АЛГОРИТМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ МНОЖЕСТВЕННОСТИ В ПРОЦЕССАХ МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ПРОТОКА
Журнал: ВЕСТНИК АСТРАХАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ: УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
№ 2
, 2016
Рубрики: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Авторы:
1.
Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева
2.
Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева
(кандидат технических наук, доцент; доцент кафедры высшей математики)
Россия
Россия
3.
Московский государственный университет пищевых производств
4.
Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева
(доктор технических наук, профессор; профессор кафедры процессов и аппаратов химической технологии)
Россия
Россия
Тип:
Статья
Страницы:
с 60
по 72
Статус:
Опубликован
Получено:
05.04.2016
Одобрено:
25.04.2016
Опубликовано:
25.04.2016
Классификаторы:
ВАК 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 574.6.663.1
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 574.6.663.1
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
биотехнологические процессы, микробиологический синтез, множественность, алгоритмы обеспечения множественности, стационарное состояние, величина протока, продуктивность
Аннотация (русский):
Разработаны алгоритмы и приведены результаты расчета показателей стационарных состояний для обеспечения реальных условий множественности, учитывающие технологические ограничения и требования. Алгоритмы включают процедуры оценки необходимых условий возникновения множественности и оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности при заданной величине протока. Рассмотрены два алгоритма, ориентированные на два вида технологической постановки задачи. В первом алгоритме задана величина продуктивности по целевому компоненту Qp . Собственно задание продуктивности подчиняется условию Qp < max Qp , где max Qp - предварительно вычисленное значение продуктивности в оптимальных условиях. Таким образом, первый алгоритм включает в качестве составляющей части вычисление максимального значения продуктивности. Во втором алгоритме заданы показатели первого стационарного состояния, по которым определяются показатели второго стационарного состояния для одного и того же значения продуктивности. При этом необходимо вычислить координату оптимального состояния . Получены численные результаты реализации алгоритмов. По первому алгоритму для величины протока D = 0,15ч-1: max Qp = 4,061 г/(л · ч); Qp = 3,5 г/(л · ч); первое стационарное состояние: = 30,116 г/л; S 1 = 13,606 г/л; X 1 = 6,604 г/л; P 1 = 23,333 г/л; второе стационарное состояние: = 18,450 г/л; S 2 = 1,940 г/л; X 2 = 6,604 г/л; P 2 = 23,333 г/л. Отмечено, что стационарные состояния различаются только двумя показателями, а именно Sf и S . Аналогичный расчет выполнен для D = 0,26ч-1. По второму алгоритму вычисления выполнены для D = 0,15 ч-1: = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. Первое стационарное состояние получено для = 32,99 г/л: S 1 = 18,839 г/л; X 1 = 5,66 г/л; P 1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л ч). Второе стационарное состояние получено для = 15,55 г/л: S 2 = 1,401 г/л; X 2 = 5,66 г/л; P 2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Аналогичный расчет выполнен для случая, когда первое стационарное состояние определено значением = 20,0 г/л.
Разработаны алгоритмы и приведены результаты расчета показателей стационарных состояний для обеспечения реальных условий множественности, учитывающие технологические ограничения и требования. Алгоритмы включают процедуры оценки необходимых условий возникновения множественности и оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности при заданной величине протока. Рассмотрены два алгоритма, ориентированные на два вида технологической постановки задачи. В первом алгоритме задана величина продуктивности по целевому компоненту Qp . Собственно задание продуктивности подчиняется условию Qp < max Qp , где max Qp - предварительно вычисленное значение продуктивности в оптимальных условиях. Таким образом, первый алгоритм включает в качестве составляющей части вычисление максимального значения продуктивности. Во втором алгоритме заданы показатели первого стационарного состояния, по которым определяются показатели второго стационарного состояния для одного и того же значения продуктивности. При этом необходимо вычислить координату оптимального состояния . Получены численные результаты реализации алгоритмов. По первому алгоритму для величины протока D = 0,15ч-1: max Qp = 4,061 г/(л · ч); Qp = 3,5 г/(л · ч); первое стационарное состояние: = 30,116 г/л; S 1 = 13,606 г/л; X 1 = 6,604 г/л; P 1 = 23,333 г/л; второе стационарное состояние: = 18,450 г/л; S 2 = 1,940 г/л; X 2 = 6,604 г/л; P 2 = 23,333 г/л. Отмечено, что стационарные состояния различаются только двумя показателями, а именно Sf и S . Аналогичный расчет выполнен для D = 0,26ч-1. По второму алгоритму вычисления выполнены для D = 0,15 ч-1: = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. Первое стационарное состояние получено для = 32,99 г/л: S 1 = 18,839 г/л; X 1 = 5,66 г/л; P 1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л ч). Второе стационарное состояние получено для = 15,55 г/л: S 2 = 1,401 г/л; X 2 = 5,66 г/л; P 2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Аналогичный расчет выполнен для случая, когда первое стационарное состояние определено значением = 20,0 г/л.
