ALGORITHMS FOR CALCULATING THE PROCESS OF MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS WITH NONLINEAR KINETICS OF GROWTH OF MICROORGANISMS
Abstract and keywords
Abstract (English):
Two algorithms have been developed and realized for calculating the anaerobic process parameters of microbiological synthesis in the reactor with continuous regime. The main feature of this approach is the correction of the input technological parameters of the synthesis process because of kinetic relations nonlinearity. Thus, the algorithms are realized in the dialog regime that helps determine the suitable input parameters values providing the possibility of the actual process realization. Two algorithms are developed. According to the first algorithm, the source parameter is the value of dilution rate D , and the concentration of the substrate in the incoming flow Sf is determined in the process of the dialog algorithm realization. The second algorithm deals with the input value of the substrate concentration Sf and the dilution rate D is determined in the process of the dialog algorithm realization. The results of numerical calculations of parameters of the process of using algorithms are presented in this report.

Keywords:
biotechnology, mathematical simulation
Text
Введение Рассматривается анаэробный процесс микробиологического синтеза в непрерывных условиях в аппарате с перемешиванием. Уравнения математической модели имеют вид [1-3]: , (1) , (2) , (3) , (4) где , ч-1; V - объём реактора, л; Q - объёмная скорость потока, л/ч; m - удельная скорость роста биомассы, ч-1; mm - максимальная удельная скорость роста, 1/ч; YX/S - стехиометрический коэффициент, г/г; X, S, P - концентрация биомассы, субстрата и продукта на выходе из реактора соответственно, г/л; Sf - концентрация субстрата в потоке, поступающем в реактор, г/л; Pm - константа насыщения продукта, г/л; Ki - константа ингибирования субстрата, г/л; Km - константа насыщения субстрата, г/л; a, b - константы. Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения: , (5) . (6) Решение системы (1)-(4) относительно S имеет вид (7) или . (8) Для расчета значений X, P и Qp при вычисленных значениях S по (7) или (8) получаем соотношения из (1)-(3): , (9) , (10) (11) Особенности технологий микробиологического синтеза связаны с необходимостью формирования области значений исходных показателей (в данном сообщении - областей значений Sf и D), которые обеспечивают возможность реального осуществления процесса. Это связано с тем, что при некоторых сочетаниях Sf и D процесс синтеза невозможен по ряду причин. В то же время собственно значения Sf и D задаются на основе технологических возможностей с учетом вида используемой культуры микроорганизмов, вида и количественных возможностей субстрата. Получить оценку ограничений по Sf и D экспериментально или затруднительно, или, что чаще всего, невозможно. Таким образом, возможности получения указанных оценок связаны с использованием математического моделирования, учитывающего значения кинетических констант. Задача, поставленная в настоящей работе, ориентирована на разработку и учет всех возможных ограничений в соответствии с уравнениями математической модели (1)-(4) и включении этих ограничений в общем виде в блок-схему алгоритма расчета. Отметим также, что математически ограничения имеют вид типа неравенств, что, вообще говоря, требует реализации диалогового режима, в котором участвует лицо, принимающее решение. Прямых рекомендаций по принятию решения на том или ином этапе расчета в диалоговом режиме дать невозможно. Однако нам удалось эту задачу свести к задаче оптимизации по критерию продуктивности по целевому продукту Qp. Алгоритм расчета включает последовательность вычисления показателей процесса X, S, P и Qp при заданных входных параметрах D и Sf. Алгоритм расчета должен быть ориентирован на условия реальной возможности осуществления процесса синтеза, которая связывается, с математической точки зрения, с существованием решения системы (1)-(4) с учетом необходимых ограничений по исходным значениям Sf и D. Вывод расчетных соотношений Введем понятие предельного значения D (Dпред) - значение величины протока, при котором поступающий субстрат полностью вымывается из ферментера, и, следовательно, процесс синтеза не осуществляется в силу недостаточности времени пребывания популяции в аппарате. Концентрация субстрата на выходе из аппарата равна концентрации на входе Sf, продукт не образуется, т. е. P = 0. Понятие Dпред в биотехнологии известно как «washout». Для разработки алгоритма Dпред нужно оценить количественно, т. к. его значение служит ограничением для задания D: (12) для любого значения Sf. С другой стороны, если принять значение D в качестве предельного, из соотношения (12) можно вычислить значение , обеспечивающее это значение D, по формуле . (13) Очевидно, что в расчет следует принять наибольшее значение , т. е. . (14) Условие (12) дает ограничение на величину D для реального процесса в виде . (15) Используя (12), вычислим максимально возможное значение Dпред и соответствующее ему значение Sf. Необходимое условие экстремума . (16) Решение (16) дает (17) При этом значение Sf будет: (18) Соотношения (13) и (15) означают, что при любом значении Sf значение D не должно превосходить , величина которого получается при значении Sf по (18). В результате по данной кинетической схеме для реального осуществления процесса синтеза величина протока D может быть выбрана только по условию (15). Обратимся к соотношениям (5)-(8). В соотношениях (7), (8) очевидным условием является выполнение неравенства (19) При этом равенство в (19) не представляет интереса, т. к. практически никогда не имеет места. Значения S по соотношениям (7) и (8) зависят от численных значений A, B и C, рассчитанным по (5) и (6). При этом значение C всегда больше нуля, т. е. Значения A и B могут быть положительными или отрицательными в зависимости от численных значений кинетических констант и исходных значений D и Sf. Возможны следующие варианты. Если A > 0, то решение (7) и (8) существует для любого значения B. Это означает, что процесс микробиологического