Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Повышение качества проектирования инженерных систем и точности их расчёта является основой для увеличения технико-экономических показателей современного проектирования. Применение автоматизации расчётов на этапе проектирования повышает производительность труда и качество выпускаемой продукции. Рассмотрены этапы программной реализации инженерных расчётов собственной частоты поперечных колебаний гребных валов судов. Решена задача по определению первой собственной частоты поперечных колебаний вала в зависимости от способа его закрепления. Составлена расчётная схема, представляющая собой балку постоянного сечения, опирающуюся на точечную упругую опору с сосредоточенной массой на конце. Составлены дифференциальные уравнения колебаний, описана методика нахождения собственных частот. Для непосредственного вычисления собственной частоты разработана последовательность и её программная реализация в среде Maple с использованием программного пакета компьютерной алгебры. Оценено влияние способа закрепления на собственную частоту поперечных колебаний вала. Рассмотрена задача о нахождении собственной частоты поперечных колебаний вала на протяжённом упругом дейдвудном подшипнике. Приведённый в работе алгоритм является основой для формализации и автоматизации этапа расчёта поперечных колебаний, а также применим для вычисления собственных частот различных элементов, в составе которых есть вал и подшипник скольжения.

Ключевые слова:
судовой валопровод, поперечные колебания, собственная частота, автоматизация расчёта, гребной вал, подшипник скольжения
Текст
Введение Современное состояние судостроительной отрасли напрямую зависит от качества проектируемых инженерных систем и точности их расчёта. Необходимость применения автоматизации на этапах проектирования и производства обусловлена требованиями к повышению производительности труда и качества выпускаемой продукции [1]. Традиционное проектирование основано на расчётах, производимых вручную без возможности положить расчётные методы в основу выполнения большинства проектных процедур. Вычислительная математика, внедрённая в системы автоматизированного проектирования, дала возможность алгоритмизировать и автоматизировать ряд проектных процедур, имеющих известную математическую интерпретацию. Определённую сложность для современных средств автоматизации инженерных расчётов представляют расчёты, где математическая постановка проектной процедуры неочевидна, соответственно, и последующая их алгоритмическая реализация часто неудовлетворительна. Одним из таких расчётов является определение собственной (резонансной) частоты поперечных колебаний систем «вал - подшипник» скольжения. В работе предложена методика и вариант её программной реализации для расчёта поперечных колебаний гребных валов судов с использованием программного пакета компьютерной алгебры Maple, позволяющего получить аналитические зависимости для нахождения частот. Собственная частота вала на точечной упругой опоре Рассмотрена задача по определению первой собственной частоты поперечных колебаний вала в зависимости от способа его закрепления. Составлена расчётная схема, моделирующая колебания вала, которая представляет собой балку постоянного сечения, опирающуюся на точечную упругую опору с сосредоточенной массой на конце (рис. 1). Для расчёта приняты следующие допущения: 1. Однородная балка постоянного сечения опирается на точечную упругую опору с жёсткостью k; 2. На правом конце балки (x = L2) находится сосредоточенная сила M0g, моделирующая вес гребного винта, который обладает моментом инерции I. Рис. 1. Расчётные схемы с различными способами закрепления балки: а - жёсткая заделка; б - шарнирное опирание; в - не может поворачиваться, в остальном свободна Дифференциальные уравнения изгибных колебаний вала на участках 1 и 2 имеют вид: (1) (2) где t, x - время и пространственная координата; Ui = Ui(t, x) - отклонение точки оси вала с координатой в момент времени t от положения равновесия; EJ - жёсткость материала балки; m0 - погонная масса вала. Следуя методу разделения переменных, решения уравнений (1) и (2) возможно представить в виде где p - собственная частота поперечных колебаний вала; φ - сдвиг фаз. Общее решение уравнений имеет вид: где i = 1, 2 (см. рис. 1), а Cij - постоянные интегрирования. Рассмотрим граничные условия для различных способов закрепления вала на точечных опорах [2]. В точке x = 0: В точке x = L1: В точке x = L2: При любом способе закрепления левого конца вала учёт граничных условий приводит к системе четырёх линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Так как не все постоянные Cij обращаются в нуль (в противном случае мы получили бы нулевые функции Ui(x)), то эта система должна