Введение Проблема выбора сканирующих приемников и трансиверов по техническим параметрам, экономическим и иным критериям, соответствующим требованиям потребителей, является актуальной для многих потребителей, особенно работающих в областях информационной безопасности, защиты от информационного шпионажа. В силу специфичной сферы применения на рынке этих устройств информация об их параметрах недостаточна и ограничена, что затрудняет потенциальным потребителям - компаниям или частным лицам осуществление рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов по необходимым для покупателя требованиям. Выбор того или иного устройства из этой группы устройств часто субъективен и основан на советах продавцов. Существуют различные подходы к решению задач выбора, которые рассмотрены, в частности, в [1–10]. Задача выбора сканирующих приемников и трансиверов - это многокритериальная задача. Ее решением будет являться парето-оптимальное множество, т. е. такое допустимое, с точки зрения покупателя сканирующих приемников и трансиверов, решение, которое не может быть улучшено ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения по какому-либо другому критерию. Это означает, что потребитель вынужден идти на определенный компромисс, соглашаясь на некоторую потерю хотя бы по одному критерию и получая определенный выигрыш по крайней мере по другому критерию. Вследствие этого актуальной задачей является формализация и выбор математического инструментария для рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов. Объект исследования – применение критерия Парето для рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов. Построение структуры показателей качества выбора сканирующих приемников и трансиверов Ранее в [11, 12] были предложены критерии выбора и методика выбора сканирующих приемников и трансиверов по основным характеристикам. После выполнения процедуры выбора сканирующих приемников и трансиверов из базы альтернатив по методике, представленной в [11, 12], генерируется множество вариантов (альтернатив) моделей сканирующих приемников и трансиверов, соответствующих требованиям потребителей, в том числе по техническим параметрам, экономическим и иным критериям. После завершения этого этапа возникает новая задача – как из полученного множества альтернатив выбрать наилучшую, в силу того, что не существует альтернативы, которая по всем критериям превосходила бы другие альтернативы. Складывается ситуация, когда отдельная альтернатива по одному или нескольким критериям может превосходить другие альтернативы, а по другим критериям им проигрывать. Предположим, что при решении задачи выбора [11, 12] сгенерировано множество альтернатив сканирующих приемников и трансиверов, состоящее из n элементов. Обозначим полученное множество альтернатив , , где аi – устройства (альтернативы), полученные при выборе по требованиям потребителей и компаний; , где - показатели качества а. В качестве исходной модели данных для описания вариантов на множестве А предложено использовать реляционное отношение (табл. 1). Таблица 2 Структура данных в виде реляционного отношения Альтернатива Показатели альтернатив и их значения Показатель e1 Показатель e2 … Показатель em a1 e1,1 e1,2 … e1,m a2 e2,1 e2,2 … e2,m … … … … … an en,1 en,2 … en,m Показатели качества , вариантов описываются их значениями по строкам. Модель алгоритма выбора по критериям Парето В основу алгоритма выбора положена модель, основанная на описании множеств возможных вариантов с помощью фактор-множества F(A/e), которым являются множества окрестностей единичного радиуса, взятых для всех . Отметим, что окрестность элемента представляет собой множество элементов , доминирующих или эквивалентных (). В задаче многокритериальной оптимизации точка называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки , которая была бы предпочтительнее, чем . Множество парето-оптимальных значений [13]: ∄ где; - множество парето-оптимальных значений (). На основе [14–16] был выделен алгоритм рационального выбора альтернатив по критерию Парето, который представлен на рис. 1. Рис. 1. Алгоритм выбора оптимальных альтернатив по критерию Парето Алгоритм выбора оптимальных альтернатив по критерию Парето работает по следующим шагам. Построение ассоциативных матриц АсМj Для хранения фактор-множеств при алгоритмизации и автоматизации решения задач использована модифицированная ассоциативная матрица линейного порядка L(A/ej),. Необходимо: - осуществить построение линейных порядков альтернатив по показателю качества - линейные порядки альтернатив построены в виде реляционного отношения: ; - построить ассоциативные матрицы для каждого линейного порядка. В строках модифицированной ассоциативной матрицы располагаются альтернативы аi, столбцы – окрестности. Эта матрица представлена в табл. 2. Таблица 3 Ассоциативная матрица АсМj фактор-множества линейного порядка L(A/ej) Окрестность Альтернатива … 0 … 0 … … … … … … … 0 Если альтернатива доминирует альтернативу , то элемент ассоциативной матрицы принимает значение равное 1, в противном случае элемент ассоциативной матрицы принимает значение равное 0. Если альтернативы , несравнимы по данному показателю качества, то элементы . Элементы, которые стоят на главной диагонали, всегда принимают значение равное 0 [16]. Итак: Построение результирующих ассоциативных матриц АсМрез Для получения результирующей ассоциативной матрицы необходимо реализовать пересечение фактор-множеств всех показателей качества: . Значение элемента результирующей ассоциативной матрицы определяется следующим образом: Результирующая ассоциативная матрица представлена в табл. 3. Таблица 4 Результирующая ассоциативная матрица АсМрез Окрестность Альтернатива … 0 … 0 … … … … … … … 0 Обработка результирующих ассоциативных матриц АсМрез - альтернатива включается во множество оптимальных вариантов по принятому критерию Парето, если значение окрестности равно 0 [16]; ; - если в результирующей ассоциативной матрице два варианта и имеют равные значения всех критерий качества, то , (1) ( – элементы положены симметрично относительно главной диагонали). В данной ситуации не получается оптимального варианта, потому что в результирующей ассоциативной матрице не будет столбцов, у которых значение . В этом случае всем элементам, симметричным относительно главной диагонали результирующей ассоциативной матрицы, удовлетворяющим выражению (1), присваивается значение 0. Для полного решения этой задачи (установление отношения порядка) у нас есть несколько методов. В этой статье мы представим метод удаления столбцов и строк из результирующей ассоциативной матрицы. Рассмотрим метод удаления столбцов и строк из результирующей ассоциативной матрицы на конкретном примере. Пример. Задано исходное множество из пяти трансиверов, для каждого из них введены 4 показателя: «Чувствительность [12]», «Продолжительность работы без перезарядки», «Количество каналов» и «Цена» (табл. 4). Таблица 5 Исходное множество Показатель Устройство е1 – Чувствительность µV, 25 кГц е2 – Продолжительность работы без перезарядки, ч e3 – Количество каналов е4 – Цена, руб. a1 – IC-4088 0,2 15 69 5 960 a2 - – TK-2307 0,25 8 32 5 960 a3 – VX-231 0,25 8 16 6 355 a4 – TK-2360M 0,25 9 16 7 000 a5 – CP040 UHF3 0,2 10 16 7 000 Примечание. В названии показателей указана направленность показателей: ¯ - направленность на минимум, - направленность на максимум. Решение Шаг 1. Построение ассоциативных матриц АсМj: - осуществим построение линейных порядков по е1, e2, e3, e4: L(a/e1) = {{a1, a5}, {a2, a3, a4}}; L(a/e2) = {a1, a5, a4, {a2, a3}}; L(a/e3) = {a1, a2, {a3, a4, a5}}; L(a/e4) = {{a1, a2}, a3,{a4, a5}}; - построим четыре ассоциативные матрицы для каждого построенного линейного порядка (табл. 5–8). Таблица 6 Ассоциативная матрица АсМ1 фактор-множества F(A/e1) линейного порядка L(A/e1) Окрестность Альтернатива O1 (a1/e1) O2 (a2/e1) O3 (a3/e1) O4 (a4/e1) O5 (a5/e1) 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Таблица 7 Ассоциативная матрица АсМ2 фактор-множества F(A/e2) линейного порядка L(A/e2) Окрестность Альтернатива O1 (a1/e2) O2 (a2/e2) O3 (a3/e2) O4 (a4/e2) O5 (a5/e2) 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 Таблица 8 Ассоциативная матрица АсМ3 фактор-множества F(A/e3) линейного порядка L(A/e3) Окрестность Альтернатива O1 (a1/e3) O2 (a2/e3) O3 (a3/e3) O4 (a4/e3) O5 (a5/e3) 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Таблица 9 Ассоциативная матрица АсМ4 фактор-множества F(A/e4) линейного порядка L(A/e4) Окрестность Альтернатива O2 (a1/e4) O2 (a2/e4) O3 (a3/e4) O4 (a4/e4) O5 (a5/e4) 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Шаг 2. Построение результирующих ассоциативных матриц АсМрез На основе полученных ассоциативных матриц – АсМ1, АсМ2, АсМ3, АсМ4, путем пересечения фактор-множеств по каждому из показателей качества, получаем результирующую ассоциативную матрицу (табл. 9). Таблица 10 Результирующая ассоциативная матрица АсМрез Окрестность Альтернатива 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Как видно из табл. 9, результирующая ассоциативная матрица содержит окрестность , у которой значение Z1 = 0. Итак, а1 – нехудший вариант исходного множества. Если нехудших вариантов будет больше, чем 1, то происходит усечение данного множества до единственного решения известными методами, например с помощью принципа гарантированного результата (максимина), согласно которому оптимальным считается вариант из множества Парето, который доставляет наилучшее значение наихудшему критерию. Выполним удаление нехудшего варианта а1 в результирующей ассоциативной матрице (табл. 9). После удаления столбца окрестности и строки а1 получим новую матрицу (табл. 10). Таблица 11 Результирующая ассоциативная матрица после удаления альтернативы а1 Окрестность Альтернатива 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Очередь альтернативы: Оч. (А/{e1…e5}) =
. Продолжим удаление нехудших вариантов и в результирующей ассоциативной матрице (табл. 10). Матрица принимает следующий вид (табл. 11). Таблица 12 Результирующая ассоциативная матрица после удаления альтернатив а2 и а5 Окрестность Альтернатива 0 0 0 0 Добавим два варианта в очередь альтернативы Оч. (А/{e1…e5}) = . После удаления a2, a5, видно, что столбцы и = Ø. Следовательно, порядок альтернатив будет иметь следующий вид: Оч. (А/{e1…e5}) = . Заключение Использование в качестве математического инструментария метода оптимального выбора по критерию Парето позволит разработать алгоритмическое обеспечение для системы поддержки принятия решений, способствующей рациональному выбору сканирующих приемников и трансиверов.
