartman F. Obyknovennye differencial'nye uravneniya. M.: Mir, 1970. 720 s.
7. Demidovich B. P., Maron I. A., Shuvalova E. Z. Chislennye metody analiza. Priblizhenie funkciy, differencial'nye i integral'nye uravneniya. SPb.: Lan', 2010. 400 s.
8. Verzhbickiy V. M. Osnovy chislennyh metodov. M.: Vyssh. shk., 2009. 840 s.
9. Nugmanov A. H.-H., Maksimenko Yu. A., Aleksanyan A. I., Aleksanyan O. A. Issledovanie fiziko-himicheskih svoystv rybnyh farshey, suhih rastitel'nyh premiksov i ih smesey // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Rybnoe hozyaystvo. 2018. № 2. S. 135-148.
