Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Рассмотрено применение численного метода конечных разностей для решения уравнения Навье - Стокса в случае одномерной задачи прохождения охлаждаемого вязкоупругого материала внутри фильер круглого сечения. Проанализированы характерные особенности использования метода, представлены результаты его применения. Объект исследования выбран не случайно, т. к. вязкостные свойства сырой клейковины являются переменными и зависят от температуры, химического состава и свойств исходного сырья. Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования, а с его моделью позволяет относительно быстро и без существенных материальных затрат охарактеризовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Необходимость выявления закономерностей внутреннего тепломассопереноса, которое основывается на исследованиях кинетики процесса, очевидна для физико-математического моделирования тепломассообменных процессов гранулирования клейковины пшеничной, в частности анализа механизма влагоудаления в процессе его подсушки при радиационном энергоподводе. Результаты проведенных исследований согласуются с уже имеющимися сведениями по данной тематике, а предложенный подход к решению задачи выбора рациональных гидродинамических режимов применен ввиду сложности экспериментального определения полей скоростей и трудности аналитического решения системы гидродинамических дифференциальных уравнений Навье - Стокса при переменных коэффициентах пропорциональности.

Ключевые слова:
моделирование, сырая клейковина, вязкоупругие материалы, цилиндр фильеры, уравнение Навье - Стокса, неньютоновские жидкости, расчет эволюции полей скоростей
Текст
Уровень и высокие темпы развития вычислительной техники открыли новые возможности для фундаментальных исследований и их приложений в области математического моделирования физических процессов и управления техническими системами. Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования (например, перемещением сырой клейковины (глютена) внутри каналов фильеры), а с его моделью дает возможность относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных материальных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Необходимость выявления закономерностей внутреннего тепломассопереноса, которое основывается на исследованиях кинетики процесса, очевидна для физико-математического моделирования тепломассообменных процессов гранулирования клейковины пшеничной, в частности анализа механизма влагоудаления в процессе его подсушки при радиационном энергоподводе. Постановка задачи Сырая клейковина пшеничная, согласно классификации [1], относится к третьей группе вязкоупругих или максвелловских жидкостей, которые текут под воздействием напряжения, но после снятия его частично восстанавливают свою форму, подобно упругим твердым телам. К таким веществам относят некоторые смолы и материалы тестообразной консистенции, в частности и объект исследования. Учитывая структурно-механические и реологические свойства неньютоновских вязкоупругих жидкостей при перемещении внутри каналов с круглым сечением (большая вязкость, малые диаметр штранга и скорость его продвижения, для клейковины по предлагаемой технологии Re ≈ 0,82 < 2320), можно однозначно утверждать, что их движение происходит в ламинарном режиме. При движении реальной (вязкой) жидкости в ее потоке, кроме сил давления и тяжести, возникают силы трения, действие которых проявляется в возникновении внутри потока касательных напряжений. В таком случае для определения эволюции профиля скоростей по сечению потока, который можно принять одномерно плоским (рис. 1), целесообразно тем или иным способом решить систему дифференциальных уравнений Навье - Стокса [2, 3]. Рис. 1. Схема профиля скоростей по сечению потока сырой клейковины в канале фильеры: T - температура штранга; μ - коэффициент динамической вязкости; ρ - плотность формируемого штранга; P1 - давление в питателе; P2 - давление в рабочей камере; w - проекция скорости; z - ось координат При этом проекция скорости w зависит только от расстояния до плоскости отсчета, перпендикулярной направлению оси передвижения. Тогда уравнение движения штранга в цилиндре фильеры можно представить в виде где τ - время движения, с; z - координата по оси, перпендикулярной направлению оси передвижения, м; - ускорение свободного падения, м/с2; ρ - плотность, кг/м3; - градиент давления, Па/м; μ - коэффициент динамической вязкости, Па·с. При движении сжимаемой (как в нашем случае) жидкости в ней дополнительно возникают силы сжатия и растяжения, вызванные трением. В таком варианте уравнение движения принимает вид где частная производная выражает изменение скорости по оси z, связанное с действием сил тяжести и растяжения, при этом ; ρg - отражает влияние сил тяжести - корректировка сил трения, растяжения и сжатия в зависимости от