ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ И РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ СПРОСА В РАМКАХ ОПЕРАЦИОННОГО АНАЛИЗА
Авторы:
1.
Астраханский государственный технический университет
(кандидат экономических наук, доцент; доцент кафедры производственного менеджмента)
2.
Астраханский государственный технический университет
(кандидат экономических наук; доцент кафедры производственного менеджмента)
Россия
Россия
Тип:
Статья
Страницы:
с 113
по 120
Статус:
Опубликован
Получено:
05.03.2018
Одобрено:
25.03.2018
Опубликовано:
25.03.2018
Классификаторы:
ВАК 08.00.05 Экономика и управление народным хозяйством
ВАК 08.00.10 Финансы, денежное обращение и кредит
УДК [33:303.7:519.81]:[338.516:339.133]
ГРНТИ 06.52 Экономическое развитие и рост. Прогнозир-ние и планирование экономики. Экономич. циклы и кризисы
ГРНТИ 06.61 Территориальная структура экономики. Региональная и городская экономика
ГРНТИ 06.81 Экономика и организация предприятия. Управление предприятием
ГРНТИ 65.01 Общие вопросы пищевой промышленности
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ГРНТИ 83.01 Общие вопросы статистики
ВАК 08.00.10 Финансы, денежное обращение и кредит
УДК [33:303.7:519.81]:[338.516:339.133]
ГРНТИ 06.52 Экономическое развитие и рост. Прогнозир-ние и планирование экономики. Экономич. циклы и кризисы
ГРНТИ 06.61 Территориальная структура экономики. Региональная и городская экономика
ГРНТИ 06.81 Экономика и организация предприятия. Управление предприятием
ГРНТИ 65.01 Общие вопросы пищевой промышленности
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ГРНТИ 83.01 Общие вопросы статистики
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
операционный анализ, принятие решений, максимизация прибыли, максимизация рентабельности, ограничение спроса
Аннотация (русский):
Для современной экономики актуальным является решение проблемы оптимизации финансовых результатов деятельности при имеющихся ограничениях платёжеспособного спроса в рамках текущего функционирования предприятий и организаций. Данная проблема может решаться на основе операционного анализа с помощью определения существующей взаимосвязи объёма и структуры производства и затрат и их влияния на финансовый результат деятельности субъектов российского рынка. В связи с этим акцентируется внимание на невозможности безграничного увеличения объёма реализации товаров и услуг для достижения оптимального состояния деловой активности, и устанавливается функциональная зависимость объёма реализации продукции от ценового параметра исходя из рыночной конъюнктуры с указанием взаимосвязи между спросом и показателями деловой активности. В рамках поставленной математической задачи оптимизации подробно описываются основные этапы её решения при помощи дифференциального исчисления и операционного анализа деятельности фирм и компаний. В результате находятся аналитические значения параметров деловой активности субъектов экономической деятельности в условиях постановки задачи как по максимизации прибыли, так и по рентабельности, осуществляется графический анализ функций, определяющих прибыль и рентабельность на предмет соответствия их математической интерпретации и экономическому содержанию, и доказывается оптимальность полученного математического решения. Достигнутые результаты поставленной задачи оптимизации могут быть применены в практике фирм и организаций различного профиля деятельности.
Для современной экономики актуальным является решение проблемы оптимизации финансовых результатов деятельности при имеющихся ограничениях платёжеспособного спроса в рамках текущего функционирования предприятий и организаций. Данная проблема может решаться на основе операционного анализа с помощью определения существующей взаимосвязи объёма и структуры производства и затрат и их влияния на финансовый результат деятельности субъектов российского рынка. В связи с этим акцентируется внимание на невозможности безграничного увеличения объёма реализации товаров и услуг для достижения оптимального состояния деловой активности, и устанавливается функциональная зависимость объёма реализации продукции от ценового параметра исходя из рыночной конъюнктуры с указанием взаимосвязи между спросом и показателями деловой активности. В рамках поставленной математической задачи оптимизации подробно описываются основные этапы её решения при помощи дифференциального исчисления и операционного анализа деятельности фирм и компаний. В результате находятся аналитические значения параметров деловой активности субъектов экономической деятельности в условиях постановки задачи как по максимизации прибыли, так и по рентабельности, осуществляется графический анализ функций, определяющих прибыль и рентабельность на предмет соответствия их математической интерпретации и экономическому содержанию, и доказывается оптимальность полученного математического решения. Достигнутые результаты поставленной задачи оптимизации могут быть применены в практике фирм и организаций различного профиля деятельности.