иметь ненулевое решение. А так как система однородна, то это возможно только тогда, когда определитель квадратной матрицы A(p), составленной из коэффициентов при постоянных Cij, равен нулю. Таким образом, собственные частоты колебаний находятся из условий равенства нулю определителя уравнений. Заметим, что уравнение det A(p) = 0 является нелинейным уравнением относительно собственной частоты колебаний гребного вала p и может быть решено только численно. Уравнение det A(p) = 0 обладает бесконечным числом решений, каждому из которых отвечает своя собственная частота колебаний вала. Как правило, наиболее важными с практической точки зрения являются низшие частоты. После формализации задачи и выбора математической модели необходимо разработать алгоритм выполнения проектной процедуры расчёта поперечных колебаний. Преимущество программы символьных вычислений Maple перед её аналогами состоит в быстродействии и способности получать точные аналитические решения уравнений. Рассмотрим этапы решения задачи поиска собственной частоты колебаний. Последовательность получения уравнений для частот и поиска их решения на основе применения пакета символьных вычислений Maple представлена в табл. 1. Таблица 1 Последовательность вычисления собственной частоты участка валопровода № п/п Последовательность этапов Программная реализация 1 Определение функций U1 и U2 U1:=x->C11•sin(alpha1•x)+C12•cos(alpha1•x)+C13•sinh(alpha1•x)+C14•cosh(alpha1•x): U2:=x->C21•sin(alpha2•x)+C22•cos(alpha2•x)+ C23•sinh(alpha2•x)+C24•cosh(alpha2•x): 2 Задание функции вычисления коэффициентов при Cij koeff:=a-[diff(a,C11),diff(a,C12),diff(a,C13),diff(a,C14),diff(a,C21), diff(a,C22),diff(a,C23), diff(a,C24)]: 3 Задание граничных условий и условий склейки решений: при x = 0 для случая а e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): при x = 0 для случая б e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x$2),x=0),size): при x = 0 для случая в e1:= simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x$3),x=0),size): при x = L1 e3:=eval(U1(x)-U2(x),x=L1): e4:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x),x=L1): e5:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$2),x=L1): e6:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$3)-(k/EJ) •U2(x),x=L1): при x = L2 e7:=eval(U2(x)+(EJ/(M•p^2)) •diff(U2(x),x$3),x=L2): e8:=eval(diff(U2(x),x)-(EJ/(In•p^2))*(diff(U2(x),x$2)),x=L2): 4 Формирование матрицы A m1:=koeff(e1): m2:=koeff(e2): m3:=koeff(e3): m4:=koeff(e4): m5:=koeff(e5): m6:=koeff(e6): m7:=koeff(e7): m8:=koeff(e8): with(LinearAlgebra): A:=Matrix(8,8,[m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8]): 5 Вычисление определителя матрицы A ur:=simplify(Determinant(A),size): Окончание табл. 1 № п/п Последовательность этапов Программная реализация 6 Формирование коэффициентов α alpha1:=((p^2•m)/EJ)^(1/4); alpha2:=alpha1: 7 Подстановка коэффициентов в уравнение det A = 0 ur2:=simplify(ur,size): 8 Задание численных значений параметров: L1 = 2,45 м; L2 = 3,32 м; M0 = 500 кг; m0 = 120 кг/м; EJ = 3,914·106 Па; k = 2·109 Н/м; I = 3 150 Н/м m:=120: M:=500: EJ:=3.917*10^6: k:=2*10^9: L1:=2.45: L2:=3.32: In:=3150: 9 Задание точности вычислений Digits:= 20: 10 Подстановка численных параметров в уравнение det A = 0, графическое решение ur3:=simplify(ur2,size): plot(ur3, p=0..60) На рис. 2 представлены графики функций det A(p), полученные для различных случаев закрепления левого конца вала. Рис. 2. Графическое решение уравнений det A(p) = 0 при различных способах закрепления балки: а - жёсткая заделка; б - шарнирное опирание; в - не может поворачиваться, в остальном свободна Согласно выполненному численному эксперименту, способ закрепления оказывает существенное влияние на собственную частоту поперечных колебаний вала. Жёстко заделанный вал имеет наибольшую собственную частоту 40,8 с-1, вал с шарнирным опиранием имеет собственную частоту 37,5 с-1, а свободно закреплённый - наименьшую - 16,6 с-1. Собственная частота вала на протяжённой опоре с учётом вращения Рассмотрен случай использования методики, применённой к расчётной схеме согласно рис. 3, где гребной вал судна разделён на три участка: шарнирно закреплённого в точке 0, внутри дейдвудного подшипника скольжения (L1, L2) и консольно закреплённого участка (L2, L3), оканчивающегося гребным винтом. Особенностью этой задачи является учёт влияния центробежной силы на собственную частоту колебаний, т. е. вал вращается вокруг оси. Рис. 3. Расчётная схема для определения частоты поперечных колебаний гребного вала: ky - реакция основания; qFц - центробежная сила; ω - скорость вращения вала Дифференциальные уравнения колебаний записаны отдельно на каждом участке. Для учёта влияния центробежной силы qFц, которая пропорциональна отклонению, в