CONSTRUCTION OF STOCHASTIC MODELS FOR HUMAN THERMAL HOMEOSTASIS
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
Volume 2014 № 1
, 2014
Rubrics: MATHEMATICAL MODELING
Authors:
1.
Ulyanovsk State University
2.
Ulyanovsk State University
Type:
Article
Pages:
from 140
to 152
Status:
Published
Received:
05.01.2014
Accepted:
25.01.2014
Published:
25.01.2014
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK [519.711+519.876.5](043)
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 22.181
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK [519.711+519.876.5](043)
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 22.181
Language:
Russian
Keywords:
human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling, human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling
Abstract (English):
A construction of mathematical models for human thermal homeostasis is considered with the purpose of their subsequent parameter fitting to experimental data using adaptive Kalman filtering technique and solution of two main problems, such as parameter identification and fastest detection of the system changes. Averaged charts of daily temperature variations of bodies of the healthy adults are taken as a benchmark data. While constructing the models, stochastic origin of measurement error as well as many external factors of average daily temperature variations are taken into account. The deterministic models for human thermal homeostasis in case of continuous time are constructed. Then a stochastic component is entered into these models and, finally, the transition to discrete time is performed.
A construction of mathematical models for human thermal homeostasis is considered with the purpose of their subsequent parameter fitting to experimental data using adaptive Kalman filtering technique and solution of two main problems, such as parameter identification and fastest detection of the system changes. Averaged charts of daily temperature variations of bodies of the healthy adults are taken as a benchmark data. While constructing the models, stochastic origin of measurement error as well as many external factors of average daily temperature variations are taken into account. The deterministic models for human thermal homeostasis in case of continuous time are constructed. Then a stochastic component is entered into these models and, finally, the transition to discrete time is performed.
Keywords:
human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling, human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling
human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling, human temperature homeostasis, stochastic models, digital simulation and system modeling
Введение Совокупность согласованных физиологических механизмов живого организма, поддерживающих большинство устойчивых состояний в теле, носит название гомеостаза. Наряду с классическим пониманием гомеостаза, восходящим к Клоду Бернару и Уолтеру Кеннону [1], существуют и более широкие современные трактовки [2]. Условием, обеспечивающим непрерывное течение метаболизма в органах и тканях, является определенная температура крови (гомойотермия) [3]. Однако это постоянство относительно, т. к. в различных органах температура неодинакова и подвержена колебаниям, которые зависят от многих факторов (время суток, активность организма, температура окружающей среды, теплоизоляционные свойства одежды и др.) [4–5]. Любая сложная проблема решается лучше, если для неё идентифицирована подходящая (адекватная, т. е. удовлетворительная) математическая модель. Работы по синергизму между физиологией и математическим моделированием активно проводятся [6]. Многие из создаваемых таким образом моделей являются статическими и дескриптивными, т. е. описывающими термочувствительность на основе нейрофизиологии восприятия тепла человеческим телом. С математической точки зрения такие модели являются относительно простыми алгебраическим моделями (формулами), выражающими чувствительность к теплу в виде линейной комбинации скоростей срабатывания нейронов гипоталамуса и кожных рецепторов. Это нельзя считать недостатком таких моделей, поскольку, по [7, 8], они приводят естественную систему и формальную модель к взаимно удовлетворительной согласованности, иными словами, они адекватно, т. е. удовлетворительно описывают некоторый Закон Природы (рис. 1 из [7]). Модели, предложенные в [6], адекватны и полезны для разработки комфортных для проживания строений – для этого они и создавались. Однако для других применений они бесполезны, т. е. неадекватны решаемой задаче. Подпись: Рис. 1. Соотношение