Ключевые слова:
биотехнологические процессы, микробиологический синтез, множественность, алгоритмы обеспечения множественности, стационарное состояние, величина протока, продуктивность
биотехнологические процессы, микробиологический синтез, множественность, алгоритмы обеспечения множественности, стационарное состояние, величина протока, продуктивность
Введение Практическая реализация процессов микробиологического синтеза с учетом множественности стационарных состояний базируется на решении уравнений математической модели. Рассмотрим процесс, математическая модель которого имеет вид [1-3]: , (1) , (2) . (3) Кинетическое соотношение: . (4) Решение системы (1)-(4): , (5) , (6) где , (7) . (8) В соотношениях (1)-(8) обозначено: μ - удельная скорость роста, ч-1; μm - максимальная удельная скорость роста, ч-1; Pm - константа насыщения продукта, г/л; Km - константа насыщения субстрата, г/л; Ki - константа ингибирования, г/л; P, S, X - концентрация продукта, субстрата и биомассы соответственно, г/л; Sf - концентрация субстрата в поступающем потоке, г/л; D = Q/V - скорость разбавления (величина протока), ч-1; Q - объемная скорость потока через аппарат, л/ч; V - объем заполнения реактора, л; Yx/s, г/г; α, г/г; β, ч-1 - константы. Реализация процесса синтеза связана с выполнением ряда ограничений, накладываемых на входные переменные Sf и D. Приведем некоторые результаты анализа, необходимые для формирования условий множественности. Отметим ограничения, невыполнение которых приводит к невозможности технологической реализации процесса. По соотношениям (5) и (6) значение S будет больше нуля для A > 0. Если же A < 0, условие S > 0 выполняется только если B < 0. В последнем случае требуется еще учесть и условие неотрицательности дискриминанта в (5) и (6), т. к. значение C всегда больше нуля. Знак A определяется величиной D. Условие A = 0 будет при D = D*, где . (9) Таким образом, A > 0, если D < D*, и A < 0, если D > D*. Далее, если в процессе ферментации значение S в аппарате равно Sf (т. е. концентрации субстрата на входе), очевидно, что процесс синтеза не протекает. Это условие определяется величиной D = Dпред, которое получаем из (4) при условии μ = D по (1). Так как процесс синтеза не протекает, то P в (4) равно нулю. Из (4) получаем: , (10) откуда следует, что значение D по технологии должно удовлетворять неравенству D < Dпред. Максимально возможное значение Dпред для любого значения Sf получаем по необходимому условию экстремума функции Dпред(Sf): . (11) Соотношение (11) означает, что для любого значения Sf значение D должно удовлетворять условию D < max(Dпред). Значение max(Dпред) получено для . Соотношение (10) дает возможность оценить предельное значение Sf (обозначим Sfпред) для любого значения D. Это значение вычисляется по формуле . (12) Следовательно, если для реализации процесса принято значение D, то значение Sf необходимо принять по условию . Если для реализации процесса задано значение Sf, величина D должна быть принята по условию D < Dпред < max(Dпред). Выполнение вышеприведенных ограничений дает возможность получить решения уравнений математической модели, отвечающие условиям практической реализации процесса синтеза. Условия множественности Понятие множественности стационарных состояний используется при анализе биотехнологических процессов [3-5], что дает возможность выбора альтернативного варианта организации процесса. С математической точки зрения при использовании математического моделирования появление множественности связано с получением двух или более решений уравнений математической модели, приводящих к выполнению одинаковых требований, предъявляемых к процессу. Возможность появления множественности решений заложена в нелинейности кинетических соотношений. С биологической точки зрения множественность можно объяснить изменением структуры метаболических цепей под влиянием внешних воздействий, таких как величина протока D и концентрация субстрата в поступающем потоке Sf. Различная комбинация численных значений D и Sf может давать одинаковые значения продуктивности по целевому компоненту