INFLUENCE OF INCONSTANT DISTRIBUTION OF DEADWOOD BEARING STIFFNESS COEFFICIENTON NATURAL FREQUENCY OF THE SHAFT TRANSVERSE VIBRATIONS
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department of Electrical Equipment and Automation of Ships)
Russian Federation
Russian Federation
2.
Astrakhan State Technical University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Shipbuilding and Energy Complexes of Marine Engineering)
Type:
Article
Pages:
from 89
to 96
Status:
Published
Received:
20.02.2019
Accepted:
25.02.2019
Published:
25.02.2019
Subject area:
UDK [629.5.035-233.1-233.21:534.011]:621.3.018.411
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Language:
Russian
Keywords:
ship shafting, stern tube bearing, stiffness coefficient, transverse vibrations, natural frequencies
Abstract (English):
One of the most significant factors affecting the natural frequency of transverse vibrations of shaft-slide bearing systems is the stiffness coefficient of the slide bearing. The need to consider the influence of heterogeneity of stiffness coefficient of the bearing on its natural frequency is caused by the fact that when the bearing is worn, the modulus of longitudinal elasticity of the material changes, and since the bearing wears unevenly, the non-uniform distribution of the stiffness coefficient occurs. The problem of determining the natural frequency of transverse vibrations of a ship propeller shaft based on the foundation with a variable stiffness coefficient along the length has been studied. The differential equation of the propeller shaft vibrations written taking into account the stiffness coefficient variable along the shaft length is considered. It has been noted that, in the general case, this equation is a fourth-order partial differential equation and cannot be integrated in quadratures for an arbitrary stiffness distribution function along the shaft length. A numerical-analytical method for determining the natural frequency of a system based on approximation of the stiffness distribution function by a piecewise-linear function is proposed. The method is applied to calculate the natural frequencies of the pipeline section taking into account the functions describing the change in the stiffness coefficient. The proposed method allows to consider the section of the shafting enclosed in the stern bearing, subject to the non-uniform distribution of the stiffness coefficient of the bearing, and is the basis for improving the accuracy of finding the true natural frequency of transverse vibrations of the shafting.
One of the most significant factors affecting the natural frequency of transverse vibrations of shaft-slide bearing systems is the stiffness coefficient of the slide bearing. The need to consider the influence of heterogeneity of stiffness coefficient of the bearing on its natural frequency is caused by the fact that when the bearing is worn, the modulus of longitudinal elasticity of the material changes, and since the bearing wears unevenly, the non-uniform distribution of the stiffness coefficient occurs. The problem of determining the natural frequency of transverse vibrations of a ship propeller shaft based on the foundation with a variable stiffness coefficient along the length has been studied. The differential equation of the propeller shaft vibrations written taking into account the stiffness coefficient variable along the shaft length is considered. It has been noted that, in the general case, this equation is a fourth-order partial differential equation and cannot be integrated in quadratures for an arbitrary stiffness distribution function along the shaft length. A numerical-analytical method for determining the natural frequency of a system based on approximation of the stiffness distribution function by a piecewise-linear function is proposed. The method is applied to calculate the natural frequencies of the pipeline section taking into account the functions describing the change in the stiffness coefficient. The proposed method allows to consider the section of the shafting enclosed in the stern bearing, subject to the non-uniform distribution of the stiffness coefficient of the bearing, and is the basis for improving the accuracy of finding the true natural frequency of transverse vibrations of the shafting.