условий формования, причем каждый член уравнения имеет размерность соответствующей силы, отнесенной к единице объема жидкости. Проведя математические преобразования, получим: При моделировании допускаем, что влиянием сил тяжести и изменением статического давления, ввиду малых диаметра и длины штранга (от 3-х до 8 мм), можно с достаточной для инженерных расчетов точностью пренебречь, тогда где - коэффициент кинематической вязкости, м2/с. Для решения данного уравнения при определении граничных условий полагают [1], что из-за сил трения между слоями перемещение слоев будет происходить с различными скоростями, причем центральный цилиндрический слой движется с максимальной скоростью. По мере удаления от него к периферии цилиндра скорость элементарных кольцевых слоев будет снижаться, а непосредственно у стенки фильеры жидкость как бы прилипает к ней, и скорость на границе обращается в нуль. В итоге будет решена задача по определению конечной, средней по слою, скорости на входе в рабочую зону гранулятора при условии заданного перепада давления. Методы исследования, результаты и их обсуждение В реальности граничная скорость wгран не равна нулю вследствие проскальзывания жидкости вдоль стенки. Скорость проскальзывания wпр определялась путем оценки разности модельной скорости при нулевых граничных условиях и определенной экспериментальным путем скорости на выходе из фильеры. Определение wпр сырой клейковины в канале фильеры проводилось на оригинальной экспериментальной установке (рис. 2), которая позволяет создавать варьируемую разность давлений, равную напору, необходимому для осуществления формования в промышленных условиях. Рис. 2. Схема экспериментальной установки для определения wпр клейковины в канале фильеры в процессе формования: 1 - формируемый штранг; 2 - емкость для сбора продукта; 3 - весы; 4 - шиберная заслонка; 5 - рабочая емкость; 6 - секундомер; 7 - исследуемый продукт; 8 - крепежное соединение; 9 - термопара; 10 - компрессор Определение скорости проскальзывания wпр в фильере экспериментальной установки осуществлялось при следующих параметрах: температура продукта 0 °С; давление перед фильерой 2 кгс/см2; давление на выходе из фильеры - атмосферное. На основе анализа результатов эксперимента (табл. 1) была определена средняя скорость проскальзывания wпр клейковины на выходе из канала фильеры. Таблица 1 Среднее значение скорости проскальзывания клейковины wпр на выходе из канала фильеры Показатель wпр ∙ 103, м/с Экспериментальные значения 1,1 / 1,4 / 1,2 / 1,3 / 1,5 Среднее значение ≈1,3 На основе анализа результатов моделирования установлено, что снижение скорости - как на границе, так и по диаметру фильеры - происходит по экспоненциальному закону при ее стремлении к нулю, тогда где τт и τн - текущее и начальное время движения, с, соответственно. Вследствие снижения при движении по шнековому питателю температуры клейковины с 293 до 272 К (криоскопическая температура для клейковины равна 271,8 К), предусмотренного предлагаемой технологией, происходит повышение ее вязкости, зависящей от температуры. Экспериментально определено, что в этом температурном интервале динамическая вязкость существенно зависит от температуры. Зная среднюю скорость движения клейковины и высоту питателя, можно рассчитать время ее перемещения τ, а также зависимость от него вязкости продукта. В нашем случае на входе в фильеру коэффициент динамической вязкости μкл ≈ 5 Па∙с. Потери напора на трение для стационарных неньютоновских жидкостей можно рассчитывать по уравнению того же вида, что и для ньютоновских жидкостей [1]. В таком варианте потеря давления в трубопроводе (с учетом того, что , где hп - потеря напора): , где второе слагаемое в скобке равно нулю, т. к. местные сопротивления ξм.с в нашем случае при ламинарном движении практически отсутствуют, тогда Коэффициент трения при ламинарном перемещении потока можно рассчитывать по уравнению в случае расчета потери напора на трение у нестационарных неньютоновских жидкостей, если они уже подвергались сдвигу и их течение стало установившимся [1]. Используя для упрощенных расчетов значения средних величин вязкости и скорости передвижения и принимая во внимание, что , получим выражение для расчета потери напора в виде Согласно проведенным расчетам снижение давления в фильере не превышает 0,5 атм при наихудших в этом аспекте гидродинамических условиях, поэтому разницы между давлением перед фильерой (1 атм даже без подпрессовки в экструдере) и в вакуумной камере достаточно для организации процесса прохождения клейковины через канал фильеры. К примеру, если длина фильеры, как в нашем случае, l = 3 мм, потеря давления составляет примерно 1 000 Па, что несущественно, но подпрессовка в шнековом питателе необходима при забивании фильеры, например в случае попадания в исходный материал посторонних включений или отклонения значений