СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПУАССОНОВСКИМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновским входящим потоком. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Для указанных систем получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения: через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы. Через описанную характеристику системы выражаются все другие ее характеристики. Для каждого момента начала обслуживания вводится параметр: вектор номеров обслуживающих приборов, компоненты которого расположены в порядке возрастания длительностей остаточного обслуживания на соответствующих приборах - вектор порядка освобождения. Получена система интегральных соотношений, связывающая характеристики системы для всех векторов порядка освобождения приборов между собой. Ключевые слова: системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения.

Ключевые слова:
системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения
Текст
Введение Анализ многоканальных систем массового обслуживания (СМО) является одной из важных проблем в теории массового обслуживания, поскольку в теоретическом плане исследование многих моделей массового обслуживания сводится к нахождению характеристик многоканальных систем, а с точки зрения практических приложений наличие более одного обслуживающего прибора является характерной чертой многих прикладных задач по теории массового обслуживания. В данной работе исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновскими входящими потоками. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Исследуется характеристика (совместное распределение длин очередей остаточных времен обслуживаний и периода занятости), через которую выражаются другие характеристики системы. Постановка задачи и основные результаты исследования Данная работа обобщает работу [1] на случай произвольного числа приборов. Приведем точные определения. Рассматривается система массового обслуживания M ǀ G ǀ r ǀ ∞ (r > 1) с дисциплиной FIFO обслуживания вызовов, т. е. в СМО, состоящую из r обслуживающих приборов, поступает пуассоновский поток вызовов; процессы поступлений и обслуживаний разных вызовов независимы в совокупности и независимы между собой; нет ограничений на процесс ожидания; длительности обслуживаний вызовов произвольны. Поступившие вызовы в случае занятости всех приборов становятся в очередь и в дальнейшем выбираются на обслуживание в порядке их поступления. Пусть - интенсивность поступлений вызовов; () () - функция распределения длительностей обслуживаний вызовов на i-м приборе; - вероятность того, что при поступлении в свободную систему вызов выбирает для обслуживания i-й прибор (). Предполагается, что при занятости части приборов вызов выбирает для обслуживания i-й прибор с вероятностью, пропорциональной . Обозначим через (; s > 0; ) вероятность того, что в стационарном режиме, в момент окончания обслуживания +0 на i-м приборе, в системе нет синих вызовов, с начала периода занятости (ПЗ) не было s-катастроф, а j-й прибор для () будет занят в течение времени, меньшем (по поводу использования определений см. [2, 3]). Здесь под ПЗ понимается промежуток времени, начинающийся с момента, когда в свободную систему (т. е. свободны все приборы) поступает вызов, и заканчивающийся первым моментом, когда все приборы свободны. Очевидно (см. [2, 3]), что , где определяется аналогично с заменой требования отсутствия z-синих вызовов на следующее: в системе имеется k вызовов. Функция (или, что то же самое, набор {, }) однозначно определяет состояние системы в произвольный момент времени в стационарном режиме. Отметим, что при k ≤ r в очереди нет вызовов, при k < r число компонентов у вектора меньше r (равно k). Введем обозначения ( ; ; ): ; если есть перестановка чисел (1, 2, … , r) и то и . Далее, полагаем ( ): где определяется аналогично только соответствующие события рассматриваются не в момент окончания обслуживания, а в момент поступления вызова. Основной результат работы следующий. Теорема 1. Для любой перестановки чисел (1, 2, … ,r) справедливо соотношение (; ; ): где при вычислении интеграла точка обходится снизу (в комплексной плоскости); есть r-мерный вектор, у которого все компоненты равны нулю, кроме j-й, которая равна единице. Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию (; ; ): есть вероятность того, что в момент окончания обслуживания на i-м приборе для всех k на k-м приборе () оставшаяся работа не превосходит ; в предыдущий момент начала обслуживания - 0 - был свободен j-й прибор (остальные были заняты); за время между описанными последовательными окончаниями обслуживания не было η-катастроф; при условии, что в предыдущий момент окончания обслуживания оставшаяся работа на m-м приборе () равна . Выпишем соотношения для вероятности , воспользовавшись методом введения дополнительных событий [2, 3]: - при (ниже v - время перехода) ; (1) - при Предположим, что () есть рациональные функции. Тогда на основе соотношений (; x>0) Из (1) получаем () (см. [1]): (2) (3) Упорядочим {} по возрастанию: и для положим , Выпишем уравнения для функций , для чего вначале выведем соотношения для функций . События, описываемые вероятностью , могут произойти в следующих двух случаях: 1. В предыдущий момент окончания обслуживания система находилась в состоянии, описываемом вероятностью и все приборы были заняты (вероятность этих событий равна ); далее произошел переход из этого состояния в состояние, описываемое вероятностью , и за время перехода не было s-катастроф и z-синих вызовов, т. е. не было ()-катастроф (вероятность ). Просуммировав по всем возможным значениям j и и сняв окраску обслуженного вызова (т. е. разделив на z), получаем следующее значение для требуемой вероятности в первом случае: (4) 2. В момент поступления последнего вызова в системе был свободен j-й прибор, а остальные приборы заняты, все вызовы красные, а поступивший вызов оказался красным (вероятность ); затем произошел переход в состояние, описываемое вероятностью (вероятность ). Сняв окраску обслуженного вызова, приходим к следующему выражению для искомой вероятности: (5) Из (4) и (5) получаем соотношение () (6) Найдем преобразование Лапласа - Стильтеса по обеих частей равенства (6). Из (2) имеем: , где - скалярное произведение векторов и Отсюда на основе определения функций получаем: , (7) где . Далее, подобным же образом из (3) получаем: Отсюда следует (): Тогда последние соотношения можно переписать в следующем виде: (8) Аналогично доказывается соотношение (9) Совершенно такие же соотношения справедливы и для с заменой на . Из определения функции и из (6)-(9) следует: (10) где . Так как при функции и () аналитичны в области {}, а функции () аналитичны в области {}, то при имеют место соотношения (11) (12) (13) (14) Из (10)-(14) следует: (15) В полосе все подынтегральные функции аналитичны. Поэтому, воспользовавшись определением функции , из (15) получаем (16) где в интеграле по точка обходится (в комплексной плоскости) снизу, и полагаем: . Из (16) после перемены порядка суммирования под интегралом получаем утверждение теоремы. Из теоремы 1, аналогично [1], выводится утверждение теоремы 2. Теорема 2. Для любого набора α справедливо соотношение (17) Частный случай соотношения (17) при r = 2 приведен в [1]. Заключение В работе для многоканальных систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком вызовов получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения, а именно через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы.
Список литературы

1. Попов Г. А. Взаимосвязь общих и маргинальных характеристик состояния двухканальной системы с простейшим потоком поступления вызовов / Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 3. С. 7-19.

2. Гнеденко Б. В. и др. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973. 448 с.

3. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 242 с.