ALGORITHMS ENSURING THE REAL CONDITIONS OF MULTIPLICITY IN THE MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS PROCESSES AT THE GIVEN DILUTION RATE
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 2
, 2016
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University
2.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University
(Candidate of Technical Science, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Mathematics)
Russian Federation
Russian Federation
3.
Moscow National University of Food Production
4.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow
(Doctor of Technical Science, Professor; Professor of the Department of Processes and Apparatus for Chemical Technology)
Russian Federation
Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 60
to 72
Status:
Published
Received:
05.04.2016
Accepted:
25.04.2016
Published:
25.04.2016
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 574.6.663.1
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 574.6.663.1
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
biotechnological processes, microbiological synthesis, multiplicity, algorithms of multiplicity ensuring, steady state, dilution rate, productivity
Abstract (English):
The algorithms are developed and the results of calculating the steady state parameters for real conditions of multiplicity, taking into account the technological limitations and requirements, are presented. The algorithms include the assessment of necessary conditions of occurrence of multiplicity and the assessment of the parameters of the steady states in the context of multiple for the given dilution rate. Two algorithms focused on two types of technological formulation of the problem are considered. According to the first case the value of productivity on the target component Qp is known. The value of productivity is defined from the condition Qp < max Qp , where max Qp - previously computed value of productivity in optimal conditions. Thus, the first algorithm includes the part of the calculation of the maximum values of productivity. According to the second case the parameters of the first stationary state are known to compute the parameters of the second stationary state for the same values of productivity. Thus, it is necessary to calculate the coordinate of the optimal state . The numerical results of the algorithms have been obtained. For the first algorithm for the dilution rate D = 0.15 h-1: max Qp = 4,061 g/(l · h); Qp = 3.5 g/(l · h); the first stationary state: = 30.116 g/l; S 1 = 13.606 g/l; X 1 = 6,604 g/l; P 1 = 23.333 g/l; the second stationary state: = 18,450 g/l; S 2 = 1.940 g/l; X 2 = 6,604 g/l; P 2 = 23.333 g/l. It is noted that the stationary state differ by only two parameters, namely Sf and S . A similar calculation is performed for D = 0.26 h-1. According to the second algorithm the calculation is executed for D = 0,15 h-1: the limit value Sf = 47,848 g/l; = 24.296 g/l; the first stationary state obtained for = 32,99 g/l: S 1 = 18,839 g/l; X 1 = 5,66 g/l; P 1 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h); the second stationary state obtained for = 15.55 g/l: S 2 = 1,401 g/l; X 2 = 5,66 g/l; P 2 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h). Similar calculation is made for the case where the first stationary state determined by the value of = 20.0 g/l.
The algorithms are developed and the results of calculating the steady state parameters for real conditions of multiplicity, taking into account the technological limitations and requirements, are presented. The algorithms include the assessment of necessary conditions of occurrence of multiplicity and the assessment of the parameters of the steady states in the context of multiple for the given dilution rate. Two algorithms focused on two types of technological formulation of the problem are considered. According to the first case the value of productivity on the target component Qp is known. The value of productivity is defined from the condition Qp < max Qp , where max Qp - previously computed value of productivity in optimal conditions. Thus, the first algorithm includes the part of the calculation of the maximum values of productivity. According to the second case the parameters of the first stationary state are known to compute the parameters of the second stationary state for the same values of productivity. Thus, it is necessary to calculate the coordinate of the optimal state . The numerical results of the algorithms have been obtained. For the first algorithm for the dilution rate D = 0.15 h-1: max Qp = 4,061 g/(l · h); Qp = 3.5 g/(l · h); the first stationary state: = 30.116 g/l; S 1 = 13.606 g/l; X 1 = 6,604 g/l; P 1 = 23.333 g/l; the second stationary state: = 18,450 g/l; S 2 = 1.940 g/l; X 2 = 6,604 g/l; P 2 = 23.333 g/l. It is noted that the stationary state differ by only two parameters, namely Sf and S . A similar calculation is performed for D = 0.26 h-1. According to the second algorithm the calculation is executed for D = 0,15 h-1: the limit value Sf = 47,848 g/l; = 24.296 g/l; the first stationary state obtained for = 32,99 g/l: S 1 = 18,839 g/l; X 1 = 5,66 g/l; P 1 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h); the second stationary state obtained for = 15.55 g/l: S 2 = 1,401 g/l; X 2 = 5,66 g/l; P 2 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h). Similar calculation is made for the case where the first stationary state determined by the value of = 20.0 g/l.
