AUTOMATING THE METHOD OF CALCULATING NATURAL FREQUENCY OF PROPELLER SHAFT TRANSVERSE VIBRATIONS
Authors:
1.
Institute of Physics named after H. I. Amirkhanov of Dagestan Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Makhachkala
2.
Astrakhan State Technical University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Shipbuilding and Power Complexes of Marine Engineering)
Russian Federation
Russian Federation
3.
Astrakhan State Technical University
(Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department of Shipbuilding and Marine Power Complexes)
Russian Federation
Russian Federation
4.
Astrakhan State Technical University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Shipbuilding and Energy Complexes of Marine Engineering)
Type:
Article
Pages:
from 63
to 70
Status:
Published
Received:
20.02.2019
Accepted:
25.02.2019
Published:
25.02.2019
Subject area:
UDK [629.5.035-233.1:534.011]:[621.3.018.411.001.24:004]
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Language:
Russian
Keywords:
ship shafting, transverse vibrations, natural frequency, automated calculation, propeller shaft, sliding bearing
Abstract (English):
Improving the designing quality of engineering systems and accuracy of their calculations is the basis for increasing the technical and economic indicators of modern engineering. Using automated calculations during the design phase raises labour productivity and product quality. There have been discussed the stages of software implementation of engineering calculations of the natural frequency of transverse vibrations of the ship propeller shafts. The problem of determining the first natural frequency of transverse vibrations of the shaft depending on the method of its fixing has been solved. A computational scheme has been build, which presents a uniform cross-section beam based on a point elastic support with a concentrated mass at its end. Differential equations for oscillations have been derived; the method of finding the natural frequencies has been described. For proper calculating natural frequency there has been developed a sequence and its software implementation in Maple environment with application of computer algebra package. The effect of the method of fixing on natural frequency of shaft transverse vibrations has been estimated. The problem of finding natural frequency of transverse vibrations on the extended elastic stern shaft bearing has been considered. The algorithm presented in the paper serves as a basis for formalizing and automating the stage of calculating transverse vibrations and is also applicable for calculating the natural frequencies of various elements, including the shaft and the sliding bearing.
Improving the designing quality of engineering systems and accuracy of their calculations is the basis for increasing the technical and economic indicators of modern engineering. Using automated calculations during the design phase raises labour productivity and product quality. There have been discussed the stages of software implementation of engineering calculations of the natural frequency of transverse vibrations of the ship propeller shafts. The problem of determining the first natural frequency of transverse vibrations of the shaft depending on the method of its fixing has been solved. A computational scheme has been build, which presents a uniform cross-section beam based on a point elastic support with a concentrated mass at its end. Differential equations for oscillations have been derived; the method of finding the natural frequencies has been described. For proper calculating natural frequency there has been developed a sequence and its software implementation in Maple environment with application of computer algebra package. The effect of the method of fixing on natural frequency of shaft transverse vibrations has been estimated. The problem of finding natural frequency of transverse vibrations on the extended elastic stern shaft bearing has been considered. The algorithm presented in the paper serves as a basis for formalizing and automating the stage of calculating transverse vibrations and is also applicable for calculating the natural frequencies of various elements, including the shaft and the sliding bearing.
