ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ ДЕЙДВУДНЫХ ПОДШИПНИКОВ НА СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛОПРОВОДА СУДНА
Авторы:
1.
Астраханский государственный технический университет
(кандидат технических наук, доцент; заведующий кафедрой электрооборудования и автоматики судов)
Россия
Россия
2.
Астраханский государственный технический университет
(доктор технических наук, доцент; профессор кафедры судостроения и энергетических комплексов морской техники)
Тип:
Статья
Страницы:
с 89
по 96
Статус:
Опубликован
Получено:
20.02.2019
Одобрено:
25.02.2019
Опубликовано:
25.02.2019
Классификаторы:
УДК [629.5.035-233.1-233.21:534.011]:621.3.018.411
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 55.42 Двигателестроение
ГРНТИ 55.45 Судостроение
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
ГРНТИ 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 55.42 Двигателестроение
ГРНТИ 55.45 Судостроение
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
ГРНТИ 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
судовой валопровод, дейдвудный подшипник, коэффициент жёсткости, поперечные колебания, собственные частоты
Аннотация (русский):
Одним из наиболее значимых факторов, влияющих на собственную частоту поперечных колебаний систем «вал - подшипник» скольжения, является коэффициент жёсткости подшипника. Необходимость учёта влияния неоднородности коэффициента жёсткости подшипника на собственную частоту обусловлена тем, что при износе подшипника изменяется модуль продольной упругости материала и, поскольку подшипник изнашивается неравномерно, возникает неоднородность распределения коэффициента жёсткости. Исследована задача по определению собственной частоты поперечных колебаний гребного вала судна, опирающегося на основание с переменным по длине коэффициентом жёсткости. Рассмотрено дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости. Отмечено, что в общем случае данное уравнение является уравнением четвёртого порядка в частных производных и не может быть проинтегрировано в квадратурах для произвольной функции распределения жёсткости по длине вала. Предложен численно-аналитический метод определения собственной частоты системы, основанный на аппроксимации функции распределения жёсткости кусочно-линейной функцией. Метод применён для вычисления собственных частот участка валопровода с учётом функций, описывающих изменение коэффициента жёсткости. Предложенный метод позволяет рассмотреть участок валопровода, заключенный в дейдвудный подшипник с учётом неоднородности распределения коэффициента жёсткости подшипника, и является основой для повышения точности нахождения истинной собственной частоты поперечных колебаний валопровода.
Одним из наиболее значимых факторов, влияющих на собственную частоту поперечных колебаний систем «вал - подшипник» скольжения, является коэффициент жёсткости подшипника. Необходимость учёта влияния неоднородности коэффициента жёсткости подшипника на собственную частоту обусловлена тем, что при износе подшипника изменяется модуль продольной упругости материала и, поскольку подшипник изнашивается неравномерно, возникает неоднородность распределения коэффициента жёсткости. Исследована задача по определению собственной частоты поперечных колебаний гребного вала судна, опирающегося на основание с переменным по длине коэффициентом жёсткости. Рассмотрено дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости. Отмечено, что в общем случае данное уравнение является уравнением четвёртого порядка в частных производных и не может быть проинтегрировано в квадратурах для произвольной функции распределения жёсткости по длине вала. Предложен численно-аналитический метод определения собственной частоты системы, основанный на аппроксимации функции распределения жёсткости кусочно-линейной функцией. Метод применён для вычисления собственных частот участка валопровода с учётом функций, описывающих изменение коэффициента жёсткости. Предложенный метод позволяет рассмотреть участок валопровода, заключенный в дейдвудный подшипник с учётом неоднородности распределения коэффициента жёсткости подшипника, и является основой для повышения точности нахождения истинной собственной частоты поперечных колебаний валопровода.
