IDENTIFICATION OF PARAMETERS OF MATHEMATICAL NON-LINEAR MODEL OF VESSEL LONGITUDINAL MOTION
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 2
, 2021
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Maritime State University named after admiral G. I. Nevelskoy
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automatic and Information Systems)
Russian Federation
Russian Federation
2.
Maritime State University after Admiral Nevelskoy
(Postgraduate Student of the Department of Automatic and Information Systems)
Vladivostok, Vladivostok, Russian Federation
Vladivostok, Vladivostok, Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 99
to 108
Status:
Published
Received:
15.04.2021
Accepted:
15.04.2021
Published:
15.04.2021
Subject area:
UDK 33 Экономика. Экономические науки
Language:
Russian
Keywords:
ship motion, identification, power series, nonlinear models, dynamic objects, control system
Abstract (English):
The article considers the important task of modern control theory to construct an adequate mathematical model of a specific dynamic object or vessel movement, that is, its identifica-tion (structural or parametric). It is proposed to construct a nonlinear model of the longitudinal motion of the ship. Practical data were obtained experimentally, a brief description of the experimental platform for an unmanned boat and equipment used in the study of the object dynamic characteristics is given. It is noted that the boat is characterized by three modes of movement: displacement, transitional and planning. The relationship between the thrust of the propeller and the speed of the boat is determined. To solve the identification problem in the work, it is proposed to use the apparatus of power series. The power series coefficients are determined experimentally. The problem of selecting the coefficients of a power series can be solved using the least squares method. In order to avoid the cumbersome calculations there were used numerical optimization methods applying the capabilities of the MS Excel computing environment. The solution to the problem was obtained by using a different number of members of the power series (N = 1, 3, 5). The efficiency of the proposed approach is justified.
The article considers the important task of modern control theory to construct an adequate mathematical model of a specific dynamic object or vessel movement, that is, its identifica-tion (structural or parametric). It is proposed to construct a nonlinear model of the longitudinal motion of the ship. Practical data were obtained experimentally, a brief description of the experimental platform for an unmanned boat and equipment used in the study of the object dynamic characteristics is given. It is noted that the boat is characterized by three modes of movement: displacement, transitional and planning. The relationship between the thrust of the propeller and the speed of the boat is determined. To solve the identification problem in the work, it is proposed to use the apparatus of power series. The power series coefficients are determined experimentally. The problem of selecting the coefficients of a power series can be solved using the least squares method. In order to avoid the cumbersome calculations there were used numerical optimization methods applying the capabilities of the MS Excel computing environment. The solution to the problem was obtained by using a different number of members of the power series (N = 1, 3, 5). The efficiency of the proposed approach is justified.
Keywords:
ship motion, identification, power series, nonlinear models, dynamic objects, control system
ship motion, identification, power series, nonlinear models, dynamic objects, control system
Введение
В практике исследования и построения систем управления движением судна широкое распространение получили как линейные, так и нелинейные модели. К ним относятся достаточно простые модели, такие как модели Беха [1], Норбина [2] и др.
В современной теории управления разработано множество методов исследования и построения систем различной природы и назначения. Основные задачи при этом связаны с разработкой алгоритмов и систем управления конкретными динамическими объектами. Основу для решения указанных задач составляют математические модели конкретных управляемых объектов. Построение соответствующих математических моделей, как правило, представляет собой сложную задачу. Настоящая работа направлена на построение нелинейной модели продольного движения судна. Построение модели конкретного управляемого динамического объекта или решение задачи его идентификации может быть связано с необходимостью определения аналитической структуры его уравнений (структурная идентификация) и/или нахождения параметров объекта при уже выбранной структуре (параметрическая идентификация).
Решению задач идентификации посвящено множество публикаций, например [3–6].
В настоящей работе при решении задачи построения модели исследуемого объекта – морского судна – предлагается использовать степенные ряды для представления априорно неизвестной нелинейной составляющей (компоненты), входящей в математическую модель продольного движения судна. Такой подход позволяет в некоторой степени решить проблему функциональной неопределенности, связанной со спецификой влияния водной среды на движение судна.
Ввиду сложности полных многомерных нелинейных моделей движения судна упрощенные, в том числе указанные нелинейные модели, получили наибольшее практическое применение при синтезе систем управления. Построение модели динамики объекта, в частности морского судна, основаны, как правило, на использовании экспериментальных данных и полученных на их основе зависимостей. В статье на примере достаточно простого объекта демонстрируется возможность построения нелинейной модели продольного движения судна.
