СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ АКСЕЛЕРОГРАММ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Рассматривается построение математических моделей сейсмических воздействий для целей проектирования зданий и сооружений с крановыми нагрузками, надземными крановыми рельсовыми путями и грузоподъемными кранами. Модель сейсмического воздействия в виде средне- и вероятностно-статистических акселерограмм является развитием методов моделирования сейсмического воздействия, предлагаемых СНиП II-7-81*, НП-031-01, РБ-006-98. Проведен частотный анализ вероятностно-статистических акселерограмм для 7,8 и 9 баллов, построенных по предложенной модели, приведены их амплитудно-частотные и амплитудно-фазочастотные характеристики.

Ключевые слова:
проектирование, грузоподъемные краны, крановые рельсовые пути, вероятностно-статистические акселерограммы, математическая модель, частотный анализ, преобразование Фурье
Текст
При проектировании сейсмические колебания грунта площадки строительства зданий и сооружений с крановыми нагрузками, надземными крановыми рельсовыми путями (КРП) и грузоподъемными кранами (рис. 1) должны быть оценены максимальными (с 50 %-й вероятностью непревышения) значениями ускорений свободной поверхности грунта и сейсмическими спектрами ответа (ССО) грунта (с 84 %-й вероятностью непревышения) для различных логарифмических декрементов колебаний 1,26 (20 %), 0,63 (10 %), 0,44 (7 %), 0,31 (5 %), 0,25 (2 %), 0,125 (2 %), 0,03 (0,5 %), а также соответствующими им реальными либо синтезированными акселерограммами в цифровом и графическом виде. Рис. 1. Расчетно-динамическая конечно-элементная модель типовой открытой крановой эстакады: 1 – колонна; 2 – связи обеспечения горизонтальной жесткости колонн; 3 – фундамент; 4 – подрельсовые балки кранового пути; 5 – мостовой кран Стандартные сейсмические воздействия (СВ) СНиП II-7-81* [1], НП-031-01 [2], РБ-006-98 [3] рекомендуется использовать для проведения предварительных расчетов сейсмостойкости зданий и сооружений с крановыми нагрузками на стадии обоснования инвестиций, а также в условиях неполной геолого-геофизической, геодинамической и сейсмологической информации. Стандартные сейсмические воздействия включают: а) сейсмичность площадки (в баллах); б) максимальные ускорения грунта; в) спектр сейсмических коэффициентов динамичности (CKД) либо CCO при различных логарифмических декрементах колебаний; г) реальные [4] либо синтезированные акселерограммы грунта, аналогичные СА-482 [5]. Сейсмичность площадки строительства J в баллах сейсмической шкалы MSK-64 [2, 6, 7] определяется по картам общего сейсмического районирования OCР-97 СНиП II-7-81* [1]: , (1) с учетом сейсмичности района Jр и приращения сейсмичности ΔJ, задаваемой в зависимости от категории (I, II, III) грунтов по сейсмическим свойствам согласно СНиП II-7-81* [1] и НП-031-01 [2]. Если известны региональные значения магнитуды М и расстояние до очага землетрясения r на базовом (эталонном) грунте, интенсивность J в (1) оценивается по формуле РБ-006-98 [3]: , где γ, с – коэффициенты, характеризующие затухание балльности в зависимости от направления сейсмического излучения. Для направления поперек структур γ = –(3,5÷4,2), с = 3,5÷4,4 (в зависимости от региональных особенностей); для направления вдоль структур γ = –(3,0÷3,4); с = 2,5÷3,3. Для средних условий рекомендуется принимать γ = –3,5, с = 3,0. Для магнитуды М = 4,75÷7,5 и r ≤ 150 км можно использовать формулу . В качестве максимального ускорения грунта для заданной сейсмичности площадки принимается ускорение, соответствующее вероятности непревышения равной 50 %. Значения максимального ускорения грунта в зависимости от сейсмичности площадки строительства приведены в таблице. Максимальное ускорение грунта в зависимости от сейсмичности площадки строительства [2] Сейсмичность площадки строительства Jпл, балл 6 7 8 9 10 Максимальное ускорение грунта а0, м/с2 0,5 1,0 2,0 4,0 8,0 Нормы РБ-006-98 [3] максимальные ускорения грунта в обоих горизонтальных направлениях рекомендуют принимать одинаковыми: . Максимальное ускорение грунта в вертикальном направлении . При синтезировании трехкомпонентных вероятностно-статистических акселерограмм (ВСА), согласно РБ-06-98 [3], необходимо обеспечивать их статистическую независимость. При использовании аналоговых акселерограмм не допускается использование одной акселерограммы для характеристики трехкомпонентного движения. Сдвиг времени начала в одной временной реализации не должен рассматриваться в качестве способа получения других акселерограмм. Статистическая независимость двух акселерограмм a1(t) и a2(t) подтверждается вычислением коэффициента корреляции: , (2) где Е – математическое ожидание; m1, m2 – средние