Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Решена задача субоптимального управления параметрически и функционально неопределенным линейным нестационарным объектом. Предполагается, что измерению доступны только скалярные вход и выход объекта. Цель управления состоит в субминимизации интеграла с бесконечным верхним пределом от квадратичной подынтегральной функции, зависящей от скалярного выхода объекта и сигнала управления. Полученный алгоритм прост и не требует сложных аналитических расчетов параметров системы управления. Работоспособность полученных алгоритмов проиллюстрирована на численных примерах.

Ключевые слова:
робастное управление, субоптимальное управление, внешнее возмущающее воздействие, неопределенный нестационарный линейный объект, интегральный критерий качества, наблюдатель, функция Ляпунова
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Синтез систем высокой точности в условиях неопределенности является классической проблемой в теории управления. Актуальной является проблема разработки алгоритмов управления, обеспечивающих не только устойчивость системы в этих условиях, но и оптимальное ее функционирование по некоторым критериям качества. Решению этих задач посвящено множество работ. На данный момент достаточно полно и систематизированно робастная теория изложена в [1]. Так, в условиях полной определенности в теории оптимального управления предложен LQR-подход. Однако при наличии произвольных внешних возмущений, невозможности точно определить параметры модели объекта, изменении динамических свойств системы в процессе функционирования оптимальные системы, синтезированные по квадратичному критерию качества, часто теряют работоспособность. Большими возможностями в этих условиях обладает робастный подход к построению систем управления. К настоящему времени получено достаточно много алгоритмов построения субоптимальных систем для линейных и нелинейных объектов, подверженных параметрическим и внешним возмущениям: -оптимизация, L1-опти-мизация, μ-синтез, LMI-подход и др. Следует отметить, что большинство имеющихся методов синтеза предназначены для стационарных систем. Однако практика в изобилии доставляет объекты управления, которые описываются параметрически неопределенными нестационарными с запаздыванием по состоянию дифференциальными уравнениями. Особое внимание на сегодняшний день уделяется робастному и робастно-субоптимальному управлению системами, когда полный вектор состояния недоступен измерению, а измеряется только вектор выходных переменных [2-7]. Компенсация внешних возмущений путем объединения квазиинвариантной стратегии с классической предложена в [2]. Одним из распространенных подходов к задаче компенсации внешних детерминированных возмущений является метод внутренней модели [3, 4]. Робастные системы с компенсацией возмущений, построенные на основе их оценок, рассмотрены в [6, 7]. Однако задача разработки простых в реализации алгоритмов робастного и робастного субоптимального управления для широкого класса динамических объектов по выходу, обеспечивающих их функционирование в соответствии с заданными требованиями по качеству при наличии влияния возмущений, остается актуальной в теории и практике автоматических систем. В предложенной работе решается задача построения робастного субоптимального регулятора для параметрически неопределенного линейного нестационарного объекта, подверженного воздействию внешних ограниченных возмущений. Цель управления - минимизация интегрального критерия качества с малой погрешностью отклонения от номинального значения. Синтез системы управления основан на результатах [8]. Компенсация неопределенностей базируется на подходе, предложенном в [6]. Результаты репрезентативного моделирования иллюстрируют работоспособность предложенной системы управления. Постановка задачи Рассматривается линейный нестационарный объект управления, динамические процессы в котором описываются в пространстве состояний уравнением , , (1) где функции - вектор состояния, - управляемый выход объекта, - управляющее воздействие, - ограниченное внешнее возмущающее воздействие, - ограниченное неизвестное время запаздывания; ; , , и - неизвестные функциональные матрицы, ; , x0 - начальные условия. Предположения 1. Коэффициенты матриц A(t), B(t), C(t), и D(t) зависят от некоторого вектора неизвестных параметров , где - известное ограниченное множество. 2. Пара (A(t), B(t)) - управляема, а пара (A(t), L) - наблюдаема. 3. Измерению доступны выходной сигнал y(t) и управляющее воздействие u(t). Использование производных этих величин в системе управления не допускается. 