Journal
OIL AND GAS TECHNOLOGIES AND ENVIRONMENTAL SAFETY SERIES: MARINE ENGINEERING AND TECHNOLOGIES SERIES: FISHING INDUSTRY SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS SERIES: ECONOMICS

VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY (ARCHIVAL)
History Links News Contacts
Submit manuscript
Home / Journals / Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics / Issue 4 / ESTIMATING PARAMETERS OF STATIC OBJECTS WITH MATRIX INPUT AND OUTPUT
ESTIMATING PARAMETERS OF STATIC OBJECTS WITH MATRIX INPUT AND OUTPUT
Submit manuscript
To cite
Citations:

ESTIMATING PARAMETERS OF STATIC OBJECTS WITH MATRIX INPUT AND OUTPUT
Vostrikov Anatoly Sergeevich 1
Voevoda Alexander Aleksandrovich 2
Troshina Galina Vasil’evna 3
Authors:
1.  Novosibirsk State Technical University

2.  Novosibirsk State Technical University

3.  Novosibirsk State Technical University

Type:
Article
DOI:
https://doi.org/10.24143/2072-9502-2018-4-7-15
Pages:
from 7 to 15
Status:
Published
Received:
05.10.2018
Accepted:
25.10.2018
Published:
25.10.2018
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.24
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
identification, modeling, meander, parameters estimation, recursive least-squares method, gain coefficient
Abstract and keywords
Abstract (English):
The least-squares method is widely applied when processing results received at the solution of tasks which are connected, for example, with the identification of dynamic objects or with the pattern recognition. The article considers the application of recurrent least-squares method for the parameters determination of a static object with a matrix input and a matrix output. As test input signals it is offered to use signals like a meander with single amplitude. The estimation results of the object parameters are given for a case when Gaussian noises occur at the object output. The simulation of input signals which are realizing impact on an object, and the iterative procedure of the least-squares method are executed in the Simulink environment. The blocks which are realizing the formation of the iterative procedure of parameters estimation correspond to basic formulas which are a part of the algorithm of the recurrent least-squares method. On the example of the second order object the estimates received as a result of the recurrent estimation constructed scheme are given in the graphic form. It is possible to mark that the fast convergence of the parameters estimates to basic parameter values of an object is stated. The behavior diagram of the gain coefficient which is present at the algorithm of the recurrent least-squares method is demonstrated. Testing the algorithm of the object parameters estimation was carried out using input signals like a meander with different periods. The simulation results show that the algorithm gives the good estimates of unknown parameters even in the presence of the considerable noise watched on the object output. The offered approach is supposed to be used for the parameters estimation of the higher order objects with the different parameters quantity.