моделирования между естественной системой и формальной моделью Исследование, предпринятое нами, ориентировано, в практическом смысле, на своевременное выявление аномального поведения температуры человека, которое в медицине принято ассоциировать с возможными негативными исходами критических состояний у взрослых и детей. Вместе с тем замеры температуры обычно делают нечасто (два-три раза в сутки) ввиду того, что это требует определённых усилий клиницистов. Постоянный же мониторинг температуры (ПМТ) тела с помощью приборов, которые размещены на теле пациента и делают замеры каждые 10–15 минут, может – при надлежащей обработке показаний этих приборов – улучшить обнаружение и диагностику критического состояния пациента. Это сложная задача, т. к. на температуру пациента оказывают влияние принимаемые лекарства и различные лечебные процедуры. Однако ПМТ имеет большое значение и для здоровых людей, например при работе астронавтов в открытом космосе для определения первых признаков дисбаланса. Особенно это важно в случае возникновения каких-либо нарушений в системе жизнеобеспечения или при внештатных ситуациях, контрмеры по преодолению которых должны применяться оперативно в крайне ограниченный временной период [9–11]. В силу множественности и неопределённости факторов, стохастическое моделирование гомеостатических процессов и дезадаптационных состояний организма признаётся одним из важных направлений в науках о живом [12]. В данном исследовании стохастическую модель флуктуаций температуры относительно среднесуточного ритма колебаний в норме предлагается использовать для того, чтобы далее построить эффективные алгоритмы обнаружения и оценивания, способные быстро обнаруживать значимые аномалии в колебаниях температуры и давать уточнённые оценки параметрам модели сразу после обнаружения. Тем самым может создаваться дополнительная, не существовавшая ранее, возможность надёжнее предупреждать нежелательное развитие критического состояния человека. Новые возможности для этого открывает метод вспомогательного функционала качества (ВФК) – главная составляющая теории активной адаптации [13]. Вспомогательный функционал качества – это реализуемый показатель качества адаптации системы, который удовлетворяет следующим условиям: 1) зависимость только от процессов, доступных для прямого измерения; 2) эквивалентность минимизирующих аргументов для исходного (недоступного) функционала качества и для вспомогательного (доступного) функционала. Благодаря этому вычислительные методы оптимальной обработки информации от стохастический модели становятся реализуемыми в реальных условиях неопределённости и резких нарушений в параметризованной модели данных. Получаемые при минимизации ВФК оценки модельных параметров оказываются состоятельными и несмещёнными [13]. Однако, чтобы эти возможности были реализованы, нужны такие модели наблюдаемой динамической системы, которые позволяют опираться на математический аппарат теории оптимальной и адаптивной фильтрации. Цель предпринятых нами исследований – предложить такие модели из области наук о живом, чтобы опробовать в дальнейшем метод ВФК для решения двух задач: 1) идентификации параметров модели; 2) скорейшего принятия решения о возможном нарушении в соответствии с рис. 2. Рис. 2. Системный анализ и синтез (рисунок также заимствован из [7], но отличается дополнениями, выделенными курсивом) Они учитывают тот случай, когда непредвиденные нарушения в системе лишают модель свойства адекватности и, следовательно, требуют решения трёх основных задач. Задача 1 – скорейшее обнаружение момента нарушения для перезапуска процесса идентификации (и также для его останова). Задача 2 – повторная идентификация модели, адекватной новому процессу в системе, возникшему после нарушения. Задача 3 – модификация модели , восстанавливающая её адекватность системе немедленно после останова процесса идентификации. Для решения этих задач должна решаться обеспечивающая задача 4 – планирование эксперимента. Нами поставлена задача построить различные математические модели суточных колебаний температуры тела человека, адекватные сформулированным выше трём основным задачам, и установлению связи этих моделей между собой. Те модели, которыми пользуются другие исследователи, например модели на основе сетей Петри [14–15], этому требованию не удовлетворяют – они не соответствуют теории фильтрации Калмана, лежащей в основе решения указанных основных задач. Основной текст статьи организован следующим образом. В разделе 1 строятся детерминистские модели суточных колебаний температуры тела человека для случая непрерывного времени. В разделе 2 в них вводится стохастическая составляющая. В разделе 3 осуществляется переход в дискретное время. Раздел 4 качественно демонстрирует пригодность этих моделей. 