Keywords:
biotechnological processes, microbiological synthesis, multiplicity, algorithms of multiplicity ensuring, steady state, dilution rate, productivity
biotechnological processes, microbiological synthesis, multiplicity, algorithms of multiplicity ensuring, steady state, dilution rate, productivity
Введение Практическая реализация процессов микробиологического синтеза с учетом множественности стационарных состояний базируется на решении уравнений математической модели. Рассмотрим процесс, математическая модель которого имеет вид [1-3]: , (1) , (2) . (3) Кинетическое соотношение: . (4) Решение системы (1)-(4): , (5) , (6) где , (7) . (8) В соотношениях (1)-(8) обозначено: μ - удельная скорость роста, ч-1; μm - максимальная удельная скорость роста, ч-1; Pm - константа насыщения продукта, г/л; Km - константа насыщения субстрата, г/л; Ki - константа ингибирования, г/л; P, S, X - концентрация продукта, субстрата и биомассы соответственно, г/л; Sf - концентрация субстрата в поступающем потоке, г/л; D = Q/V - скорость разбавления (величина протока), ч-1; Q - объемная скорость потока через аппарат, л/ч; V - объем заполнения реактора, л; Yx/s, г/г; α, г/г; β, ч-1 - константы. Реализация процесса синтеза связана с выполнением ряда ограничений, накладываемых на входные переменные Sf и D. Приведем некоторые результаты анализа, необходимые для формирования условий множественности. Отметим ограничения, невыполнение которых приводит к невозможности технологической реализации процесса. По соотношениям (5) и (6) значение S будет больше нуля для A > 0. Если же A < 0, условие S > 0 выполняется только если B < 0. В последнем случае требуется еще учесть и условие неотрицательности дискриминанта в (5) и (6), т. к. значение C всегда больше нуля. Знак A определяется величиной D. Условие A = 0 будет при D = D*, где . (9) Таким образом, A > 0, если D < D*, и A < 0, если D > D*. Далее, если в процессе ферментации значение S в аппарате равно Sf (т. е. концентрации субстрата на входе), очевидно, что процесс синтеза не протекает. Это условие определяется величиной D = Dпред, которое получаем из (4) при условии μ = D по (1). Так как процесс синтеза не протекает, то P в (4) равно нулю. Из (4) получаем: , (10) откуда следует, что значение D по технологии должно удовлетворять неравенству D < Dпред. Максимально возможное значение Dпред для любого значения Sf получаем по необходимому условию экстремума функции Dпред(Sf): . (11) Соотношение (11) означает, что для любого значения Sf значение D должно удовлетворять условию D < max(Dпред). Значение max(Dпред) получено для . Соотношение (10) дает возможность оценить предельное значение Sf (обозначим Sfпред) для любого значения D. Это значение вычисляется по формуле . (12) Следовательно, если для реализации процесса принято значение D, то значение Sf необходимо принять по условию . Если для реализации процесса задано значение Sf, величина D должна быть принята по условию D < Dпред < max(Dпред). Выполнение вышеприведенных ограничений дает возможность получить решения уравнений математической модели, отвечающие условиям практической реализации процесса синтеза. Условия множественности Понятие множественности стационарных состояний используется при анализе биотехнологических процессов [3-5], что дает возможность выбора альтернативного варианта организации процесса. С математической точки зрения при использовании математического моделирования появление множественности связано с получением двух или более решений уравнений математической модели, приводящих к выполнению одинаковых требований, предъявляемых к процессу. Возможность появления множественности решений заложена в нелинейности кинетических соотношений. С биологической точки зрения множественность можно объяснить изменением структуры метаболических цепей под влиянием внешних воздействий, таких как величина протока D и концентрация субстрата в поступающем потоке Sf. Различная комбинация численных значений D и Sf может давать одинаковые значения продуктивности по целевому компоненту Qp. Более точное содержание понятия множественности формулируется следующим образом: множественность