уравнения вида (1) добавляется член mω2u. На участках U1 и U3 уравнения имеют вид: (3) При этом предполагается, что система координат вращается вместе с балкой. Если же вал опирается на упругий протяжённый подшипник скольжения, то к левой части уравнения (3) добавляется член, соответствующий силе упругости, создаваемой подшипником. На участке U2 уравнение колебаний имеет вид: (4) где k - коэффициент жёсткости подшипника. Последовательность получения решения системы дифференциальных уравнений (3), (4) и нахождения собственных частот рассмотрены в работах [3, 4]. Программная реализация последовательности нахождения собственных частот представлена в табл. 2. Таблица 2 Последовательность вычисления собственной частоты вала на протяжённой упругой опоре № п/п Последовательность этапов Программная реализация 1 Определение функций на участках U1, U2, U3 U1:=x->C11•sin(alpha1•x)+C12•cos(alpha1•x)+C13•sinh(alpha1•x)+ C14•cosh(alpha1•x): U2:=x->C21•sin(alpha2•x)+C22•cos(alpha2•x)+C23•sinh(alpha2•x)+ C24•cosh(alpha2•x): U3:=x->C31•sin(alpha3•x)+C32•cos(alpha3•x)+C33•sinh(alpha3•x)+C34•cosh(alpha3•x): 2 Задание функции вычисления коэффициентов при Cij koeff:=a-[diff(a,C11),diff(a,C12),diff(a,C13),diff(a,C14),diff(a,C21),diff(a,C22),diff(a,C23), diff(a,C24) ,diff(a,C31),diff(a,C32),diff(a,C33),diff(a,C34)]: 3 Задание граничных условий и условий склейки решений: при x = 0; e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): при x = L1; e3:=eval(U1(x)-U2(x),x=L1): e4:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x),x=L1): e5:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$2),x=L1): e6:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$3),x=L1): при x = L2; e7:=eval(U2(x)-U3(x),x=L2): e8:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x),x=L2): e9:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x$2),x=L2): e10:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x$3),x=L2): при x = L3; e11:=eval(diff(U2(x),x$2),x=L2): e12:=eval(EJ•diff(U2(x),x$3)+M•P•U2(x),x=L2): 4 Формирование матрицы A m1:=koeff(e1): m2:=koeff(e2): m3:=koeff(e3): m4:=koeff(e4): m5:=koeff(e5): m6:=koeff(e6): m7:=koeff(e7): m8:=koeff(e8): m9:=koeff(e9): m10:=koeff(e10): m11:=koeff(e11): m12:=koeff(e12): with(LinearAlgebra): A:=Matrix(12,12,[m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12]): 5 Вычисление определителя матрицы A ur:=simplify(Determinant(A),size): 6 Формирование коэффициентов α c:=sqrt(EJ/m): Omega:=P: #Omega=omega^2, P=p^2. alpha1:=((Omega+P)/(c^2))^(1/4): alpha2:=((m*(Omega+P)-k)/(m*c^2))^(1/4): alpha3:=((Omega+P)/(c^2))^(1/4): 7 Подстановка коэффициентов в уравнение det A = 0 ur2:=simplify(ur,size): 8 Задание численных значений параметров: L1 = 5 м; L2 = 7 м; L3 = 8 м; M0 = 553 кг; m0 = 120 кг/м; EJ = 3,914·106 Па; k = 1,59·109 Н/м; m0=120: M0=553: L1:=5: L2:=7: L3:=8: g=9.81, EJ=3.914*10^6, k=1.59*10^9 9 Задание точности вычислений Digits:= 20: 10 Подстановка численных параметров в уравнение det A = 0, графическое решение, вычисление точного решения ur3:=simplify(ur2,size): plot(ur3, P=90000..140000); fsolve(ur3,P=0..20000); 11909.83251 evalf(sqrt(11909.83251)); p = 109.13 График функции det A(P), где P = p2, представлен на рис. 4. Рис. 4. Графическое решение уравнения: Р - квадрат собственной частоты системы Численно решая уравнение det A(P) = 0, мы находим низшую собственную частоту колебаний вала: p = 109,13 c-1. Приведённый алгоритм вычисления критических частот может быть использован для предварительных расчётов поперечных колебаний кормовой части гребного вала. Заключение Представленная методика автоматизированного расчёта собственной частоты поперечных колебаний гребного вала позволяет исключить резонансный режим работы валопровода, а также является дополнением к существующим средствам автоматизации инженерных расчётов. Результаты исследования позволяют лучше изучить поперечные колебания валопроводов, повысить их долговечность. Приведённый в работе алгоритм применим для вычисления собственных частот вращения различных элементов, в составе которых есть вал и подшипник скольжения, а также является основой для формализации и автоматизации этапа расчёта поперечных колебаний.
Список литературы

1. Щербаков Н. П. Автоматизация технологического проектирования. Барнаул: Изд-во АлтГТУ. 2002. 431 с.

2. Прочность. Устойчивость. Колебания: справ. / под. ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. М.: Рипол Классик, 2013. Т. 3. 574 с.

3. Кушнер Г. А., Мамонтов В. А., Халявкин А. А., Шахов В. В. Методика расчёта поперечных колебаний гребного вала с учётом вращения // Вестн. Волж. гос. акад. водн. трансп. 2016. Вып. 49. С. 122-129.

4. Митрофанов Ю. А., Замятин В. М. Изгибные колебания быстровращающихся валов. Томск: Изд-во ТПУ, 2006. 103 с.