1. Детерминистские модели Рассмотрим график суточного колебания температуры тела человека (рис. 3) [4]. Рис. 3. Суточные колебания температуры тела человека На основании этого графика будем считать, что среднее значение (математическое ожидание) отклонения температуры тела от среднесуточного уровня °С, полученное осреднением по всему множеству здоровых взрослых людей, ведёт себя как периодическая функция времени вида c , т. е. так же, как угол θ(t) отклонения свободного маятника (осциллятора). Для составляющей справедливо уравнение гармонического осциллятора (1) с некоторыми начальными условиями при t = 0. Переписав уравнение (1) в форме Коши: , получаем непрерывную вещественную «физическую» 2D-модель (НВФМ): . (2) Утверждение 1. Общее решение НВФМ (2) имеет вид где Доказательство. Решение находится с помощью преобразований Лапласа. Определение 1 [16]. Каноническая модель определяется жордановой нормальной формой системной матрицы F с использованием её собственных значений, т. е. корней характеристического уравнения det | F – λI | = 0. Утверждение 2. Непрерывная комплексная каноническая 2D-модель (НККМ), соответствующая уравнению (1), имеет вид (3) Доказательство. Для построения искомой модели воспользуемся полученной НВФМ. Её характеристическое уравнение имеет вид Таким образом, для НККМ получаем матрицу. Найдем матрицуневырожденного преобразования базиса из условия : Выберем вариант тогда Элементы матриц будем находить из следующих соотношений: . Имеем: Искомая модель в комплексном базисе построена. Утверждение 3: Непрерывной канонической 2D-модели (3) в комплексном базисе соответствует следующая каноническая 2D-модель в вещественном базисе: (4) Доказательство. Возьмём преобразующую матрицу . Отсюда Собирая все полученные выражения, получим искомую модель (4). Построим для наглядности граф связи моделей (рис. 4). Для этого осталось вычислить матрицу перехода от НВКМ к НВФМ. Используя равенство , аналогично случаю для T1, получим . Рис. 4. Граф связей детерминистских моделей 2. Стохастические модели Для дальнейшей работы введём гауссовский марковский процесс первого порядка (сокращённо ГМП-I) , где – произвольная точка выборочного пространства Ω. Для справедливо стохастическое дифференциальное уравнение (5) где – реализация процесса броуновского движения (т. е. винеровского процесса (ВП)) с постоянной диффузией . Другими словами, процесс с нулевым средним значением имеет постоянную дисперсию , где E{.} – оператор математического ожидания на Ω. Здесь для достижения режима стационарности. Уравнение (5) порождает экспоненциально коррелированный по времени случайный процесс, т. е. процесс с автокорреляцией , где T – интервал корреляции. Введём процесс , для которого , т. к. . Получаем , где – стандартный ВП (ВП с единичной диффузией: ), определяемый из равенства . Вернемся к уже построенной ранее детерминистской 2D-НВФМ (2). Здесь переменная состояния x1 определяет среднее значение отклонения температуры тела θt от среднесуточного уровня θ* в момент времени t; х2 – среднюю скорость изменения температуры тела в момент времени t. Введем в неё третью переменную состояния , считая, что наблюдается сумма . Сначала рассмотрим случай, когда смещение θ* известно. Введём его как внешнее (данное) воздействие: . Отсюда получим 3D-НВФМ: (6) Замечание. В уравнение наблюдения аддитивно включена случайная погрешность vt. Для построения графа этой модели перепишем (6) в скалярном виде, формально обозначив: В результате получим граф, представленный на рис. 5. Рис. 5. Граф стохастической физической модели теплового гомеостаза человека Утверждение 4. 3D-НВКМ имеет вид: Доказательство. Обратимся к полученным ранее непрерывным вещественным 2D-моделям: канонической и физической. Для двумерного случая матрица перехода от первой модели ко второй имеет вид . В 3D-случае возьмем в качестве соответствующей матрицы перехода матрицу Т1: 3D-НВКМ находится из следующих соотношений: Таким образом, мы получили 3D-НВКМ, минуя построение 3D-НККМ. 3. Дискретные модели Моделирование на компьютере требует дискретных (во времени) моделей. Утверждение 5. Дискретная вещественная каноническая 3D-модель имеет следующий вид: Доказательство. Будем делать переход в дискретное время от 3D-НВКМ к 3D-ДВКМ с интервалом выборки. Запишем общее решение уравнения состояния: (7) где (7) определяет переходную матрицу для искомой 3D-ДВКМ. Определение 2 [16]. Стандартной наблюдаемой моделью в дискретном времени (с одним выходом и одним входом) называется