4. Выполнены условия структурного согласования , , и , где , - известные номинальные матрицы; AH - гурвицева матрица в форме Фробениуса; , - ограниченные неизвестные векторы; , - ограниченные неизвестные функции. 5. Для любого фиксированного параметра t объект управления (1) минимально-фазовый. Требуется получить алгоритм функционирования системы управления, который обеспечит минимум функционалу (2) где , - весовые коэффициенты, выбираемые разработчиком. Метод решения Чтобы получить субоптимальную систему управления для нестационарного объекта (1), управление u(t) формируется в виде суммы двух составляющих [8]: . Сигнал uk(t) необходим для компенсации неопределенностей в объекте (1). Слагаемое u0(t) определяет оптимальный закон управления, обеспечивающий минимум функционалу качества (2). В силу условия 4 Предположений перепишем систему (1): , (3) где функция содержит все неопределенности объекта (1) и слагаемое с запаздыванием; . Рассмотрим систему (3) в предположении, что в ней отсутствуют неопределенности, т. е. при . Для полученного номинального объекта (4) рассмотрим критерий качества (5) с матрицей , преобразованный из (2) подстановкой второго уравнения (1). Согласно [8] оптимальный закон управления в форме обратной связи по состоянию, гарантирующий минимум функционалу (5), определяется следующим образом: (6) где матрица , где является решением матричного уравнения Лурье - Риккати ; весовой коэффициент . Однако в силу того, что вектор состояния x(t) недоступен измерению, построим наблюдатели ; (7) Здесь - оценка вектора состояния x(t); v(t) - сигнал управления, компенсирующий влияние возмущений на процесс наблюдения; S - матрица коэффициентов усиления, такая, что - гурвицева; . Тогда оптимальный сигнал сформируем в виде (8) Но для качественной оценки вектора x(t) требуется скомпенсировать влияние параметрических и внешних возмущений на эти оценки. Поэтому необходимо выполнить следующие преобразования. Перепишем систему (3), добавляя и вычитая в правой ее части оптимальное управление (8): (9) Прибавим и вычтем теперь значения (6) в (9), в результате получаем (10) Матрица , - вектор ошибки, полученный вычитанием уравнения (7) из (3): (11) Выберем вспомогательный контур [6] (12) где - вектор состояния, который позволяет выделить в отдельный сигнал все нежелательные воздействия. Принимая во внимание уравнения (11) и (12), составим уравнение рассогласования , которое в переменных «вход-выход» запишется как . Здесь ; - линейные дифференциальные операторы, коэффициентами которых являются коэффициенты полиномов и ; ; ; , - оператор дифференцирования. Тогда управляющие воздействия будем формировать следующим образом: ; Однако в силу Предположения 3 производные сигнала недоступны измерению. Поэтому выполним «операторное деление» , где . И, чтобы скомпенсировать все неопределенности системы (1), сигнал управления зададим в виде (13) где g - вектор, компонентами которого являются коэффициенты оператора T0(p), записанные в обратном порядке; - оценка сигнала , содержащего параметрические и внешние неопределенности исходного объекта; - оценка вектора , полученная с помощью наблюдателя [9] . (14) Здесь ; ; ; числа выбираются так, чтобы матрица была гурвицевой; ; μ - малое положительное число; - оценка переменной . Для оценки точности наблюдения введем вектор отклонений с матрицей . Продифференцировав по времени с учетом (14), составим уравнение для нормированных отклонений: , где bT = [0, 0, …, 1]. Преобразуем последнее уравнение в эквивалентное относительно выхода D(t): , (15) где . Последние два уравнения эквивалентны относительно переменных и , т. к. они являются различными формами записи одного уравнения . Тогда, принимая во внимание уравнения закона управления (8), наблюдателя (14), уравнение для нормированных отклонений (15) и сигнал управления (13), уравнения (10) и (11) преобразуем к виду (16) где . Утверждение. Пусть выполнены условия предположений для объекта управления (1). Тогда существует число , такое, что при система управления (8), (12), (13)-(16) диссипативна и минимизирует функционал качества (2) с достаточно малой погрешностью отклонения от значения для номинального объекта. Доказательство утверждения. Для доказательства утверждения введем новую переменную , равную разности фазовых векторов (16) и (4), и рассмотрим систему (17) где . Воспользуемся леммой [10]. Лемма [10]. Если система описывается уравнением , , где - непрерывная функция, липшицева