Keywords:
ship shafting, transverse vibrations, natural frequency, automated calculation, propeller shaft, sliding bearing
ship shafting, transverse vibrations, natural frequency, automated calculation, propeller shaft, sliding bearing
Введение Современное состояние судостроительной отрасли напрямую зависит от качества проектируемых инженерных систем и точности их расчёта. Необходимость применения автоматизации на этапах проектирования и производства обусловлена требованиями к повышению производительности труда и качества выпускаемой продукции [1]. Традиционное проектирование основано на расчётах, производимых вручную без возможности положить расчётные методы в основу выполнения большинства проектных процедур. Вычислительная математика, внедрённая в системы автоматизированного проектирования, дала возможность алгоритмизировать и автоматизировать ряд проектных процедур, имеющих известную математическую интерпретацию. Определённую сложность для современных средств автоматизации инженерных расчётов представляют расчёты, где математическая постановка проектной процедуры неочевидна, соответственно, и последующая их алгоритмическая реализация часто неудовлетворительна. Одним из таких расчётов является определение собственной (резонансной) частоты поперечных колебаний систем «вал - подшипник» скольжения. В работе предложена методика и вариант её программной реализации для расчёта поперечных колебаний гребных валов судов с использованием программного пакета компьютерной алгебры Maple, позволяющего получить аналитические зависимости для нахождения частот. Собственная частота вала на точечной упругой опоре Рассмотрена задача по определению первой собственной частоты поперечных колебаний вала в зависимости от способа его закрепления. Составлена расчётная схема, моделирующая колебания вала, которая представляет собой балку постоянного сечения, опирающуюся на точечную упругую опору с сосредоточенной массой на конце (рис. 1). Для расчёта приняты следующие допущения: 1. Однородная балка постоянного сечения опирается на точечную упругую опору с жёсткостью k; 2. На правом конце балки (x = L2) находится сосредоточенная сила M0g, моделирующая вес гребного винта, который обладает моментом инерции I. Рис. 1. Расчётные схемы с различными способами закрепления балки: а - жёсткая заделка; б - шарнирное опирание; в - не может поворачиваться, в остальном свободна Дифференциальные уравнения изгибных колебаний вала на участках 1 и 2 имеют вид: (1) (2) где t, x - время и пространственная координата; Ui = Ui(t, x) - отклонение точки оси вала с координатой в момент времени t от положения равновесия; EJ - жёсткость материала балки; m0 - погонная масса вала. Следуя методу разделения переменных, решения уравнений (1) и (2) возможно представить в виде где p - собственная частота поперечных колебаний вала; φ - сдвиг фаз. Общее решение уравнений имеет вид: где i = 1, 2 (см. рис. 1), а Cij - постоянные интегрирования. Рассмотрим граничные условия для различных способов закрепления вала на точечных опорах [2]. В точке x = 0: В точке x = L1: В точке x = L2: При любом способе закрепления левого конца вала учёт граничных условий приводит к системе четырёх линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Так как не все постоянные Cij обращаются в нуль (в противном случае мы получили бы нулевые функции Ui(x)), то эта система должна иметь ненулевое решение. А так как система однородна, то это возможно только тогда, когда определитель квадратной матрицы A(p), составленной из коэффициентов при постоянных Cij, равен нулю. Таким образом, собственные частоты колебаний находятся из условий равенства нулю определителя уравнений. Заметим, что уравнение det A(p) = 0 является нелинейным уравнением относительно собственной частоты колебаний гребного вала p и может быть решено только численно. Уравнение det A(p) = 0 обладает бесконечным числом решений, каждому из которых отвечает своя собственная частота колебаний вала. Как правило, наиболее важными с практической точки зрения являются низшие частоты. После формализации задачи и выбора математической модели необходимо разработать алгоритм выполнения проектной процедуры расчёта поперечных колебаний. Преимущество программы символьных вычислений Maple перед её аналогами состоит