существует, если при заданном значении D (с учетом всех ограничений) найдется неединственное значение Sf, обеспечивающее одно и то же значение продуктивности Qp = PD. И наоборот, множественность существует, если при заданном значении Sf найдется неединственное значение D, обеспечивающее одинаковое значение продуктивности Qp. Необходимое условие существования множественности теоретически обосновано для первого варианта (т. е. для Sf при заданном D) [3, 5] и сводится, по существу, к условию существования экстремума Qp в области значений Sf, отвечающих технологическим требованиям. Рассмотрим зависимость Qp от концентрации субстрата Sf, полученную решением уравнений (1)-(6) для D = 0,15 ч-1 (рис. 1). Рис. 1. Зависимость продуктивности от концентрации субстрата в поступающем потоке при D = 0,15 ч-1: b1 = 15,55 г/л; b2 = 32,99 г/л; b3 = 47,85 г/л; = 24,296 г/л; maxQp = 4,06 г/(л · ч) Расчет выполнен по данным таблицы [2-5]. Численные значения констант µm, ч-1 Pm, г/л Km, г/л Ki, г/л YX/S, г/г a, г/л β, ч-1 0,48 50 1,2 22 0,4 2,2 0,2 Максимальное значение Qp (maxQp) вычислялось с использованием зависимости (4): . (13) По необходимому условию экстремума ; . (14) Далее вычисляем maxQp с подстановкой Sopt в (13): . Значение вычисляем, используя уравнение материального баланса: , в которое подставляем значение S = Sopt, найденное по (14). Получаем: По соотношениям (13) запишем: . Значение Sf для оптимальных условий: . (15) На рис. 1 видно, что существуют два значения Sf, обеспечивающие одинаковое значение Qp < maxQp. Эти значения определяются условиями и . Так, для Qp = 3,0 г/(л · ч) значения и будут: г/л и г/л. Для вычисления координат двух стационарных значений ( и ) использовались соотношения, полученные по (13), (1)-(3) для заданного Qp: , (16) (17) где (18) и далее ; (19) . (20) По формулам (16)-(20) для каждого значения Qp (Qp < maxQp) получаем два значения S: S1 и S2 и, соответственно, два значения Sf: и , по которым вычисляются остальные показатели для двух стационарных состояний по (1)-(3). Для числового примера при Qp = 3,0 г/(л · ч) (рис. 1) было получено: S1 = 18,84 г/л; = 32,99 г/л; S2 = 1,40 г/л; = 15,55 г/л. Обратимся к условиям, выполнение которых дает возможность оценить существование множественности по Sf. Будем полагать, что по технологическим требованиям задано максимальное значение Sf: maxSf и, естественно, задано значение D с учетом ранее обозначенных ограничений. Если , множественность для любого не существует, т. е. стационарное состояние будет единственным. В случае единственное стационарное состояние будет оптимальным, т. е. Qp = maxQp. Таким образом, множественность существует при выполнении одного из неравенств: , (21) . (22) Область существования множественности по Sf зависит от численного соотношения между maxSf, и . Если выполняется неравенство (21), то множественность имеет место для всех значений Sf: и . Если выполняется неравенство (22), то множественность имеет место для всех значений Sf: и . (23) В соотношении (23) значение есть значение , при котором значение Qp то же самое, что и значение Qp для max Sf. Для вычисления , т. е. границы области существования множественности слева от , необходимо выполнить следующий расчет. Для значений max Sf и D вычисляется S по (5) или (6) в зависимости от соотношения между D и D*, где Sf в (7) равно maxSf. Вычисляется Qp по соотношению . (24) Так как нижняя граница множественности слева от есть , запишем условие для одного и того же значения Qp: . (25) Здесь S вычисляется по (5) и (6) с учетом соотношения между D и D*, где Sf в (7) равно . Чтобы различить значения S в (24) и (25) обозначим S в (24) как maxS, в (25) - minS. Используя (24) и (25), получаем: . (26) Левую часть (26) обозначим как M, величина которой известна, т. к. известно значение maxSf. Получаем: и, следовательно, по (26), . В результате вычисляется по следующим соотношениям: , (27) где ; ; . (28) Рассмотрим общий случай вычисления показателей стационарного состояния для условий множественности. Этот вариант предполагает, что задано одно (первое) стационарное состояние в области существования множественности: и