характеристик клейковины при изменении технологии ее получения. Для достижения поставленной цели, а именно расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, разработана математическая модель (рис. 3) по алгоритму программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры (рис. 4), задача была решена численным методом конечных разностей [4]. Рис. 3. Эволюция полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры Рис. 4. Блок-схема программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры Такой подход к решению задачи выбора рациональных гидродинамических режимов применен ввиду сложности экспериментального определения полей скоростей и трудности аналитического решения системы гидродинамических дифференциальных уравнений [5, 6] Навье - Стокса при переменных коэффициентах пропорциональности. Для численного решения дифференциального уравнения параболического типа в частных производных при заданных начальных и граничных условиях применен метод конечных разностей по неявной схеме [7, 8]. Реализация этой математической модели выполнена в среде специализированного программного обеспечения Mathcad Professional при установленных режимных параметрах (начальная скорость потока сырой клейковины при входе в канал фильеры wнач = 0,5 м/с, начальная температура сырой клейковины Тнач = 272 К и, как следствие, коэффициент динамической вязкости μкл ≈ 5 Па∙с). Графическая аппроксимация скоростных полей при рациональных режимах показывает, что скорость распределения w по глубине штранга имеет экстремальный характер [9]. Также отмечены значительные скоростные градиенты в начале движения при их сглаживании в процессе перемещения клейковины по фильере, что подтверждает обоснованность сделанных выводов и допущений. На рис. 3 графически представлена эволюция полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, изменяющаяся во времени, полученная посредством разработанной математической модели, для формовочного диска шнекового питателя, являющегося составным узлом камеры гранулятора диаметром 8 мм и высотой 3 мм. В табл. 2 представлены значения скоростей по толщине штранга, изменяющихся в зависимости от продолжительности процесса формования, и рассчитанные средние значения скоростей сырой клейковины wср (средняя объемная скорость), м/с. Таблица 2 Полученные при реализации модели (рис. 3) значения скоростей по толщине продукта , м/с, и рассчитанная средняя объемная скорость прохождения клейковины wср, м/с Процесс формования, τ × 103 Толщина штранга, мм Продолжительность, с 0 1,22 2,44 3,66 4,88 6,10 7,32 8,54 9,76 11 0 0,002 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 0,8 0,5 0,0026 0,159 0,021 0,068 0,012 0,031 0,0059 0,015 0,003 1,6 0,5 0,25 0,151 0,136 0,063 0,066 0,028 0,032 0,012 0,015 2,4 0,5 0,37 0,219 0,168 0,105 0,074 0,051 0,033 0,025 0,015 3,2 0,5 0,424 0,276 0,184 0,13 0,085 0,06 0,039 0,028 0,019 4 0,5 0,44 0,297 0,191 0,137 0,089 0,062 0,042 0,029 0,02 4,8 0,5 0,424 0,276 0,184 0,13 0,085 0,06 0,039 0,028 0,019 5,6 0,5 0,37 0,219 0,168 0,105 0,074 0,051 0,033 0,025 0,015 6,4 0,5 0,25 0,151 0,136 0,063 0,066 0,028 0,032 0,012 0,015 7,2 0,5 0,0026 0,159 0,021 0,068 0,012 0,031 0,0059 0,015 0,003 8 0,002 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 wср, м/с 0,5 0,23 0,174 0,11 0,079 0,051 0,037 0,024 0,017 0,011 Для удобства анализа полученной графической зависимости (рис. 3 и табл. 2) на рис. 5 представлена графическая зависимость средней объемной скорости wср, м/с, от продолжительности процесса формования τпр, с, в канале фильеры шнекового питателя. Рис. 5. Графическая зависимость средней объемной скорости wср, м/с, от продолжительности процесса движения сырой клейковины по каналу фильеры В автоматических процессах (объектах) зачастую необходимо изменять или поддерживать постоянными какие-либо физические величины, называемые регулируемыми переменными (частоту вращения вала турбины, координаты движущегося объекта, напряжение, температуру, уровень, давление и пр.), в данном случае - поддержание скорости движения клейковины в шнековом питателе на уровне 0,5 м/с (рис. 5). Контроль регулирования рациональной скорости движения клейковины в шнековом питателе возможен путем оценки степени заполнения полостей между стенками приемного бункера и шнекового питателя (рис. 6, а). а б Рис. 6. Контроль регулирования скорости прохождения материала в канале питателя: а - схема установки оптического датчика и контроль расстояния; б - оптический датчик контроля При стабильной работе аппарата с заданными параметрами и обеспечении постоянства расхода данные полости не должны быть заполнены, поэтому посредством датчика (рис. 6, б) контролируется заданное расстояние от верхней внутренней поверхности питателя до поверхности материала. В случае изменения заданного расстояния скорость вращения рабочего шнека необходимо либо увеличить, либо