синтеза реально осуществим. Если A < 0, а B > 0, то процесс синтеза реально неосуществим, т. к. по (7) и (8) значение S будет отрицательным. Последний возможный вариант, когда A < 0 и B < 0. Решение (7) и (8) в этом случае существует, если дискриминант B2+ 4AC ³ 0. Очевидно, необходимо рассмотреть это условие и оценить, каким образом его выполнение отразится на выборе численных значений D и Sf. Как показывает численный анализ, с учетом условия расчетное соотношение следует принять по (7) при A > 0 и по (8) при A < 0. Рассмотрим формирование знака A и B. Значение A определяется только численным значением D (при известных кинетических параметрах). Значение D = D*, при котором A = 0, вычисляется по соотношению или . (20) При условии ; . (21) Таким образом, для реализации условия A < 0 и B < 0 значение D должно быть принято по (21). Одновременно, еще раз отметим, что значение D должно быть подчинено и условию (15). Оценим условие отрицательности величины B. Величина B зависит от D и Sf. При этом значение D определено предыдущими соотношениями. Для условия отрицательности B в зависимости от Sf вычислим значение Sf, обеспечивающее условие B = 0 по (6): (22) при ; . (23) Таким образом, получено ограничение по Sf, обеспечивающее отрицательное значение B по (22). Условие отрицательности B в зависимости от величины D определяется следующим соотношением: , где , . (24) Последнее ограничение, которое необходимо рассмотреть и учесть, - это неотрицательность дискриминанта в (8) при A < 0. Полагая, что значение D определено, знак дискриминанта зависит в этом случае только от значения Sf. Запишем условие равенства нулю дискриминанта , (25) где . Из (25) получаем значение , при котором дискриминант равен нулю: . (26) Из (26) получаем два соотношения: (27) При этом: если, то , и если, то . Сопоставляя выражения (22), (23) и (27), отметим, что при выполнении (27) одновременно выполняется и (23). Таким образом, значение Sf во входном потоке следует принимать по условию (27), которое обеспечивает неотрицательность дискриминанта и отрицательность значения B. Отметим, что получены все необходимые расчетные соотношения для формирования алгоритма вычисления входных переменных D и Sf, обеспечивающих возможность реального осуществления процесса и, как следствие, расчет выходных показателей X, S, P и Qp. Описание алгоритмов и результаты расчетов Расчет показателей процесса осуществляется с использованием двух алгоритмов. По алгоритму 1 (рис. 1) в исходные данные вводится значение D, а исходное значение Sf определяется в процессе расчета. По алгоритму 2 (рис. 2) в исходные данные вводится значение Sf, а исходное значение D определяется в процессе расчета. В результате реализации каждого из алгоритмов получают значения D и Sf, обеспечивающие реальные условия осуществления процесса синтеза и соответствующие им показатели процесса синтеза X, S, P, Qp. Исходное значение D (по алгоритму 1) должно приниматься по условию , где вычисляется по (17). Поиск значения Sf осуществляется с использованием решения оптимальной задачи шаговым методом с начальным значением (по (14)) или с начальным значением (по (27)). Критерием оптимальности является величина продуктивности по целевому продукту Qp. В исходные данные вводится значение фактора шага поиска H, с использованием которого шаг поиска вычисляется по формуле , где или . Приведем результаты вычислений по алгоритму 1 с использованием данных таблицы [4, 5]. Численные значения параметров YX/S, г/г a, г/г b, ч-1 mm, ч-1 Рm, г/л Km, г/л Ki, г/л 0,4 2,2 0,2 0,48 50 1,2 22 Во всех вариантах расчета величина фактора шага принята равной 0,05. Вариант 1. max(Dпред) = 0,327 ч-1; принятое значение D = 0,3 ч-1 (по условию D < D*; г/л; г/л; г/л (по условию ); результат расчета: Sf = 8,056 г/л; S = 4,53 г/л; X = 1,4 г/л; P = 4,04 г/л; Qp = 1,21 г/(л ∙ ч). Вариант 2. max(Dпред) = 0,327 ч-1; принятое значение D = 0,2 ч-1 (по условию D < max(Dпред)); D* = 0,253 ч-1; D < D*; г/л; г/л; результат расчета: Sf = 19,45 г/л; S = 4,36 г/л; X = 6,03 г/л; P = 19,03 г/л; Qp = 3,86 г/(л ∙ ч). Отметим, что значение D вводится по технологическим условиям. Однако, при невыполнении условия D < max(Dпред), процесс синтеза нереализуем. Алгоритм 2 предусматривает: ввод величины Sf (по технологическим условиям); ввод n, рассчитанного по (24); ввод величины фактора шага H, которая используется для решения оптимальной задачи поиска D по критерию оптимальности продуктивности Qp. Блок-схема алгоритма 2 более сложная, т. к. содержит большее количество возможных вариантов и, как следствие, необходимость учета большего количества ограничений. В процессе реализации алгоритма вычисляется значение D, обеспечивающее возможность реальной организации процесса для заданного Sf, и вычисляются показатели процесса X, S, P, Qp. Приведем результаты вычислений по алгоритму 2 с использованием данных таблицы. Вариант 1. Sf = 40 г/л; n = 7,68; H = 0,05. г/л по (14); Dпред = 0,168 ч-1; D* = 0,253 ч-1; Dпред < D*; D0 = Dпред = 0,168 ч-1; ; результат расчета: D = 0,103 ч-1; S = 23,54 г/л; X = 6,58 г/л; P = 27,28 г/л; Qp = 2,8 г/(л ∙ ч). Рис. 1. Блок-схема алгоритма 1 Рис. 2. Блок-схема алгоритма 2 Вариант 2. Sf = 15 г/л; n = 2,88; H = 0,05. Dпред = 0,272 ч-1; D* = 0,253 ч-1; Dпред > D*; D0 = Dпред = 0,272 ч-1; результат расчета: D = 0,213 ч-1; S = 2,76 г/л; X = 4,90 г/л; P = 15,37 г/л; Qp = 3,27 г/(л ∙ ч). Заключение Разработанные алгоритмы дают возможность расчета показателей процесса микробиологического синтеза, ориентированного на определенный, широко распространенный тип кинетического соотношения. Последовательность расчета позволяет выявить необходимые требования к исходным показателям D и Sf, обеспечивающие условия реального осуществления процесса. Этот подход может служить методологической основой для расчета микробиологических процессов с кинетикой, отличной от рассмотренной, где продуктом является продукт метаболизма. Разработанные алгоритмы могут быть использованы для решения задач оптимизации, оценки множественности стационарных состояний и др. Программное обеспечение оформляется для государственной регистрации
References