Keywords:
identification, modeling, meander, parameters estimation, recursive least-squares method, gain coefficient
Text
Разработке алгоритмов идентификации систем, удобных для реализации в инженерной практике, посвящено большое количество работ [1-10], но задача определения параметров объекта в процессе эксплуатации системы по-прежнему остается актуальной. Одним из подходов к решению подобных задач является возможность подавать на систему тестовые сигналы. Работы [11, 12] посвящены проектированию интервальных наблюдателей для линейных систем. Авторы работы [13] решают задачу идентификации линейных по параметрам моделей по малому числу наблюдений. В этом случае имеет место априорная неопределенность, которая может быть связана и с нарушением условий статистической устойчивости, и с плохой обусловленностью задачи из-за попадания интервалов измерений на участки установившихся режимов управляемого объекта. Входной сигнал задается таким образом, чтобы объект попеременно находился в переходном и установившемся режимах. В работе [14] рассматривается задача одновременного управления и оценивания параметров модели линейного многосвязного статического объекта при наличии аддитивных ограничений возмущений в замкнутой дискретной системе с регулятором, построенным на базе адаптивной модели такого объекта. В работах [15-24] поиск оптимального входного сигнала осуществляется на основе использования информационной матрицы Фишера. В данной работе рассматривается статический объект с матричным входом и зашумленным матричным выходом в следующем виде: , (1) где x - матричный входной сигнал размерности n × n; y - матричный выходной сигнал размерности n × n; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ; - транспонирование; θ - параметр. По уравнению (1) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры θ = [θij]. Для получения оценок параметров предлагается использовать рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов. Рекуррентная процедура метода наименьших квадратов Оценка параметров θ = [θij]n × n для объекта (1) по измерениям вычисляется с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов [2]: (2) где (3) (4) Для ковариационной матрицы размера n × n принято использовать следующее выражение: (5) где N - число измерений; ковариационная матрица, вычисленная по результатам N измерений; XN определяется формулой (3). В рекуррентном виде для N + 1 измерения формулу (5) можно записать следующим образом: или (6) где PN + 1 - ковариационная матрица, вычисленная по результатам N + 1 измерений; х - матричный входной сигнал. Ниже приводится итерационный алгоритм определения неизвестных параметров: (7) (8) (9) где KN + 1 - матрица коэффициентов усиления размерности n × n; PN + 1 - ковариационная матрица размерности n × n, вычисленная по результатам N + 1 измерений. В работе [2] для объекта (1) приводится рекуррентный метод наименьших квадратов в случае, когда x - векторный вход и y - скалярный выход. В данной статье предложен алгоритм (7)-(9) для случая, когда при описании объекта (1) используется матричный входной сигнал x и матричный выходной сигнал y. Формулы (7)-(9) можно получить на основании нижеследующего утверждения. Лемма 1. Для матриц A, B, C размерами n × n, n × m и m × n соответственно справедливо выражение (10) Отметим, что формулу (9) можно получить из выражения (6) после применения формулы (10). Для этого необходимо осуществить замены: Оценка параметров на основе уравнений (2)-(4) имеет вид Выражая последнюю формулу через N и N + 1 измерения и применяя формулу (9), имеем Раскрывая скобки и применяя выражение (8), получим соотношение (7): В среде Simulink выполнено моделирование объекта, входных сигналов, а также алгоритма определения неизвестных параметров с использованием итерационной процедуры метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры метода наименьших квадратов, соответствуют формулам (7)-(9), которые находятся в составе алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов. Пример вычисления оценок параметров объекта Рассматривается статический объект второго порядка в следующем виде: (11) где x - матричный входной сигнал размерностью n × n; y - матричный выходной сигнал размерностью n × n; θ = [θij] - матрица оцениваемых параметров объекта; v - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием m и дисперсией σ = 0,1. На вход подаются тестовые сигналы типа меандра с периодами: T = 6 (для первого входного сигнала), T = 12 (для второго входного сигнала), T = 14 (для третьего входного сигнала), T = 10 (для четвертого входного сигнала). Амплитуда равна единице для всех входных сигналов. На рис. 1 показаны входные сигналы для объекта (11). а б Рис. 1. Входные сигналы: U1, U2 (а); U3, U4 (б) По уравнению (11) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры Моделирование выполнено при следующих базовых значениях: θ11 = 1,0; θ12 = 2,5; θ21 = 0,5; θ22 = 1,0. На рис. 2 представлены выходные сигналы. а б Рис. 2. Выходные сигналы Y11, Y21 (а); Y22, Y12 (б) На рис. 3. показан график шума, наблюдаемого на выходе объекта в одном из каналов. Рис. 3. Шум, наблюдаемый на выходе объекта в одном из каналов В качестве начального значения матрицы P выбрана матрица в виде P0 = [0.9, 0.2; 0.3, 1.0]. Для случая N = 50 измерений были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,983 4; θ12 = 2,447; θ21 = 0,539 6; θ22 = 1,045. На рис. 4-6 приведены результаты моделирования для N = 50 измерений. Рис. 4. Оценки параметров θN Рис. 5. Поведение матрицы PN Рис. 6. Поведение коэффициента усиления KN При увеличении числа измерений до N = 200 были получены следующие значения оцениваемых параметров: θ11 = 0,995 4; θ12 = 2,493; θ21 = 0,504 4; θ12 = 1,014. Для числа измерений N = 50 были получены следующие значения: P11 = 0,009 336; P21 = -0,000 175 1; P21 = -0,000 165 9; P22 = - 0,008 461. При увеличении числа измерений до N = 200 значения элементов матрицы PN изменяются следующим образом: P11 = 0,002 452; P21 = 0,000 105 8; P21 = 0,000 106 4; P22 = 0,002 88. Отметим, что рекуррентные оценки параметров объекта сходятся к истинным значениям примерно за 70-80 шагов. Можно отметить и аналогичную сходимость значений KN, PN. Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. На рис. 7 приведены результаты моделирования для случая, когда первый и второй входные сигналы имели период T = 4, а третий и четвертый входные сигналы имели период T = 8. Рис. 7. Оценки параметров θN (периоды T = 4 и T = 8) На рис. 8 приведены результаты моделирования для случая, когда период T = 8 для всех входных сигналов. Рис. 8. Оценки параметров θN для периода T = 8 у всех входных сигналов Анализируя графики, представленные на рис. 7 и 8, можно отметить плохое поведение рассматриваемой системы на начальном участке в случае, когда периоды имеют одинаковое значение у входных сигналов типа меандра. Заключение В данной работе показано применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов использовались сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Продемонстрированы проблемы, которые возникают с выбором параметров тестовых входных сигналов. Результаты оценивания параметров объекта приведены для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. На примере объекта второго порядка построены графики оценок, полученных в ходе работы алгоритма. Отмечается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Вычисления показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. В дальнейшем предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.
References

1. L'yung L. Identifikaciya sistem. Teoriya dlya pol'zovatelya. M.: Nauka, 1991. 432 s.

2. Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977. 291 p.