значения a1(t) и a2(t); – стандартные отклонения. Две акселерограммы считаются статистически независимыми, если абсолютное значение коэффициента корреляции ρ12 из (2) не превышает 0,3. Генерация расчетных синтезированных сейсмических воздействий, согласно РБ-06-98 [3], осуществляется методом, использующим стандартные СКД СНиП II-7-81* [1]. В этом случае единичная акселерограмма с точно заданным спектром реакции генерируется с учетом спектра реакции SA(T, ξ = 0,05), который по форме соответствует кривой динамического коэффициента в действующем СНиП II-7-81* [1]. Математическая модель акселерограммы записывается в виде , (3) где A(t) – огибающая, а фазовые углы φ1 представляют собой равномерно распределенные в интервале от 0 до 2π случайные величины. Шаг по частоте Δω определяется из условия гладкости спектра реакции как . Расчеты проводятся в интервале периодов Т от 0,05 до 3 с. В качестве первого приближения для Вi1 используются значения, непосредственно взятые с заданной кривой β(Т) СНиП II-7-81* [1] для соответствующих значений частот ωi. Принято считать [8, 9, 10], что синтезированная акселерограмма (3) является консервативной, аналогичный консерватизм заложен и в акселлерограмме СА-482 [5], уход от которого видится нам в разработке ВСА, получаемой на основе обработки ансамбля исходных, целесообразнее, реальных акселерограмм землетрясений 7, 8 и 9 баллов по шкале MSK-64 [4]. Способом построения математической модели (ММ) СВ для проектирования зданий и сооружений с крановыми нагрузками в сейсмостойком исполнении методом динамического анализа (МДА) является разработка среднестатистических и вероятностно-статистических акселерограмм (ССА и ВСА) на основе ансамбля исходных реальных и (или) синтезированных акселерограмм землетрясений одинаковой балльности [4], соответствующих как одной и той же высотной отметке (грунт или уровень установки кранов и КРП в зданиях), так и приведенных к стандартным уровням. Для построения ССА и ВСА нами приняты следующие допущения [9, 10]: 1) на времени действия τэ, эффективной фазы землетрясения, 4 с ≤ τэ ≤ 10 c, СВ является случайным стационарным процессом с нулевым матожиданием, дисперсией , корреляционной функцией (КФ) – К(τ) и функцией спектральной плотности (ФСП) – Ga(ω); 2) сейсмическое воздействие, заданное акселерограммой a(t), имеет нормальный закон распределения; 3) СВ, в отличие от СНиП II-7-81* [1], задаются для 3-х направлений пространства: 2-х горизонтальных – X, Y и вертикального Z, причем вероятность проектного землетрясения равна , а максимального расчетного землетрясения – , где – нормативный срок службы крана либо КРП согласно РД 10-112-01-04 [11]. Сейсмическое воздействие, как случайную функцию , представим ансамблем выборочных функций , каждая из которых не описывает всех свойств СВ. Проведя статистическую обработку ансамбля исходных акселерограмм, получим воздействие, учитывающее все свойства ансамбля. Для этого каждая акселерограмма исходного ансамбля переоцифровывается с одним и тем же шагом Δt (0,01 с ≤ Δt ≤ 0,03 c) и для каждой из них устанавливается длительность, соответствующая длительности τэ эффективной фазы ансамбля. В результате получается ансамбль переоцифрованных с одинаковым по времени шагом акселерограмм равной длительности, рассматриваемых как реализация случайного процесса . Для каждого момента времени tk (с шагом оцифровки) проводится осреднение мгновенных значений процесса землетрясения – определяются и – математическое ожидание и среднеквадратическое значение (дисперсия) соответственно: ; (4) , (5) где S – число реализаций сейсмических процессов. Выборка объемом S в (4) и (5) имеет нормальный закон распределения. С изменением объема выборки будут меняться её матожидание (4) и дисперсия (5). В этом случае для момента времени tк значение процесса является случайной величиной со всеми параметрами дисперсии , и матожидания выборочного среднего, которое, с вероятностью , будет находиться в интервале , (6) где верхняя граница (6) является ССА: . (7) В выражениях (6) и (7) , – табулированные функции нормального распределения (нормированного и Лапласа соответственно); – квантиль нормального распределения, соответствующий принятой проектировщиком доверительной вероятности Р [12]. При малом числе реализаций процесса вместо квантиля в выражениях (6) и (7) следует принимать квантиль tp распределения Стьюдента [9]. Заметим, что выбор доверительной вероятности Р в (6) не является математической задачей, а определяется конкретно решаемой проблемой. Величина (8) называется уровнем значимости или риском пользователя (риском 1 рода) и равна вероятности отвергнуть верную гипотезу. Эта вероятность в (8) определяет критическую область, в которую попадает α процентов