Qp. Более точное содержание понятия множественности формулируется следующим образом: множественность существует, если при заданном значении D (с учетом всех ограничений) найдется неединственное значение Sf, обеспечивающее одно и то же значение продуктивности Qp = PD. И наоборот, множественность существует, если при заданном значении Sf найдется неединственное значение D, обеспечивающее одинаковое значение продуктивности Qp. Необходимое условие существования множественности теоретически обосновано для первого варианта (т. е. для Sf при заданном D) [3, 5] и сводится, по существу, к условию существования экстремума Qp в области значений Sf, отвечающих технологическим требованиям. Рассмотрим зависимость Qp от концентрации субстрата Sf, полученную решением уравнений (1)-(6) для D = 0,15 ч-1 (рис. 1). Рис. 1. Зависимость продуктивности от концентрации субстрата в поступающем потоке при D = 0,15 ч-1: b1 = 15,55 г/л; b2 = 32,99 г/л; b3 = 47,85 г/л; = 24,296 г/л; maxQp = 4,06 г/(л · ч) Расчет выполнен по данным таблицы [2-5]. Численные значения констант µm, ч-1 Pm, г/л Km, г/л Ki, г/л YX/S, г/г a, г/л β, ч-1 0,48 50 1,2 22 0,4 2,2 0,2 Максимальное значение Qp (maxQp) вычислялось с использованием зависимости (4): . (13) По необходимому условию экстремума ; . (14) Далее вычисляем maxQp с подстановкой Sopt в (13): . Значение вычисляем, используя уравнение материального баланса: , в которое подставляем значение S = Sopt, найденное по (14). Получаем: По соотношениям (13) запишем: . Значение Sf для оптимальных условий: . (15) На рис. 1 видно, что существуют два значения Sf, обеспечивающие одинаковое значение Qp < maxQp. Эти значения определяются условиями и . Так, для Qp = 3,0 г/(л · ч) значения и будут: г/л и г/л. Для вычисления координат двух стационарных значений ( и ) использовались соотношения, полученные по (13), (1)-(3) для заданного Qp: , (16) (17) где (18) и далее ; (19) . (20) По формулам (16)-(20) для каждого значения Qp (Qp < maxQp) получаем два значения S: S1 и S2 и, соответственно, два значения Sf: и , по которым вычисляются остальные показатели для двух стационарных состояний по (1)-(3). Для числового примера при Qp = 3,0 г/(л · ч) (рис. 1) было получено: S1 = 18,84 г/л; = 32,99 г/л; S2 = 1,40 г/л; = 15,55 г/л. Обратимся к условиям, выполнение которых дает возможность оценить существование множественности по Sf. Будем полагать, что по технологическим требованиям задано максимальное значение Sf: maxSf и, естественно, задано значение D с учетом ранее обозначенных ограничений. Если , множественность для любого не существует, т. е. стационарное состояние будет единственным. В случае единственное стационарное состояние будет оптимальным, т. е. Qp = maxQp. Таким образом, множественность существует при выполнении одного из неравенств: , (21) . (22) Область существования множественности по Sf зависит от численного соотношения между maxSf, и . Если выполняется неравенство (21), то множественность имеет место для всех значений Sf: и . Если выполняется неравенство (22), то множественность имеет место для всех значений Sf: и . (23) В соотношении (23) значение есть значение , при котором значение Qp то же самое, что и значение Qp для max Sf. Для вычисления , т. е. границы области существования множественности слева от , необходимо выполнить следующий расчет. Для значений max Sf и D вычисляется S по (5) или (6) в зависимости от соотношения между D и D*, где Sf в (7) равно maxSf. Вычисляется Qp по соотношению . (24) Так как нижняя граница множественности слева от есть , запишем условие для одного и того же значения Qp: . (25) Здесь S вычисляется по (5) и (6) с учетом соотношения между D и D*, где Sf в (7) равно . Чтобы различить значения S в (24) и (25) обозначим S в (24) как maxS, в (25) - minS. Используя (24) и (25), получаем: . (26) Левую часть (26) обозначим как M, величина которой известна, т. к. известно значение maxSf. Получаем: и, следовательно, по (26), . В результате вычисляется по следующим соотношениям: , (27) где ; ; . (28) Рассмотрим общий случай вычисления показателей стационарного состояния