по x, и при имеет ограниченную замкнутую область диссипативности , где F(x) - положительно определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует , такое, что при и исходная система имеет ту же область диссипативности , если для некоторых чисел C1 и при выполнено условие при F(x) = C. При последняя система асимптотически устойчива по переменным и , т. к. матрицы A0 и G - гурвицевы. Следовательно, переменные , ограничены. Тогда из уравнений (17) и условий леммы [10] для некоторого и - ограниченные функции, т. е. , , где c и f - некоторые положительные числа. Из вышесказанного и уравнений (4) и (14) следует ограниченность векторов x(t) и . Рассмотрим уравнение Принимая во внимание (13), разрешим его относительно : Ввиду ограниченности всех сигналов в правой части последнего равенства, что следует из доказанного выше и условия 4 Предположений, управление также ограничено. Таким образом, все сигналы в замкнутой системе (8), (12), (13)-(16) ограничены. Однако из этого не следует асимптотическая устойчивость этой системы при . Выберем функцию Ляпунова в виде , (18) положительно определенные симметрические матрицы N и P определяются из уравнений Производная от функции V(t) вдоль траектории (17) при примет вид (19) Воспользуемся оценками Подставив полученные оценки в (19), получаем . Очевидно, всегда найдется такое μ0, обеспечивающее положительность чисел в скобках последнего равенства. Тогда, в силу структуры функции Ляпунова (18), ее производную (19) можно оценить как , где - минимальное собственное число соответствующей матрицы. Решением последнего неравенства является , из чего следует, что . Значит, при . Пример. Рассмотрим объект управления вида (1), в котором , , , , . Класс неопределенности задан множеством . Измерению доступен выходной сигнал y(t). Функция возмущений, действующая на объект управления, ограничена: . Решим для номинальной системы (4) задачу оптимального управления с критерием качества (2) при q = 3, r = 2. Оптимальный закон управления (8) сформируем следующим образом: , где - оценка вектора x(t), сформированная наблюдателем (7) с матрицей . Решением уравнения Лурье - Риккати является матрица . Зададим вспомогательный контур (12) с матрицей . Тогда уравнение относительно переменной примет вид Для оценки производных сигнала ε(t) воспользуемся наблюдателем (14): , Таким образом, закон управления (13) формируется следующим образом: На рис. приведены графики переходных процессов по y(t) и ошибке слежения при следующих значениях параметров в рассматриваемой системе: , , , , , , , , , . Переходные процессы по y(t) и ошибке слежения Значение интегрального критерия качества (2) для объекта управления (1) равно Jp(t) = 25,500, для номинального объекта (4) критерий принимает значение JН(t) = 25,501. Нетрудно видеть, что абсолютная погрешность отклонения этих значений очень мала и составляет 0,0001. Заключение Предложен принцип построения робастного субоптимального регулятора для параметрически и функционально неопределенного линейного нестационарного объекта по выходу. Цель управления состоит в синтезе системы регулирования, минимизирующей интегральный критерий качества (2) с некоторой погрешностью отклонения от номинального значения. Формирование управляющего воздействия базируется на идее, предложенной в [8], где управляющий сигнал предложено разложить на оптимальное управление, минимизирующее заданный функционал качества (2), и компенсирующее неопределенности объекта управления. Компенсация параметрических и функциональных неопределенностей основана на подходе [6].
Список литературы

1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

2. Неймарк Ю. И. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного управления // Автоматика и телемеханика. 2008. № 10. С. 48-56.

3. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2004. № 10. С. 13-24.

4. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2004. № 11. С. 40-48.

5. Бобцов А. А. Алгоритмы робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93-97.

6. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.

7. Цыкунов А. М. Робастное управление с компенсацией ограниченных возмущений и помех // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 3. С. 19-26.

8. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкаревой, 2006. 720 с.

9. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V. 44. N. 9. P. 1672-1687.

10. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем. I // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. C. 119-127.