система . [а0, а1, …, аn] определяют знаменатель передаточной функции , m < n, а коэффициенты b1,…, bn связаны системой уравнений . (8) Исходя из определения 2, находим 3D-ДСНМ в виде Обозначим: , и воспользуемся тем, что при невырожденном преобразовании базиса корни характеристических полиномов системных матриц и передаточные функции моделей остаются неизменными. Утверждение 6. Дискретная стандартная наблюдаемая 3D-модель имеет вид: Доказательство. При переходе от 3D-ДВКМ к 3D-ДСНМ найдём характеристический полином относительно переменной z-преобразования в исходном базисе: (9) В новом базисе этот же полином принимает следующий вид: (10) Из совпадения (9) и (10) находим: . Из свойства сохранения передаточных функций определим сначала матрицу . Пусть – передаточная функция относительно входа в новом базисе; G1(z) – соответствующая передаточная функция в старом базисе (относительно входа ) и . Тогда и, соответственно, . В силу уравнения связи (8) имеем , где, как было обозначено ранее, a = 1– d. Отсюда находим . Аналогичным образом определяем . Обратим внимание: все предыдущие построения выполнены из соображения, что среднесуточный уровень колебания температуры известен. Однако не исключены ситуации, в которых значение неизвестно. Для этого случая построим непрерывную вещественную каноническую 4D-модель. Добавим к уже построенным 3D-моделям, в частности к 3D-ДВКМ, в качестве четвертой переменной состояния x4t, которая будет подчиняться дифференциальному уравнению (x4t – const). Таким образом, получим следующую 4D-ДВКМ: Утверждение 6. 4D-ДСНМ имеет вид: Доказательство. Чтобы осуществить целесообразный переход от 4D-НВКМ к 4D-ДСНМ, воспользуемся вышеупомянутыми свойствами сохранения корней характеристических полиномов в старом и новом базисах, а также неизменностью передаточных функций моделей в обоих базисах. Системная матрица для нашей задачи представляется как . Как и ранее, находим, что передаточная функция в новом базисе имеет вид: ; . 4. Вычислительный эксперимент С целью верификации математических моделей и актуальности ранее изложенных выкладок приведем графики суточного колебания температуры тела человека, построенные на основе 3D-ДСНМ и 4D-ДСНМ при компьютерном моделировании. Вычислительные модели реализуем на языке программирования среды Matlab®. Для численных экспериментов используем данные из типовых медицинских источников (табл.). Параметры модели Период снятия измерений, мин τ = 60 Погрешность измерений температуры, °C σ = 0,05 Период времени, мин T = 60 Независимая неизвестная λ λ = 1/T Время корреляции шума ωn = 2π/Tn, Tn = 24*60 Начальное значение для 4D-ДСНМ x0 = θ0 + [0; sin(ωnτ); sin(2ωnτ); 4sin(ωnτ)cos2(ωnτ)–sin(ωnτ)] Начальное значение для 3D-ДСНМ x0 = [0; 0,655sin(ωnτ); 0,655sin(2ωnτ)] Дисперсия шума в измерениях R = 0,05 Среднесуточный уровень колебания температуры θ* = 36,7 В результате моделирования получены многочисленные графики, часть из которых показана на рис. 6. Они показывают изменение температуры тела человека в течение суток для случаев известного и неизвестного среднесуточного уровня температуры θ* в сравнении с реальными данными наблюдений. Рис. 6. Графики суточных колебаний температуры тела человека (осреднённые данные) Графики свидетельствуют, что принципиально построенные модели работоспособны, т. к. отражают две главные особенности: колебательный характер изменений и наличие случайной составляющей относительно этих колебаний. Заключение Построенные модели теплового гомеостаза человека являются упрощенными, однако их линейность относительно переменных состояния дает возможность применять весь аппарат и средства хорошо развитой теории оптимальной фильтрации с дискретными линейными моделями систем, что существенно расширяет область приложения разработанных моделей. Сложных ручных вычислений при построении подобных моделей позволяют избежать пакеты символьных вычислений, такие как Maple® и Matlab®. Благодаря гибкости и относительной простоте построенных моделей некоторая модификация позволяет приложить их не только к биологическим процессам подобного рода, но и к задачам инженерной направленности. Например, движение морского подвижного объекта (МПО), называемое циркуляцией, может быть смоделировано двумя гармоническими колебаниями координат точки на плоскости (каждое взято из раздела 1), смещенными по фазе на 90°. Переход от участка прямолинейного равномерного движения на участок равномерного кругового движения МПО и наоборот можно рассматривать как модельное нарушение, подлежащее скорейшему обнаружению [17]. Наши исследования направлены на решение задач 1 и 2, указанных в связи с рис. 2.
