EVALUATION OF THE CONVERGENCE SPEED IN THE LAW OF LARGE NUMBERS FOR GAMMA-DISTRIBUTED SEQUENCES
Rubrics: ENGINEERING AND NATURAL SCIENCES
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Head of the Department of Information Security)
Type:
Article
Pages:
from 28
to 54
Status:
Published
Received:
10.04.2018
Accepted:
13.04.2018
Published:
13.04.2018
Subject area:
UDK 519.2 (075.8)
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
Language:
Russian
Keywords:
law of large numbers, rate of convergence, gamma distribution, minimum volume of a set
Abstract (English):
The paper considers the problem of estimating the rate of convergence in the law of large numbers for the case when the initial set of random variables is distributed according to the law of the gamma distribution. The problem is urgent due to the fact that with a small number of initial random variables, accurate and close to the true values are the values obtained on the basis of averaging, in particular, if the receipt of each additional value is associated with significant resource costs. The main result of the paper contains estimates for the modulus of difference in distribution function of the mean value for the set of N random variables in the original population, where N is arbitrary, and distribution function of their limiting value, which is a constant (mean value). The result includes three cases: when the argument of distribution function is greater than the average value; when it is equal to it and when it is less than the average value. Estimates are obtained for the modulus of difference of distributions, which depend not only on the number of random variables N, but also on the argument of distribution function. The dependence of the obtained estimate on the argument of distribution function has an exponential character, and on the volume of the set N this dependence makes about the root of N. For convenience of practical application, and also for solving the inverse problem on the basis of the obtained result, estimating the modulus of the difference of distributions is simplified. On the basis of the simplified estimates obtained, the solution of the following inverse problem is given: to find the minimum volume of the string N at which the modulus of the difference of distributions (the accuracy of estimating the mean value on the basis of the mean value) does not exceed a given (small) value. The paper presents a formula for finding the specified minimum volume N, and an algorithm for finding the exact value of N for the estimate under consideration.
The paper considers the problem of estimating the rate of convergence in the law of large numbers for the case when the initial set of random variables is distributed according to the law of the gamma distribution. The problem is urgent due to the fact that with a small number of initial random variables, accurate and close to the true values are the values obtained on the basis of averaging, in particular, if the receipt of each additional value is associated with significant resource costs. The main result of the paper contains estimates for the modulus of difference in distribution function of the mean value for the set of N random variables in the original population, where N is arbitrary, and distribution function of their limiting value, which is a constant (mean value). The result includes three cases: when the argument of distribution function is greater than the average value; when it is equal to it and when it is less than the average value. Estimates are obtained for the modulus of difference of distributions, which depend not only on the number of random variables N, but also on the argument of distribution function. The dependence of the obtained estimate on the argument of distribution function has an exponential character, and on the volume of the set N this dependence makes about the root of N. For convenience of practical application, and also for solving the inverse problem on the basis of the obtained result, estimating the modulus of the difference of distributions is simplified. On the basis of the simplified estimates obtained, the solution of the following inverse problem is given: to find the minimum volume of the string N at which the modulus of the difference of distributions (the accuracy of estimating the mean value on the basis of the mean value) does not exceed a given (small) value. The paper presents a formula for finding the specified minimum volume N, and an algorithm for finding the exact value of N for the estimate under consideration.
