THE ALGORITHM OF CALCULATION OF THE SHELL THICKNESS, OVERCOME SPHERICAL BODY
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 1
, 2017
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University
2.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University
3.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University
4.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow
(Doctor of Technical Science, Professor; Professor of the Department of Processes and Apparatus for Chemical Technology)
Russian Federation
Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 7
to 17
Status:
Published
Received:
05.01.2017
Accepted:
25.01.2017
Published:
25.01.2017
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.7:539.37
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.7:539.37
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
thin-walled plastic barrier, spherical body, kinetic energy, strain energy, plastic module, the maximum of the barriers, the method of determining the thickness
Abstract (English):
The algorithm of calculation of the maximum thickness of the plastic barriers, overcome spherical body with given geometric, kinematic and physical-mechanical parameters, which is based on the analysis of the deformation of a barrier and a spherical body. The technique uses the minimum parameters of the body and the obstacles presented in the relevant references. It does not require expensive mechanical and ballistic tests, based on the calculation of energy balance: energy barriers and deformation of a spherical body, the energy to move the body before the emergence of boundary stresses, leading to the destruction of barriers on the one hand and the initial kinetic energy of the spherical body with the other hand. The example used methodology (algorithm) of calculation, which showed that sufficiently accurate coincidence of the experimental and theoretical data.
The algorithm of calculation of the maximum thickness of the plastic barriers, overcome spherical body with given geometric, kinematic and physical-mechanical parameters, which is based on the analysis of the deformation of a barrier and a spherical body. The technique uses the minimum parameters of the body and the obstacles presented in the relevant references. It does not require expensive mechanical and ballistic tests, based on the calculation of energy balance: energy barriers and deformation of a spherical body, the energy to move the body before the emergence of boundary stresses, leading to the destruction of barriers on the one hand and the initial kinetic energy of the spherical body with the other hand. The example used methodology (algorithm) of calculation, which showed that sufficiently accurate coincidence of the experimental and theoretical data.
Keywords:
thin-walled plastic barrier, spherical body, kinetic energy, strain energy, plastic module, the maximum of the barriers, the method of determining the thickness
thin-walled plastic barrier, spherical body, kinetic energy, strain energy, plastic module, the maximum of the barriers, the method of determining the thickness
Введение Определение оптимальной толщины оболочки, пробиваемой перемещающимся телом (снарядом), всегда было актуальной задачей в разных отраслях промышленности, особенно в военной, при проектировании защитных кожухов, переносных щитов, заборов и т. д. Именно поэтому задача создания и совершенствования методики расчета и оценки пробиваемости пластической преграды летящим сферическим телом, несомненно, актуальна. Существующие методы расчета толщины преграды, преодолеваемой сферическим телом, как правило, имеют эмпирический характер, т. е. требуют проведения дорогостоящего эксперимента (испытания), который не всегда можно реализовать. В частности, в работах [1, 2] приведены графики баллистических испытаний с эмпирическими формулами, на основании которых определяется толщина пробиваемой преграды. Для расчета толщины преграды из другого материала требуется проведение аналогичного дорогостоящего испытания. Целью нашего исследования являлась разработка методики расчета толщины тонкостенной пластической преграды, преодолеваемой сферическим телом, при минимуме физико-механических и кинематических параметров материалов преграды и тела. Алгоритм расчета толщины преграды, преодолеваемой движущимся телом Рассмотрим шарообразный снаряд радиусом R, м; плотностью ρ, кг/м3; движущийся с первоначальной скоростью v, м/с. Характеристики материала снаряда: условный предел текучести - σ02с, Па; предел прочности - σВ с, Па; относительное сужение при разрыве - ψс. Преграда - первоначальная толщина S, м. Характеристики материала: предел прочности σВ п, Па; условный предел текучести σ02п, Па; относительное сужение при разрыве - . Допущения: - пренебрегаем упругими