1. Cannon W. B. Organization for physiological homeostasis / W. B. Cannon // Physiological Reviews. 1929. Vol. IX, N 3. P. 399-431.
2. Nefedov V. P. Gomeostaz na razlichnyh urovnyah organizacii biosistem / V. P. Nefedov, A. A. Yasaytis, V. N. Novosel'cev. Novosibirsk: Nauka, Sibir. otd-nie, 1991. 232 s.
3. Termoregulyaciya organizma cheloveka // Biofayl [Elektronnyy resurs]: http://biofile.ru/bio/2420.html (data obrascheniya: 20.03.2013).
4. Temperatura tela cheloveka [Elektronnyy resurs]: http://www.lifesfera.ru/zakal/11.htm (data obrascheniya: 18.03.2013).
5. Kenney W. L. Invited Review: Aging and human temperature regulation / W. L. Kenney, T. A. Munce // J. Appl. Phisiol. 2003. Vol. 95. P. 2598-2603.
6. Kingma B. R. M. Human Thermoregulation. A synergy between physiology and mathematical modeling: PhD. diss. / B. R. M. Kingma. Netherlands: Universiteit Maastricht Defended, 2012. 158 p.
7. Wolkenhauer O. Data Engineering. Fuzzy Mathematics in Systems Theory and Data Analysis / O. Wolkenhauer. N. Y.: John Wiley & Sons Inc., 2001. 263 p.
8. Casti J. L. Reality Rules: Picturing the World in Mathematics / J. L. Casti. N. Y.: Wiley, 1992. 493 p.
9. Koscheev V. S. Informativnost' temperaturnyh parametrov razlichnyh zon tela cheloveka dlya korrekcii ego teplovogo disbalansa pri vyhode v otkrytoe kosmicheskoe prostranstvo / V. S. Koscheev, A. Koka, G. R. Leon, A. L. Maksimov // Fiziologiya cheloveka. 2005. № 6. S. 78-86.
10. Lakota N. G. Izuchenie temperaturnogo gomeostaza v real'noy i modeliruemoy nevesomosti / N. G. Lakota, I. M. Larina // Fiziologiya cheloveka. 2002. № 28 (3). S. 82-92.
11. Koscheyev V. S. Informative Value of Temperatures in Different Areas of the Human Body for Correcting Body Thermal Imbalance during Extravehicular Activities / V. S. Koscheyev, A. Coca, G. R. Leon, A. L. Maximov // Human Physiology. 2005. Vol. 31, N 6. P. 688-695.
12. Liao D. Generalized principles of stochasticity can be used to control dynamic heterogeneity / David Liao, Luis Estevez-Salmeron, Thea D. Tlsty // Physical Biology. 2012. Vol. 9 (6). 12 p.
13. Semushin I. V. Adaptivnye sistemy fil'tracii, upravleniya i obnaruzheniya / I. V. Semushin, Yu. V. Cyganova, M. V. Kulikova, A. E. Kondrat'ev, O. A. Fat'yanova. Ul'yanovsk: UlGU, 2011. 298 s.]
14. Blazewicz J. Modeling the process of human body iron homeostasis using a variant of timed Petri nets / J. Blazewicz, D. Formanowicz, P. Formanowicz, A. Sackmann, M. Sajkowski // Discrete Applied Mathematics. 2009. Vol. 157. P. 2221-2231.
15. Formanowicz D. Petri net based model of the body iron homeostasis / D. Formanowicz, A. Sackmann, P. Formanowicz, J. Blazewicz // Journal of Biomedical Informatics. 2007. Vol. 40. P. 476-485.
16. Semushin I. V. Deterministskie modeli dinamicheskih sistem / I. V. Semushin, Yu. V. Cyganova. Ul'yanovsk: UlGTU, 2006. 78 s.
17. Semushin I. V. Orientirovannaya na fil'traciyu Kalmana matematicheskaya model' ustanovivsheysya cirkulyacii dlya analiza traektorii celi / I. V. Semushin, Yu. M. Kroliveckaya, E. S. Petrova // Avtomatizaciya processov upravleniya. 2013. № 4 (34). C. 14-20.