Ключевые слова:
операционный анализ, принятие решений, максимизация прибыли, максимизация рентабельности, ограничение спроса
операционный анализ, принятие решений, максимизация прибыли, максимизация рентабельности, ограничение спроса
В существующих условиях развития российской экономики, для которой характерно усложнение выживаемости и поддержания конкурентоспособности отечественных предприятий, становится особенно необходимым стремление к повышению продуктивности и рентабельности бизнеса за счёт улучшения операционной деятельности. Без осуществления грамотных и своевременных действий по контролю основных финансовых показателей деятельности предприятия в рамках текущей работы организации рискуют получить перманентный убыток, что, в конечном счёте, приведёт к банкротству и прекращению деятельности. В результате большое значение на современном этапе развития экономики приобретает принятие операционных решений, позволяющих как на краткосрочной основе, так и в долгосрочной перспективе обеспечить сохранение безубыточного состояния предприятия и получение им ожидаемого финансового результата. В связи с этим в рамках решения управленческих задач возрастает необходимость в получении точных аналитических значений оптимальных прибыли и рентабельности в зависимости от различных параметров деловой активности при наличии ограничений спроса. C этой целью проведено математическое исследование на основе дифференциального исчисления и операционного анализа. Исходные предпосылки и этапы решения задач Принятие операционных решений осуществляется в условиях интенсификации конкуренции, усиления влияния неопределённости и давления негативных факторов ближнего и дальнего окружения, затруднения доступа к материальным, трудовым и финансовым ресурсам [1]. В этих условиях преимущество получают те предприятия и организации, которые способны наилучшим образом использовать весьма ограниченные ресурсы для получения максимальной выгоды или обеспечения минимальных потерь, чему может способствовать использование различных экономико-математических моделей и концепций. Под принятием операционных решений подразумевается обоснованное управление параметрами деловой активности, которые определяются согласно теории операционного (маржинального) анализа. Принятие операционных решений заключается в исследовании взаимосвязи объёма и структуры производства и затрат и их влияния на финансовый результат предприятия. В ходе операционного анализа определяется воздействие различных производственных факторов на финансовый результат, что позволяет спрогнозировать его возможное значение в зависимости от решения по управлению тем или иным параметром операционной деятельности предприятия. Необходимо обратить внимание, что при проведении операционного анализа принято основываться не только на данных бухгалтерского учёта [2], ориентированного в основном не на менеджеров предприятия, а на внешних пользователей финансово-экономической информации (акционеров, инвесторов, налоговые и статистические органы), но и на сведениях и принципах управленческого учёта, которые достаточно гибки по отношению к жёстким стандартам и регламентам, и могут быть настроены под нужды конкретной ситуации, в которой требуется принятие решения. В целях дальнейшего анализа обозначим основные экономические параметры, на которых базируется принятие операционных решений: - объём реализации Q; - цена единицы продукции P; - удельные переменные расходы на единицу продукции L; - постоянные затраты FC. Исходя из указанных выше параметров определяется ряд производных показателей: - выручка TR, где TR = PQ; - переменные затраты VC, где VC = LQ; - совокупные затраты TC, где TC = VC + FC; - удельная маржа M, где M = P - L; - маржинальный коэффициент H, где H = M / P; - прибыль π, где π = TR - TC = TR - VC - FC = PQ - LQ - FC; - рентабельность R, где R = π / TR. Следует отметить, что представленные выше выражения прибыли и рентабельности можно рассматривать как функции от переменных, входящих в их состав, т. е. как π = f (P, Q, L, FC) или как функцию π (P, Q, L, FC), а также R = f (P, Q, L, FC) или как функцию R (P, Q, L, FC). Очевидно, что в зависимости от целей исследования часть вышеуказанных параметров может быть рассмотрена в качестве постоянных величин, а функции прибыли и рентабельности - как функции одной переменной, например, π (P) или R (P). Необходимо подчеркнуть, что при принятии решений на основе операционного анализа следует обращать внимание не только на определение внутренних параметров деловой активности предприятия (объёмы реализации, цены, переменные и постоянные затраты, точка