D. При этом может быть больше или меньше. По заданному значению вычисляем S1, используя (5) или (6) в зависимости от соотношения D и D*, при этом в (7) необходимо подставить . Далее вычисляем значение M: . Значение (координата второго стационарного состояния) вычисляется в зависимости от следующих условий: если ; (29) если , (30) где значение a вычисляется по (28). Таким образом, мы получили возможность по данным одного стационарного состояния оценить показатели второго стационарного состояния в условиях множественности. Алгоритмы расчета показателей стационарных состояний в условиях множественности практически ориентированы на два вида технологической постановки задачи. По первому варианту показатели вычисляются для заданного значения Qp, при этом собственно значение Qp принимается (или задается) в процессе реализации алгоритма по условию Qp < maxQp, если , или Qp(maxS) £ Qp < maxQp, если . По второму варианту задается первое стационарное состояние (т. е. Sf и D) с учетом реальных условий организации процесса. Затем вычисляются показатели второго стационарного состояния, обеспечивающие значение Qp такое же, как и для первого стационарного состояния. Реализация обоих алгоритмов требует предварительных вычислений: вычисляется максимум Dпред, по которому задается значение D < maxDпред; вычисляются и для принятого D, которые вносятся в исходные данные. В исходные данные вносится также maxSf. Алгоритмы расчета показателей процесса в условиях множественности Для формирования задания на вычисление показателей процесса в условиях множественности необходимо выполнить предварительные расчеты показателей, обеспечивающих достаточность условий существования множественности для реального процесса. 1. Для выбора величины D вычисляется maxDпред по (11), т. е. . Значение D принимается по условию D < maxDпред. 2. Для принятого значения D вычисляются значения (по (12)) и (по (15)), для вычисления которых рассчитываются a1, a2, a3 (по (8)), т. е. ;;, затем: ; . Полученные значения определяют условия существования множественности. Рассмотрим два алгоритма оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности в соответствии с технологическим заданием. По первому алгоритму задается величина продуктивности Qp, для которой вычисляются показатели стационарных состояний. Задаваемое значение Qp принимается в процессе реализации алгоритма по условию Qp < maxQp, где maxQp вычисляется в процессе реализации алгоритма. В связи с этим в алгоритм включены процедуры вычисления показателей для оптимальных условий, в том числе вычисления maxQp. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 2. В блок-схеме (рис. 2) пунктиром выделена часть, относящаяся к вычислению показателей процесса для оптимальных условий. Полученный результат используется в алгоритме для задания Qp < maxQp. Однако если по технологическим требованиям выполняется условие , то необходимо вычислять нижнюю границу задания Qp. Эта часть вычисления также реализована в алгоритме. Результаты вычислений представлены тремя группами показателей: группа показателей для оптимальных условий и две группы показателей для стационарных состояний в условиях множественности при заданном значении Qp. Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма. Предварительные расчеты: maxDпред = 0,32717 ч-1; максимальное значение max Sf = 33,0 г/л. Численный расчет приведен для двух значений D: D = 0,15 ч-1 и D = 0,26 ч-1. Для D = 0,15 ч-1: = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. Для D = 0,26 ч-1: = 17,069 г/л; = 13,782 г/л. Результаты расчета для D = 0,15 ч-1: D* = 0,253 ч-1; D < D*. Оптимальные условия: = 24,296 г/л; Sopt = 5,138 г/л; Xopt = 7,663 г/л; Popt = 27,076 г/л; maxQp = 4,061 г/(л · ч). Имеем: ; вычисляем : = 3,0 г/(л · ч). Принимаем Qp из условия : Qp = 3,5 г/(л · ч). Стационарное состояние 1: = 30,116 г/л; S1 = 13,606 г/л; X1 = 6,604 г/л; P1 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 18,450 г/л; S2 = 1,940 г/л; X2 = 6,604 г/л; P2 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л · ч). Результаты расчета для D = 0,26 ч-1: D* = 0,253 ч-1; D > D*. Оптимальные условия: = 13,782 