NUMERICAL SEARCH OF MATHEMATICAL MODEL PARAMETERS OF FOOD PRODUCTS FROM HYDROBIONTS FOR PASTEURIZATION PPROCESS
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 2
, 2021
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Murmansk State Technical University
(Postgraduate Student of the Department of Automation and Computer Engineering)
Type:
Article
Pages:
from 89
to 98
Status:
Published
Received:
15.04.2021
Accepted:
15.04.2021
Published:
15.04.2021
Subject area:
UDK 66 Химическая технология. Химическая промышленность. Родственные отрасли
Language:
Russian
Keywords:
pasteurization process, canned food, thermal treatment, food product mathematical model, numerical search and plant identification, automatic control.
Abstract (English):
The article highlights the numerical search for the mathematical model parameters of food products from hydrobionts put into hermetically sealed canning containers. The mathematical description of the canned products was given as transfer functions. The input value is a retort short-term temperature-time dependence and the output value is the product temperature dynamics. The search for the transfer function coefficients was performed by the numerical optimization method based on the plant response. The product temperature response data was obtained experimentally with thermologgers of the “iButton Data Loggers” series during canned food pasteurization. The numerical search for the mathematical model parameters of food products was carried out using the software AutoCont Lite: SeekerC developed by the author at the Automation and Computer Engineering Department of Murmansk State Technical University. A first-order factor was chosen as a candidate for a product model in a tin can, and for a product in a glass container there was chosen a third-order factor. To solve the problem of numerical search for model parameters the integral estimate was employed as an optimization criterion. It is calculated as the square deviation between the output values of the model and the plant over the investigation period. The research resulted in mathematical models of fishery-canned products obtained in the transfer function form. The obtained result was applied for modeling and subsequent automatic control system implementation for the industrial autoclave ASCAMAT-230 during the canned food pasteurization.
The article highlights the numerical search for the mathematical model parameters of food products from hydrobionts put into hermetically sealed canning containers. The mathematical description of the canned products was given as transfer functions. The input value is a retort short-term temperature-time dependence and the output value is the product temperature dynamics. The search for the transfer function coefficients was performed by the numerical optimization method based on the plant response. The product temperature response data was obtained experimentally with thermologgers of the “iButton Data Loggers” series during canned food pasteurization. The numerical search for the mathematical model parameters of food products was carried out using the software AutoCont Lite: SeekerC developed by the author at the Automation and Computer Engineering Department of Murmansk State Technical University. A first-order factor was chosen as a candidate for a product model in a tin can, and for a product in a glass container there was chosen a third-order factor. To solve the problem of numerical search for model parameters the integral estimate was employed as an optimization criterion. It is calculated as the square deviation between the output values of the model and the plant over the investigation period. The research resulted in mathematical models of fishery-canned products obtained in the transfer function form. The obtained result was applied for modeling and subsequent automatic control system implementation for the industrial autoclave ASCAMAT-230 during the canned food pasteurization.
Keywords:
pasteurization process, canned food, thermal treatment, food product mathematical model, numerical search and plant identification, automatic control.
pasteurization process, canned food, thermal treatment, food product mathematical model, numerical search and plant identification, automatic control.
Введение
С целью расширения ассортимента, повышения качества и пищевой ценности консервной продукции инженерами-технологами разрабатываются новые режимы тепловой обработки консервов, которые требуют обязательного научного обоснования для обеспечения безопасности конечного потребителя продукта питания. Актуальным направлением деятельности является разработка пастеризованных консервов из гидробионтов и автоматизация заданного технологического процесса [1].
Для упрощения процедуры разработки новых, совершенствования существующих режимов и повышения эффективности пастеризации консервов в автоклавах целесообразно применять методы математического моделирования и построения автоматизированных систем управления. Необходимым условием для выполнения численного моделирования динамической системы (системы автоматического управления) является наличие формализованного описания объекта управления в виде модели типа «вход-выход» или передаточной функции. Таким образом, возникает потребность в нахождении параметров математических моделей пищевых продуктов из гидробионтов в консервной таре.
Научная новизна работы заключается в предложенной автором методике прикладного исследования процесса тепловой обработки пищевого продукта в консервной таре как технологического объекта управления посредством экспериментального определения параметров его модели типа «вход-выход» и последующего математического моделирования на персональном компьютере.