Ключевые слова:
судовой валопровод, дейдвудный подшипник, коэффициент жёсткости, поперечные колебания, собственные частоты
судовой валопровод, дейдвудный подшипник, коэффициент жёсткости, поперечные колебания, собственные частоты
Введение Согласно требованиям мировых классификационных обществ расчёт поперечных колебаний валопровода судна является обязательным при проектировании и модернизации кораблей и судов. Существенное количество аварийных случаев, связанных с поломками гребных валов вследствие превышения предела усталостной прочности их материала, позволяет говорить о необходимости уточнения существующих методов расчёта колебаний [1]. Для расчёта поперечных колебаний валопровода судна составляются расчётные схемы, где дейдвудный подшипник моделируется, как правило, упругим основанием согласно модели Э. Винклера [2]. В большинстве используемых методов расчёта собственных частот валопровода коэффициент жёсткости дейдвудных подшипников считается постоянным по всей длине. Это оправдано только в случае, когда подшипник является новым. Для изношенных подшипников коэффициент жёсткости уже нельзя считать постоянным вследствие воздействия различных факторов. В изношенных подшипниках возникает неоднородность распределения модуля упругости материала и, соответственно, коэффициента жёсткости. При этом коэффициент жёсткости на концах подшипника может различаться в несколько раз [3, 4]. Такое расхождение делает невозможным применение классических схем для вычисления частот собственных колебаний вала [2, 5]. Следует отметить, что дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости, в общем случае не является интегрируемым, т. е. его решения не могут быть выражены через элементарные функции, как это можно сделать в случае однородного вала. В работе предложен численно-аналитический метод вычисления частот валопровода с учётом неоднородности жёсткости материала подшипника. Этот метод, в отличие от метода Галёркина и его модификаций [6], не требует построения системы функций, удовлетворяющих условию ортогональности [7]. Идея метода основана на следующем наблюдении. Если считать, что жёсткость подшипника представляет собой линейную функцию от его длины, то соответствующее обыкновенное линейное дифференциальное уравнение имеет точное общее решение в виде суммы гипергеометрических функций. Так как всякую кусочно-непрерывную функцию можно аппроксимировать кусочно-линейными функциями, то, разбив вал на части, можно на каждой из этих частей коэффициент жёсткости считать линейной функцией и записать точное решение уравнения на этом участке. Для склейки соответствующих решений используются естественные условия гладкости и условия равенства моментов и перерезывающих сил. Отметим, что гипергеометрические функции имеют широкую область применения при решении задач математической физики. В частности, они применяются для расчёта собственных форм колебаний неоднородных стержней и пластин [8]. Методика расчёта собственной частоты Для рассматриваемой расчётной схемы приняты следующие допущения: 1. Участок гребного вала (0, L3) моделируется однородной балкой постоянного сечения с жёсткой заделкой, частично опирающейся на упругую опору; 2. Гребной винт заменяется сосредоточенной нагрузкой M0g на конце участка; 3. Дейдвудный подшипник представлен модифицированной моделью Э. Винклера с переменным по длине коэффициентом жёсткости k(x)u. Расчётная схема (рис. 1) представляет собой балку постоянного сечения, которую можно разделить на три части: 1 - жёсткую заделку (в зависимости от конструкции валопровода может быть заменена на податливый шарнир); 2 - опирающуюся на кормовой подшипник переменной жёсткости; 3 - свободную балку с нагрузкой на конце. Рис. 1. Расчётная схема участка гребного вала Дифференциальные уравнения колебаний гребного вала представим отдельно на каждом участке. На участке 2 (L1 < x < L2) уравнение имеет вид: (1) где t, x - время и пространственная координата; u = u(t, x) - отклонение точки оси стержня с координатой x в момент времени t от положения равновесия; EJ - жёсткость материала вала; m0 - погонная масса вала. На участках 1 (0 < x < L1) и 3 (L2 < x < L3) уравнения имеют вид: (2) Рассмотрим решение уравнения на участке 2. Для упрощения вычислений обозначим координаты участка 2 вала как Произведём перенормировку переменной x: Тогда концы вала будут иметь координаты x = 0 и x = 1, а уравнение (1) примет вид: (3) Будем искать решение уравнения (3) в виде (4) Подставив (4) в (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для нахождения функции U: (5) Сначала рассмотрим случай, когда функция k(x) линейна: Тогда уравнение (5) примет вид: (6) Введём новую переменную: Концы вала имеют координаты: Уравнение (6) примет вид: (7) где Общее решение уравнения (7) выражается через гипергеометрические функции: (8) где C1, C2, C3, C4 - произвольные постоянные, а 0F3 - обобщённые гипергеометрические функции [7]: Ряды в правой части формулы (8) сходятся при любых значениях x. Теперь рассмотрим случай кусочно-линейной аппроксимации. Отрезок (L1, L2) разобьём точками x0, … , xm на части, не обязательно равные. На каждом из отрезков (xi, xi+1) функцию k(x) аппроксимируем линейной функцией где ai и bi - некоторые постоянные, зависящие