Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Динамический анализ поведения корабельных, крановых и других конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, при произвольном внешнем воздействии до настоящего времени остается предметом исследований. Приведены теоретические основы построения математической модели тонкостенного стержня замкнутого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности. Получены математические соотношения для построения матрицы жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля, которая может быть использована при статическом и динамическом расчетном анализе конструкций методом конечных элементов.

Ключевые слова:
тонкостенный стержень замкнутого профиля, матрица жесткости, математическая модель, конечно-элементное моделирование
Текст
Введение Динамический анализ поведения корабельных, крановых и других конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, при произвольном внешнем воздействии до настоящего времени остается предметом исследований. Прочность судовых конструкций в первую очередь связана с их способностью эффективно противостоять действию волн. Для определения тех или иных прочностных характеристик судна выполняется динамический анализ его поведения при волнении моря. Для моделирования динамики судна на волнении моря в настоящее время применяются различные методики, однако точность получаемых динамических результатов во многом зависит от математической модели инерционных свойств несущих элементов судна и, если для массивных элементов указанный вопрос является достаточно изученным, то для тонкостенных стержней замкнутого профиля он находится на стадии теоретико-экспериментального обоснования. Математическая модель матрицы масс тонкостенного стержня замкнутого профиля Для формирования матрицы масс конечного элемента (КЭ), с учетом правила знаков для перемещений и усилий, которые принимаем по рис. 1, определим функционал его кинетической энергии при пространственном деформировании в виде , (1) где r - плотность материала КЭ. Рис. 1. Правило знаков для узловых перемещений тонкостенного стержня замкнутого профиля На рис. 1 - линейные перемещения узла; - углы поворота; - депланация, производная от угла закручивания ; подстрочные индексы x, y и z обозначают оси МСК; надстрочные индексы j и k указывают на начало (н) и конец (к) стержневого конечного элемента (КЭ). В формуле (1) поперечные перемещения точки М (x, y) срединной поверхности стержня замкнутого профиля, жестко закрепленного по концам, определяются формулами [1]: (2) в которых qs - узловое перемещение, соответствующее его степеням свободы (), ys(z) - аппроксимирующие функции Эрмита [2]: (3) Подставим в (1) функции (2) с учетом (3) и определим функционал кинетической энергии деформации тонкостенного стержня однозамкнутого профиля при пространственном деформировании: (4) где - плотность материала стержня (постоянна по всей длине); A, l - площадь поперечного сечения и длина КЭ; - осевые моменты инерции; - секториальный момент инерции; - коэффициент Пуассона для материала стержня (E, G - модули упругости первого и второго рода соответственно); - полярный момент инерции; - координаты центра изгиба стержня относительно точки О начала отсчета дуговой координаты S (рис. 2) [3, 4], представленные формулами (5) Рис. 2. Равновесие выделенного элемента тонкостенного стержня замкнутого профиля Очевидно, в (5) и - моменты инерции сечения стержня, а и представляют собой секториально-линейные статические моменты отсеченной части сечения стержня, определяемые при расположении полюса в произвольной точке О: . (6) Поэтому формулы (5) определяют положение центра изгиба А относительно точки О. Следует иметь в виду, что координаты aх и aу из (5) откладываются от полюса О с учетом их знаков, а именно: если они положительны, то их откладывают в положительном направлении осей Оу и Ох (рис. 2). Кроме того, укажем, что в (5) и (6) - функция дуговой координаты , (7) которая называется обобщенной секториальной координатой и играет важную роль во всей теории тонкостенных стержней замкнутого профиля - такую же, какова роль обычной секториальной координаты в теории стержней открытого профиля, поскольку обобщенная секториальная координата не зависит от выбора точки начала отсчета дуговой координаты s (рис. 2). В (7) - функция депланации , в которой - момент инерции чистого кручения стержня, а - удвоенная площадь, охватываемая срединной линией поперечного сечения стержня , где r - полярный радиус инерции сечения. При рассмотрении линейных (малых) колебаний стержня кинетическую энергию (4) представим квадратичной формой скоростей на обобщенных перемещениях : , (8) тогда инерционные коэффициенты матрицы масс стержневого конечного элемента mst замкнутого профиля вычисляются как вторая производная от (8): . (9) В качестве компонентов перемещений стержня примем функции (2). Для конечного элемента с жестко защемленными концами принимаем ψi (I = 1, 2, …, 14) согласно (3). Матрица масс для пространственного тонкостенного стержня имеет порядок 14 х 14, определение элементов которой по формуле (9) позволяет сформировать матрицу масс тонкостенного стержня замкнутого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании [5]: . (10) При получении матрицы (10), представленной и в блочном виде, использовались известные зависимости (11) для вектора внутренних усилий по концам стержневого конечного элемента jk , (12) где и - внутренние поперечные и продольная силы; и - изгибающие и крутящий момент; - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (12) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (1) (см. рис. 1). Учитывая, что матрица масс (10) симметрична относительно главной диагонали, в которой , приведем ненулевые компоненты ее наддиагональной части: (13) Расчетный анализ плавучего крана «Волгарь» на волнении моря Теперь становится очевидным, что для проведения динамического расчетного анализа пространственных конструкций на волнении моря можно, с учетом работы [6], сформировать математическую конечно-элементную модель сооружения с n степенями свободы: , (14) в которой - коэффициент потерь [7]: (15) при этом - логарифмический декремент затухания колебаний стальных конструкций, в соответствии с которым коэффициент относительного демпфирования в (15) лежит в диапазоне (). Очевидно, векторы в правой части уравнения движения (14) обозначают внешние статические, динамические и кинематические воздействия, в которых может обозначать акселерограммы землетрясений или морской волновой процесс для расчетного анализа буровых платформ либо плавучих кранов на волнении моря. В частности, по рекомендации ООО «Крейн Марин Контрактор», нами по предложенной методике был подвергнут расчетному анализу на волнении Каспийского моря плавучий кран «Волгарь» грузоподъемностью 1400/1600 т (рис. 3), дооборудованный для выполнения грузовых операций с увеличенной до 1600 т грузоподъемностью при волнении до 2-х баллов () и силе ветра не более 10 м/с, а также на волнении моря 3 балла до и силе ветра до 5 баллов при грузоподъемности до 1400 т. Рис. 3. Общий вид плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1400/1600 т (без вантовой стрелы) Район плавания - смешанное (река - море) плавание на волнении с высотой волны 3%-й обеспеченности 4,0 м, с удалением от места убежища не более 100 миль и с допустимым расстоянием между местами убежища не более 200 миль. Для рассматриваемого примера в обозначениях работы [8] потенциал скорости волн на глубокой воде определялся по формуле , (16) а волновое давление с учетом (16) принимает вид . (17) Профиль волн определялся по формуле . (18) В формулах (16)-(18) r - амплитуда волн; - круговая частота; - волновое число (количество длин волн, укладывающихся в м); - плотность воды. Гребни волн принимались движущимися вдоль оси x с фазовой скоростью , где - период волн. Соотношение между высотой и длиной волны определялось по эмпирической формуле Циммермана [9]. Расчетно-динамическая модель (РДМ) крана, разработанная в среде CSI SAP 2000, загруженная полезным грузом 1200 т на вылете 27 м, представлена на рис. 4. - груз 1200 т Рис. 4. Конечно-элементная РДМ несамоходного морского плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1400/1600 т с вантовой стрелой: 1045 узлов, 247 стержневых КЭ замкнутого профиля, степеней свободы n = 6270 С целью безопасного ведения грузовых работ расчетом по уравновешиванию было установлено, что транспортируемый груз 1200 т на волнении моря 3 балла и волне (без учета ветра) получил амплитуду перемещений по оси X - 1,6 м, по оси Y - 0,4 м, по оси Z - 0,1 м (рис. 5). Рис. 5. Пространственное перемещение полезного груза 1200 т РДМ несамоходного плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1600 т на волнении моря 3 балла (h3 % = 1,25 м): 1 - по оси Y, м; 2 - по оси Х, м; 3 - по оси Z, м Выводы Полученная динамическая реакция плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1600 т на волнении моря 3 балла при h3 % = 1,25 м хорошо согласуется с результатами, приведенными в [8, 9]. Полученная матрица жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля [6] и матрица масс (10) с ее компонентами (13) являются важнейшими расчетными инструментами конечно-элементного моделирования динамики судна на волнении моря и могут быть использованы по методологии [10] для сложных машиностроительных конструкций, подвергаемых расчетному анализу на произвольное сочетание внешних нагрузок.
Список литературы

