АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРОЦЕССА МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА С НЕЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИКОЙ РОСТА МИКРООРГАНИЗМОВ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Разработаны и реализованы алгоритмы расчета показателей анаэробного процесса микробиологического синтеза в аппарате непрерывного действия. Особенности алгоритмов заключаются в том, что задание исходных параметров процесса синтеза на основе технологических условий требует уточнения в силу нелинейности кинетических соотношений. Таким образом, алгоритмы реализуются в диалоговом режиме, с помощью которого определяются значения исходных параметров, обеспечивающие возможность реального осуществления процесса. Разработаны два алгоритма. По первому алгоритму исходным параметром является величина протока D , а концентрация субстрата в поступающем потоке Sf определяется в процессе реализации алгоритма. По второму алгоритму задано исходное значение Sf , а исходное значение величины протока D определяется в процессе реализации алгоритма. Приведены результаты численных расчетов показателей процесса с использованием разработанных алгоритмов.

Ключевые слова:
биотехнология, математическое моделирование
Текст
Введение Рассматривается анаэробный процесс микробиологического синтеза в непрерывных условиях в аппарате с перемешиванием. Уравнения математической модели имеют вид [1-3]: , (1) , (2) , (3) , (4) где , ч-1; V - объём реактора, л; Q - объёмная скорость потока, л/ч; m - удельная скорость роста биомассы, ч-1; mm - максимальная удельная скорость роста, 1/ч; YX/S - стехиометрический коэффициент, г/г; X, S, P - концентрация биомассы, субстрата и продукта на выходе из реактора соответственно, г/л; Sf - концентрация субстрата в потоке, поступающем в реактор, г/л; Pm - константа насыщения продукта, г/л; Ki - константа ингибирования субстрата, г/л; Km - константа насыщения субстрата, г/л; a, b - константы. Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения: , (5) . (6) Решение системы (1)-(4) относительно S имеет вид (7) или . (8) Для расчета значений X, P и Qp при вычисленных значениях S по (7) или (8) получаем соотношения из (1)-(3): , (9) , (10) (11) Особенности технологий микробиологического синтеза связаны с необходимостью формирования области значений исходных показателей (в данном сообщении - областей значений Sf и D), которые обеспечивают возможность реального осуществления процесса. Это связано с тем, что при некоторых сочетаниях Sf и D процесс синтеза невозможен по ряду причин. В то же время собственно значения Sf и D задаются на основе технологических возможностей с учетом вида используемой культуры микроорганизмов, вида и количественных возможностей субстрата. Получить оценку ограничений по Sf и D экспериментально или затруднительно, или, что чаще всего, невозможно. Таким образом, возможности получения указанных оценок связаны с использованием математического моделирования, учитывающего значения кинетических констант. Задача, поставленная в настоящей работе, ориентирована на разработку и учет всех возможных ограничений в соответствии с уравнениями математической модели (1)-(4) и включении этих ограничений в общем виде в блок-схему алгоритма расчета. Отметим также, что математически ограничения имеют вид типа неравенств, что, вообще говоря, требует реализации диалогового режима, в котором участвует лицо, принимающее решение. Прямых рекомендаций по принятию решения на том или ином этапе расчета в диалоговом режиме дать невозможно. Однако нам удалось эту задачу свести к задаче оптимизации по критерию продуктивности по целевому продукту Qp. Алгоритм расчета включает последовательность вычисления показателей процесса X, S, P и Qp при заданных входных параметрах D и Sf. Алгоритм расчета должен быть ориентирован на условия реальной возможности осуществления процесса синтеза, которая связывается, с математической точки зрения, с существованием решения системы (1)-(4) с учетом необходимых ограничений по исходным значениям Sf и D. Вывод расчетных соотношений Введем понятие предельного значения D (Dпред) - значение величины протока, при котором поступающий субстрат полностью вымывается из ферментера, и, следовательно, процесс синтеза не осуществляется в силу недостаточности времени пребывания популяции в аппарате. Концентрация субстрата на выходе из