от жёсткости упругого основания. Без ограничения общности будем считать, что ai ≠ 0. На каждом из элементарных отрезков (xi, xi+1) уравнение (5) примет вид: (9) При замене переменных в уравнении (9): (10) уравнение (9) примет вид: Его общее решение выражается через гипергеометрические функции: Выполнив преобразование обратное (10), получим общее решение уравнения (9) из функции Vi(z) с заменой z на aix + bi - m0p2. Дальнейшие действия повторяют последовательность вычисления частот поперечных колебаний [9]: граничные условия на концах вала (определяются конструктивным исполнением валопровода) и условия стыковки решений в точках L1 и L2 приводят к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов . Для того чтобы полученная система уравнений имела ненулевое решение, определитель матрицы A, составленный из коэффициентов должен быть равен нулю: (11) Условие (11) представляет собой трансцендентное уравнение относительно значения собственной частоты p, корни которого отвечают собственным частотам поперечных колебаний гребного вала. Для оценки влияния закона распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты проведён численный эксперимент по расчёту участка гребного вала, опирающегося на кормовой дейдвудный подшипник. Расчёт произведён согласно рис. 1 по схеме, в которой система моделируется следующими основными параметрами: Масса гребного винта, кг, с учётом увлекаемой воды: M0 + Mувл = 760. Гребной вал изготовлен из стали 35, для которой модуль Юнга, Па, Диаметр гребного вала, м, D = 0,2; его осевой момент инерции, м4, ; изгибная жёсткость вала, Н·м2, модуль Юнга материала подшипника, Па, График функции k1(x) представлен на рис. 2. Рис. 2. Закон распределения коэффициента жёсткости по длине подшипника k1(x) Функцию k1(x) можно аппроксимировать следующей кусочно-линейной функцией: Численное решение уравнения (11) позволяет получить частоты собственных колебаний гребного вала. Дополнительно произведём расчёт первой собственной частоты системы для линейно убывающей функции k2(x) и постоянной функции k3(x): Результаты расчёта приведены в табл. Влияние распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты Параметры системы Закон распределения коэффициента жёсткости Значение собственной частоты системы p, с-1 Круговая собственная частота участка вала 𝛚, об/мин L1 = 0,1 м; L2 = 0,92 м; L3 = 1,62 м; m0 = 245 кг/м; М0 + Мувл = 760 кг; Е = 2,06 · 1011 Па; ЕJ = 1,61 · 105 Н · м2; Еп = 5 · 106 Па k1(1)(x) = , xÎ[0,1; 0,3], k1(2)(x) = , xÎ[0,3; 0,7], k1(3)(x) = , xÎ[0,7; 0,92] 165,94 1 579 k2(x) = -3,24 · 108x + 1,59 · 109 171,24 1 630 k3(x) = const = 1,45 · 107 184,13 1 752 Путём проведения численного эксперимента установлено, что для данных параметров системы учёт влияния неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника привёл к снижению значения первой собственной частоты системы на 10 % в случае распределения k1(x), на 7 % - в случае распределения k2(x) по отношению к случаю с постоянным коэффициентом жёсткости подшипника k3(x). Заключение В работе представлена новая методика расчёта собственной частоты поперечных колебаний гребного вала, в которой учтено влияние неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника. Полученные результаты позволяют глубже изучить поперечные колебания гребного вала и являются основой для повышения его долговечности и надёжности. Представленная методика вычисления критических частот вращения вала может быть применена для расчёта различных инженерных систем, имеющих в своём составе пару трения «вал - подшипник» скольжения.
1. Чура М. Н., Файвисович А. В. Эксплуатационные повреждения гребных валов // Транспортное дело России. 2011. № 11. С. 110-112.
2. Мамонтов В. А., Рубан А. Р., Куличкин Н. В., Халявкин А. А. Расчёт поперечных колебаний валопроводов судов с учётом длины и жёсткости дейдвудных подшипников // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2010. № 2. С. 30-33.
3. Кушнер Г. А., Мамонтов В. А., Халявкин А. А. Исследование изменений формы и коэффициента жёсткости моделей дейдвудных подшипников из капролона // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2015. Вып. 6 (34). С. 151-157.
4. Быков Д. Л., Пелешко В. А. Определяющие соотношения деформирования и разрушения наполненных полимерных материалов в процессах преобладающего осевого растяжения в различных барометрических условиях // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2008. № 6. С. 40-65.
5. Халявкин А. А., Мамонтов В. А., Комаров М. П. Влияние коэффициента жёсткости капролона на частоту собственных колебаний валопроводов судов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2012. № 2. С. 45-50.
6. Галёркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестн. инженеров. 1915. Т. 1. № 19. С. 897-908.
7. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1962. 709 с.
8. Коваленко А. Д. Развитие теории гипергеометрических функций в связи с задачами об упругом равновесии пластин и оболочек // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. № 4. С. 472-509.
9. Кушнер Г. А., Мамонтов В. А., Халявкин А. А., Шахов В. В. Методика расчёта поперечных колебаний гребного вала с учётом вращения // Вестн. Волж. гос. академ. водн. трансп. 2016. Вып. 49. С. 122-129.