безубыточности, точки прибыльности) и выявление внутрипроизводственных резервов [3], но и на внешние ограничения. На практике объём реализации не может увеличиваться безгранично для обеспечения безубыточности или заданного уровня прибыльности, тогда как цены на продукцию могут изменяться в зависимости от условий рынка. В связи с этим становится актуальным сопоставление показателей, характеризующих деятельность предприятия с ограничениями рыночной конъюнктуры. Одним из основных ограничений, с которым сталкивается предприятие во внешней среде, является спрос на его продукцию. В экономической теории наиболее популярной и теоретически разработанной является обратно пропорциональная зависимость спроса Q от цены за единицу продукции P, выражаемая линейной функцией Q (P): (1) где t, k - коэффициенты линейной функции Q (P). Следовательно, если предприятие обладает достоверной информацией о зависимости спроса на свою продукцию от устанавливаемых им цен, то у него появляется возможность управления объёмом реализации с учётом ограничений спроса, находящих отражение в изменении прибыли в зависимости от того или иного значения Q и P. В связи с этим резонным является вопрос о том, при какой комбинации объёма реализации и цен на продукцию прибыль предприятия будет максимальной с учётом обозначающей спрос зависимости между Q и P. Если использовать Q = f (P) с подстановкой формулы (1) в определённые выше формулы прибыли и рентабельности, то происходит их преобразование в нелинейные функции, анализ которых можно осуществить на основе дифференциального исчисления. Поэтому определять параметры максимизации прибыли и рентабельности необходимо в рамках следующих этапов: - преобразования выражений прибыли π и рентабельности R в функции одной переменной π (P) и R (P) с исследованием их графика и параметров; - определения первой производной функций π (P) и R (P) и нахождения их нулей (согласно необходимому признаку существования экстремума); - определения второй производной функций π (P) и R (P) и установления их знаков в точках равенства первой производной данных функций нулю (согласно достаточному признаку существования экстремума); - определения экстремума (Pmax) функций π (P) и R (P), при котором прибыль и/или рентабельность будут максимальны, и нахождения значений функций Q (P), π (P) и R (P) в точке Pmax. Необходимо заметить, что параметры t, k, L, FC, как следует из их экономического содержания, положительны, равно как P и Q. В свою очередь, если Q > 0, т. е. t - kP > 0, то P < t / k. Таким образом, функции π (P) и R (P) определены при P (0; t / k). Решение задачи максимизации прибыли Принимая во внимание (1), функцию прибыли π (P) можно представить следующим образом: (2) Рассмотрим график полученной в выражении (2) функции прибыли π (P) (рис. 1), который представляет собой перевёрнутую параболу. Обратим внимание на то, что функции данного типа имеют единственный экстремум, являющийся точкой максимума. Рис. 1. График функции прибыли π (P) Для определения Pmax, при которой прибыль будет максимальной, найдём производную функции π (P), определённой в (2): (3) Точку максимума функции π (P) можно найти, решив уравнение πꞌ (P) = 0 относительно P, т. е. , отсюда (4) Следует отметить, что функция прибыли π (P) (2) действительно имеет единственный максимум в точке Pmax (4), поскольку вторая производная данной функции по P отрицательна и постоянна на всей числовой оси (πꞌꞌ (P) = -2). Очевидно также, что Pmax (4) принадлежит области определения функции π (P) (2) при условии, что . Можно определить значение объёма реализации, при котором прибыль будет максимальной, подставив (4) в (1): (5) С учётом полученных выше Pmax (4) и Qmax (5) выразим максимальную прибыль πmax: (6) Из формулы (5) получим . Следовательно, выражение максимальной прибыли (6) может быть преобразовано таким образом: (7) Для полученного выражения πmax (6) найдём соответствующее значение рентабельности продаж R: (8) Необходимо отметить, что на практике возможны случаи, когда цена и переменные затраты на единицу продукции находятся в прямой зависимости (например, при продаже услуг через агентов за комиссионное вознаграждение). Следовательно, для рассматриваемой ситуации маржинальный коэффициент H является постоянной величиной, и с учётом того, что H = M / P, получаем M = HP. В таком случае формулу прибыли π можно преобразовать следующим образом: Принимая во внимание (1), функцию прибыли π (P) представим так: (9) Найдём производную функции π (P) (9) для определения Pmax, при которой прибыль будет максимальной: (10) Решив уравнение πꞌ (P) = 0 относительно P, получим