неучтённых возможных средних значений выборки [9]. Анализ реальных акселерограмм [4] показывает, что у ССА, построенных для различных ансамблей, пиковые ускорения в момент времени tк могут существенно отличаться, поэтому для повышения точности представления СВ и повышения качества сейсмических расчетов применяют ВСА. Учитывая, что среднеквадратичное значение в (6) тоже является случайной величиной, имеющей доверительный интервал , (9) где qp – квантиль распределения [9], для построения ВСА целесообразно принимать верхнюю границу Р-процентного интервала среднеквадратичного значения из (9). После чего ВСА представляется в виде , (10) которая учитывает Р процентов свойств всей исходной информации ансамбля и может быть использована как модель СВ на грунте при расчете сооружений с крановыми нагрузками, КРП и кранов на сейсмостойкость линейно-спектральным методом и методом динамического анализа (ЛСМ и МДА). Очевидно, что ВСА (10) интенсивностью 7, 8 и 9 баллов по шкале MSK-64 рекомендуется использовать для практических расчётов зданий и сооружений с крановыми нагрузками на СВ по МДА (рис. 2, 3), причем выбор значений доверительной вероятности Р в (10) производится в зависимости от вероятности (8). а б в Рис. 2. Синтезированные 3-компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: а – горизонтальные (X и Y) компоненты 7 баллов шкалы MSK-64; б – то же, 8 баллов: в – то же, 9 баллов (оцифровки акселерограмм на грунте) а б Рис. 3. Синтезированные 3-компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: а – вертикальная (Z) компонента 7 баллов шкалы MSK-64; б – то же, 8 баллов в Продолжение рис. 3. Синтезированные 3 компонентные ВСА на основе 7-, 8- и 9-балльных исходных акселерограмм [4]: в – то же, 9 баллов (оцифровки акселерограмм на грунте) В целях практических расчетов КРП и кранов на СВ получение значений оцифровки акселерограммы с любым шагом в пределах длины полупериодов осуществляется с использованием формулы , (11) где L – длительность импульса; t – время начала импульса; τ – время в пределах импульса, ; аm – амплитуда импульса (рис. 2, 3). Здесь следует учесть, что 3-компонентные ВСА (10) для пользователя в настоящей работе обеспечены оцифровками, как процесс на временной оси с шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,08 c). Очевидно, пользователю 3-компонентными ВСА (10) следует помнить, что их качество при полноте информации большей чем [4] может быть улучшено. Кроме того, в любом случае их качество должно оцениваться через призму сведений вышеприведенной таблицы, из которой видно, что максимальные ускорения пиков акселерограмм 7, 8 и 9 баллов отличаются друг от друга в 2 раза и составляют соответственно 1, 2 и 4 м/с2. Кроме того, более качественную оценку полученных в настоящей работе ВСА 7, 8 и 9 баллов (10) осуществляют по параметрам их спектрального анализа как непериодических функций (рис. 2, 3), в виде интегрального преобразования Фурье [12] ФСП сейсмического процесса: , (12) которая, после разложения непериодических функций (12), описывающих СВ, преобразуется к виду , (13) в котором – АЧХ сейсмического процесса; – его фазочастотная характеристика (ФЧХ). Как известно [12], АЧХ и ФЧХ в (13) ; (14) , определяются четной и нечетной составляющими ФСП процесса (12): ; , а его комплексный спектр в виде амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) имеет вид . (15) На рис. 4 приведены АЧХ компонент X, Y ВСА 7, 8 и 9 баллов по (14), из которых следует, что результирующий спектр – непрерывный и его форма соответствует огибающей разложения в ряд Фурье, а интенсивные пики непрерывного спектра обусловлены группой компонент с близкими частотами, наиболее опасными для резонансных областей зданий и сооружений на частотах от 1 до 8 Гц, а для АЧХ 9 баллов, дополнительно, – на частотах 8–10 и 16–18 Гц. а б в Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика компонент X, Y ВСА согласно (14): а – 7 баллов; б – 8 баллов; в – 9 баллов Кроме того, по результатам анализа Фурье, на рис. 5 представлены АФЧХ компонент X, Y ВСА 7, 8 и 9 баллов согласно (15). а б в Рис. 5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика компонент X, Y ВСА согласно (15): а – 7 баллов; б – 8 баллов; в – 9 баллов Из них следуют, прежде всего, как скорость затухания сейсмических колебаний грунта, так и превалирующие направления перемещений грунта при сейсмических движениях земли. В заключение следует указать, что ВСА, при наличии расчетно-динамической модели системы (см. рис. 1), служит основой для построения поэтажной ВСА на уровне установки рельсовых путей крана, с целью детального расчета на сейсмостойкость как здания либо сооружения с крановыми нагрузками, так и самого крана.
Список литературы