свойствами снаряда и преграды; - вся кинетическая энергия снаряда переходит в работу по перемещению снаряда и по деформации преграды и снаряда; - пренебрегаем краевыми эффектами на периферии преграды (ее площадь покрывает зону пластической деформации преграды); - истинное напряжение для материала преграды и снаряда определяется по формуле, Па: (1) где σ0,2п и σ0,2с - предел текучести преграды и снаряда; - пластический модуль упругости преграды и снаряда; - относительное удлинение материала преграды и снаряда при растяжении. Считаем, что снаряд испытывает деформацию сжатия, Па, а преграда - деформацию сдвига, Па, которые определяются по следующим формулам: ; , (2) где и - предел текучести и пластический модуль упругости при сдвиге [3]; -относительное удлинение материала при сдвиге. Пластический модуль упругости получаем из уравнения (1), при условии, что приведенное напряжение (имеет максимум при = σВ). Уравнение связи истинного σ и приведенного напряжения, Па: Приравнивая к нулю, получаем максимальное значение λэ, соответствующее пределу прочности материала σВ: (3) Из уравнения (3) получаем (4) где е = 2,718. Пластический модуль упругости можно определить методом последовательных приближений из выражения (4) или по приближенной формуле, Па: (5) Рассмотрим связь между напряжениями и деформациями при растяжении и сдвиге. Согласно энергетической теории [3], пределы текучести при растяжении и сдвиге связаны соотношением, Па: (6) Истинное напряжение при сдвиге, Па: (7) где - относительное удлинение материала при сдвиге. Относительная энергия пластической деформации, Дж/м3: (8) Согласно энергетической теории [3], связь касательных τ и нормальных σ напряжений имеет вид, Па: (9) Из уравнения (8), с учетом (1), (6), (7) и (9), связь между относительными удлинениями при растяжении и сдвиге . (10) Рассмотрим деформацию круглого снаряда и листовой преграды в момент ее прорыва (рис. 1). Рис. 1. Схема деформации снаряда и преграды в момент ее прорыва В преграде на одинаковом расстоянии от оси y по радиусу R на высоте H касательное напряжение материала преграды τп, с учетом уравнения (2), достигает предельного значения, Па: , где τ02п, Gп и λп - предел текучести, модуль сдвига и максимальная относительная деформация материала преграды в месте ее прорыва. С учетом этого уравнение для τп max, а также (1), (6), (7) и (8), Па: или , где - минимальное среднее напряжение сжатия снаряда в момент разрыва преграды; , - пределы текучести материалов снаряда и преграды; - минимальная средняя относительная деформация снаряда в момент разрыва преграды; иистинные нормальные и касательные напряжения материала преграды в момент его разрушения; и - пластические модули при сдвиге и растяжении материалов преграды; - пластический модуль материала снаряда; , и λс max - относительные удлинения при разрушении соответственно материалов преграды при сдвиге и растяжении и снаряда при растяжении;и - предельные значения касательных и нормальных напряжений материала преграды при ее разрыве. Значение определяется характером деформации при сдвиге материала преграды. Пренебрегая деформацией растяжения-сжатия y элемента преграды со стороной S (рис. 2), можно записать из треугольника ABC: ;, (11) где - производная функции y = f(x) кривой преграды в произвольной точке; - относительное удлинение кривой преграды y = f(x)в произвольной точке. Рис. 2. Схема деформации при сдвиге материала преграды В точке разрыва (), рад: (12) Из уравнения (10) следует : или (13) Энергетические соотношения Энергия предельной деформации преграды W равна кинетической энергии Wк, Дж, недеформированного снаряда в момент его соприкосновения с преградой, которая, в свою очередь, равна сумме энергий деформирования снаряда Wс и преграды Wп, а также энергии перемещения снаряда от момента его соприкосновения с преградой до разрыва последней Wп.с: Wк = Wc + Wп + Wп.с. (14) Кинетическая энергия снаряда: (15) На рис. 1 представлена физическая картина перемещения деформированного снаряда при преодолении им пластической преграды в виде зависимости y = f(x). Значение координаты х изменяется от нуля до границы пластической деформации Rк. По оси y считаем, что сферическое тело снаряда радиусом R в процессе деформирования приобрело форму эллипсоида вращения с осями по координате х, а по y - . Эллипсоид контактирует с деформируемой преградой до точки с координатами и . На участке () нет контакта с деформируемым телом. Уравнение эллипса при максимальной деформации снаряда примет вид (16) где H - координата по оси у центра тяжести деформированного снаряда. Тогда, из уравнения (16) имеем: ; ;. (17) При из (17): ; ; (18) где - половина толщины эллипса (при ). С учетом (12) и (18) получаем, рад: (19) Из (18) и (19): (20) . (21) Если принять, что в момент разрыва преграды ее касательное напряжение