ALGORITHM FOR DETERMINING PHASE SHIFT OF HARMONIC SIGNALS USING STOCHASTIC DISCRETIZATION
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 3
, 2019
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Yelets State Ivan Bunin University
(Candidate of Pedagogic Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
Type:
Article
Pages:
from 90
to 96
Status:
Published
Received:
05.07.2019
Accepted:
25.07.2019
Published:
25.07.2019
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.371
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.371
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
algorithm, signals, phase shift, mathematical modeling, less than the period access time, stochastic discretization
Abstract (English):
The article focuses on the problem of estimating basic parameters of harmonic signals. An algorithm for determining the phase shift of such signals by the probabilistic-statistical method is proposed. An important advantage of the algorithm is the fact that the circulation time is aliquant to the signal period or shorter. It is important when measuring parameters of infra-low-frequency radio signals. Mathematical modeling of the algorithm was carried out to study errors and assess the possibility of practical application of the algorithm for processing infra-low-frequency radio signals at stochastic discretization. The results of a numerical experiment show that the error of determining the phase shift of harmonic signals using the developed algorithm on the basis of integral samples with stochastic discretization of time intervals according to the uniform distribution law is 1/100 of a percent, and little depends on the accuracy of signal discretization by level. The error obtained corresponds to the accuracy of discretization when translating the 12-bit ADCs into analog-digital converters. The proposed algorithm can be applied for processing infra-low-frequency radio signals in acoustics and communication, as well as in geophysical and biomedical research.
The article focuses on the problem of estimating basic parameters of harmonic signals. An algorithm for determining the phase shift of such signals by the probabilistic-statistical method is proposed. An important advantage of the algorithm is the fact that the circulation time is aliquant to the signal period or shorter. It is important when measuring parameters of infra-low-frequency radio signals. Mathematical modeling of the algorithm was carried out to study errors and assess the possibility of practical application of the algorithm for processing infra-low-frequency radio signals at stochastic discretization. The results of a numerical experiment show that the error of determining the phase shift of harmonic signals using the developed algorithm on the basis of integral samples with stochastic discretization of time intervals according to the uniform distribution law is 1/100 of a percent, and little depends on the accuracy of signal discretization by level. The error obtained corresponds to the accuracy of discretization when translating the 12-bit ADCs into analog-digital converters. The proposed algorithm can be applied for processing infra-low-frequency radio signals in acoustics and communication, as well as in geophysical and biomedical research.
Keywords:
algorithm, signals, phase shift, mathematical modeling, less than the period access time, stochastic discretization
algorithm, signals, phase shift, mathematical modeling, less than the period access time, stochastic discretization
Проблема разработки аналогово-цифровых алгоритмов для измерения основных параметров инфранизкочастотных сигналов привлекает внимание исследователей и обусловлена решением прикладных задач в области построения приемо-передающей аппаратуры. При измерении параметров таких сигналов требуется меньшее время обращения к анализируемым сигналам и обработки сигналов во времени, близком к реальному [1-9]. В работах [1-3] рассмотрены алгоритмы определения параметров гармонических сигналов за время, меньшее их периода, с использованием «классических» методов равномерной дискретизации сигналов по времени. Особый интерес представляют исследования применения в таких алгоритмах стохастической дискретизации для оптимизации работы алгоритмов в условиях определения параметров реальных сигналов с искажениями, помехами и шумами [9]. Постановка задачи и метод ее решения К настоящему времени в ряде работ [1-3] разработаны и исследованы алгоритмы определения сдвига фаз гармонических сигналов путем измерения их мгновенных значений за время, меньшее периода этих сигналов, с дальнейшей цифровой обработкой с помощью аналого-цифровых преобразователей и микропроцессоров. Для большинства разработанных алгоритмов наличие постоянной составляющей в сигналах является причиной появления дополнительных погрешностей в измерении значений сдвига фаз. Исключить подобные погрешности можно, если синтезировать алгоритмы измерения сдвига фаз не по выборкам мгновенных значений сигналов, а по конечным разностям первого порядка от этих выборок. Рассмотрим алгоритм определения сдвига фаз гармонических сигналов при времени обращения к анализируемым сигналам, меньшим их периода, включая вероятностно-статистический метод с использованием стохастической дискретизации. Полагая, что опорный x(t) и исследуемый y(t) сигналы наряду с гармонической имеют постоянные составляющие C0x и C0y соответственно, для их мгновенных дискретизированных значений и конечных разностей можем записать: (1) (2) (3) (4) (5) (6) где ω - частота гармонических составляющих сигналов x(t) и y(t); j - сдвиг фаз между гармоническими составляющими сигналов x(t) и y(t); h = ω×Δt - шаг дискретизации в угловом измерении; Δt - шаг дискретизации сигналов x(t) и y(t) во времени; i = 0, 1, 2, …, n. Найдя отношения (7) (8) и решив уравнения (7) и (8) относительно j и α0, получим выражение для определения сдвига фаз j по кривой мгновенных значений конечных разностей первого порядка Δix и Δiy: (9) где Значение сдвига фаз j, полученное по алгоритму (9), не зависит от постоянных составляющих C0x и C0y и амплитуд Am1 и Am2 сигналов x(t) и y(t). Очевидно, алгоритм (9) позволяет определить сдвиг фаз при минимальном времени обращения к сигналам, τ, равном t = 2×Dt в угловой мере 2h. Рассмотрим дальнейшее развитие алгоритма (9), который применяется при стохастической обработке сигналов [7]. Стохастическая обработка гармонических сигналов (1) и (4) для определения сдвига фаз заключается в том, что выборки мгновенных значений из сигнала осуществляются по случайному закону. Интервал дискретизации сигналов (1) и (4) во времени выбирается из равномерно распределенных, линейно преобразованных случайных чисел, расположенных в виде вариационного ряда. В работе принимаем, что время выборок из сигналов (1) и (4) распределяется по равномерному закону. Плотность распределения интервалов времени для дискретных отсчетов: при t1 ≤ ti ≤ tn , где Tm = tn - t1 - время измерения (обращения) к сигналу и при других ti.. (10) Определяем плотность распределения для x(ti) при ti, распределенном равномерно в интервале от t1 до tn, как функции от x [5, 6]: (11) Для определения сдвига фаз гармонических сигналов по алгоритму (9) используем формулу для математического ожидания значений рассматриваемых сигналов со стохастической дискретизацией во времени как случайного процесса. Постоянные составляющие сигналов можно не учитывать, т. к. они сокращаются при нахождении конечных разностей первого порядка (1)-(8). Учитывая выражения (10) и (11), имеем для сигнала (1) математическое ожидание где Для второй выборки из сигнала (1) имеем математическое ожидание [5] где Для третьей выборки из сигнала (1) имеем математическое ожидание где Используя аналогичные выражения (10) и (11), имеем для сигнала (4): где Определим математическое ожидание для второй выборки из сигнала (4) [5]: где Математическое ожидание для третьей выборки из сигнала (4): где Найдем конечные разности первого порядка из этих выборок: где Определив отношения (12) (13) и решив уравнения (12) и (13) относительно j и α0, получим выражение для определения сдвига фаз j по кривой мгновенных значений конечных разностей первого порядка Δix и Δiy: (14) где Значение сдвига фаз j, полученное по алгоритму (14), не зависит от постоянных составляющих C0x и C0y и амплитуд Am1 и Am2 сигналов x(t) и y(t). Моделирование по алгоритму и анализ результатов С целью определения погрешности сдвига фаз гармонических сигналов предложенным алгоритмом, а также для оценки алгоритма по его использованию в цифровом виде было проведено математическое моделирование. Для моделирования исследовались гармонические (синусоидальные) сигналы с частотой f = 20 Гц и амплитудой А = 10 В, описываемые функциями где ti - интервалы времени дискретной выборки и сигнала, распределенные по равномерному закону; ω - круговая частота сигнала, рад/с: ω = 2 × π × f = 2 × 3,1415925 × 20 = 125,6637. Общее количество дискретных выборок за период примем равным 2 000. Количество дискретных выборок за время обращения к сигналу, меньшему его периода, примем равным 250. Тогда время измерения, с, будет равно Зададим сдвиг фаз двух синусоидальных сигналов j = -28° (сигнал y(t) отстает по времени от сигнала x(t)). Для математического моделирования используем табличный процессор Excel 2013. Применяя встроенную статистическую функцию «СЛЧИСЛ()», сгенерируем 2 000 чисел с равномерным законом распределения. Далее, расположив полученные значения в виде вариационного ряда по возрастанию, вычислим значения дискретных выборок из синусоидального сигнала с точностью представления 4 знака после запятой. Результаты моделирования представлены на рис. 1 и 2. Рис. 1. Восстановленный период исследуемых гармонических (синусоидальных) сигналов частотой 20 Гц Рис. 2. Стохастическая обработка исследуемого сигнала (укрупненная часть интервала первой выборки) На рис. 1 представлены периоды полностью восстановленных (оцифрованных) исследуемых сигналов в виде синусоиды, например для сигнала (1) и для сигнала (4), сдвинутых по фазе на угол j = -28°. На рис. 2 для иллюстрации применения стохастической дискретизации представлена часть одного периода оцифрованного сигнала со стохастической дискретизацией во времени, наглядно показывающая принцип работы алгоритма определения сдвига фаз гармонических (синусоидальных) сигналов. В таблице представлены результаты определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов за время, меньшее одного периода, со стохастической дискретизацией по времени. Результаты определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов Выборки математического ожидания x(t) - 250 отсчетов Выборки математического ожидания y(t) - 250 отсчетов Эталонный сдвиг фаз, град Сдвиг фаз, определенный по алгоритму, град m1x(t) m2x(t) m3x(t) m1y(t) m2y(t) m3y(t) 3,7983 9,1566 9,0184 -0,9587 6,3981 9,7592 -28,0132 -28,0141 На основании результатов математического моделирования погрешность определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов разработанным алгоритмом со стохастической дискретизацией составляет сотые доли процента и мало зависит от точности дискретизации сигналов по уровню. Полученная погрешность соответствует точности дискретизации при переводе в принятые значения аналого-цифровых преобразователей (АЦП) 12-разрядных АЦП. Заключение Таким образом, вопрос оценки основных параметров гармонических сигналов очень актуален, особенно за интервал времени, меньший периода сигнала. Предлагаемый алгоритм определения сдвига фаз гармонических (синусоидальных) сигналов является одним из путей дальнейшего развития других подобных алгоритмов. Важной проблемой дальнейших исследований является определение погрешностей разработанного алгоритма, включая применение корреляционного и оптимального алгоритмов.
1. Shahov E. K., Ugol'kov V. N. K voprosu opredeleniya sdviga faz garmonicheskih signalov za vremya menee perioda pri nalichii postoyannoy sostavlyayuschey. Krasnoyarsk: Izd-vo In-ta fiziki im. L. V. Kirenskogo Akad. nauk SSSR, 1986. 7 s.
2. Ugol'kov V. N. Some Problems of the Digital Analysis of Signal Spectra // Measurement Techniques, USA. V. 47. Iss. 6. P. 601-606.
3. Ugol'kov V. N. Methods of Measuring the Phase Shift and Amplitude of Harmonic Signals Using Integral Samples // Measurement Techniques, USA. V. 46. Iss. 5. P. 495-501.
4. Meshkov V. P., Ugol'kov V. N. Opredelenie parametrov garmonicheskih signalov po minimumu mgnovennyh otschetov. Krasnoyarsk: Izd-vo In-ta fiziki im. L. V. Kirenskogo Akad. nauk SSSR, 1984. 7 s.
5. Ventcel' E. S. Teoriya veroyatnostey. M.: Nauka, 1969. 576 s.
6. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoy radiotehniki. M.: Radio i svyaz', 1989. 656 s.
7. Bilinskiy I. Ya., Mikel'son A. K. Stohasticheskaya cifrovaya obrabotka nepreryvnyh signalov. Riga: Zinatne, 1983. 292 s.
8. Zayceva I. N., Ugol'kov V. N. Algoritm opredeleniya chastoty garmonicheskogo signala s ispol'zovaniem stohasticheskoy diskretizacii // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. 2017. № 4. S. 54-59.
9. Zayceva I. N. Ocenka pogreshnostey algoritma opredeleniya chastoty garmonicheskogo signala s garmonikami za vremya menee perioda s ispol'zovaniem stohasticheskoy diskretizacii // Sovremennaya nauka: aktual'nye problemy teorii i praktiki. Ser.: Estestvennye i tehnicheskie nauki. 2017. № 9. S. 15-19.