3. Seydzh E. P., Uayt Ch. S. III. Optimal'noe upravlenie sistemami. M.: Radio i svyaz', 1982. 392 s.

4. Seydzh E. P., Melsa Dzh. L. Identifikaciya sistem upravleniya. M.: Nauka, 1974. 248 s.

5. Aström K. J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods // Automatica. 1980. V. 16. N. 5. P. 551-574.

6. Antsaklis P. J., Michel A. N. Linear systems. New York: McGraw-Hill, 1997. 685 p.

7. Chen C. T. Linear system theory and design. New York; Oxford: Oxford University Press, 1999. 334 p.

8. Fomin V. N. Rekurrentnoe ocenivanie i adaptivnaya fil'traciya. M.: Nauka, 1984. 288 s.

9. Ogarkov M. A. Metody statisticheskogo ocenivaniya parametrov sluchaynyh processov. M.: Energoatomizdat, 1990. 208 s.

10. Voskoboynikov Yu. E. Kriteriy rashodimosti i algoritm adaptacii rekurrentnogo algoritma ocenivaniya vektora sostoyaniya // Nauch. vestn. Novosib. gos. tehn. un-ta. 2015. № 3 (60). S. 7-22.

11. Cacace F., Germani A., Manes C., Setola R. A new approach to the internal positive representation of linear MIMO systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2012. V. 57. N. 1. P. 119-134.

12. Cacace F., Germani A., Manes C. A new approach to the design internal observers for linear systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2015. V. 60. N. 6. P. 1665-1670.

13. Fursov V. A., Goshin E. V. Adaptivnaya identifikaciya po malomu chislu nablyudeniy s kontrolem obuslovlennosti: tr. XII Vseros. sovesch. po problemam upravleniya (VSPU-2014) (Moskva, 16-19 iyunya 2014 g.). M.: In-t problem upravleniya im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. S. 2720-2727. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (data obrascheniya: 28.10.2014).

14. Azarskov V. N., Zhiteckiy L. S., Solovchuk K. Yu. Parametricheskaya identifikaciya mnogosvyaznogo staticheskogo ob'ekta v zamknutom konture upravleniya: special'nyy sluchay: tr. XII Vseros. sovesch. po problemam upravleniya (VSPU-2014) (Moskva, 16-19 iyunya 2014 g.). M.: In-t problem upravleniya im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. S. 2764-2776. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (data obrascheniya: 28.10.2014).

15. Mehra R. K. Optimal Input for Linear System Identification // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. V. 19. N. 3. P. 192-200.

16. Voevoda A. A., Troshina G. V. Realizaciya iteracionnogo metoda naimen'shih kvadratov dlya ocenivaniya parametrov staticheskih ob'ektov v srede MATLAB // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2017. № 1. S. 28-36.

17. Troshina G. V. O metodah ocenivaniya vektora sostoyaniya v zadachah identifikacii // Sb. nauch. tr. NGTU. 2012. Vyp. 1 (67). S. 69-78.

18. Voevoda A. A., Troshina G. V. The parameters vector estimation in the steady state for the linear dynamic systems // Rroceedings of 11 International Forum on Strategic Technology (IFOST 2016) (Novosibirsk, 1-3 June 2016). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2016. V. 1. P. 582-584.

19. Troshina G. V., Voevoda A. A. The steady-state in the parameters estimation problem for the dynamic objects // International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON 2017) (Novosibirsk, Akademgorodok, 18-22 September 2017). Novosibirsk: 2017. P. 351-355.

20. Troshina G. V., Voevoda A. A., Patrin V. M., Simakina M. V. The object unknown parameters estimation for the 'inverted pendulum-Cart' system in the steady state // Rroceedings of the 16th Intern. Conf. of Young Specialists on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices (EDM-2015) (Altai, Erlagol, 29 June-3 July 2015). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2015. P. 186-188.

21. Voevoda A. A., Troshina G. V. Modelirovanie fil'tra Kalmana s obnovlennoy posledovatel'nost'yu v srede Simulink // Sb. nauch. tr. NGTU. 2015. Vyp. 2 (80). C. 7-17.

22. Troshina G. V. Modelirovanie dinamicheskih ob'ektov v srede SIMULINK. Ch. 1. // Sb. nauch. tr. NGTU. 2015. Vyp. 3 (81). S. 55-68.

23. Voevoda A. A., Troshina G. V. Rekurrentnyy metod ocenivaniya parametrov v dinamicheskom ob'ekte // Nauch. vestn. Novosib. gos. tehn. un-ta. 2016. № 4 (65). S. 7-18.

24. Troshina G. V. Ob aktivnoy identifikacii dinamicheskih ob'ektov // Sb. nauch. tr. NGTU. 2014. Vyp. 4 (78). S. 41-52.

This work is licensed under Creative Commons Attribution 3.0 Unported

© "Редакция научных журналов"
Support Powered by Editorum,  Instructions
Login or Create
* Forgot password?