для условий множественности. Этот вариант предполагает, что задано одно (первое) стационарное состояние в области существования множественности: и D. При этом может быть больше или меньше. По заданному значению вычисляем S1, используя (5) или (6) в зависимости от соотношения D и D*, при этом в (7) необходимо подставить . Далее вычисляем значение M: . Значение (координата второго стационарного состояния) вычисляется в зависимости от следующих условий: если ; (29) если , (30) где значение a вычисляется по (28). Таким образом, мы получили возможность по данным одного стационарного состояния оценить показатели второго стационарного состояния в условиях множественности. Алгоритмы расчета показателей стационарных состояний в условиях множественности практически ориентированы на два вида технологической постановки задачи. По первому варианту показатели вычисляются для заданного значения Qp, при этом собственно значение Qp принимается (или задается) в процессе реализации алгоритма по условию Qp < maxQp, если , или Qp(maxS) £ Qp < maxQp, если . По второму варианту задается первое стационарное состояние (т. е. Sf и D) с учетом реальных условий организации процесса. Затем вычисляются показатели второго стационарного состояния, обеспечивающие значение Qp такое же, как и для первого стационарного состояния. Реализация обоих алгоритмов требует предварительных вычислений: вычисляется максимум Dпред, по которому задается значение D < maxDпред; вычисляются и для принятого D, которые вносятся в исходные данные. В исходные данные вносится также maxSf. Алгоритмы расчета показателей процесса в условиях множественности Для формирования задания на вычисление показателей процесса в условиях множественности необходимо выполнить предварительные расчеты показателей, обеспечивающих достаточность условий существования множественности для реального процесса. 1. Для выбора величины D вычисляется maxDпред по (11), т. е. . Значение D принимается по условию D < maxDпред. 2. Для принятого значения D вычисляются значения (по (12)) и (по (15)), для вычисления которых рассчитываются a1, a2, a3 (по (8)), т. е. ;;, затем: ; . Полученные значения определяют условия существования множественности. Рассмотрим два алгоритма оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности в соответствии с технологическим заданием. По первому алгоритму задается величина продуктивности Qp, для которой вычисляются показатели стационарных состояний. Задаваемое значение Qp принимается в процессе реализации алгоритма по условию Qp < maxQp, где maxQp вычисляется в процессе реализации алгоритма. В связи с этим в алгоритм включены процедуры вычисления показателей для оптимальных условий, в том числе вычисления maxQp. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 2. В блок-схеме (рис. 2) пунктиром выделена часть, относящаяся к вычислению показателей процесса для оптимальных условий. Полученный результат используется в алгоритме для задания Qp < maxQp. Однако если по технологическим требованиям выполняется условие , то необходимо вычислять нижнюю границу задания Qp. Эта часть вычисления также реализована в алгоритме. Результаты вычислений представлены тремя группами показателей: группа показателей для оптимальных условий и две группы показателей для стационарных состояний в условиях множественности при заданном значении Qp. Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма. Предварительные расчеты: maxDпред = 0,32717 ч-1; максимальное значение max Sf = 33,0 г/л. Численный расчет приведен для двух значений D: D = 0,15 ч-1 и D = 0,26 ч-1. Для D = 0,15 ч-1: = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. Для D = 0,26 ч-1: = 17,069 г/л; = 13,782 г/л. Результаты расчета для D = 0,15 ч-1: D* = 0,253 ч-1; D < D*. Оптимальные условия: = 24,296 г/л; Sopt = 5,138 г/л; Xopt = 7,663 г/л; Popt = 27,076 г/л; maxQp = 4,061 г/(л · ч). Имеем: ; вычисляем : = 3,0 г/(л · ч). Принимаем Qp из условия : Qp = 3,5 г/(л · ч). Стационарное состояние 1: = 30,116 г/л; S1 = 13,606 г/л; X1 = 6,604 г/л; P1 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 