Журналы
НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Серия: Морская техника и технология Серия: РЫБНОЕ ХОЗЯЙСТВО Серия: УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА Серия: ЭКОНОМИКА

Вестник АГТУ (АРХИВНЫЙ)
История Ссылки Новости Контакты
Отправить рукопись
Главная / Журналы / Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика / Номер 4 / ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С МАТРИЧНЫМ ВХОДОМ И МАТРИЧНЫМ ВЫХОДОМ
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С МАТРИЧНЫМ ВХОДОМ И МАТРИЧНЫМ ВЫХОДОМ
Отправить рукопись
Цитировать
Цитирований:

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С МАТРИЧНЫМ ВХОДОМ И МАТРИЧНЫМ ВЫХОДОМ
Востриков Анатолий Сергеевич 1
Воевода Александр Александрович 2
Трошина Галина Васильевна 3
Авторы:
1.  Новосибирский государственный технический университет

2.  Новосибирский государственный технический университет

3.  Новосибирский государственный технический университет

Тип:
Статья
DOI:
https://doi.org/10.24143/2072-9502-2018-4-7-15
Страницы:
с 7 по 15
Статус:
Опубликован
Получено:
05.10.2018
Одобрено:
25.10.2018
Опубликовано:
25.10.2018
Классификаторы:
ВАК 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 519.24
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
идентификация, моделирование, меандр, оценивание параметров, рекуррентный метод наименьших квадратов, коэффициент усиления
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Метод наименьших квадратов широко применяется при обработке результатов, полученных при решении задач, связанных, например, с идентификацией динамических объектов или с распознаванием образов. В данной работе рассматривается применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов предлагается использовать сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Результаты оценивания параметров объекта приводятся для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. В среде Simulink выполнены как моделирование входных сигналов, осуществляющих воздействие на объект, так и итерационная процедура метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры оценивания параметров, соответствуют основным формулам, которые входят в состав алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов. На примере объекта второго порядка в графической форме приводятся оценки, полученные в результате работы построенной схемы рекуррентного оценивания. Можно отметить, что наблюдается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Демонстрируется график поведения коэффициента усиления, который присутствует в алгоритме рекуррентного метода наименьших квадратов. Тестирование алгоритма оценивания параметров объекта осуществлялось с использованием входных сигналов типа меандра с различными периодами. Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. Предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.

