FOURIER SPECTRAL ANALYSIS OF PROBABILISTIC AND STATISTICAL ACCELEROGRAMS
Rubrics: TECHNICAL SCIENCES
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
2.
Astrakhan State Technical University
3.
Astrakhan State Technical University
Type:
Article
Pages:
from 22
to 31
Status:
Published
Received:
10.10.2012
Accepted:
15.10.2012
Published:
15.10.2012
Subject area:
UDK 699.841.001.57:621.87
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
BBK 38.798:38.6-445.2в631.8
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
BBK 38.798:38.6-445.2в631.8
Language:
Russian
Keywords:
designing, cranes, crane rails, probabilistic and statistical accelerograms, mathematical model, frequency analysis, Fourier’s transformation
Abstract (English):
The designing of mathematical models of seismic effects for the designing of buildings and structures with crane loads, overhead crane rail tracks and cranes is considered. The proposed model of the seismic action in the form of medium-and probabilistic and statistical accelerograms is the development of the methods for modeling of seismic influence of the offered Building code II-7-81, Design standards 031-01, Safety guide 006-98. The frequency analysis of the probabilistic and statistical accelerograms for 7.8 and 9 points constructed on the basis of the proposed model is made; the amplitude-frequency and amplitude-phase-frequency characteristics are given.
The designing of mathematical models of seismic effects for the designing of buildings and structures with crane loads, overhead crane rail tracks and cranes is considered. The proposed model of the seismic action in the form of medium-and probabilistic and statistical accelerograms is the development of the methods for modeling of seismic influence of the offered Building code II-7-81, Design standards 031-01, Safety guide 006-98. The frequency analysis of the probabilistic and statistical accelerograms for 7.8 and 9 points constructed on the basis of the proposed model is made; the amplitude-frequency and amplitude-phase-frequency characteristics are given.
Keywords:
designing, cranes, crane rails, probabilistic and statistical accelerograms, mathematical model, frequency analysis, Fourier’s transformation
designing, cranes, crane rails, probabilistic and statistical accelerograms, mathematical model, frequency analysis, Fourier’s transformation
При проектировании сейсмические колебания грунта площадки строительства зданий и сооружений с крановыми нагрузками, надземными крановыми рельсовыми путями (КРП) и грузоподъемными кранами (рис. 1) должны быть оценены максимальными (с 50 %-й вероятностью непревышения) значениями ускорений свободной поверхности грунта и сейсмическими спектрами ответа (ССО) грунта (с 84 %-й вероятностью непревышения) для различных логарифмических декрементов колебаний 1,26 (20 %), 0,63 (10 %), 0,44 (7 %), 0,31 (5 %), 0,25 (2 %), 0,125 (2 %), 0,03 (0,5 %), а также соответствующими им реальными либо синтезированными акселерограммами в цифровом и графическом виде. Рис. 1. Расчетно-динамическая конечно-элементная модель типовой открытой крановой эстакады: 1 – колонна; 2 – связи обеспечения горизонтальной жесткости колонн; 3 – фундамент; 4 – подрельсовые балки кранового пути; 5 – мостовой кран Стандартные сейсмические воздействия (СВ) СНиП II-7-81* [1], НП-031-01 [2], РБ-006-98 [3] рекомендуется использовать для проведения предварительных расчетов сейсмостойкости зданий и сооружений с крановыми нагрузками на стадии обоснования инвестиций, а также в условиях неполной геолого-геофизической, геодинамической и сейсмологической информации. Стандартные сейсмические воздействия включают: а) сейсмичность площадки (в баллах); б) максимальные ускорения грунта; в) спектр сейсмических коэффициентов динамичности (CKД) либо CCO при различных логарифмических декрементах колебаний; г) реальные [4] либо синтезированные акселерограммы грунта, аналогичные СА-482 [5]. Сейсмичность площадки строительства J в баллах сейсмической шкалы MSK-64 [2, 6, 7] определяется по картам общего сейсмического районирования OCР-97 СНиП II-7-81* [1]: , (1) с учетом сейсмичности района Jр и приращения сейсмичности ΔJ, задаваемой в зависимости от категории (I, II, III) грунтов по сейсмическим свойствам согласно СНиП II-7-81* [1] и НП-031-01 [2]. Если известны региональные значения магнитуды М и расстояние до очага землетрясения r на базовом (эталонном) грунте, интенсивность J в (1) оценивается по формуле РБ-006-98 [3]: , где γ, с – коэффициенты, характеризующие затухание балльности в зависимости от направления сейсмического излучения. Для направления поперек структур γ = –(3,5÷4,2), с = 3,5÷4,4 (в зависимости от региональных особенностей); для направления вдоль структур γ = –(3,0÷3,4); с = 2,5÷3,3. Для средних условий рекомендуется принимать γ = –3,5, с = 3,0. Для магнитуды М = 4,75÷7,5 и r ≤ 150 км можно использовать формулу . В качестве максимального ускорения грунта для заданной сейсмичности площадки принимается ускорение, соответствующее вероятности непревышения равной 50 %. Значения максимального ускорения грунта в зависимости от сейсмичности площадки строительства приведены в таблице. Максимальное ускорение грунта в зависимости от сейсмичности площадки строительства [2] Сейсмичность площадки строительства Jпл, балл 6 7 8 9 10 Максимальное ускорение грунта а0, м/с2 0,5 1,0 2,0 4,0 8,0 Нормы РБ-006-98 [3] максимальные ускорения грунта в обоих горизонтальных направлениях рекомендуют принимать одинаковыми: . Максимальное ускорение грунта в вертикальном направлении . При синтезировании трехкомпонентных вероятностно-статистических акселерограмм (ВСА), согласно РБ-06-98 [3], необходимо обеспечивать их статистическую независимость. При использовании аналоговых акселерограмм не допускается использование одной акселерограммы для характеристики трехкомпонентного движения. Сдвиг времени начала в одной временной реализации не должен рассматриваться в качестве способа получения других акселерограмм. Статистическая независимость двух акселерограмм a1(t) и a2(t) подтверждается вычислением коэффициента корреляции: , (2) где Е – математическое ожидание; m1, m2 – средние значения a1(t) и a2(t); – стандартные отклонения. Две акселерограммы считаются статистически независимыми, если абсолютное значение коэффициента корреляции ρ12 из (2) не превышает 0,3. Генерация расчетных синтезированных сейсмических воздействий, согласно РБ-06-98 [3], осуществляется методом, использующим стандартные СКД СНиП II-7-81* [1]. В этом случае единичная акселерограмма с точно заданным спектром реакции генерируется с учетом спектра реакции SA(T, ξ = 0,05), который по форме соответствует кривой динамического коэффициента в действующем СНиП II-7-81* [1]. Математическая модель акселерограммы записывается в виде , (3) где A(t) – огибающая, а фазовые углы φ1 представляют собой равномерно распределенные в интервале от 0 до 2π случайные величины. Шаг по частоте Δω определяется из условия гладкости спектра реакции как . Расчеты проводятся в интервале периодов Т от 0,05 до 3 с. В качестве первого приближения для Вi1 используются значения, непосредственно взятые с заданной кривой β(Т) СНиП II-7-81* [1] для соответствующих значений частот ωi. Принято считать [8, 9, 10], что синтезированная акселерограмма (3) является консервативной, аналогичный консерватизм заложен и в акселлерограмме СА-482 [5], уход от которого видится нам в разработке ВСА, получаемой на основе обработки ансамбля исходных, целесообразнее, реальных акселерограмм землетрясений 7, 8 и 9 баллов по шкале MSK-64 [4]. Способом построения математической модели (ММ) СВ для проектирования зданий и сооружений с крановыми нагрузками в сейсмостойком исполнении методом динамического анализа (МДА) является разработка среднестатистических и вероятностно-статистических акселерограмм (ССА и ВСА) на основе ансамбля исходных реальных и (или) синтезированных акселерограмм землетрясений одинаковой балльности [4], соответствующих как одной и той же высотной отметке (грунт или уровень установки кранов и КРП в зданиях), так и приведенных к стандартным уровням. Для построения ССА и ВСА нами приняты следующие допущения [9, 10]: 1) на времени действия τэ, эффективной фазы землетрясения, 4 с ≤ τэ ≤ 10 c, СВ является случайным стационарным процессом с нулевым матожиданием, дисперсией , корреляционной функцией (КФ) – К(τ) и функцией спектральной плотности (ФСП) – Ga(ω); 2) сейсмическое воздействие, заданное акселерограммой a(t), имеет нормальный закон распределения; 3) СВ, в отличие от СНиП II-7-81* [1], задаются для 3-х направлений пространства: 2-х горизонтальных – X, Y и вертикального Z, причем вероятность проектного землетрясения равна , а максимального расчетного землетрясения – , где – нормативный срок службы крана либо КРП согласно РД 10-112-01-04 [11]. Сейсмическое воздействие, как случайную функцию , представим ансамблем выборочных функций , каждая из которых не описывает всех свойств СВ. Проведя статистическую обработку ансамбля исходных акселерограмм, получим воздействие, учитывающее все свойства ансамбля. Для этого каждая акселерограмма исходного ансамбля переоцифровывается с одним и тем же шагом Δt (0,01 с ≤ Δt ≤ 0,03 c) и для каждой из них устанавливается длительность, соответствующая длительности τэ эффективной фазы ансамбля. В результате получается ансамбль переоцифрованных с одинаковым по времени шагом акселерограмм равной длительности, рассматриваемых как реализация случайного процесса . Для каждого момента времени tk (с шагом оцифровки) проводится осреднение мгновенных значений процесса землетрясения – определяются и – математическое ожидание и среднеквадратическое значение (дисперсия) соответственно: ; (4) , (5) где S – число реализаций сейсмических процессов. Выборка объемом S в (4) и (5) имеет нормальный закон распределения. С изменением объема выборки будут меняться её матожидание (4) и дисперсия (5). В этом случае для момента времени tк значение процесса является случайной величиной со всеми параметрами дисперсии , и матожидания выборочного среднего, которое, с вероятностью , будет находиться в интервале , (6) где верхняя граница (6) является ССА: . (7) В выражениях (6) и (7) , – табулированные функции нормального распределения (нормированного и Лапласа соответственно); – квантиль нормального распределения, соответствующий принятой проектировщиком доверительной вероятности Р [12]. При малом числе реализаций процесса вместо квантиля в выражениях (6) и (7) следует принимать квантиль tp распределения Стьюдента [9]. Заметим, что выбор доверительной вероятности Р в (6) не является математической задачей, а определяется конкретно решаемой проблемой. Величина (8) называется уровнем значимости или риском пользователя (риском 1 рода) и равна вероятности отвергнуть верную гипотезу. Эта вероятность в (8) определяет критическую область, в которую попадает α процентов неучтённых возможных средних значений выборки [9]. Анализ реальных акселерограмм [4] показывает, что у ССА, построенных для различных ансамблей, пиковые ускорения в момент времени tк могут существенно отличаться, поэтому для повышения точности представления СВ и повышения качества сейсмических расчетов применяют ВСА. Учитывая, что среднеквадратичное значение в (6) тоже является случайной величиной, имеющей доверительный интервал , (9) где qp – квантиль распределения [9], для построения ВСА целесообразно принимать верхнюю границу Р-процентного интервала среднеквадратичного значения из (9). После чего ВСА представляется в виде , (10) которая учитывает Р процентов свойств всей исходной информации ансамбля и может быть использована как модель СВ на грунте при расчете сооружений с крановыми нагрузками, КРП и кранов на сейсмостойкость линейно-спектральным методом и методом динамического анализа (ЛСМ и МДА). Очевидно, что ВСА (10) интенсивностью 7, 8 и 9 баллов по шкале MSK-64 рекомендуется использовать для практических расчётов зданий и сооружений с крановыми нагрузками на СВ по МДА (рис. 2, 3), причем выбор значений доверительной вероятности Р в (10) производится в зависимости от вероятности (8). а б в Рис. 2. Синтезированные 3-компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: а – горизонтальные (X и Y) компоненты 7 баллов шкалы MSK-64; б – то же, 8 баллов: в – то же, 9 баллов (оцифровки акселерограмм на грунте) а б Рис. 3. Синтезированные 3-компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: а – вертикальная (Z) компонента 7 баллов шкалы MSK-64; б – то же, 8 баллов в Продолжение рис. 3. Синтезированные 3 компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: в – то же, 9 баллов (оцифровки акселерограмм на грунте) В целях практических расчетов КРП и кранов на СВ получение значений оцифровки акселерограммы с любым шагом в пределах длины полупериодов осуществляется с использованием формулы , (11) где L – длительность импульса; t – время начала импульса; τ – время в пределах импульса, ; аm – амплитуда импульса (рис. 2, 3). Здесь следует учесть, что 3-компонентные ВСА (10) для пользователя в настоящей работе обеспечены оцифровками, как процесс на временной оси с шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,08 c). Очевидно, пользователю 3-компонентными ВСА (10) следует помнить, что их качество при полноте информации большей чем [4] может быть улучшено. Кроме того, в любом случае их качество должно оцениваться через призму сведений вышеприведенной таблицы, из которой видно, что максимальные ускорения пиков акселерограмм 7, 8 и 9 баллов отличаются друг от друга в 2 раза и составляют соответственно 1, 2 и 4 м/с2. Кроме того, более качественную оценку полученных в настоящей работе ВСА 7, 8 и 9 баллов (10) осуществляют по параметрам их спектрального анализа как непериодических функций (рис. 2, 3), в виде интегрального преобразования Фурье [12] ФСП сейсмического процесса: , (12) которая, после разложения непериодических функций (12), описывающих СВ, преобразуется к виду , (13) в котором – АЧХ сейсмического процесса; – его фазочастотная характеристика (ФЧХ). Как известно [12], АЧХ и ФЧХ в (13) ; (14) , определяются четной и нечетной составляющими ФСП процесса (12): ; , а его комплексный спектр в виде амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) имеет вид . (15) На рис. 4 приведены АЧХ компонент X, Y ВСА 7, 8 и 9 баллов по (14), из которых следует, что результирующий спектр – непрерывный и его форма соответствует огибающей разложения в ряд Фурье, а интенсивные пики непрерывного спектра обусловлены группой компонент с близкими частотами, наиболее опасными для резонансных областей зданий и сооружений на частотах от 1 до 8 Гц, а для АЧХ 9 баллов, дополнительно, – на частотах 8–10 и 16–18 Гц. а б в Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика компонент X, Y ВСА согласно (14): а – 7 баллов; б – 8 баллов; в – 9 баллов Кроме того, по результатам анализа Фурье, на рис. 5 представлены АФЧХ компонент X, Y ВСА 7, 8 и 9 баллов согласно (15). а б в Рис. 5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика компонент X, Y ВСА согласно (15): а – 7 баллов; б – 8 баллов; в – 9 баллов Из них следуют, прежде всего, как скорость затухания сейсмических колебаний грунта, так и превалирующие направления перемещений грунта при сейсмических движениях земли. В заключение следует указать, что ВСА, при наличии расчетно-динамической модели системы (см. рис. 1), служит основой для построения поэтажной ВСА на уровне установки рельсовых путей крана, с целью детального расчета на сейсмостойкость как здания либо сооружения с крановыми нагрузками, так и самого крана.
1. SNiP II-7-81*. Stroitel'stvo v seysmicheskih rayonah. - M.: Gosstroy RF, 2000. - 69 s.
2. NP 031-01. Normy proektirovaniya seysmostoykih atomnyh stanciy / Utv. post. GGTN RF ot 19. 10.2001 № 9.
3. RB 006-1998. Rukovodstvo po bezopasnosti. Opredelenie ishodnyh seysmicheskih kolebaniy grunta dlya proektnyh osnov / Utv. post. Gosatomnadzora Rossii ot 29.12.1998 № 3.
4. Materialy dlya eksperimental'nogo proektirovaniya i tehnicheskih issledovaniy seysmostoykih sooruzheniy / GIPROTIS Gosstroya SSSR. Tablicy uskoreniy grunta proshedshih zemletryaseniy intensivnost'yu 7 i 8 ballov. - M., 1961. - Vyp. 1. - 200 s.
5. RTM 108.020.37-81. Oborudovanie atomnyh energeticheskih ustanovok. Raschet na prochnost' pri seysmicheskom vozdeystvii. - SPb.: Minenergomash - NPO CKTI, 1981. - 37 s.
6. NP-043-2003. Trebovaniya k ustroystvu i bezopasnoy ekspluatacii gruzopod'emnyh kranov dlya ob'ektov ispol'zovaniya atomnoy energii / Utv. post. Rosatomnadzora ot 19.06.2003 № 1/97.
7. PNAE G-7-002-86. Normy rascheta na prochnost' oborudovaniya i truboprovodov atomnyh energeticheskih ustanovok. - M.: Energoatomizdat, 1989. - 525 s.
8. Kotel'nikov V. S., Panasenko N. N., Sinel'schikov A. V. Razrabotka modeli zemletryaseniy v raschetnom analize seysmostoykosti pod'emnyh sooruzheniy // Bezopasnost' truda v promyshlennosti. - 2007. - № 9. - S. 42-46.
9. Panasenko N. N. Dinamika i seysmostoykost' pod'emno-transportnogo oborudovaniya atomnyh stanciy: dis. … d-ra tehn. nauk: v ch. Ch. 1. - Novocherkassk: NGTU, 1992. - 475 s.
10. Sinel'schikov A. V. Dinamika i seysmostoykost' mostovyh kranov: dis. … kand. tehn. nauk. - Astrahan', 2000. - 276 s.
11. RD 10-112-01-2004. Rekomendacii po ekspertnomu obsledovaniyu gruzopod'emnyh mashin. Obschie polozheniya / Odobreny NTS po pod'emnym sooruzheniyam Rostehnadzora, prot. ot 26.04.2004 g.
12. Sinel'schikov A. V., Panasenko N. N. Spektral'nyy analiz seysmicheskih vozdeystviy v teorii seysmostoykosti pod'emnyh sooruzheniy // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. - 2008. - № 2 (43). - S. 27-34.