1. Юзиков В. П., Панасенко Н. Н. Строительная механика тонкостенных стержней / под ред. Н. Н. Панасенко. Волгоград: Волгоград. науч. изд-во, 2013. 361 с.

2. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

3. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 237 с.

4. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы: учебное пособие. М.: Изд-во Ассоциации строит. вузов, 2005. 736 с.

5. Панасенко Н. Н., Левин А. И., Юзиков В. П. Расчет на сейсмические нагрузки машиностроительных конструкций из тонкостенных стержней // Изв. Северо-Кавказ. науч. центра высш. шк. Техн. науки. 1988. № 3. С. 75-82.

6. Синельщиков А. В., Панасенко Н. Н. Математическая модель жесткостных характеристик тонкостенных стержней замкнутого профиля корабельных конструкций // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2016, № 2. С. 41-52.

7. Панасенко Н. Н., Рабей В. В., Синельщикова Л. С. Конечно-элементная модель демпфирования колебаний несущих металлоконструкций грузоподъемных кранов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2013. № 2 (56). С. 41-49.

8. Благовещенский С. Н., Холодилин А. Н. Справочник по статике и динамике корабля. Динамика (качка) корабля. Л.: Судостроение, 1975. 176 с.

9. Чижиумов С. Д. Основы динамики судов на волнении: учеб. пособие. Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2010. 110 с.

10. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.