RELATIONS FOR CHARACTERISTICS OF MULTI-CHANNEL SYSTEMS WITH POISSON ACCIDENTS
Rubrics: ENGINEERING AND NATURAL SCIENCES
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Head of the Department of Information Security)
Type:
Article
Pages:
from 29
to 36
Status:
Published
Received:
10.10.2017
Accepted:
13.10.2017
Published:
13.10.2017
Subject area:
UDK 007:681.518.2
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
Language:
Russian
Keywords:
queuing system, multichannel systems, simple incoming flow, precise ratios
Abstract (English):
The article describes a special class of multichannel systems with Poisson incoming flows. The assumption of poissonity of the incoming flow is typical for many models. For these systems there are found recurrent relations for Laplace-Styltjes transformations of joint distribution of the queue lengths, residual time of services and a busy period, which allow to express these characteristics through their marginal values: joint distribution of residual services and a busy period at the moment of the beginning of services and in the moments of calling-in, when the system has no queue, or rather, not all devices are busy. Thus, the problem of analysis of multi-channel systems with Poisson incoming flows is reduced to the problem of finding marginal characteristics of the specified system. All other system characteristics can be expressed through the described characteristics of the system. For every moment of the service beginning there is introduced a parameter: the vector of the numbers of servicing devices, components of which are arranged in the increasing order of residual duration of service on the respective devices - the vector of order release devices. The obtained system of integral relations, linking the system characteristics of all vectors of the order of release of the devices among themselves.
The article describes a special class of multichannel systems with Poisson incoming flows. The assumption of poissonity of the incoming flow is typical for many models. For these systems there are found recurrent relations for Laplace-Styltjes transformations of joint distribution of the queue lengths, residual time of services and a busy period, which allow to express these characteristics through their marginal values: joint distribution of residual services and a busy period at the moment of the beginning of services and in the moments of calling-in, when the system has no queue, or rather, not all devices are busy. Thus, the problem of analysis of multi-channel systems with Poisson incoming flows is reduced to the problem of finding marginal characteristics of the specified system. All other system characteristics can be expressed through the described characteristics of the system. For every moment of the service beginning there is introduced a parameter: the vector of the numbers of servicing devices, components of which are arranged in the increasing order of residual duration of service on the respective devices - the vector of order release devices. The obtained system of integral relations, linking the system characteristics of all vectors of the order of release of the devices among themselves.
Keywords:
queuing system, multichannel systems, simple incoming flow, precise ratios
queuing system, multichannel systems, simple incoming flow, precise ratios
Введение Анализ многоканальных систем массового обслуживания (СМО) является одной из важных проблем в теории массового обслуживания, поскольку в теоретическом плане исследование многих моделей массового обслуживания сводится к нахождению характеристик многоканальных систем, а с точки зрения практических приложений наличие более одного обслуживающего прибора является характерной чертой многих прикладных задач по теории массового обслуживания. В данной работе исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновскими входящими потоками. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Исследуется характеристика (совместное распределение длин очередей остаточных времен обслуживаний и периода занятости), через которую выражаются другие характеристики системы. Постановка задачи и основные результаты исследования Данная работа обобщает работу [1] на случай произвольного числа приборов. Приведем точные определения. Рассматривается система массового обслуживания M ǀ G ǀ r ǀ ∞ (r > 1) с дисциплиной FIFO обслуживания вызовов, т. е. в СМО, состоящую из r обслуживающих приборов, поступает пуассоновский поток вызовов; процессы поступлений и обслуживаний разных вызовов независимы в совокупности и независимы между собой; нет ограничений на процесс ожидания; длительности обслуживаний вызовов произвольны. Поступившие вызовы в случае занятости всех приборов становятся в очередь и в дальнейшем выбираются на обслуживание в порядке их поступления. Пусть - интенсивность поступлений вызовов; () () - функция распределения длительностей обслуживаний вызовов на i-м приборе; - вероятность того, что при поступлении в свободную систему вызов выбирает для обслуживания i-й прибор (). Предполагается, что при занятости части приборов вызов выбирает для обслуживания