Описание пищевых продуктов в консервной таре как объектов управления
Технологическим объектом системы автоматического управления процессом пастеризации является пищевой продукт в консервной таре, регулируемым параметром в данной системе – температура продукта Тп в геометрическом центре тары, который является наименее прогреваемой областью [2]. Нагрев продукта осуществляется путем теплообмена через цилиндрическую поверхность тары, которая погружается в среду стерилизационной камеры автоклава с температурой Тс. Интенсивность нагрева продукта зависит от материала и геометрических размеров консервной тары, а также от характеристик самого продукта. Таким образом, формализованная модель продукта в консервной таре имеет вид, представленный на рис. 1.
Рис. 1. Формализованная модель продукта в консервной таре:
Тс(t) – температура среды; Тп(t) – температура продукта
Методы исследования
В исследовательской работе применялись системный подход, метод формализации, методы оптимизации и идентификации объектов управления (метод покоординатного спуска, метод золотого сечения), метод численного решения дифференциальных уравнений (метод Рунге – Кутты 4 порядка) и современная теория автоматического управления. При таком подходе
не требуется составления сложных нелинейных физико-математических уравнений из теории теплопроводности. Вместо этого для получения математической модели пищевого продукта
в консервной таре необходимо решить задачу идентификации параметров объекта управления,
т. е. на основе экспериментальных данных выбрать модель-кандидат и найти ее коэффициенты, затем проверить адекватность результата.
Проведение экспериментов
С целью получения временных характеристик изменения температуры внутри консервов
и сбора теплофизических параметров проведен экспериментальный процесс пастеризации продуктов из гидробионтов в автоклаве «ASCAMAT-230» [3]. Температура процесса – 83 °С, суммарная продолжительность нагрева и собственно процесса – 86 мин, охлаждения – 21 мин. Среда – водяная, давление атмосферное. В качестве пищевого продукта выбран паштет из гидробионтов оригинальной рецептуры. Масса порции продукта для фасования в тару составила 170 г.
Внутри каждой консервной тары с продуктом размещался автономный измеритель и регистратор температуры «iButton Data Loggers» [4]. Один из регистраторов был размещен внутри корзины для консервной тары для измерения температуры в стерилизационной камере автоклава. Поскольку была поставлена задача измерить температуру наименее прогреваемой области продукта, для установки датчика использовалась специальная пластиковая подставка с целью расположения чувствительного элемента в геометрическом центре консервной тары, а также для предотвращения контакта датчика с корпусом консервной тары. Характеристики используемой в эксперименте консервной тары сведены в табл. 1.
Таблица 1
Характеристики используемой консервной тары
Тип тары Количество банок, шт. Объем тары, л
Стеклянная банка с крышкой «твистофф» 3 0,25
Жестяная банка № 2 (ГОСТ 5981-2011) 3 0,17
В результате проведенного эксперимента получены динамические характеристики процесса пастеризации для стерилизационной камеры автоклава и продукта в консервной таре.
График динамики температуры продукта в жестяной таре представлен на рис. 2, а график динамики температуры продукта в стеклянной таре – на рис. 3.
Рис. 2. Графики динамики температуры продукта в жестяной таре
Рис. 3. Графики динамики температуры продукта в стеклянной таре
На основе полученных выше характеристик динамики температуры продукта в консервной таре выполнена его структурная и параметрическая идентификация численными методами решения задачи оптимизации.
Численный поиск параметров математических моделей пищевых продуктов
В теории автоматического управления известен ряд методов оптимизации – численного поиска коэффициентов передаточной функции по переходной характеристике объекта управления (идентификации), – например метод покоординатного спуска, градиентные методы и др. Для поиска коэффициентов моделей типа «вход-выход» выбран метод покоординатного спуска как наиболее простой. Суть метода заключается в сведении многомерной оптимизации к много-итерационной одномерной.
В ходе исследования разработана и зарегистрирована программа «AutoCont Lite: SeekerC» для численной идентификации технологического объекта управления по его переходной характеристике [5]. Графический интерфейс пользователя программы представлен на рис. 4.
Рис. 4. Интерфейс программы «AutoCont Lite: SeekerC»
В процессе поиска коэффициентов моделей в качестве критерия оптимизации выбрана интегральная оценка квадратичного отклонения невязки, которая рассчитывалась по формуле
где E(t) – функция невязки между переходными характеристиками исходного объекта и найден-ной модели.
На основе экспериментальных данных, исходя из классической теории автоматического управления, в качестве моделей-кандидатов выбраны линейные неоднородные дифференциальные уравнения как достаточно простые и подходящие для математического описания реальной температурной динамики продукта в консервной таре в процессе пастеризации.