Методы и материалы исследования
Для проведения эксперимента использовался безэкипажный катер (БЭК) [4]. Экспериментальная платформа БЭК (рис. 1) представляет собой алюминиевый глиссирующий катер с катамаранными обводами корпуса асимметричного типа, с плоскими внутренними поверхностями («Split Hull») [7].
Рис. 1. Внешний вид экспериментальной платформы для безэкипажного катера
Длина катера составляет 6 м, ширина 2,6 м, водоизмещение 1,3 т. Силовая установка состоит из двух подвесных лодочных моторов мощностью по 40 л. с.
При разработке математической модели нужно учитывать, что динамические характеристики катера могут существенно отличаться на разных режимах движения. Используемый катер имеет несколько основных режимов движения: водоизмещающий, переходный и глиссирующий. Для сбора экспериментальных данных использовались установившиеся режимы движения на ряде фиксированных диапазонов скоростей: 1,5–2, 2,5–3, 3,5–4, 4–5, 5–8 м/с.
Для сбора экспериментальных данных можно использовать различные стандартные техники маневрирования, которые были предложены на Международной конференции опытовых бассейнов (International Towing Tank Conference) и описаны в работе Тора Фоссена [8]. Это маневры: циркуляция, зигзаг, спираль, разгон-торможение и т. д.
В нашем случае сбор данных происходил на спокойной воде при выполнении маневров «зигзаг» и «циркуляция», как наиболее подходящих для оценки динамики судна по курсу [9].
В процессе выполнения указанных маневров с частотой 10 Гц производилась запись необходимых параметров: скорости движения, углов скорости и текущего положения рулевого колеса. Данные скорости поступали с GPS/Глонасс приемника, а для получения данных угловой скорости использовался датчик ориентации CH Robotics UM7-LT [10].
Сущность предложенного подхода
Для решения задачи идентификации использовали данные, которые были получены следующим образом. На катере задавалось значение тяги движителя Fj, после этого измерялось установившееся значение скорости катера vj, далее процесс повторялся для следующих значений Fj
с измерением vj. Результаты этих экспериментов приведены на графике (рис. 2) и в табл. 1.
Рис. 2. Установившиеся скорости при заданной тяге
Таблица 1
Экспериментальная зависимость установившейся скорости
v_j и тяги движителя Fj
vj Fj vj Fj vj Fj
0 0 6,5 43 12,5 55
0,5 3 7 44 13 60
1 6 7,5 45 13,5 65
1,5 11 8 46 14 70
2 14 8,5 47 14,5 75
2.5 19 9 47 15 80
3 23 9,5 48 15,5 90
3,5 27 10 48 16 100
4 31 10,5 49 16,5 105
4,5 33 11 50 17 110
5 35 11,5 51 17,5 115
5,5 38 12 53 18 120
6 41
Известно, что прямолинейное движение объекта может быть описано дифференциальным уравнением
где m – масса БЭК (включая присоединенные массы воды); v – линейная скорость катера;
F – сила тяги; – сила сопротивления водной и воздушной среды, зависящая от скорости катера; t –время.
В установившемся режиме следовательно Как следует из экспериментальных данных, сила сопротивления в зависимости от линейной скорости катера v имеет существенно нелинейный характер. Это связано, в первую очередь, с изменением режима движения катера при увеличении его скорости. При относительно малой скорости v катер движется в режиме водоизмещения, при достаточно большой скорости v переходит в режим глиссирования. Очевидно, что изменение режимов движения катера отражает нелинейный характер его динамики.
Поставим задачу определения связи между тягой движителя и скоростью движения катера. Для решения этой задачи воспользуемся аппаратом степенных рядов [11–13].
Предположим, что зависимость скорости движения катера от тяги движителя нелинейна. Представим силу сопротивления в виде степенного ряда
(1)
где N – максимальная степень ряда; коэффициенты степенного ряда.
Коэффициенты c_i будем искать из условия наилучшего соответствия получаемой теоретической зависимости экспериментальным данным. Для оценки совпадения теоретической
и экспериментальной зависимости зададимся квадратичным критерием вида
(2)
где – заданное значение силы F в j-м эксперименте; – соответствующее значение установившейся скорости катера в j-м эксперименте; коэффициенты степенного ряда.
Задача теперь заключается в нахождении таких параметров (их идентификации), при которых критерий Q достигает минимума Задача оптимизации критерия Q (2) решалась в среде MS Excel с помощью опции «Поиск решения» [14–16] для
Численные примеры
Исследуем решение этой задачи при удержании в степенных рядах различного количества членов. В простейшем случае при зависимость (1) представляет собой линейную функцию. В результате оптимизации критерия Q найденные значения коэффициентов равны . Очевидно, что в этом случае не учитывается нелинейный характер экспериментально полученной зависимости. Полученная зависимость заметно отличается от экспериментальной, следовательно, представляется целесообразным выполнить аппроксимацию с полиномом более высокого порядка.
