СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПУАССОНОВСКИМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ
Рубрики: ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Авторы:
1.
Астраханский государственный технический университет
(зав. кафедрой информационной безопасности)
Тип:
Статья
Страницы:
с 29
по 36
Статус:
Опубликован
Получено:
10.10.2017
Одобрено:
13.10.2017
Опубликовано:
13.10.2017
Классификаторы:
УДК 007:681.518.2
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 26.03 Общественно-политическая мысль
ГРНТИ 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
ГРНТИ 44.01 Общие вопросы энергетики
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 62.01 Общие вопросы биотехнологии
ГРНТИ 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
ГРНТИ 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 26.03 Общественно-политическая мысль
ГРНТИ 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
ГРНТИ 44.01 Общие вопросы энергетики
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 62.01 Общие вопросы биотехнологии
ГРНТИ 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
ГРНТИ 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения
Аннотация (русский):
Исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновским входящим потоком. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Для указанных систем получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения: через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы. Через описанную характеристику системы выражаются все другие ее характеристики. Для каждого момента начала обслуживания вводится параметр: вектор номеров обслуживающих приборов, компоненты которого расположены в порядке возрастания длительностей остаточного обслуживания на соответствующих приборах - вектор порядка освобождения. Получена система интегральных соотношений, связывающая характеристики системы для всех векторов порядка освобождения приборов между собой. Ключевые слова: системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения.
Исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновским входящим потоком. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Для указанных систем получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения: через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы. Через описанную характеристику системы выражаются все другие ее характеристики. Для каждого момента начала обслуживания вводится параметр: вектор номеров обслуживающих приборов, компоненты которого расположены в порядке возрастания длительностей остаточного обслуживания на соответствующих приборах - вектор порядка освобождения. Получена система интегральных соотношений, связывающая характеристики системы для всех векторов порядка освобождения приборов между собой. Ключевые слова: системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения.
Ключевые слова:
системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения
системы массового обслуживания, многоканальные системы, простейший входящий поток, точные соотношения
Введение Анализ многоканальных систем массового обслуживания (СМО) является одной из важных проблем в теории массового обслуживания, поскольку в теоретическом плане исследование многих моделей массового обслуживания сводится к нахождению характеристик многоканальных систем, а с точки зрения практических приложений наличие более одного обслуживающего прибора является характерной чертой многих прикладных задач по теории массового обслуживания. В данной работе исследуется один из частных классов многоканальных систем - системы с пуассоновскими входящими потоками. Предположение пуассоновости входящего потока является типичным для многих моделей. Исследуется характеристика (совместное распределение длин очередей остаточных времен обслуживаний и периода занятости), через которую выражаются другие характеристики системы. Постановка задачи и основные результаты исследования Данная работа обобщает работу [1] на случай произвольного числа приборов. Приведем точные определения. Рассматривается система массового обслуживания M ǀ G ǀ r ǀ ∞ (r > 1) с дисциплиной FIFO обслуживания вызовов, т. е. в СМО, состоящую из r обслуживающих приборов, поступает пуассоновский поток вызовов; процессы поступлений и обслуживаний разных вызовов независимы в совокупности и независимы между собой; нет ограничений на процесс ожидания; длительности обслуживаний вызовов произвольны. Поступившие вызовы в случае занятости всех приборов становятся в очередь и в дальнейшем выбираются на обслуживание в порядке их поступления. Пусть - интенсивность поступлений вызовов; () () - функция распределения длительностей обслуживаний вызовов на i-м приборе; - вероятность того, что при поступлении в свободную систему вызов выбирает для обслуживания i-й прибор (). Предполагается, что при занятости части приборов вызов выбирает для обслуживания i-й прибор с вероятностью, пропорциональной . Обозначим через (; s > 0; ) вероятность того, что в стационарном режиме, в момент окончания обслуживания +0 на i-м приборе, в системе нет синих вызовов, с начала периода занятости (ПЗ) не было s-катастроф, а j-й прибор для () будет занят в течение времени, меньшем (по поводу использования определений