SIMULATION OF OSCILLATORY PROCESSES USING DIFFERENTIAL EQUATIONS OF LIOUVILLE TYPE
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 3
, 2018
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
2.
Astrakhan State Technical University
Type:
Article
Pages:
from 117
to 123
Status:
Published
Received:
05.07.2018
Accepted:
25.07.2018
Published:
25.07.2018
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 517.955:517.968.43/.74
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 517.955:517.968.43/.74
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
variety of decisions, nonlinear equation, hyperbolic type, integrated representation, wave processes
Abstract (English):
The problems of mathematical modeling lead to the necessity to create computational algorithms directly related to finding solutions of differential equations with partial derivatives in explicit form. In this study, explicit solutions are original tests for approximate methods that reflect the essence of the general solution. Each explicit solution of the differential equation has great importance as an accurate representation of the physical phenomenon under study within the framework of this model, as an analysis of the verification of numerical methods, as a theoretical basis for further modeling of the researched process. There have been considered aspects of the application of mathematical modeling to the study of oscillatory processes. Methods of reducing the solution of differential equations to an explicit form are proposed. Solution is given through functions of real arguments. The possible field of application is the study of wave processes. There is being considered the problem of building a variety of explicit solutions of the nonlinear third-order differential equation with partial derivatives with two boundary singular planes in space and second-order equation of general form with hyper-singular lines in the plane. On the basis of the developed method there has been proved the uniqueness of the obtained integral representations, and the boundary value problem of Cauchy type is posed and solved. The results are formulated in the form of theorems.
The problems of mathematical modeling lead to the necessity to create computational algorithms directly related to finding solutions of differential equations with partial derivatives in explicit form. In this study, explicit solutions are original tests for approximate methods that reflect the essence of the general solution. Each explicit solution of the differential equation has great importance as an accurate representation of the physical phenomenon under study within the framework of this model, as an analysis of the verification of numerical methods, as a theoretical basis for further modeling of the researched process. There have been considered aspects of the application of mathematical modeling to the study of oscillatory processes. Methods of reducing the solution of differential equations to an explicit form are proposed. Solution is given through functions of real arguments. The possible field of application is the study of wave processes. There is being considered the problem of building a variety of explicit solutions of the nonlinear third-order differential equation with partial derivatives with two boundary singular planes in space and second-order equation of general form with hyper-singular lines in the plane. On the basis of the developed method there has been proved the uniqueness of the obtained integral representations, and the boundary value problem of Cauchy type is posed and solved. The results are formulated in the form of theorems.
Keywords:
variety of decisions, nonlinear equation, hyperbolic type, integrated representation, wave processes
variety of decisions, nonlinear equation, hyperbolic type, integrated representation, wave processes
Введение Математическое моделирование подразумевает выполнение трех основных последовательных шагов: 1) построение математической модели (в нашем случае это дифференциальное уравнение); 2) создание алгоритма; 3) написание программы, т. е. компьютерная реализация алгоритма. Аналитическое решение прикладных задач приводит нас к ограниченному кругу классов дифференциальных уравнений, т. е. многообразие физических и технических процессов описывается схожими математическими моделями. Как известно, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности описываются дифференциальными уравнениями параболического типа; стационарные процессы диффузии, течения несжимаемой жидкости описываются уравнениями эллиптического типа; волновые процессы, колебания струны, стержня, электромагнитные колебания - уравнениями гиперболического типа. Все вышеупомянутые уравнения, а также их смешанные типы и лежат в основе математического моделирования. Проблемой является отсутствие явно выраженных формул, т. к. разработка вычислительных алгоритмов напрямую связана с построением решений дифференциальных уравнений. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса. Таким образом, разработка аналитических методов решения дифференциальных уравнений является актуальной проблемой. Одним из важных аспектов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных является изучение сингулярных и вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Интерес к ним определяется не только теоретическими выводами, но и практической значимостью полученных результатов в различных областях науки. В прикладных вопросах теории дифференциальных уравнений большое значение имеют работы по построению явных аналитических решений, что позволяет исследовать граничные задачи типа Дарбу и Коши. Этим и обусловлен один из факторов повышенного интереса к исследованию дифференциальных уравнений гиперболического типа выше первого порядка в плане получения для них явных формул многообразия решений через произвольные функции независимых переменных, число которых на единицу меньше порядка уравнения. Монография Адамара [1] является одним из первых классических трудов, посвященных теории линейных уравнений в частных производных гиперболического типа с регулярными коэффициентами двухмерного пространства. В данной монографии впервые построено фундаментальное решение уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа с функциональными коэффициентами и изучены их приложения к принципу Гюйгенса. Установлено, что задача Гурса, как и задача Коши, сводится к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений. В обоих случаях существование и единственность решений полученных систем доказывается методом последовательных приближений [2]. Кроме того, задача Коши исследуется с помощью соответствующего сопряженного уравнения, решение которого получено с помощью функции Римана [3]. Вопросам построения точных решений посвящены исследования В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянского, А. И. Жукова, С. Т. Фозилова [4] и других математиков России и зарубежья. Изучение вырождающихся гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами тесным образом связано с теорией интегральных уравнений Вольтерра второго рода. При решении задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа общего вида применяется метод интегральных уравнений. Решение задачи Гурса для этого уравнения сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Установлена связь между решениями некоторых модельных уравнений гиперболического типа со многими сингулярными поверхностями и гиперболическими уравнениями с регулярными коэффициентами. На этой основе был решен ряд граничных задач типа Коши и Дарбу [5]. Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двухмерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами [6]. В общем случае линейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка исследованы в работе [7]. Вопросам изучения нелинейного уравнения третьего порядка посвящена работа [8]. Постановка и решение задачи 1. Исследуется нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве. Для рассматриваемого уравнения получена формула решения в явном виде, содержащая три произвольные вещественные функции двух независимых переменных. Через П обозначим прямоугольный параллелепипед: Для двух сингулярных плоскостей введем обозначения: В области П рассмотрим уравнение (1) где u = u (x, y, z) - искомая функция трех независимых переменных. В линейных случаях, когда и , уравнение (1) исследовано в работах [6], [9] соответственно. Настоящая статья посвящена исследованию уравнения (1) при любых значениях , за исключением и . Доказана справедливость следующего утверждения. Теорема 1. Пусть в уравнении (1) выполнены условия: 1. и удовлетворяет условию Гельдера ; 2. и удовлетворяет условию Гельдера ; 3. 4. . Тогда любое решение уравнения (1) из класса представимо в явном виде (2) где , , - интегральные операторы: Поведение решения (2) в окрестности и определяются из следующих равенств: В случае, когда функция получена формула явного решения уравнения (1). Изучены поведения решений в окрестностях сингулярных точек. С помощью интегрального представления (2) ставятся и решаются граничные задачи различного типа. В частности, рассмотрим одну задачу типа Коши. Задача. Требуется найти решение уравнения (1), которое удовлетворяет условиям: где - заданные непрерывные вещественные функции одной независимой переменной соответствующих классов. Замечание 1. Полученное представление многообразия решений (2) имеет место и в случае, когда коэффициент уравнения (1) имеет слабую особенность. Замечание 2. При условии, когда коэффициенты такие, что задача о нахождении многообразия решений уравнения (1) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Замечание 3. Способ, разработанный в данной работе, может быть применен к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя и более сингулярными плоскостями трехмерного пространства. 2. Как известно, уравнение Лиувилля , где µ - константа, допускает явное решение через две произвольные вещественные функции одной переменной [3]. Очевидно, что при µ = 0 решение данного уравнения выражается формулой Даламбера. Рассмотрим уравнение общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости. Пусть Д представляет собой прямоугольник Для двух сингулярных линий введем обозначения: В области Д рассмотрим уравнение (3) где m = α + β, α и β - действительные числа, причем α > 1 и β > 1; µ(y) и f(y) - заданные вещественные функции для всех . В линейном случае уравнение (3) в общем виде с двумя сингулярными линиями исследовано в работе [4]. Для уравнения (3) найдена явная формула интегральных представлений многообразия решений, содержащая две произвольные функции одного независимого аргумента, и исследован ряд граничных задач. Изучено поведение решения в окрестности точек сингулярной линии. Таким образом, для уравнения (3) справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (3) такие, что: 1) 2) ; в окрестности удовлетворяет условию Тогда при условии, что α > 1 и β > 1, решение u (x, y) уравнения (3) из класса представимо в явном виде и дается с помощью формулы (4) где - произвольные вещественные функции, причем для всех (x, y) Д. Решение вида (4) в окрестности неограниченно и имеет следующий порядок: . С помощью полученного интегрального представления (4) ставятся и решаются граничные задачи различного типа. Заключение Таким образом, для дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярными линиями на плоскости и нелинейного уравнения третьего порядка с двумя граничными плоскостями в пространстве получены решения, выраженные в явном виде. Данные формулы дают возможность постановки и решения граничных задач.
1. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynyh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giperbolicheskogo tipa. M.: Nauka, 1978. 352 s.
2. Smirnov M. M. Uravneniya smeshannogo tipa. M.: Vyssh. shk., 1985. 304 s.
3. Bicadze A. V. Nekotorye klassy uravneniy v chastnyh proizvol'nyh. M.: Nauka, 1981. 448 s.
4. Fozilov S. T., Radzhabov N. R. Yavnaya formula resheniy odnogo klassa nelineynyh uravneniy tret'ego poryadka // Estestvennye nauki: zhurn. fundam. i priklad. issl. 2004. № 3 (9). S. 101-104.
5. Radzhabova L. N. Vvedenie v teoriyu mnogomernyh integral'nyh uravneniy tipa Vol'terra s fiksirovannymi singulyarnymi i sverhsingulyarnymi yadrami i ih prilozheniya. Leipzig, Germany: LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. 502 p.
6. Il'yasova A. K., Fozilov S. T. Formula yavnogo resheniya i granichnaya zadacha dlya odnogo klassa kvazilineynyh differencial'nyh uravneniy v chastnyh proizvodnyh vtorogo poryadka giperbolicheskogo tipa s odnoy vnutrenney singulyarnoy tochkoy // Estestvennye i tehnicheskie nauki. 2007. № 3 (29). S. 16-19.
7. Fam K. H., Kvyatkovskaya I. Yu. Reshenie zadach mnogokriterial'noy optimizacii dlya ocenki kachestva ob'ektov s neodnorodnymi priznakami // Vestn. Sarat. gos. tehn. un-ta. 2014. T. 2. № 1 (75). S. 185-192.
8. Il'yasova A. K., Fozilov S. T. Ob odnom metode nahozhdeniya resheniy lineynogo giperbolicheskogo uravneniya s chastnymi proizvodnymi tret'ego poryadka // Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniya estestvennonauchnyh i social'nyh problem: sb. nauch. tr. II Mezhdunar. nauch.-tehn. konf. (Penza, 4-5 oktyabrya 2007 g.). Penza: Izd-vo PGU, 2007. S. 6-11.
9. Shurshev V. F., Umerov A. N. Modelirovanie processa prinyatiya resheniy pri identifikacii rezhimov smesey holodil'nyh agentov // Vestn. Kuzbas. gos. tehn. un-ta. 2005. № 5 (50). S. 27-29.