В табл. 2 приведены теоретические значения тяги для различных значений скорости в соответствии с (1) при N = 1.
Таблица 2
Оценка силы тяги при N = 1
vj Fтj vj Fтj vj Fтj
0 0 6,5 40,625 12,5 78,125
0,5 3,125 7 43,75 13 81,25
1 6,25 7,5 46,875 13,5 84,375
1,5 9,375 8 50 14 87,5
2 12,5 8,5 53,125 14,5 90,625
2,5 15,625 9 56,25 15 93,75
3 18,75 9,5 59,375 15,5 96,875
3,5 21,875 10 62,5 16 100
4 25 10,5 65,625 16,5 103,125
4,5 28,125 11 68,75 17 106,25
5 31,25 11,5 71,875 17,5 109,375
5,5 34,375 12 75 18 112,5
6 37,5
Математическая модель продольного движения судна в установившемся режиме при
N = 1 имеет вид
График полученной зависимости приведен на рис. 3.
Рис. 3. Связь вектора тяги и скорости движения катера при
Аналогичным образом были проведены вычисления коэффициентов ряда и теоретических значений силы тяги для N = 3 (табл. 3, 4) и N = 5 (табл. 5, 6).
Таблица 3
Результаты идентификации при N = 3
Полученные значения
c0 0
c1 4,92073680172097
c2 0,0126527403370123
c3 0
Таблица 4
Оценка силы тяги Fmj при N = 3
vj Fтj vj Fтj vj Fтj
0 0 6,5 32,51936749 12,5 63,4862007
0,5 2,463531586 7 35,06514189 13 66,10789154
1 4,933389542 7,5 37,61724266 13,5 68,73590875
1,5 7,409573868 8 40,1756698 14 71,37025233
2 9,892084565 8,5 42,7404233 14,5 74,1092228
2,5 12,38092163 9 45,31150318 15 76,6579186
3 14,87608507 9,5 47,88890943 15,5 79,31124129
3,5 17,37757488 10 50,47264205 16 81,97089035
4 19,88539105 10,5 53,06270104 16,5 84,63686579
4,5 22,3995336 11 55,6590864 17 87,30916759
5 24,92000252 11,5 58,26179813 17,5 89,98779576
5,5 27,4467978 12 60,87083623 18 92,6727503
6 29,97991946
Таблица 5
Результаты идентификации при N = 5
Полученные значения
c0 1,07281728370862E-11
c1 0,955249431789216
c2 0,324434260668814
c3 0
c4 0
c5 0
Таблица 6
Оценка силы тяги при N = 5
vj Fтj vj Fтj vj Fтj
0 0 6,5 19,91646951 12,5 62,63347367
0,5 0,558733286 7 22,5840256 13 67,24763541
1 1,27968371 7,5 25,41379882 13,5 72,0240143
1,5 2,162851272 8 28,40578918 14 76,96261032
2 3,208235973 8,5 31,55999668 14,5 82,06342348
2,5 4,415837812 9 34,87642132 15 87,32645378
3 5,78565679 9,5 38,3550631 15,5 92,75170122
3,5 7,317692906 10 41,99592201 16 98,3391658
4 9,011946161 10,5 45,79899807 16,5 104,0888475
4,5 10,86841655 11 49,76429126 17 110,0007464
5 12,88710409 11,5 53,89180159 17,5 116,0748624
5,5 15,06800876 12 58,18152906 18 122,3111955
6 17,41113056
График полученной зависимости при приведен на рис. 4, при – на рис. 5.
Рис. 4. Связь вектора тяги и скорости движения катера при N = 3
Рис. 5. Связь вектора тяги и скорости движения катера при N = 5
Математическая модель продольного движения судна в установившемся режиме при имеет вид Fm = c0 +c1v + c2v2 + c3v3, при –
По результатам расчетов наибольшее совпадение с экспериментальными данными в рассмотренных случаях достигается при N = 5.
Для оценки адекватности получаемых математических моделей при N, принимающей значения 1, 3, 5, воспользуемся критерием Фишера [17]. При этом требуется вычислить показатель в соответствии с формулой
где n = 36 – количество экспериментов; m = 1 – количество факторов; – среднее значение
Для рассмотренных значений N были вычислены значения критерия Фишера, которые приведены в табл. 7.