Keywords:
ship shafting, stern tube bearing, stiffness coefficient, transverse vibrations, natural frequencies
ship shafting, stern tube bearing, stiffness coefficient, transverse vibrations, natural frequencies
Введение Согласно требованиям мировых классификационных обществ расчёт поперечных колебаний валопровода судна является обязательным при проектировании и модернизации кораблей и судов. Существенное количество аварийных случаев, связанных с поломками гребных валов вследствие превышения предела усталостной прочности их материала, позволяет говорить о необходимости уточнения существующих методов расчёта колебаний [1]. Для расчёта поперечных колебаний валопровода судна составляются расчётные схемы, где дейдвудный подшипник моделируется, как правило, упругим основанием согласно модели Э. Винклера [2]. В большинстве используемых методов расчёта собственных частот валопровода коэффициент жёсткости дейдвудных подшипников считается постоянным по всей длине. Это оправдано только в случае, когда подшипник является новым. Для изношенных подшипников коэффициент жёсткости уже нельзя считать постоянным вследствие воздействия различных факторов. В изношенных подшипниках возникает неоднородность распределения модуля упругости материала и, соответственно, коэффициента жёсткости. При этом коэффициент жёсткости на концах подшипника может различаться в несколько раз [3, 4]. Такое расхождение делает невозможным применение классических схем для вычисления частот собственных колебаний вала [2, 5]. Следует отметить, что дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости, в общем случае не является интегрируемым, т. е. его решения не могут быть выражены через элементарные функции, как это можно сделать в случае однородного вала. В работе предложен численно-аналитический метод вычисления частот валопровода с учётом неоднородности жёсткости материала подшипника. Этот метод, в отличие от метода Галёркина и его модификаций [6], не требует построения системы функций, удовлетворяющих условию ортогональности [7]. Идея метода основана на следующем наблюдении. Если считать, что жёсткость подшипника представляет собой линейную функцию от его длины, то соответствующее обыкновенное линейное дифференциальное уравнение имеет точное общее решение в виде суммы гипергеометрических функций. Так как всякую кусочно-непрерывную функцию можно аппроксимировать кусочно-линейными функциями, то, разбив вал на части, можно на каждой из этих частей коэффициент жёсткости считать линейной функцией и записать точное решение уравнения на этом участке. Для склейки соответствующих решений используются естественные условия гладкости и условия равенства моментов и перерезывающих сил. Отметим, что гипергеометрические функции имеют широкую область применения при решении задач математической физики. В частности, они применяются для расчёта собственных форм колебаний неоднородных стержней и пластин [8]. Методика расчёта собственной частоты Для рассматриваемой расчётной схемы приняты следующие допущения: 1. Участок гребного вала (0, L3) моделируется однородной балкой постоянного сечения с жёсткой заделкой, частично опирающейся на упругую опору; 2. Гребной винт заменяется сосредоточенной нагрузкой M0g на конце участка; 3. Дейдвудный подшипник представлен модифицированной моделью Э. Винклера с переменным по длине коэффициентом жёсткости k(x)u. Расчётная схема (рис. 1) представляет собой балку постоянного сечения, которую можно разделить на три части: 1 - жёсткую заделку (в зависимости от конструкции валопровода может быть заменена на податливый шарнир); 2 - опирающуюся на кормовой подшипник переменной жёсткости; 3 - свободную балку с нагрузкой на конце. Рис. 1. Расчётная схема участка гребного вала Дифференциальные уравнения колебаний гребного вала представим отдельно на каждом участке. На участке 2 (L1 < x < L2) уравнение имеет вид: (1) где t, x - время и пространственная координата; u = u(t, x) - отклонение точки оси стержня с координатой x в момент времени t от положения равновесия; EJ - жёсткость материала вала; m0 - погонная масса вала. На участках 1 (0 < x < L1) и 3 (L2 < x < L3) уравнения имеют вид: (2) Рассмотрим решение уравнения на участке 2. Для упрощения вычислений обозначим координаты участка 2 вала как Произведём перенормировку переменной x: Тогда концы вала будут иметь координаты x = 0 и x = 1, а уравнение (1) примет вид: (3) Будем искать решение уравнения (3) в виде (4) Подставив (4) в (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для нахождения функции U: (5) Сначала рассмотрим случай, когда функция k(x) линейна: Тогда уравнение (5) примет вид: (6) Введём новую переменную: Концы вала имеют координаты: Уравнение (6) примет вид: (7) где Общее решение уравнения (7) выражается через гипергеометрические функции: (8) где C1, C2, C3, C4 - произвольные постоянные, а 0F3 - обобщённые гипергеометрические функции [7]: Ряды в правой части формулы (8) сходятся при любых значениях x. Теперь рассмотрим случай кусочно-линейной аппроксимации. Отрезок (L1, L2) разобьём точками x0, … , xm на части, не обязательно равные. На каждом из отрезков (xi, xi+1) функцию k(x) аппроксимируем линейной функцией где ai и bi - некоторые постоянные, зависящие от жёсткости упругого основания. Без ограничения общности будем считать, что ai ≠ 0. На каждом из элементарных