в быстродействии и способности получать точные аналитические решения уравнений. Рассмотрим этапы решения задачи поиска собственной частоты колебаний. Последовательность получения уравнений для частот и поиска их решения на основе применения пакета символьных вычислений Maple представлена в табл. 1. Таблица 1 Последовательность вычисления собственной частоты участка валопровода № п/п Последовательность этапов Программная реализация 1 Определение функций U1 и U2 U1:=x->C11•sin(alpha1•x)+C12•cos(alpha1•x)+C13•sinh(alpha1•x)+C14•cosh(alpha1•x): U2:=x->C21•sin(alpha2•x)+C22•cos(alpha2•x)+ C23•sinh(alpha2•x)+C24•cosh(alpha2•x): 2 Задание функции вычисления коэффициентов при Cij koeff:=a-[diff(a,C11),diff(a,C12),diff(a,C13),diff(a,C14),diff(a,C21), diff(a,C22),diff(a,C23), diff(a,C24)]: 3 Задание граничных условий и условий склейки решений: при x = 0 для случая а e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): при x = 0 для случая б e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x$2),x=0),size): при x = 0 для случая в e1:= simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x$3),x=0),size): при x = L1 e3:=eval(U1(x)-U2(x),x=L1): e4:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x),x=L1): e5:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$2),x=L1): e6:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$3)-(k/EJ) •U2(x),x=L1): при x = L2 e7:=eval(U2(x)+(EJ/(M•p^2)) •diff(U2(x),x$3),x=L2): e8:=eval(diff(U2(x),x)-(EJ/(In•p^2))*(diff(U2(x),x$2)),x=L2): 4 Формирование матрицы A m1:=koeff(e1): m2:=koeff(e2): m3:=koeff(e3): m4:=koeff(e4): m5:=koeff(e5): m6:=koeff(e6): m7:=koeff(e7): m8:=koeff(e8): with(LinearAlgebra): A:=Matrix(8,8,[m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8]): 5 Вычисление определителя матрицы A ur:=simplify(Determinant(A),size): Окончание табл. 1 № п/п Последовательность этапов Программная реализация 6 Формирование коэффициентов α alpha1:=((p^2•m)/EJ)^(1/4); alpha2:=alpha1: 7 Подстановка коэффициентов в уравнение det A = 0 ur2:=simplify(ur,size): 8 Задание численных значений параметров: L1 = 2,45 м; L2 = 3,32 м; M0 = 500 кг; m0 = 120 кг/м; EJ = 3,914·106 Па; k = 2·109 Н/м; I = 3 150 Н/м m:=120: M:=500: EJ:=3.917*10^6: k:=2*10^9: L1:=2.45: L2:=3.32: In:=3150: 9 Задание точности вычислений Digits:= 20: 10 Подстановка численных параметров в уравнение det A = 0, графическое решение ur3:=simplify(ur2,size): plot(ur3, p=0..60) На рис. 2 представлены графики функций det A(p), полученные для различных случаев закрепления левого конца вала. Рис. 2. Графическое решение уравнений det A(p) = 0 при различных способах закрепления балки: а - жёсткая заделка; б - шарнирное опирание; в - не может поворачиваться, в остальном свободна Согласно выполненному численному эксперименту, способ закрепления оказывает существенное влияние на собственную частоту поперечных колебаний вала. Жёстко заделанный вал имеет наибольшую собственную частоту 40,8 с-1, вал с шарнирным опиранием имеет собственную частоту 37,5 с-1, а свободно закреплённый - наименьшую - 16,6 с-1. Собственная частота вала на протяжённой опоре с учётом вращения Рассмотрен случай использования методики, применённой к расчётной схеме согласно рис. 3, где гребной вал судна разделён на три участка: шарнирно закреплённого в точке 0, внутри дейдвудного подшипника скольжения (L1, L2) и консольно закреплённого участка (L2, L3), оканчивающегося гребным винтом. Особенностью этой задачи является учёт влияния центробежной силы на собственную частоту колебаний, т. е. вал вращается вокруг оси. Рис. 3. Расчётная схема для определения частоты поперечных колебаний гребного вала: ky - реакция основания; qFц - центробежная сила; ω - скорость вращения вала Дифференциальные уравнения колебаний записаны отдельно на каждом участке. Для учёта влияния центробежной силы qFц, которая пропорциональна отклонению, в уравнения вида (1) добавляется член mω2u. На участках U1 и U3 уравнения имеют вид: (3) При этом предполагается, что система координат вращается вместе с балкой. Если же вал опирается на упругий протяжённый подшипник скольжения, то к левой части уравнения (3) добавляется член, соответствующий силе упругости, создаваемой подшипником. На участке U2 уравнение колебаний имеет вид: (4) где k - коэффициент жёсткости