Таблица 7
Значения критерия Фишера при N = 1, 3, 5
N Fрасчетн
1 314,76
3 228,98
5 315,3
В рассматриваемом случае при уровне значимости 0,01 табличное значение критерия Фишера, расчет которого встроен в MS Excel, составляет 7,4. Таким образом, все рассмотренные модели имеют высокую степень адекватности. Наиболее точной является модель
для N = 5.
Заключение
Предложена нелинейная модель динамики продольного движения судна. Особенностью рассмотренной модели является возможность учета смены режима движения судна (БЭК)
с водоизмещающего на глиссирование. Экспериментальные данные демонстрируют существенно нелинейный характер динамики судна. Для учета нелинейного характера движения судна было предложено использование степенных рядов. Оценка, или идентификация, коэффициентов степенного ряда, который используется для аппроксимации силы вязкого сопротивления как функции скорости судна, выполнялись на основе экспериментальных данных
и оптимизации критерия квадратичного типа, выражающего невязку теоретических и экспериментальных значений измеряемых переменных. С помощью критерия Фишера показана высокая степень адекватности построенных математических моделей, соответствующих экспериментальным данным.
1. Bech M. I. Some aspects of the stability of automatic course control of ships // Proc. Int. Symp. on Directional Stability and Control of Bodies Moving in Water. Journal Mech. Enpineerinr Science. 1972. V. l4. N. 77. P. 123-131.
2. Norrbin N. H. On the Design and Analysis of the Zig-Zag Test on Base of Quasilinear Frequency Response // Technical Report No. B140-3. The SwedenState Shipbuilding Experimental Tank (SSPA). 1963. V. 14. Iss. 7. P. 91-107.
3. Grinyak V. M., Devyatisil'nyy A. S. Identifikaciya vozdushnyh ob'ektov v sistemah upravleniya dvizheniem sudov // Transport: nauka, tehnika, upravlenie. 2012. № 8. S. 38-40.
4. Dyda A. A., Plyasheshnik K. N., Pushkarev I. I. Postroenie modeli dinamiki bezekipazhnogo sudna po kursu na osnove eksperimental'nyh dannyh // Vestn. Gos. un-ta mor. i rech. flota im. adm. S. O. Makarova. 2020. T. 12. № 4. S. 716-725. DOI:https://doi.org/10.21821/2309-5180-2020-12-4-716-725.
5. Karetnikov V. V., Sikarev A. A. Sovershenstvovanie sistemy upravleniya sudami s ispol'zovaniem avtomatizirovannyh identifikacionnyh sistem na vnutrennih vodnyh putyah // Zhurn. un-ta vod. kommunikaciy. 2010. № 3. S. 93-96.
6. Yudin Yu. I., Stepahno A. G., Gololobov A. N. Ispol'zovanie identificirovannyh matematicheskih modeley sudna dlya obespecheniya bezopasnosti sudovozhdeniya // Vestn. MGTU. 2009. T. 12. № 1. S. 10-12.
7. Nazarov A. Osobennosti proektirovaniya glissiruyuschih katamaranov // Katera i yahty. 2009. № 2 (218). S. 61-65.
8. Fosen T. I. Marine control systems. Guidance, navigation and control of ships, rigs and underwater vehicles // Marine Cybernetics, Trondheim. 2009. P. 330-335.
9. Artyszuk J. Peculiarities of zigzag behaviour in linear models of ship yaw motion // Annual of Navigation. 2016. N. 26. P. 23-38. DOI:https://doi.org/10.1515/aon-2016-0002.
10. UM7-LT datasheet. URL: http://www.chrobotics.com/docs/UM7%20Datasheet_v1-6_10.1.2016.pdf (data obrascheniya: 10.07.2019).
11. Verzhbickiy V. M. Chislennye metody. Matematicheskiy analiz i inzhenerov. M.: Nauka, 1984. 832 s.
12. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov. M.: Nauka, 1984. 832 s.
13. Karasev V. A., Levshina G. D., Mihin V. F. Matematicheskiy analiz: ucheb. M.: KNORUS, 2020. 354 s.
14. Paschenko I. G. Excel 2007. M.: Eksmo, 2009. 496 s.
15. Leonenkov A. V. Reshenie zadach optimizacii v srede MS Excel. SPb.: BHV-Peterburg, 2005. 704 s.
16. Blattner P. Ispol'zovanie Microsoft Office Excel 2003: spec. izd. / per. s angl. M.: Vil'yams, 2005. 864 s.
17. Ventcel' E. S. Teoriya veroyatnostey: ucheb. dlya vuzov. M.: Vyssh. shk., 1999. 575 s.