18,450 г/л; S2 = 1,940 г/л; X2 = 6,604 г/л; P2 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л · ч). Результаты расчета для D = 0,26 ч-1: D* = 0,253 ч-1; D > D*. Оптимальные условия: = 13,782 г/л; Sopt = 5,138 г/л; Xopt = 3,457 г/л; Popt = 10,266 г/л; maxQp = 2,669 г/(л · ч). Имеем: ; принимаем Qp по условию Qp < maxQp: Qp = 2,0 г/(л · ч). Стационарное состояние 1: =16,1 г/л; S1 = 9,624 г/л; X1 = 2,591 г/л; P1 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 9,220 г/л; S2 = 2,743 г/л; X2 = 2,591 г/л; P2 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л · ч). Отметим, что для варианта D = 0,15 ч-1 расход субстрата в обоих стационарных состояниях одинаков: = 2,4765 г/(л · ч); = 2,4765 г/(л · ч). Таким образом, хотя стационарные состояния различаются, затраты субстрата при одном и том же Qp одинаковы. Такая же ситуация имеет место и для D = 0,26 ч-1: =1,6838 г/(л · ч); =1,6840 г/(л · ч). Рис. 2. Блок-схема алгоритма первого варианта Рассмотрим второй вариант. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 3. По этому варианту необходимо задать первое стационарное состояние, исходные координаты которого и D. Условия задания D известны, и, следовательно, значение необходимо задавать в области существования множественности. Если имеет место неравенство , то значение может быть задано как или . В том случае, когда имеется неравенство , значение может быть задано как или . Значение вычисляется в процессе реализации алгоритма. Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма для D = 0,15 ч-1. Предварительные расчеты: maxDпред = 0,32717 ч-1; максимальное значение maxSf = 50,0 г/л; = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. В соответствии с алгоритмом . Принимаем первое стационарное состояние по условию , = 32,99 г/л. Вычисленное значение S1 = 18,8396 г/л. Значение M1 = 14,15. Тогда = 15,55 г/л; S2 = 1,401 г/л. Стационарное состояние 1 (заданное по условию): = 32,99 г/л; S1 = 18,8395 г/л; X1 = 5,66 г/л; P1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Рис. 3. Блок-схема алгоритма второго варианта Стационарное состояние 2: = 15,55 г/л; S2 = 1,401 г/л; X2 = 5,66 г/л; P2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Расчет для условия maxSf = 32,992 г/л, т. е. . Значение по алгоритму: = 15,55 г/л. Выбираем первое стационарное состояние по условию: . Принимаем = 20,0 г/л. Вычисляем: S1 = 2,404 г/л; M = 17,596; = 28,574 г/л; S2 = 10,978 г/л. Результат: Стационарное состояние 1 (заданное по условию): = 20,0 г/л; S1 = 2,404 г/л; X1 = 7,038 г/л; P1 = 24,869 г/л; Qp = 3,73 г/(л · ч). Стационарное состояние 2: = 28,574 г/л; S2 = 10,978 г/л; X2 = 7,038 г/л; P2 = 24,869г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Заключение Рассмотренные алгоритмы обеспечивают реальную возможность организации процесса микробиологического синтеза с выбором альтернативных вариантов: оптимального для максимальной продуктивности или одного из двух вариантов для одинакового значения продуктивности. В последнем случае, когда расход субстрата для обоих вариантов одинаков, исходные значения Sf и значения S на выходе из аппарата существенно различаются. Реализация алгоритмов практически не требует применения специальных численных методов.
1. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине протока / Ю. Л. Гордеева, М. Ю. Щербинин, Л. С. Гордеев // Энциклопедия инженера-химика. 2012. № 8. С. 23-27.
2. Гордеева Ю. Л. Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев, М. Б. Глебов. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2011. 100 с.
3. Kumar G. P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / G. P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya Sastry, M. Chidabaram // Can. J. Chem. Eng. 1993. Vol. 71. P. 766-770.
4. Koppel L. B. Input multiplicities in process control / L. B. Koppel // Chem. Eng. Educ. 1983. Vol. 17, no. 2, pp. 58-92.
5. Гордеева Ю. Л. Алгоритмы расчета показателей процесса микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Комиссаров, А. Г. Бородкин // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2. С. 128-137.