аппарата равна концентрации на входе Sf, продукт не образуется, т. е. P = 0. Понятие Dпред в биотехнологии известно как «washout». Для разработки алгоритма Dпред нужно оценить количественно, т. к. его значение служит ограничением для задания D: (12) для любого значения Sf. С другой стороны, если принять значение D в качестве предельного, из соотношения (12) можно вычислить значение , обеспечивающее это значение D, по формуле . (13) Очевидно, что в расчет следует принять наибольшее значение , т. е. . (14) Условие (12) дает ограничение на величину D для реального процесса в виде . (15) Используя (12), вычислим максимально возможное значение Dпред и соответствующее ему значение Sf. Необходимое условие экстремума . (16) Решение (16) дает (17) При этом значение Sf будет: (18) Соотношения (13) и (15) означают, что при любом значении Sf значение D не должно превосходить , величина которого получается при значении Sf по (18). В результате по данной кинетической схеме для реального осуществления процесса синтеза величина протока D может быть выбрана только по условию (15). Обратимся к соотношениям (5)-(8). В соотношениях (7), (8) очевидным условием является выполнение неравенства (19) При этом равенство в (19) не представляет интереса, т. к. практически никогда не имеет места. Значения S по соотношениям (7) и (8) зависят от численных значений A, B и C, рассчитанным по (5) и (6). При этом значение C всегда больше нуля, т. е. Значения A и B могут быть положительными или отрицательными в зависимости от численных значений кинетических констант и исходных значений D и Sf. Возможны следующие варианты. Если A > 0, то решение (7) и (8) существует для любого значения B. Это означает, что процесс микробиологического синтеза реально осуществим. Если A < 0, а B > 0, то процесс синтеза реально неосуществим, т. к. по (7) и (8) значение S будет отрицательным. Последний возможный вариант, когда A < 0 и B < 0. Решение (7) и (8) в этом случае существует, если дискриминант B2+ 4AC ³ 0. Очевидно, необходимо рассмотреть это условие и оценить, каким образом его выполнение отразится на выборе численных значений D и Sf. Как показывает численный анализ, с учетом условия расчетное соотношение следует принять по (7) при A > 0 и по (8) при A < 0. Рассмотрим формирование знака A и B. Значение A определяется только численным значением D (при известных кинетических параметрах). Значение D = D*, при котором A = 0, вычисляется по соотношению или . (20) При условии ; . (21) Таким образом, для реализации условия A < 0 и B < 0 значение D должно быть принято по (21). Одновременно, еще раз отметим, что значение D должно быть подчинено и условию (15). Оценим условие отрицательности величины B. Величина B зависит от D и Sf. При этом значение D определено предыдущими соотношениями. Для условия отрицательности B в зависимости от Sf вычислим значение Sf, обеспечивающее условие B = 0 по (6): (22) при ; . (23) Таким образом, получено ограничение по Sf, обеспечивающее отрицательное значение B по (22). Условие отрицательности B в зависимости от величины D определяется следующим соотношением: , где , . (24) Последнее ограничение, которое необходимо рассмотреть и учесть, - это неотрицательность дискриминанта в (8) при A < 0. Полагая, что значение D определено, знак дискриминанта зависит в этом случае только от значения Sf. Запишем условие равенства нулю дискриминанта , (25) где . Из (25) получаем значение , при котором дискриминант равен нулю: . (26) Из (26) получаем два соотношения: (27) При этом: если, то , и если, то . Сопоставляя выражения (22), (23) и (27), отметим, что при выполнении (27) одновременно выполняется и (23). Таким образом, значение Sf во входном потоке следует принимать по условию (27), которое обеспечивает неотрицательность дискриминанта и отрицательность значения B. Отметим, что получены все необходимые расчетные соотношения для формирования алгоритма вычисления входных переменных D и Sf, обеспечивающих возможность реального осуществления процесса и, как следствие, расчет выходных показателей X, S, P и Qp. Описание алгоритмов и результаты расчетов Расчет показателей процесса осуществляется с использованием двух алгоритмов. По алгоритму 1 (рис. 1) в исходные данные вводится значение D, а исходное значение Sf определяется в процессе расчета. По алгоритму 2 (рис. 2) в исходные данные вводится значение Sf, а исходное значение D