Для продукта в жестяной таре в качестве аппроксимирующей модели-кандидата выбрано дифференциальное уравнение инерционного звена первого порядка, решение которого дает наименьшую невязку при поиске коэффициентов:
или
(1)
где a1 – постоянная времени, мин; y(t) – температура продукта в таре, °С; b0 – коэффициент передачи; x(t) – температура среды в стерилизационной камере автоклава, °С.
Найденные параметры моделей продукта в жестяной таре приведены в табл. 2, где J – интегральная оценка (критерий адекватности модели).
Таблица 2
Коэффициенты моделей продукта в жестяной таре
Порядковый
номер тары Нагрев Охлаждение
b0 a1 J b0 a1 J
1 0,990 6,123 8,991 0,978 6,399 0,732
2 0,998 7,016 1,112 0,953 5,572 2,984
3 0,997 7,218 1,914 0,974 6,635 0,688
Среднее значение
коэффициента 0,995 6,786 – 0,968 6,202 –
На основании полученных данных делаем вывод, что продукт из гидробионтов в жестяной консервной банке № 2 является инерционным звеном первого порядка, линейно-симметричным (практически одинаковая динамика нагрева и охлаждения).
Для продукта в стеклянной таре в качестве аппроксимирующей модели-кандидата выбрано дифференциальное уравнение инерционного звена третьего порядка, решение которого дает наименьшую невязку при поиске коэффициентов:
(2)
или
Найденные параметры моделей продукта в стеклянной таре приведены в табл. 3.
Таблица 3
Коэффициенты моделей продукта в стеклянной таре
Порядковый
номер тары Нагрев Охлаждение
b0 a3 a2 a1 J b0 a3 a2 a1 J
1 0,993 270,720 147,381 23,535 0,036 1,000 36,235 30,198 20,861 0,023
2 0,996 528,621 193,409 27,220 0,021 1,010 41,975 53,158 22,549 0,017
3 0,994 374,717 164,475 25,219 0,006 1,007 34,077 48,488 21,845 0,014
Среднее значение коэффициента 0,994 391,353 168,422 25,325 – 1,006 37,429 43,948 21,752 –
На основании полученных данных делаем вывод, что продукт из гидробионтов в стеклянной консервной таре является инерционным звеном третьего порядка, линейно-несимметричным (отличающаяся динамика нагрева и охлаждения).
Математическое моделирование
Под математическим моделированием рассматриваемого процесса пастеризации понимается нахождение значений функции температуры продукта y(t) – численного решения дифференциального уравнения, которое является моделью пищевого продукта в консервной таре, при заданных начальных условиях и известных значениях входной функции – температуры среды стерилизационной камеры автоклава x(t), за время проведения процесса, с использованием персонального компьютера, а также визуализация данного решения в виде графика.
Подставив в формулу (1) средние значения найденных коэффициентов из табл. 2, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, которые описывают динами-ку температуры паштетного продукта в жестяной консервной таре при нагреве и охлаждении соответственно:
.
Составим две системы уравнений (задачи Коши) в соответствии с начальными условиями эксперимента:
где x(t) – дискретно заданная входная функция (динамика температуры среды камеры автоклава в °С), график которой представлен на рис. 2 (камера); y(t) – искомое решение дифференциального уравнения (динамика температуры продукта в °С); y(0), x(0) – значения функций в начальный момент времени (начальные условия), которые определены из экспериментальных данных; t – время, мин.
Подставив в формулу (2) средние значения найденных коэффициентов из табл. 3, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения третьего порядка, которые описывают динамику температуры паштетного продукта в стеклянной консервной таре при нагреве и охлаждении соответственно:
Составим две системы уравнений (задачи Коши) в соответствии с начальными условиями эксперимента:
где x(t) –дискретно заданная входная функция, график которой представлен на рис. 3 (камера); – вторая и первая производные соответственно, значения которых взяты на последнем шаге этапа нагрева (в момент времени t = 86 мин); прочие начальные условия определены из экспериментальных данных.
Для решения систем дифференциальных уравнений (задач Коши) применялся численный метод Рунге – Кутты четвертого порядка с постоянным шагом интегрирования (h = 1), который реализован в программном обеспечении MATLAB Simulink. Блок «Transfer Fcn» позволяет со-ставить структурную схему и выполнить моделирование линейной динамической системы, по-этому вышеописанные дифференциальные уравнения преобразованы в передаточные функции.
Математические модели продукта в виде передаточных функций (в изображении по Лапласу) получены из обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) путем их преобразования через операторную форму.