Ключевые слова:
идентификация, моделирование, меандр, оценивание параметров, рекуррентный метод наименьших квадратов, коэффициент усиления
Текст
Разработке алгоритмов идентификации систем, удобных для реализации в инженерной практике, посвящено большое количество работ [1-10], но задача определения параметров объекта в процессе эксплуатации системы по-прежнему остается актуальной. Одним из подходов к решению подобных задач является возможность подавать на систему тестовые сигналы. Работы [11, 12] посвящены проектированию интервальных наблюдателей для линейных систем. Авторы работы [13] решают задачу идентификации линейных по параметрам моделей по малому числу наблюдений. В этом случае имеет место априорная неопределенность, которая может быть связана и с нарушением условий статистической устойчивости, и с плохой обусловленностью задачи из-за попадания интервалов измерений на участки установившихся режимов управляемого объекта. Входной сигнал задается таким образом, чтобы объект попеременно находился в переходном и установившемся режимах. В работе [14] рассматривается задача одновременного управления и оценивания параметров модели линейного многосвязного статического объекта при наличии аддитивных ограничений возмущений в замкнутой дискретной системе с регулятором, построенным на базе адаптивной модели такого объекта. В работах [15-24] поиск оптимального входного сигнала осуществляется на основе использования информационной матрицы Фишера. В данной работе рассматривается статический объект с матричным входом и зашумленным матричным выходом в следующем виде: , (1) где x - матричный входной сигнал размерности n × n; y - матричный выходной сигнал размерности n × n; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ; - транспонирование; θ - параметр. По уравнению (1) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры θ = [θij]. Для получения оценок параметров предлагается использовать рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов. Рекуррентная процедура метода наименьших квадратов Оценка параметров θ = [θij]n × n для объекта (1) по измерениям вычисляется с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов [2]: (2) где (3) (4) Для ковариационной матрицы размера n × n принято использовать следующее выражение: (5) где N - число измерений; ковариационная матрица, вычисленная по результатам N измерений; XN определяется формулой (3). В рекуррентном виде для N + 1 измерения формулу (5) можно записать следующим образом: или (6) где PN + 1 - ковариационная матрица, вычисленная по результатам N + 1 измерений; х - матричный входной сигнал. Ниже приводится итерационный алгоритм определения неизвестных параметров: (7) (8) (9) где KN + 1 - матрица коэффициентов усиления размерности n × n; PN + 1 - ковариационная матрица размерности n × n, вычисленная по результатам N + 1 измерений. В работе [2] для объекта (1) приводится рекуррентный метод наименьших квадратов в случае, когда x - векторный вход и y - скалярный выход. В данной статье предложен алгоритм (7)-(9) для случая, когда при описании объекта (1) используется матричный входной сигнал x и матричный выходной сигнал y. Формулы (7)-(9) можно получить на основании нижеследующего утверждения. Лемма 1. Для матриц A, B, C размерами n × n, n × m и m × n соответственно справедливо выражение (10) Отметим, что формулу (9) можно получить из выражения (6) после применения формулы (10). Для этого необходимо осуществить замены: Оценка параметров на основе уравнений (2)-(4) имеет вид Выражая последнюю формулу через N и N + 1 измерения и применяя формулу (9), имеем Раскрывая скобки и применяя выражение (8), получим соотношение (7): В среде Simulink выполнено моделирование объекта, входных сигналов, а также алгоритма определения неизвестных параметров с использованием итерационной процедуры метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры метода наименьших квадратов, соответствуют формулам (7)-(9), которые находятся в составе алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов. Пример вычисления оценок параметров объекта Рассматривается статический объект второго порядка в следующем виде: (11) где x - матричный входной сигнал размерностью n × n; y - матричный выходной сигнал размерностью n × n; θ = [θij] - матрица оцениваемых параметров объекта; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием m и дисперсией σ = 0,1. На вход подаются тестовые сигналы типа меандра с периодами: T = 6 (для первого входного сигнала), T = 12 (для второго входного сигнала), T = 14 (для третьего входного сигнала), T = 10 (для четвертого входного сигнала). Амплитуда равна единице для всех входных сигналов. На рис. 1 показаны входные сигналы для объекта (11). а б Рис. 1. Входные сигналы: U1, U2 (а); U3, U4 (б) По уравнению (11) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры Моделирование выполнено при следующих базовых значениях: θ11 = 1,0; θ12 = 2,5; θ21 = 0,5; θ22 = 1,0. На рис. 2 представлены выходные сигналы. а б Рис. 2. Выходные сигналы Y11, Y21 (а); Y22, Y12 (б) На рис. 3. показан график шума, наблюдаемого на выходе объекта в одном из каналов. Рис. 3. Шум, наблюдаемый на выходе объекта в одном из каналов В качестве начального значения матрицы P выбрана матрица в виде P0 = [0.9, 0.2; 0.3, 1.0]. Для случая N = 50 измерений были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,983 4; θ12 = 2,447; θ21 = 0,539 6; θ22 = 1,045. На рис. 4-6 приведены результаты моделирования для N = 50 измерений. Рис. 4. Оценки параметров θN Рис. 5. Поведение матрицы PN Рис. 6. Поведение коэффициента усиления KN При увеличении числа измерений до N = 200 были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,995 4; θ12 = 2,493; θ21 = 0,504 4; θ12 = 1,014. Для числа измерений N = 50 были получены следующие значения: P11 = 0,009 336; P21 = -0,000 175 1; P21 = -0,000 165 9; P22 = - 0,008 461. При увеличении числа измерений до N = 200 значения элементов матрицы PN изменяются следующим образом: P11 = 0,002 452; P21 = 0,000 105 8; P21 = 0,000 106 4; P22 = 0,002 88. Отметим, что рекуррентные оценки параметров объекта сходятся к истинным значениям примерно за 70-80 шагов. Можно отметить и аналогичную сходимость значений KN, PN. Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. На рис. 7 приведены результаты моделирования для случая, когда первый и второй входные сигналы имели период T = 4, а третий и четвертый входные сигналы имели период T = 8. Рис. 7. Оценки параметров θN (периоды T = 4 и T = 8) На рис. 8 приведены результаты моделирования для случая, когда период T = 8 для всех входных сигналов. Рис. 8. Оценки параметров θN для периода T = 8 у всех входных сигналов Анализируя графики, представленные на рис. 7 и 8, можно отметить плохое поведение рассматриваемой системы на начальном участке в случае, когда периоды имеют одинаковое значение у входных сигналов типа меандра. Заключение В данной работе показано применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов использовались сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Продемонстрированы проблемы, которые возникают с выбором параметров тестовых входных сигналов. Результаты оценивания параметров объекта приведены для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. На примере объекта второго порядка построены графики оценок, полученных в ходе работы алгоритма. Отмечается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Вычисления показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. В дальнейшем предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.
Список литературы

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

2. Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977. 291 p.