определяется в процессе расчета. В результате реализации каждого из алгоритмов получают значения D и Sf, обеспечивающие реальные условия осуществления процесса синтеза и соответствующие им показатели процесса синтеза X, S, P, Qp. Исходное значение D (по алгоритму 1) должно приниматься по условию , где вычисляется по (17). Поиск значения Sf осуществляется с использованием решения оптимальной задачи шаговым методом с начальным значением (по (14)) или с начальным значением (по (27)). Критерием оптимальности является величина продуктивности по целевому продукту Qp. В исходные данные вводится значение фактора шага поиска H, с использованием которого шаг поиска вычисляется по формуле , где или . Приведем результаты вычислений по алгоритму 1 с использованием данных таблицы [4, 5]. Численные значения параметров YX/S, г/г a, г/г b, ч-1 mm, ч-1 Рm, г/л Km, г/л Ki, г/л 0,4 2,2 0,2 0,48 50 1,2 22 Во всех вариантах расчета величина фактора шага принята равной 0,05. Вариант 1. max(Dпред) = 0,327 ч-1; принятое значение D = 0,3 ч-1 (по условию D < D*; г/л; г/л; г/л (по условию ); результат расчета: Sf = 8,056 г/л; S = 4,53 г/л; X = 1,4 г/л; P = 4,04 г/л; Qp = 1,21 г/(л ∙ ч). Вариант 2. max(Dпред) = 0,327 ч-1; принятое значение D = 0,2 ч-1 (по условию D < max(Dпред)); D* = 0,253 ч-1; D < D*; г/л; г/л; результат расчета: Sf = 19,45 г/л; S = 4,36 г/л; X = 6,03 г/л; P = 19,03 г/л; Qp = 3,86 г/(л ∙ ч). Отметим, что значение D вводится по технологическим условиям. Однако, при невыполнении условия D < max(Dпред), процесс синтеза нереализуем. Алгоритм 2 предусматривает: ввод величины Sf (по технологическим условиям); ввод n, рассчитанного по (24); ввод величины фактора шага H, которая используется для решения оптимальной задачи поиска D по критерию оптимальности продуктивности Qp. Блок-схема алгоритма 2 более сложная, т. к. содержит большее количество возможных вариантов и, как следствие, необходимость учета большего количества ограничений. В процессе реализации алгоритма вычисляется значение D, обеспечивающее возможность реальной организации процесса для заданного Sf, и вычисляются показатели процесса X, S, P, Qp. Приведем результаты вычислений по алгоритму 2 с использованием данных таблицы. Вариант 1. Sf = 40 г/л; n = 7,68; H = 0,05. г/л по (14); Dпред = 0,168 ч-1; D* = 0,253 ч-1; Dпред < D*; D0 = Dпред = 0,168 ч-1; ; результат расчета: D = 0,103 ч-1; S = 23,54 г/л; X = 6,58 г/л; P = 27,28 г/л; Qp = 2,8 г/(л ∙ ч). Рис. 1. Блок-схема алгоритма 1 Рис. 2. Блок-схема алгоритма 2 Вариант 2. Sf = 15 г/л; n = 2,88; H = 0,05. Dпред = 0,272 ч-1; D* = 0,253 ч-1; Dпред > D*; D0 = Dпред = 0,272 ч-1; результат расчета: D = 0,213 ч-1; S = 2,76 г/л; X = 4,90 г/л; P = 15,37 г/л; Qp = 3,27 г/(л ∙ ч). Заключение Разработанные алгоритмы дают возможность расчета показателей процесса микробиологического синтеза, ориентированного на определенный, широко распространенный тип кинетического соотношения. Последовательность расчета позволяет выявить необходимые требования к исходным показателям D и Sf, обеспечивающие условия реального осуществления процесса. Этот подход может служить методологической основой для расчета микробиологических процессов с кинетикой, отличной от рассмотренной, где продуктом является продукт метаболизма. Разработанные алгоритмы могут быть использованы для решения задач оптимизации, оценки множественности стационарных состояний и др. Программное обеспечение оформляется для государственной регистрации
Список литературы

1. Гордеева Ю. Л. Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев, М. Б. Глебов. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2011. 100 с.

2. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине протока / Ю. Л. Гордеева, М. Ю. Щербинин, Л. С. Гордеев // Энциклопедия инженера-химика. 2012. № 8. С. 23-27.

3. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине концентрации субстрата в поступающем потоке / Ю. Л. Гордеева, М. Ю. Щербинин, Л. С. Гордеев, Ю. А. Комиссаров // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 1. С. 21-28.

4. Agrawal P. An algorithm for operating a fed-batch fermenteor at optimum specific-growth rate / P. Agrawal, G. Koshy, M. Ramseier // Biotechn. and Bioeng. 1989. Vol. 33. P. 115-125.

5. Mclain R. B. Habituating control for nonsquare nonlinear processes / R. B. Mclain, M. J. Kurtz, M. F. Henson // Ind. Eng. Chem. Res. 1996. N 35. P. 4067-4077.