Преобразуем уравнение (1) в операторную форму и вынесем за скобки y(p):
где p – оператор Лапласа; x(p), y(p) – входная и выходная функции в изображении Лапласа соответственно.
Выразим передаточную функцию инерционного звена первого порядка:
Передаточные функции продукта в жестяной таре при нагреве и охлаждении соответственно имеют вид
; .
Преобразуем уравнение (2) в операторную форму и вынесем за скобки y(p):
где p – оператор Лапласа; x(p), y(p) – входная и выходная функции в изображении Лапласа соответственно.
Выразим передаточную функцию инерционного звена третьего порядка:
.
Передаточные функции продукта в стеклянной таре при нагреве и охлаждении соответственно имеют вид
.
Результаты моделирования в MATLAB Simulink представлены на рис. 5 и 6.
Рис. 5. Сравнение динамики температуры продукта в жестяной таре и решения ОДУ модели
Рис. 6. Сравнение динамики температуры продукта в стеклянной таре и решения ОДУ модели
Сравнение полученных в результате моделирования решений ОДУ с экспериментальными значениями температурной динамики продукта в жестяной и стеклянной консервной таре представлено на рис. 5 и рис. 6 соответственно. Максимальная динамическая ошибка модели продукта в жестяной таре составила 3,4 °С, а средняя ошибка аппроксимации – 1,5 %, что говорит о достаточно высокой степени точности (адекватности) полученной модели. Максимальная динамическая ошибка модели продукта в стеклянной таре составила 2,1 °С, а средняя ошибка аппроксимации –
2 %, что говорит о достаточно высокой степени точности (адекватности) полученной модели.
Заключение
Работа выполнена в рамках инициативной научно-исследовательской работы (НИР) кафедры «Автоматика и вычислительная техника» Мурманского государственного технического университета по теме «Исследование, разработка и совершенствование систем управления технологическими процессами», раздел 2 – «Синтез оптимальной системы управления процессом пастеризации продукции из гидробионтов».
В результате исследований:
– получена аппроксимирующая математическая модель паштетного продукта из гидробионтов в жестяной консервной банке № 2;
– получена аппроксимирующая математическая модель паштетного продукта из гидробионтов в стеклянной консервной таре объемом 250 мл и крышкой «твист-офф»;
– разработана и зарегистрирована программа «AutoCont Lite: SeekerC» для численной идентификации технологического объекта управления по его переходной характеристике;
– предложена методика исследования продукта в консервной таре как технологического объекта управления системы автоматического управления процессом пастеризации консервов посредством математического моделирования с использованием компьютера.
Полученные результаты использованы для численного моделирования и последующей модернизации системы автоматического управления промышленного автоклава «ASCAMAT-230».
1. Zhuk A. A., Kaychenov A. V., Kuranova L. K. Avtomaticheskoe upravlenie processom pasterizacii produktov iz gidrobiontov - perspektivnyy metod razrabotki i proizvodstva poleznoy konservnoy produkcii // Nauka - proizvodstvu: materialy Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (Murmansk, 14-19 aprelya 2017 g.). Murmansk: Izd-vo MGTU, 2017. S. 34-37.
2. Kaychenov A. V., Vlasov A. V., Maslov A. A. Issledovanie temperaturnogo polya v konservah pri sterilizacii v avtoklavah periodicheskogo deystviya // Molodezh' i sovremennye informacionnye tehnologii: sb. tr. VIII Vseros. nauch.-prakt. konf. studentov, aspirantov i molodyh uchenyh. Tomsk, 2010. C. 109-110.
3. Kaychenov A. V., Vlasov A. V., Zhuk A. A., Maslov A. A., Yacenko V. V. Identifikaciya parametrov chislennoy matematicheskoy modeli sterilizacionnoy kamery sudovogo avtoklava ASCAMAT 230 s cel'yu razrabotki optimal'noy sistemy avtomaticheskogo upravleniya // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2018. № 1. S. 7-17.
4. Stolyanov A. V., Zhuk A. A., Kaychenov A., Kuranova L. Comparative analysis of temperature loggers used in the development of regimes for heat treatment of food production in autoclaves // 4th International Scientific Conference “Arctic: History and Modernity”, IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2019. V. 302. N. 012031. DOI:https://doi.org/10.1088/1755-1315/302/1/012031.
5. Svidetel'stvo № 2020660156 (RU). AutoCont Lite: SeekerC: programma dlya EVM / A. A. Zhuk; zayavl. 18.08.2020; opubl. 28.08.2020, Byul. № 9.