отрезков (xi, xi+1) уравнение (5) примет вид: (9) При замене переменных в уравнении (9): (10) уравнение (9) примет вид: Его общее решение выражается через гипергеометрические функции: Выполнив преобразование обратное (10), получим общее решение уравнения (9) из функции Vi(z) с заменой z на aix + bi - m0p2. Дальнейшие действия повторяют последовательность вычисления частот поперечных колебаний [9]: граничные условия на концах вала (определяются конструктивным исполнением валопровода) и условия стыковки решений в точках L1 и L2 приводят к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов . Для того чтобы полученная система уравнений имела ненулевое решение, определитель матрицы A, составленный из коэффициентов должен быть равен нулю: (11) Условие (11) представляет собой трансцендентное уравнение относительно значения собственной частоты p, корни которого отвечают собственным частотам поперечных колебаний гребного вала. Для оценки влияния закона распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты проведён численный эксперимент по расчёту участка гребного вала, опирающегося на кормовой дейдвудный подшипник. Расчёт произведён согласно рис. 1 по схеме, в которой система моделируется следующими основными параметрами: Масса гребного винта, кг, с учётом увлекаемой воды: M0 + Mувл = 760. Гребной вал изготовлен из стали 35, для которой модуль Юнга, Па, Диаметр гребного вала, м, D = 0,2; его осевой момент инерции, м4, ; изгибная жёсткость вала, Н·м2, модуль Юнга материала подшипника, Па, График функции k1(x) представлен на рис. 2. Рис. 2. Закон распределения коэффициента жёсткости по длине подшипника k1(x) Функцию k1(x) можно аппроксимировать следующей кусочно-линейной функцией: Численное решение уравнения (11) позволяет получить частоты собственных колебаний гребного вала. Дополнительно произведём расчёт первой собственной частоты системы для линейно убывающей функции k2(x) и постоянной функции k3(x): Результаты расчёта приведены в табл. Влияние распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты Параметры системы Закон распределения коэффициента жёсткости Значение собственной частоты системы p, с-1 Круговая собственная частота участка вала 𝛚, об/мин L1 = 0,1 м; L2 = 0,92 м; L3 = 1,62 м; m0 = 245 кг/м; М0 + Мувл = 760 кг; Е = 2,06 · 1011 Па; ЕJ = 1,61 · 105 Н · м2; Еп = 5 · 106 Па k1(1)(x) = , xÎ[0,1; 0,3], k1(2)(x) = , xÎ[0,3; 0,7], k1(3)(x) = , xÎ[0,7; 0,92] 165,94 1 579 k2(x) = -3,24 · 108x + 1,59 · 109 171,24 1 630 k3(x) = const = 1,45 · 107 184,13 1 752 Путём проведения численного эксперимента установлено, что для данных параметров системы учёт влияния неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника привёл к снижению значения первой собственной частоты системы на 10 % в случае распределения k1(x), на 7 % - в случае распределения k2(x) по отношению к случаю с постоянным коэффициентом жёсткости подшипника k3(x). Заключение В работе представлена новая методика расчёта собственной частоты поперечных колебаний гребного вала, в которой учтено влияние неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника. Полученные результаты позволяют глубже изучить поперечные колебания гребного вала и являются основой для повышения его долговечности и надёжности. Представленная методика вычисления критических частот вращения вала может быть применена для расчёта различных инженерных систем, имеющих в своём составе пару трения «вал - подшипник» скольжения.
1. Chura M. N., Fayvisovich A. V. Ekspluatacionnye povrezhdeniya grebnyh valov // Transportnoe delo Rossii. 2011. № 11. S. 110-112.
2. Mamontov V. A., Ruban A. R., Kulichkin N. V., Halyavkin A. A. Raschet poperechnyh kolebaniy valoprovodov sudov s uchetom dliny i zhestkosti deydvudnyh podshipnikov // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Morskaya tehnika i tehnologiya. 2010. № 2. S. 30-33.
3. Kushner G. A., Mamontov V. A., Halyavkin A. A. Issledovanie izmeneniy formy i koefficienta zhestkosti modeley deydvudnyh podshipnikov iz kaprolona // Vestn. Gos. un-ta mor. i rech. flota im. adm. S. O. Makarova. 2015. Vyp. 6 (34). S. 151-157.
4. Bykov D. L., Peleshko V. A. Opredelyayuschie sootnosheniya deformirovaniya i razrusheniya napolnennyh polimernyh materialov v processah preobladayuschego osevogo rastyazheniya v razlichnyh barometricheskih usloviyah // Izv. RAN. Mehanika tverdogo tela. 2008. № 6. S. 40-65.
5. Halyavkin A. A., Mamontov V. A., Komarov M. P. Vliyanie koefficienta zhestkosti kaprolona na chastotu sobstvennyh kolebaniy valoprovodov sudov // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Morskaya tehnika i tehnologiya. 2012. № 2. S. 45-50.
6. Galerkin B. G. Sterzhni i plastinki. Ryady v nekotoryh voprosah uprugogo ravnovesiya sterzhney i plastinok // Vestn. inzhenerov. 1915. T. 1. № 19. S. 897-908.
7. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza. M.: Gos. izd-vo fiziko-matematicheskoy lit-ry, 1962. 709 s.
8. Kovalenko A. D. Razvitie teorii gipergeometricheskih funkciy v svyazi s zadachami ob uprugom ravnovesii plastin i obolochek // Prikladnaya matematika i mehanika. 1967. T. 31. № 4. S. 472-509.
9. Kushner G. A., Mamontov V. A., Halyavkin A. A., Shahov V. V. Metodika rascheta poperechnyh kolebaniy grebnogo vala s uchetom vrascheniya // Vestn. Volzh. gos. akadem. vodn. transp. 2016. Vyp. 49. S. 122-129.
