МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ
Журнал: ВЕСТНИК АСТРАХАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ: УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
№ 3
, 2018
Рубрики: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Авторы:
1.
Астраханский государственный технический университет
2.
Астраханский государственный технический университет
Тип:
Статья
Страницы:
с 117
по 123
Статус:
Опубликован
Получено:
05.07.2018
Одобрено:
25.07.2018
Опубликовано:
25.07.2018
Классификаторы:
ВАК 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 517.955:517.968.43/.74
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 517.955:517.968.43/.74
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
многообразие решений, нелинейное уравнение, гиперболический тип, интегральное представление, волновые процессы
Аннотация (русский):
Задачи математического моделирования приводят к необходимости создания вычислительных алгоритмов, напрямую связанных с нахождением решений дифференциальных уравнений в частных производных в явном виде. В данном исследовании явные решения являются своеобразными тестами для приближенных методов и отображают суть общего решения. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса. Рассмотрены аспекты применения математического моделирования к изучению колебательных процессов. Предложены методы сведения решения дифференциальных уравнений к явному виду. Решение представлено через функции действительных аргументов. Областью применения может быть изучение волновых процессов. Рассматривается вопрос построения многообразия явных решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве и уравнения второго порядка общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости. На основе разработанного метода доказана единственность полученных интегральных представлений, поставлена и решена граничная задача типа Коши. Результаты сформулированы в виде теорем.
Задачи математического моделирования приводят к необходимости создания вычислительных алгоритмов, напрямую связанных с нахождением решений дифференциальных уравнений в частных производных в явном виде. В данном исследовании явные решения являются своеобразными тестами для приближенных методов и отображают суть общего решения. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса. Рассмотрены аспекты применения математического моделирования к изучению колебательных процессов. Предложены методы сведения решения дифференциальных уравнений к явному виду. Решение представлено через функции действительных аргументов. Областью применения может быть изучение волновых процессов. Рассматривается вопрос построения многообразия явных решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве и уравнения второго порядка общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости. На основе разработанного метода доказана единственность полученных интегральных представлений, поставлена и решена граничная задача типа Коши. Результаты сформулированы в виде теорем.
Ключевые слова:
многообразие решений, нелинейное уравнение, гиперболический тип, интегральное представление, волновые процессы
многообразие решений, нелинейное уравнение, гиперболический тип, интегральное представление, волновые процессы
Введение Математическое моделирование подразумевает выполнение трех основных последовательных шагов: 1) построение математической модели (в нашем случае это дифференциальное уравнение); 2) создание алгоритма; 3) написание программы, т. е. компьютерная реализация алгоритма. Аналитическое решение прикладных задач приводит нас к ограниченному кругу классов дифференциальных уравнений, т. е. многообразие физических и технических процессов описывается схожими математическими моделями. Как известно, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности описываются дифференциальными уравнениями параболического типа; стационарные процессы диффузии, течения несжимаемой жидкости описываются уравнениями эллиптического типа; волновые процессы, колебания струны, стержня, электромагнитные колебания - уравнениями гиперболического типа. Все вышеупомянутые уравнения, а также их смешанные типы и лежат в основе математического моделирования. Проблемой является отсутствие явно выраженных формул, т. к. разработка вычислительных алгоритмов напрямую связана с построением решений дифференциальных уравнений. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса. Таким образом, разработка аналитических методов решения дифференциальных уравнений является актуальной проблемой. Одним из важных аспектов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных является изучение сингулярных и вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Интерес к ним определяется не только теоретическими выводами, но и практической значимостью полученных результатов в различных областях науки. В прикладных вопросах теории дифференциальных уравнений большое значение имеют работы по построению явных аналитических решений, что позволяет исследовать граничные задачи типа Дарбу и Коши. Этим и обусловлен один из факторов повышенного интереса к исследованию дифференциальных уравнений гиперболического типа выше первого порядка в плане получения для них явных формул многообразия решений через произвольные функции независимых переменных, число которых на единицу меньше порядка уравнения. Монография Адамара [1] является одним из первых классических трудов, посвященных теории линейных уравнений в частных производных гиперболического типа с регулярными коэффициентами двухмерного пространства. В данной монографии впервые построено фундаментальное решение уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа с функциональными коэффициентами и изучены их приложения к принципу Гюйгенса. Установлено, что задача Гурса, как и задача Коши, сводится к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений. В обоих случаях существование и единственность решений полученных систем доказывается методом последовательных приближений [2]. Кроме того, задача Коши исследуется с помощью соответствующего сопряженного уравнения, решение которого получено с помощью функции Римана [3]. Вопросам построения точных решений посвящены исследования В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянского, А. И. Жукова, С. Т. Фозилова [4] и других математиков России и зарубежья. Изучение вырождающихся гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами тесным образом связано с теорией интегральных уравнений Вольтерра второго рода. При решении задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа общего вида применяется метод интегральных уравнений. Решение задачи Гурса для этого уравнения сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Установлена связь между решениями некоторых модельных уравнений гиперболического типа со многими сингулярными поверхностями и гиперболическими уравнениями с регулярными коэффициентами. На этой основе был решен ряд граничных задач типа Коши и Дарбу [5]. Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двухмерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами [6]. В общем случае линейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка исследованы в работе [7]. Вопросам изучения нелинейного уравнения третьего порядка посвящена работа [8]. Постановка и решение задачи 1. Исследуется нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве. Для рассматриваемого уравнения получена формула решения в явном виде, содержащая три произвольные вещественные функции двух независимых переменных. Через П обозначим прямоугольный параллелепипед: Для двух сингулярных плоскостей введем обозначения: В области П рассмотрим уравнение (1) где u = u (x, y, z) - искомая функция трех независимых переменных. В линейных случаях, когда и , уравнение (1) исследовано в работах [6], [9] соответственно. Настоящая статья посвящена исследованию уравнения (1) при любых значениях , за исключением и . Доказана справедливость следующего утверждения. Теорема 1. Пусть в уравнении (1) выполнены условия: 1. и удовлетворяет условию Гельдера ; 2. и удовлетворяет условию Гельдера ; 3. 4. . Тогда любое решение уравнения (1) из класса представимо в явном виде (2) где , , - интегральные операторы: Поведение решения (2) в окрестности и определяются из следующих равенств: В случае, когда функция получена формула явного решения уравнения (1). Изучены поведения решений в окрестностях сингулярных точек. С помощью интегрального представления (2) ставятся и решаются граничные задачи различного типа. В частности, рассмотрим одну задачу типа Коши. Задача. Требуется найти решение уравнения (1), которое удовлетворяет условиям: где - заданные непрерывные вещественные функции одной независимой переменной соответствующих классов. Замечание 1. Полученное представление многообразия решений (2) имеет место и в случае, когда коэффициент уравнения (1) имеет слабую особенность. Замечание 2. При условии, когда коэффициенты такие, что задача о нахождении многообразия решений уравнения (1) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Замечание 3. Способ, разработанный в данной работе, может быть применен к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя и более сингулярными плоскостями трехмерного пространства. 2. Как известно, уравнение Лиувилля , где µ - константа, допускает явное решение через две произвольные вещественные функции одной переменной [3]. Очевидно, что при µ = 0 решение данного уравнения выражается формулой Даламбера. Рассмотрим уравнение общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости. Пусть Д представляет собой прямоугольник Для двух сингулярных линий введем обозначения: В области Д рассмотрим уравнение (3) где m = α + β, α и β - действительные числа, причем α > 1 и β > 1; µ(y) и f(y) - заданные вещественные функции для всех . В линейном случае уравнение (3) в общем виде с двумя сингулярными линиями исследовано в работе [4]. Для уравнения (3) найдена явная формула интегральных представлений многообразия решений, содержащая две произвольные функции одного независимого аргумента, и исследован ряд граничных задач. Изучено поведение решения в окрестности точек сингулярной линии. Таким образом, для уравнения (3) справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (3) такие, что: 1) 2) ; в окрестности удовлетворяет условию Тогда при условии, что α > 1 и β > 1, решение u (x, y) уравнения (3) из класса представимо в явном виде и дается с помощью формулы (4) где - произвольные вещественные функции, причем для всех (x, y) Д. Решение вида (4) в окрестности неограниченно и имеет следующий порядок: . С помощью полученного интегрального представления (4) ставятся и решаются граничные задачи различного типа. Заключение Таким образом, для дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярными линиями на плоскости и нелинейного уравнения третьего порядка с двумя граничными плоскостями в пространстве получены решения, выраженные в явном виде. Данные формулы дают возможность постановки и решения граничных задач.
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. M.: Наука, 1978. 352 с.
2. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985. 304 с.
3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных произвольных. М.: Наука, 1981. 448 с.
4. Фозилов С. Т., Раджабов Н. Р. Явная формула решений одного класса нелинейных уравнений третьего порядка // Естественные науки: журн. фундам. и приклад. иссл. 2004. № 3 (9). С. 101-104.
5. Раджабова Л. Н. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Leipzig, Germany: LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. 502 p.
6. Ильясова А. К., Фозилов С. Т. Формула явного решения и граничная задача для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с одной внутренней сингулярной точкой // Естественные и технические науки. 2007. № 3 (29). С. 16-19.
7. Фам К. Х., Квятковская И. Ю. Решение задач многокритериальной оптимизации для оценки качества объектов с неоднородными признаками // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2014. Т. 2. № 1 (75). С. 185-192.
8. Ильясова А. К., Фозилов С. Т. Об одном методе нахождения решений линейного гиперболического уравнения с частными производными третьего порядка // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. науч. тр. II Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза, 4-5 октября 2007 г.). Пенза: Изд-во ПГУ, 2007. С. 6-11.
9. Шуршев В. Ф., Умеров А. Н. Моделирование процесса принятия решений при идентификации режимов смесей холодильных агентов // Вестн. Кузбас. гос. техн. ун-та. 2005. № 5 (50). С. 27-29.