подшипника. Последовательность получения решения системы дифференциальных уравнений (3), (4) и нахождения собственных частот рассмотрены в работах [3, 4]. Программная реализация последовательности нахождения собственных частот представлена в табл. 2. Таблица 2 Последовательность вычисления собственной частоты вала на протяжённой упругой опоре № п/п Последовательность этапов Программная реализация 1 Определение функций на участках U1, U2, U3 U1:=x->C11•sin(alpha1•x)+C12•cos(alpha1•x)+C13•sinh(alpha1•x)+ C14•cosh(alpha1•x): U2:=x->C21•sin(alpha2•x)+C22•cos(alpha2•x)+C23•sinh(alpha2•x)+ C24•cosh(alpha2•x): U3:=x->C31•sin(alpha3•x)+C32•cos(alpha3•x)+C33•sinh(alpha3•x)+C34•cosh(alpha3•x): 2 Задание функции вычисления коэффициентов при Cij koeff:=a-[diff(a,C11),diff(a,C12),diff(a,C13),diff(a,C14),diff(a,C21),diff(a,C22),diff(a,C23), diff(a,C24) ,diff(a,C31),diff(a,C32),diff(a,C33),diff(a,C34)]: 3 Задание граничных условий и условий склейки решений: при x = 0; e1:=U1(0): e2:=simplify(eval(diff(U1(x),x),x=0),size): при x = L1; e3:=eval(U1(x)-U2(x),x=L1): e4:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x),x=L1): e5:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$2),x=L1): e6:=eval(diff(U1(x)-U2(x),x$3),x=L1): при x = L2; e7:=eval(U2(x)-U3(x),x=L2): e8:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x),x=L2): e9:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x$2),x=L2): e10:=eval(diff(U2(x)-U3(x),x$3),x=L2): при x = L3; e11:=eval(diff(U2(x),x$2),x=L2): e12:=eval(EJ•diff(U2(x),x$3)+M•P•U2(x),x=L2): 4 Формирование матрицы A m1:=koeff(e1): m2:=koeff(e2): m3:=koeff(e3): m4:=koeff(e4): m5:=koeff(e5): m6:=koeff(e6): m7:=koeff(e7): m8:=koeff(e8): m9:=koeff(e9): m10:=koeff(e10): m11:=koeff(e11): m12:=koeff(e12): with(LinearAlgebra): A:=Matrix(12,12,[m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12]): 5 Вычисление определителя матрицы A ur:=simplify(Determinant(A),size): 6 Формирование коэффициентов α c:=sqrt(EJ/m): Omega:=P: #Omega=omega^2, P=p^2. alpha1:=((Omega+P)/(c^2))^(1/4): alpha2:=((m*(Omega+P)-k)/(m*c^2))^(1/4): alpha3:=((Omega+P)/(c^2))^(1/4): 7 Подстановка коэффициентов в уравнение det A = 0 ur2:=simplify(ur,size): 8 Задание численных значений параметров: L1 = 5 м; L2 = 7 м; L3 = 8 м; M0 = 553 кг; m0 = 120 кг/м; EJ = 3,914·106 Па; k = 1,59·109 Н/м; m0=120: M0=553: L1:=5: L2:=7: L3:=8: g=9.81, EJ=3.914*10^6, k=1.59*10^9 9 Задание точности вычислений Digits:= 20: 10 Подстановка численных параметров в уравнение det A = 0, графическое решение, вычисление точного решения ur3:=simplify(ur2,size): plot(ur3, P=90000..140000); fsolve(ur3,P=0..20000); 11909.83251 evalf(sqrt(11909.83251)); p = 109.13 График функции det A(P), где P = p2, представлен на рис. 4. Рис. 4. Графическое решение уравнения: Р - квадрат собственной частоты системы Численно решая уравнение det A(P) = 0, мы находим низшую собственную частоту колебаний вала: p = 109,13 c-1. Приведённый алгоритм вычисления критических частот может быть использован для предварительных расчётов поперечных колебаний кормовой части гребного вала. Заключение Представленная методика автоматизированного расчёта собственной частоты поперечных колебаний гребного вала позволяет исключить резонансный режим работы валопровода, а также является дополнением к существующим средствам автоматизации инженерных расчётов. Результаты исследования позволяют лучше изучить поперечные колебания валопроводов, повысить их долговечность. Приведённый в работе алгоритм применим для вычисления собственных частот вращения различных элементов, в составе которых есть вал и подшипник скольжения, а также является основой для формализации и автоматизации этапа расчёта поперечных колебаний.
1. Scherbakov N. P. Avtomatizaciya tehnologicheskogo proektirovaniya. Barnaul: Izd-vo AltGTU. 2002. 431 s.
2. Prochnost'. Ustoychivost'. Kolebaniya: sprav. / pod. red. I. A. Birgera, Ya. G. Panovko. M.: Ripol Klassik, 2013. T. 3. 574 s.
3. Kushner G. A., Mamontov V. A., Halyavkin A. A., Shahov V. V. Metodika rascheta poperechnyh kolebaniy grebnogo vala s uchetom vrascheniya // Vestn. Volzh. gos. akad. vodn. transp. 2016. Vyp. 49. S. 122-129.
4. Mitrofanov Yu. A., Zamyatin V. M. Izgibnye kolebaniya bystrovraschayuschihsya valov. Tomsk: Izd-vo TPU, 2006. 103 s.