г/л; Sopt = 5,138 г/л; Xopt = 3,457 г/л; Popt = 10,266 г/л; maxQp = 2,669 г/(л · ч). Имеем: ; принимаем Qp по условию Qp < maxQp: Qp = 2,0 г/(л · ч). Стационарное состояние 1: =16,1 г/л; S1 = 9,624 г/л; X1 = 2,591 г/л; P1 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 9,220 г/л; S2 = 2,743 г/л; X2 = 2,591 г/л; P2 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л · ч). Отметим, что для варианта D = 0,15 ч-1 расход субстрата в обоих стационарных состояниях одинаков: = 2,4765 г/(л · ч); = 2,4765 г/(л · ч). Таким образом, хотя стационарные состояния различаются, затраты субстрата при одном и том же Qp одинаковы. Такая же ситуация имеет место и для D = 0,26 ч-1: =1,6838 г/(л · ч); =1,6840 г/(л · ч). Рис. 2. Блок-схема алгоритма первого варианта Рассмотрим второй вариант. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 3. По этому варианту необходимо задать первое стационарное состояние, исходные координаты которого и D. Условия задания D известны, и, следовательно, значение необходимо задавать в области существования множественности. Если имеет место неравенство , то значение может быть задано как или . В том случае, когда имеется неравенство , значение может быть задано как или . Значение вычисляется в процессе реализации алгоритма. Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма для D = 0,15 ч-1. Предварительные расчеты: maxDпред = 0,32717 ч-1; максимальное значение maxSf = 50,0 г/л; = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. В соответствии с алгоритмом . Принимаем первое стационарное состояние по условию , = 32,99 г/л. Вычисленное значение S1 = 18,8396 г/л. Значение M1 = 14,15. Тогда = 15,55 г/л; S2 = 1,401 г/л. Стационарное состояние 1 (заданное по условию): = 32,99 г/л; S1 = 18,8395 г/л; X1 = 5,66 г/л; P1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Рис. 3. Блок-схема алгоритма второго варианта Стационарное состояние 2: = 15,55 г/л; S2 = 1,401 г/л; X2 = 5,66 г/л; P2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Расчет для условия maxSf = 32,992 г/л, т. е. . Значение по алгоритму: = 15,55 г/л. Выбираем первое стационарное состояние по условию: . Принимаем = 20,0 г/л. Вычисляем: S1 = 2,404 г/л; M = 17,596; = 28,574 г/л; S2 = 10,978 г/л. Результат: Стационарное состояние 1 (заданное по условию): = 20,0 г/л; S1 = 2,404 г/л; X1 = 7,038 г/л; P1 = 24,869 г/л; Qp = 3,73 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 28,574 г/л; S2 = 10,978 г/л; X2 = 7,038 г/л; P2 = 24,869г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Заключение Рассмотренные алгоритмы обеспечивают реальную возможность организации процесса микробиологического синтеза с выбором альтернативных вариантов: оптимального для максимальной продуктивности или одного из двух вариантов для одинакового значения продуктивности. В последнем случае, когда расход субстрата для обоих вариантов одинаков, исходные значения Sf и значения S на выходе из аппарата существенно различаются. Реализация алгоритмов практически не требует применения специальных численных методов.
1. Gordeeva Yu. L. Stacionarnye sostoyaniya biotehnologicheskih processov s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoy velichine protoka / Yu. L. Gordeeva, M. Yu. Scherbinin, L. S. Gordeev // Enciklopediya inzhenera-himika. 2012. № 8. S. 23-27.
2. Gordeeva Yu. L. Modelirovanie processov mikrobiologicheskogo sinteza s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov / Yu. L. Gordeeva, Yu. A. Ivashkin, L. S. Gordeev, M. B. Glebov. M.: RHTU im. D. I. Mendeleeva, 2011. 100 s.
3. Kumar G. P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / G. P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya Sastry, M. Chidabaram // Can. J. Chem. Eng. 1993. Vol. 71. P. 766-770.
4. Koppel L. B. Input multiplicities in process control / L. B. Koppel // Chem. Eng. Educ. 1983. Vol. 17, no. 2, pp. 58-92.
5. Gordeeva Yu. L. Algoritmy rascheta pokazateley processa mikrobiologicheskogo sinteza s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov / Yu. L. Gordeeva, Yu. A. Komissarov, A. G. Borodkin // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2014. № 2. S. 128-137.