1. СНиП II-7-81*. Строительство в сейсмических районах. – М.: Госстрой РФ, 2000. – 69 с.

2. НП 031-01. Нормы проектирования сейсмостойких атомных станций / Утв. пост. ГГТН РФ от 19. 10.2001 № 9.

3. РБ 006-1998. Руководство по безопасности. Определение исходных сейсмических колебаний грунта для проектных основ / Утв. пост. Госатомнадзора России от 29.12.1998 № 3.

4. Материалы для экспериментального проектирования и технических исследований сейсмостойких сооружений / ГИПРОТИС Госстроя СССР. Таблицы ускорений грунта прошедших землетрясений интенсивностью 7 и 8 баллов. – М., 1961. – Вып. 1. – 200 с.

5. РТМ 108.020.37-81. Оборудование атомных энергетических установок. Расчет на прочность при сейсмическом воздействии. – СПб.: Минэнергомаш – НПО ЦКТИ, 1981. – 37 с.

6. НП-043-2003. Требования к устройству и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов для объектов использования атомной энергии / Утв. пост. Росатомнадзора от 19.06.2003 № 1/97.

7. ПНАЭ Г-7-002-86. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 525 с.

8. Котельников В. С., Панасенко Н. Н., Синельщиков А. В. Разработка модели землетрясений в расчетном анализе сейсмостойкости подъемных сооружений // Безопасность труда в промышленности. – 2007. – № 9. – С. 42–46.

9. Панасенко Н. Н. Динамика и сейсмостойкость подъемно-транспортного оборудования атомных станций: дис. … д-ра техн. наук: в ч. Ч. 1. – Новочеркасск: НГТУ, 1992. – 475 с.

10. Синельщиков А. В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: дис. … канд. техн. наук. – Астрахань, 2000. – 276 с.

11. РД 10-112-01-2004. Рекомендации по экспертному обследованию грузоподъемных машин. Общие положения / Одобрены НТС по подъемным сооружениям Ростехнадзора, прот. от 26.04.2004 г.

12. Синельщиков А. В., Панасенко Н. Н. Спектральный анализ сейсмических воздействий в теории сейсмостойкости подъемных сооружений // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. – 2008. – № 2 (43). – С. 27–34.