i-й прибор с вероятностью, пропорциональной . Обозначим через (; s > 0; ) вероятность того, что в стационарном режиме, в момент окончания обслуживания +0 на i-м приборе, в системе нет синих вызовов, с начала периода занятости (ПЗ) не было s-катастроф, а j-й прибор для () будет занят в течение времени, меньшем (по поводу использования определений см. [2, 3]). Здесь под ПЗ понимается промежуток времени, начинающийся с момента, когда в свободную систему (т. е. свободны все приборы) поступает вызов, и заканчивающийся первым моментом, когда все приборы свободны. Очевидно (см. [2, 3]), что , где определяется аналогично с заменой требования отсутствия z-синих вызовов на следующее: в системе имеется k вызовов. Функция (или, что то же самое, набор {, }) однозначно определяет состояние системы в произвольный момент времени в стационарном режиме. Отметим, что при k ≤ r в очереди нет вызовов, при k < r число компонентов у вектора меньше r (равно k). Введем обозначения ( ; ; ): ; если есть перестановка чисел (1, 2, … , r) и то и . Далее, полагаем ( ): где определяется аналогично только соответствующие события рассматриваются не в момент окончания обслуживания, а в момент поступления вызова. Основной результат работы следующий. Теорема 1. Для любой перестановки чисел (1, 2, … ,r) справедливо соотношение (; ; ): где при вычислении интеграла точка обходится снизу (в комплексной плоскости); есть r-мерный вектор, у которого все компоненты равны нулю, кроме j-й, которая равна единице. Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию (; ; ): есть вероятность того, что в момент окончания обслуживания на i-м приборе для всех k на k-м приборе () оставшаяся работа не превосходит ; в предыдущий момент начала обслуживания - 0 - был свободен j-й прибор (остальные были заняты); за время между описанными последовательными окончаниями обслуживания не было η-катастроф; при условии, что в предыдущий момент окончания обслуживания оставшаяся работа на m-м приборе () равна . Выпишем соотношения для вероятности , воспользовавшись методом введения дополнительных событий [2, 3]: - при (ниже v - время перехода) ; (1) - при Предположим, что () есть рациональные функции. Тогда на основе соотношений (; x>0) Из (1) получаем () (см. [1]): (2) (3) Упорядочим {} по возрастанию: и для положим , Выпишем уравнения для функций , для чего вначале выведем соотношения для функций . События, описываемые вероятностью , могут произойти в следующих двух случаях: 1. В предыдущий момент окончания обслуживания система находилась в состоянии, описываемом вероятностью и все приборы были заняты (вероятность этих событий равна ); далее произошел переход из этого состояния в состояние, описываемое вероятностью , и за время перехода не было s-катастроф и z-синих вызовов, т. е. не было ()-катастроф (вероятность ). Просуммировав по всем возможным значениям j и и сняв окраску обслуженного вызова (т. е. разделив на z), получаем следующее значение для требуемой вероятности в первом случае: (4) 2. В момент поступления последнего вызова в системе был свободен j-й прибор, а остальные приборы заняты, все вызовы красные, а поступивший вызов оказался красным (вероятность ); затем произошел переход в состояние, описываемое вероятностью (вероятность ). Сняв окраску обслуженного вызова, приходим к следующему выражению для искомой вероятности: (5) Из (4) и (5) получаем соотношение () (6) Найдем преобразование Лапласа - Стильтеса по обеих частей равенства (6). Из (2) имеем: , где - скалярное произведение векторов и Отсюда на основе определения функций получаем: , (7) где . Далее, подобным же образом из (3) получаем: Отсюда следует (): Тогда последние соотношения можно переписать в следующем виде: (8) Аналогично доказывается соотношение (9) Совершенно такие же соотношения справедливы и для с заменой на . Из определения функции и из (6)-(9) следует: (10) где . Так как при функции и () аналитичны в области {}, а функции () аналитичны в области {}, то при имеют место соотношения (11) (12) (13) (14) Из (10)-(14) следует: (15) В полосе все подынтегральные функции аналитичны. Поэтому, воспользовавшись определением функции , из (15) получаем (16) где в интеграле по точка обходится (в комплексной плоскости) снизу, и полагаем: . Из (16) после перемены порядка суммирования под интегралом получаем утверждение теоремы. Из теоремы 1, аналогично [1], выводится утверждение теоремы 2. Теорема 2. Для любого набора α справедливо соотношение (17) Частный случай соотношения (17) при r = 2 приведен в [1]. Заключение В работе для многоканальных систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком вызовов получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения, а именно через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы.
1. Popov G. A. Vzaimosvyaz' obschih i marginal'nyh harakteristik sostoyaniya dvuhkanal'noy sistemy s prosteyshim potokom postupleniya vyzovov / Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2017. № 3. S. 7-19.
2. Gnedenko B. V. i dr. Prioritetnye sistemy obsluzhivaniya. M.: Izd-vo MGU, 1973. 448 s.
3. Klimov G. P. Stohasticheskie sistemy obsluzhivaniya. M.: Nauka, 1966. 242 s.