см. [2, 3]). Здесь под ПЗ понимается промежуток времени, начинающийся с момента, когда в свободную систему (т. е. свободны все приборы) поступает вызов, и заканчивающийся первым моментом, когда все приборы свободны. Очевидно (см. [2, 3]), что , где определяется аналогично с заменой требования отсутствия z-синих вызовов на следующее: в системе имеется k вызовов. Функция (или, что то же самое, набор {, }) однозначно определяет состояние системы в произвольный момент времени в стационарном режиме. Отметим, что при k ≤ r в очереди нет вызовов, при k < r число компонентов у вектора меньше r (равно k). Введем обозначения ( ; ; ): ; если есть перестановка чисел (1, 2, … , r) и то и . Далее, полагаем ( ): где определяется аналогично только соответствующие события рассматриваются не в момент окончания обслуживания, а в момент поступления вызова. Основной результат работы следующий. Теорема 1. Для любой перестановки чисел (1, 2, … ,r) справедливо соотношение (; ; ): где при вычислении интеграла точка обходится снизу (в комплексной плоскости); есть r-мерный вектор, у которого все компоненты равны нулю, кроме j-й, которая равна единице. Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию (; ; ): есть вероятность того, что в момент окончания обслуживания на i-м приборе для всех k на k-м приборе () оставшаяся работа не превосходит ; в предыдущий момент начала обслуживания - 0 - был свободен j-й прибор (остальные были заняты); за время между описанными последовательными окончаниями обслуживания не было η-катастроф; при условии, что в предыдущий момент окончания обслуживания оставшаяся работа на m-м приборе () равна . Выпишем соотношения для вероятности , воспользовавшись методом введения дополнительных событий [2, 3]: - при (ниже v - время перехода) ; (1) - при Предположим, что () есть рациональные функции. Тогда на основе соотношений (; x>0) Из (1) получаем () (см. [1]): (2) (3) Упорядочим {} по возрастанию: и для положим , Выпишем уравнения для функций , для чего вначале выведем соотношения для функций . События, описываемые вероятностью , могут произойти в следующих двух случаях: 1. В предыдущий момент окончания обслуживания система находилась в состоянии, описываемом вероятностью и все приборы были заняты (вероятность этих событий равна ); далее произошел переход из этого состояния в состояние, описываемое вероятностью , и за время перехода не было s-катастроф и z-синих вызовов, т. е. не было ()-катастроф (вероятность ). Просуммировав по всем возможным значениям j и и сняв окраску обслуженного вызова (т. е. разделив на z), получаем следующее значение для требуемой вероятности в первом случае: (4) 2. В момент поступления последнего вызова в системе был свободен j-й прибор, а остальные приборы заняты, все вызовы красные, а поступивший вызов оказался красным (вероятность ); затем произошел переход в состояние, описываемое вероятностью (вероятность ). Сняв окраску обслуженного вызова, приходим к следующему выражению для искомой вероятности: (5) Из (4) и (5) получаем соотношение () (6) Найдем преобразование Лапласа - Стильтеса по обеих частей равенства (6). Из (2) имеем: , где - скалярное произведение векторов и Отсюда на основе определения функций получаем: , (7) где . Далее, подобным же образом из (3) получаем: Отсюда следует (): Тогда последние соотношения можно переписать в следующем виде: (8) Аналогично доказывается соотношение (9) Совершенно такие же соотношения справедливы и для с заменой на . Из определения функции и из (6)-(9) следует: (10) где . Так как при функции и () аналитичны в области {}, а функции () аналитичны в области {}, то при имеют место соотношения (11) (12) (13) (14) Из (10)-(14) следует: (15) В полосе все подынтегральные функции аналитичны. Поэтому, воспользовавшись определением функции , из (15) получаем (16) где в интеграле по точка обходится (в комплексной плоскости) снизу, и полагаем: . Из (16) после перемены порядка суммирования под интегралом получаем утверждение теоремы. Из теоремы 1, аналогично [1], выводится утверждение теоремы 2. Теорема 2. Для любого набора α справедливо соотношение (17) Частный случай соотношения (17) при r = 2 приведен в [1]. Заключение В работе для многоканальных систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком вызовов получены рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа - Стильтеса совместного распределения длин очередей, остаточных времен обслуживаний и периода занятости, которые позволяют выразить эти характеристики через их маргинальные значения, а именно через совместное распределение остаточных обслуживаний и периода занятости в моменты начал обслуживаний и в моменты поступлений вызовов, когда в системе нет очереди, точнее, не все приборы заняты. Таким образом, проблема анализа многоканальных систем с пуассоновскими входящими потоками сводится к проблеме нахождения маргинальных характеристик указанной системы.
1. Попов Г. А. Взаимосвязь общих и маргинальных характеристик состояния двухканальной системы с простейшим потоком поступления вызовов / Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 3. С. 7-19.
2. Гнеденко Б. В. и др. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973. 448 с.
3. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 242 с.