3. Сейдж Э. П., Уайт Ч. С. III. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

4. Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 248 с.

5. Aström K. J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods // Automatica. 1980. V. 16. N. 5. P. 551-574.

6. Antsaklis P. J., Michel A. N. Linear systems. New York: McGraw-Hill, 1997. 685 p.

7. Chen C. T. Linear system theory and design. New York; Oxford: Oxford University Press, 1999. 334 p.

8. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984. 288 с.

9. Огарков М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 208 с.

10. Воскобойников Ю. Е. Критерий расходимости и алгоритм адаптации рекуррентного алгоритма оценивания вектора состояния // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2015. № 3 (60). С. 7-22.

11. Cacace F., Germani A., Manes C., Setola R. A new approach to the internal positive representation of linear MIMO systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2012. V. 57. N. 1. P. 119-134.

12. Cacace F., Germani A., Manes C. A new approach to the design internal observers for linear systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2015. V. 60. N. 6. P. 1665-1670.

13. Фурсов В. А., Гошин Е. В. Адаптивная идентификация по малому числу наблюдений с контролем обусловленности: тр. XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014) (Москва, 16-19 июня 2014 г.). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2720-2727. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (дата обращения: 28.10.2014).

14. Азарсков В. Н., Житецкий Л. С., Соловчук К. Ю. Параметрическая идентификация многосвязного статического объекта в замкнутом контуре управления: специальный случай: тр. XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014) (Москва, 16-19 июня 2014 г.). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2764-2776. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (дата обращения: 28.10.2014).

15. Mehra R. K. Optimal Input for Linear System Identification // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. V. 19. N. 3. P. 192-200.

16. Воевода А. А., Трошина Г. В. Реализация итерационного метода наименьших квадратов для оценивания параметров статических объектов в среде MATLAB // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 1. С. 28-36.

17. Трошина Г. В. О методах оценивания вектора состояния в задачах идентификации // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. Вып. 1 (67). С. 69-78.

18. Voevoda A. A., Troshina G. V. The parameters vector estimation in the steady state for the linear dynamic systems // Рroceedings of 11 International Forum on Strategic Technology (IFOST 2016) (Novosibirsk, 1-3 June 2016). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2016. V. 1. P. 582-584.

19. Troshina G. V., Voevoda A. A. The steady-state in the parameters estimation problem for the dynamic objects // International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON 2017) (Novosibirsk, Akademgorodok, 18-22 September 2017). Novosibirsk: 2017. P. 351-355.

20. Troshina G. V., Voevoda A. A., Patrin V. M., Simakina M. V. The object unknown parameters estimation for the 'inverted pendulum-Cart' system in the steady state // Рroceedings of the 16th Intern. Conf. of Young Specialists on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices (EDM-2015) (Altai, Erlagol, 29 June-3 July 2015). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2015. P. 186-188.

21. Воевода А. А., Трошина Г. В. Моделирование фильтра Калмана с обновленной последовательностью в среде Simulink // Сб. науч. тр. НГТУ. 2015. Вып. 2 (80). C. 7-17.

22. Трошина Г. В. Моделирование динамических объектов в среде SIMULINK. Ч. 1. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2015. Вып. 3 (81). С. 55-68.

23. Воевода А. А., Трошина Г. В. Рекуррентный метод оценивания параметров в динамическом объекте // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2016. № 4 (65). С. 7-18.

24. Трошина Г. В. Об активной идентификации динамических объектов // Сб. науч. тр. НГТУ. 2014. Вып. 4 (78). С. 41-52.

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 3.0 Unported

© "Редакция научных журналов"
Поддержка Powered by Editorum,  Инструкции
Войти или Создать
* Забыли пароль?