точку максимума функции π (P) (9): Отсюда (11) Отметим, что найденное значение Pmax принадлежит области определения функции π (P) (9) при любых t и k. С учётом функциональной зависимости Q от P можно определить значение объёма реализации, при котором прибыль будет максимальной, подставив (10) в (1): (12) Имея Pmax (11) и Qmax (12), определим выражение максимальной прибыли πmax: (13) Соответственно, рентабельность продаж R можно найти следующим образом: (14) Значение рентабельности R, которое получено в результате подстановки оптимальной цены, определённой в рамках максимизации прибыли, может не являться наибольшим с точки зрения максимизации рентабельности. Данный факт обусловливает необходимость определения параметров деловой активности, оптимальных с точки зрения максимизации рентабельности. Решение задачи максимизации рентабельности Проблема максимизации рентабельности решается по аналогии с проблемой максимизации прибыли. С учётом принятых обозначений рассмотрим функцию рентабельности R (P): (15) Рассмотрим график функции рентабельности R (P), полученный в (15) (рис. 2). Рис. 2. График функции рентабельности R (P) Как видно из графика (рис. 2), в области определения функция рентабельности R (P) имеет точку максимума. При этом прямые P = 0 и P = t / k являются вертикальными асимптотами функции R (P) (15), поскольку с учётом положительности t, k, L, FC (16) Другими словами, по мере приближения к наиболее высокой или низкой возможной цене функция R (P) (15) имеет тенденцию к неограниченному сокращению. В целях нахождения экстремумов функции R (P) (15) определим её первую производную по P: (17) Уравнение Rꞌ (P) = 0 будет иметь два корня - P1 и P2: (18) (19) С учётом того, что значения t, k, L, FC больше нуля, можно показать, что 0 < P1 < t / k < P2. Следовательно, к области определения функции R (P) относится P1 (18) и не относится P2 (19). Для доказательства того, что P1 является точкой максимума функции R (P), найдём её вторую производную: (20) Подставив (18) в (20), получим (21) Поскольку t, k, L, FC положительны по определению, можно показать, что Rꞌꞌ (P1) < 0. Так как Rꞌ (P1) = 0, P1 является единственной точкой максимума Pmax функции R (P). Подставив (18) в (1), получим значение объёма реализации Qmax, при котором рентабельность будет максимальна: (22) Путём соответствующих подстановок можно определить максимальное значение рентабельности Rmax и прибыли π: (23) (24) Несколько проще задача максимизации рентабельности продаж решается в том случае, когда коэффициент маржинальной прибыли H = const. Отсюда получаем M = HP. Тогда с учётом принятых обозначений функция рентабельности R (P) представляется следующим образом: (25) Аналогично выводу из (16) прямые P = 0 и P = t / k являются вертикальными асимптотами полученной в (25) функции R (P), т. к. с учётом положительности t, k, L, FC (26) Для определения экстремумов функции R (P) (25) найдём её первую производную по P: (27) Решая уравнение Rꞌ (P) = 0, получаем (28) Отметим, что найденное значение Pmax (28) принадлежит области определения функции R (P) (25) при любых t и k. Для доказательства того, что Pmax (28) является точкой максимума функции R (P) (25), найдём её вторую производную: (29) Подставив (28) в (29), получим (30) Так как t, k, L, FC положительны по определению, очевидно, что Rꞌꞌ (Pmax) < 0. Поскольку Rꞌ (Pmax) = 0, то Pmax (28) является единственной точкой максимума функции R (P) (25). Отметим, что при H = const значение Pmax (11) совпадает со значением Pmax (28), поэтому для данного случая значения объёма реализации, прибыли и рентабельности идентичны (12), (13) и (14) соответственно. Заключение Таким образом, лица, принимающие решения, располагая достоверной информацией о зависимости спроса от цен на реализуемую продукцию, могут управлять прибылью и рентабельностью, используя обозначенные выше основные параметры деловой активности предприятия и окружающей его внешней среды.
1. Погонев С. В., Шендо М. В. Формирование и реализация механизма управления конкурентоспособностью предприятия // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Экономика. 2010. № 2. С. 81-88.
2. Васильева В. В., Гаврилова О. А. Методические подходы к интеграции систем управленческого учёта, бюджетирования и сбалансированных показателей как эффективных инструментов управления на предприятии // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Экономика. 2010. № 1. С. 36-46.
3. Дубинина Н. А., Карлина Е. П., Усков В. В. Подходы к выявлению и оценке внутрипроизводственных резервов на предприятии // Актуальные проблемы экономики и права. 2011. № 4. С. 137-142.