уменьшить. Конструкция датчиков расстояния разработана для реализации двух задач, выполняемых датчиками: максимальной точности измерений и высокой скорости обработки данных при измерениях в диапазоне нескольких миллиметров. В конструкции датчиков контроля расстояния (рис. 6, б) используется метод измерения скорости возврата луча. Световой пучок направляется на поверхность тестируемого объекта (источником света может быть, например, лазерный диод). В корпусе датчика установлена оптика приемника, которая принимает отраженные лучи на светочувствительном элементе. В зависимости от положения отраженного луча и известной геометрии определяется расстояние до тестируемого объекта. На рис. 7 приведена блок-схема алгоритма управления скоростью движения сырой клейковины в шнековом питателе до узла формования с регулируемой величиной: расстояние от верхней внутренней поверхности питателя до поверхности материала. Рис. 7. Блок-схема алгоритма управления скоростью в питателе гранулятора: ЗУ - задающее устройство; КУ - контроль управления скорости; КП - контроллер параметра; СИ - датчик контроля интервала времени измерения; ИМ - исполнительный механизм Схема состоит из объекта управления и устройства управления. Объект управления - это основной элемент системы, сырая клейковина, заданный режим движения которой должен поддерживаться устройством управления (оптическим датчиком контроля расстояния) при помощи управляющих (регулирующих) органов. Под управляющим подразумевается устройство, обеспечивающее процесс управления, т. е. целенаправленное действие, приводящее к желаемому изменению управляемой переменной. Для уменьшения ошибки регулирования в систему вводят обратную связь. Задающее устройство (ЗУ) оказывает управляющее воздействие на вход системы, формируя программу изменения регулируемой величины. Задающее устройство подает сигнал после получения данных с датчика контроля (рис. 6, б) и передает информацию через контроллер параметра (КП) о текущей скорости посредством ЗУ, далее КП исполнительному механизму (ИМ) - вариатору, который непосредственно является корректирующим звеном системы. Выявление соответствий требуемого и полученного значения выполняет сравнивающее устройство. Если величина расстояния не отклоняется от заданного, то через заданный промежуток времени происходит повторный замер сигнала через КУ. На основании полученных графических зависимостей можно утверждать, что среднеобъемная скорость сырого глютена в начальный период резко снижается (см. рис. 5) до половины своего первоначального значения вследствие имеющегося местного сопротивления, связанного с резким изменением толщины клейковинного слоя, переходящего из питателя в канал фильеры с разными диаметрами, а затем на втором участке плавно снижается, что обусловлено его ламинарным движением в канале. Следует отметить, что рассчитанное среднеобъемное распределение скорости по толщине клейковинного штранга соответствует рекомендованному пороговому его значению на выходе из смесителя, равному 0,011 м/с. Таким образом, разработанные скоростные режимы прохождения сырой клейковины в канале формования штранга могут быть рекомендованы для внедрения в производственную практику. Заключение Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования, а с его моделью позволяет относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных материальных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Произведен расчет эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов (клейковины) по каналу фильеры, разработана математическая модель по алгоритму программы расчета эволюции полей скоростей в процессе движения вязкоупругих материалов, задача была решена численным методом конечных разностей. Разработанные скоростные режимы прохождения сырой клейковины в канале формования штранга могут быть рекомендованы для внедрения в производственную практику.
Список литературы

1. Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии: учеб. для вузов. М.: ООО ТИД Альянс, 2005. 753 с.

2. Лапчик М. П., Рагулина М. И., Хеннер Е. К. Элементы численных методов. М.: Академия, 2007. 224 с.

3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Ленанд, 2019. 336 с.

4. Алексанян И. Ю., Буйнов А. А. Высокоинтенсивная сушка пищевых продуктов. Пеносушка. Теория. Практика. Моделирование: моногр. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2004. 380 с.

5. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

7. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань, 2010. 400 с.

8. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2009. 840 с.

9. Нугманов А. Х.-Х., Максименко Ю. А., Алексанян А. И., Алексанян О. А. Исследование физико-химических свойств рыбных фаршей, сухих растительных премиксов и их смесей // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Рыбное хозяйство. 2018. № 2. С. 135-148.