по кольцу радиусом и толщиной S уравновесится предельным касательным напряжением снарядапо кольцу радиусом и толщиной , то получим зависимость для определения S: , откуда (22) Продифференцировав - выражение (22) и приравняв его к нулю, получим , откуда экстремальное значение (23) Так как (сжатие эллипсоида), то, с учетом (13), получим экстремальное значение относительного сужения при разрыве преграды: ; . (24) Таким образом, если <, торассчитываем по формуле (23), а если, то считаем, что снаряд не деформирован, и принимаем . Тогда энергия деформирования снаряда (при ) составит (8): (25) где объем снаряда, м3: Средняя относительная энергия деформации снаряда, Дж/м3: Тогда зависимость (25) может быть представлена с учетом (23), Дж: Энергия деформирования преграды Wп состоит из энергии Wп1 (участок её прилегания к снаряду с координатой ) и энергии Wп2 с координатой (зона пластического деформирования преграды без ее соприкосновения со снарядом). Rк - граница пластического деформирования мембраны, определяемая из равенства сил: откуда (26) В первой зоне (при) относительное удлинение при сдвиге составит (11), (17): откуда Относительная энергия пластической деформации (формулы (7), (8) и (9)): (27) т. е. из уравнения (27) можно заключить, Дж/м3: где - относительная энергия пластической деформации преграды при ее разрушении: Истинное нормальное напряжение материала преграды при его разрушении . (28) Отсюда энергия на участке, Дж/м3: . (29) Во второй зоне касательные напряжения в преграде (30) Из уравнений (8) и (30), по аналогии с уравнением (29), получаем, Дж: (31) Тогда из уравнений (29) и (31) получаем: , где Кп - коэффициент энергии деформации преграды, Дж/м: . (32) Энергия перемещения снаряда Wп.с может быть вычислена приближенно, Дж: (33) где Fmax - максимальное усилие растяжения преграды в момент ее разрыва, Н: (34) Касательное напряжение на участке составит (30): откуда, рад: (35) При x = Rк, откуда . При , из уравнения эллиптической формы деформированного снаряда (18), и . Тогда уравнение (35) типа , при невозможности решить его прямым интегрированием, можно аппроксимировать в виде функции, м; 1/м: . При граничных условиях ; получаем, м: (36) где (37) Уравнение энергии перемещения снаряда (33), с учетом (34) и (36), примет вид, Дж/м: (38) где Кп.с - коэффициент пропорциональности в энергии по перемещению снаряда: . Толщину пробиваемой преграды находим из формулы (14) с учетом (32) и (38): . (39) Пример Найти максимальную толщину преграды S, высоту подъема краев пробоины и радиус зоны пластической деформации Rк из стали Ст3 , которую преодолевает свинцовый шарик при скорости столкновения с преградой v = 320 м/с. Решение 1. Согласно формуле (24), т. к. , считаем, что деформацией снаряда при столкновении можно пренебречь, т. е. принимаем: минимальное относительное удлинение снаряда - ; энергия его деформации - Wc = 0. 2. По формуле (5) при и определяем пластический модуль материала преграды: Па. 3. По формуле (28) определяем истинное нормальное напряжение материала преграды при его растяжении: Па. 4. По формуле (13) определяем относительное предельное удлинение материала преграды при ее разрыве: 5. По формуле (20) определяем координату по оси х места разрыва преграды: м. 6. По формуле (15) определяем кинетическую энергию снаряда: Дж. 7. По формуле (32) определяем коэффициент энергии деформации преграды: Кп = 2,080∙105 Дж/м. 8. По формуле (21) определяем производную кривой деформации преграды при: 9. По формуле (37) определяем степень аппроксимационной кривой: n = 7,257. 10. По формуле (38) определяем коэффициент пропорциональности в энергии по перемещению снаряда: Кп.с = 6,860∙105 Дж/м. 11. По формуле (39) определяем толщину пробиваемой преграды: S = 1,393∙10-3 м. 12. По формуле (36) определяем высоту подъема краев пробоины: м. 13. По формуле (26) определяем радиус зоны пластической деформации: Rк = 2,978∙10-2 м. Эти параметры соответствуют экспериментальным данным [1, 2]. Заключение В результате исследований получены алгоритм и методика расчета оптимальной толщины пластической преграды, пробиваемой сферическим телом, с использованием минимума физико-механических и кинематических характеристик материалов преграды и сферического тела. Методика не требует проведения дорогостоящих баллистических испытаний, что позволяет прогнозировать выбор материала преграды. Пример расчета демонстрирует большие возможности методики для применения в отраслях, связанных с охранной деятельностью и изготовлением защитных листовых покрытий.
1. Shirokorad A. B. Enciklopediya otechestvennoy artillerii. Minsk: Harvest, 2000. 1156 s.
2. Andreev A. G., Zhigalov N. Yu. Sudebnaya ballistika i sudebno-ballisticheskaya ekspertiza. Volgograd: VA MVD Rossii, 2003. 164 s.
3. Stepanov R. D. Soprotivlenie materialov. M.: Nauka, 1979. 560 s.