1. Gordeeva Yu. L. Modelirovanie processov mikrobiologicheskogo sinteza s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov / Yu. L. Gordeeva, Yu. A. Ivashkin, L. S. Gordeev, M. B. Glebov. M.: RHTU im. D. I. Mendeleeva, 2011. 100 s.

2. Gordeeva Yu. L. Stacionarnye sostoyaniya biotehnologicheskih processov s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoy velichine protoka / Yu. L. Gordeeva, M. Yu. Scherbinin, L. S. Gordeev // Enciklopediya inzhenera-himika. 2012. № 8. S. 23-27.

3. Gordeeva Yu. L. Stacionarnye sostoyaniya biotehnologicheskih processov s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoy velichine koncentracii substrata v postupayuschem potoke / Yu. L. Gordeeva, M. Yu. Scherbinin, L. S. Gordeev, Yu. A. Komissarov // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2013. № 1. S. 21-28.

4. Agrawal P. An algorithm for operating a fed-batch fermenteor at optimum specific-growth rate / P. Agrawal, G. Koshy, M. Ramseier // Biotechn. and Bioeng. 1989. Vol. 33. P. 115-125.

5. Mclain R. B. Habituating control for nonsquare nonlinear processes / R. B. Mclain, M. J. Kurtz, M. F. Henson // Ind. Eng. Chem. Res. 1996. N 35. P. 4067-4077.