Keywords:
law of large numbers, rate of convergence, gamma distribution, minimum volume of a set
law of large numbers, rate of convergence, gamma distribution, minimum volume of a set
Введение Закон больших чисел (ЗБЧ) - одна из ключевых теорем теории вероятностей, имеющая важное прикладное значение. Наглядная сеть его проста - среднее значение совокупности независимых (или почти независимых) случайных характеристик при неограниченном росте числа характеристик практически совпадает со средним значением распределения, определяющего формирование значений этих характеристик. Человечество интуитивно применяет этот прием оценки и сравнения значений различных характеристик с незапамятных времен. Создание аппарата теории вероятностей позволило не только строго обосновать правильность этого правила, но и провести научный анализ различных вопросов, связанных с ЗБЧ; в частности, границ применимости - по степени зависимости, однородности характеристик, моментным характеристикам исходных распределений, пространства задания их, по скорости сходимости и др. В данной работе объектом исследования является именно последний вопрос - скорость сходимости в ЗБЧ. Для достаточно «хороших» распределений эта скорость достаточно велика - обратно пропорциональна объему совокупности характеристик, что вытекает, например, из оценок на основе неравенства Чебышева. Однако при малом объеме данных в совокупности характеристик задача знания того, насколько точны и близки к истинным значения, полученные на основе усреднения, становится актуальной, особенно если получение каждого дополнительного значения связано со значимыми затратами ресурсов. Поэтому рассматриваемая задача представляет теоретический и практический интерес. Отметим еще одну важную сферу приложения данной задачи - математическую статистику, где проблема выявления минимального объема выборки, достаточной для получения обоснованных выводов, может оказаться особенно актуальной, поскольку часто получение каждого дополнительного элемента выборки связано с проблемами и значимыми затратами. В работе мы ограничились достаточно узким, но важным классом распределений исходной характеристики - случаем, когда ее функция распределения относится к классу гамма-распределений. Это позволило, во-первых, получить максимально точные оценки скорости сходимости, что важно для приложений, и, во-вторых, проследить зависимость этих оценок от уровня выбранного отклонения среднего значения совокупности данных от среднего значения исходного распределения. Существует большое число работ по данной тематике. С классическими результатами можно познакомиться в монографиях [1, 2], среди других работ отметим [3-6]. 1. Вспомогательные утверждения В процессе получения требуемых оценок нам понадобится формула Тейлора с остатком в интегральной форме [7]. Лемма 1. Пусть функция f(х) имеет в некоторой окрестности точки х = х0 производную n-го порядка. Тогда для любого x из этой окрестности справедливо соотношение (1) Из формулы (1) могут быть получены формулы Тейлора с остатками в форме Лагранжа и Коши. По аналогии с доказательством формулы (1) может быть получен следующий аналог этой формулы для остатка в форме Пеано. Лемма 2. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки х = х0 производную n-го порядка, которая непрерывна в точке х0. Тогда для любого x из указанной окрестности точки х = х0 справедливо соотношение (2) где (3) и Замечание 1. В данной лемме наложены несколько боле строгие ограничения на функцию f( ) по сравнению с классической формулой Пеано. Именно, в классической формуле Пеано требуется лишь существование производной n-го порядка в точке х0, а не в ее окрестности, как в лемме 2. Однако наложение последнего ограничения позволяет получить аналитическое выражение для бесконечно малой величины, представляющей собой остаток в форме Пеано. Отметим, что если существует (n+1)-я производная функции f( ), то после интегрирования по частям в (3) из (2) получаем (1) с заменой n на n + 1. Доказательство леммы 2. Для простоты изложения примем, что х0 = 0. Общий случай сводится к данному заменой функции f(х) на функцию g(x) = f(x + x0). Для произвольного k ≥ 0 рассмотрим интеграл Проинтегрировав по частям, получаем: т. е. (4) Применив формулу (4) рекуррентно k раз, получим : т. е. Разделив обе части последнего выражения на и положив k = n - 1, выводим: (5) Отсюда, в частности, сделав в интеграле замену u = xv, после переноса слагаемых из одной части равенства в другую получаем соотношение (1). Для доказательства соотношения (2) воспользуемся равенством Тогда соотношение (5) можно переписать в виде откуда после замены переменных u = xv выводятся соотношения (2) и (3). В силу непрерывности f (n)(x) в точке x = 0 для любого ε > 0 существует δ = (ε) > 0 такое, что как только , необходимо , откуда выводится неравенство: Последнее означает, что при Из определения функции φ (x) имеем: при Лемма 2 доказана. Следствие 1. Для любого функция Rn(x) может быть записана в следующем виде: где θ - некоторое число, 0 < θ < 1. В частности, при - остаточный член в форме Лагранжа; при - остаточный член в форме Коши. Лемма 3. Пусть функция v(x) дважды дифференцируема и удовлетворяет условиям: v(0) = 1 и для всех x > 0. (6) Тогда для x > 0 справедливо неравенство (7) В частности, выполнены неравенства: при v(х) = 1; (8) при и любых k; (9) при и (10) Доказательство. Обозначим Так как то достаточно доказать, что для всех x > 0, где Положим Так как g(0) = 0, то достаточно доказать для всех x > 0, где Неравенство равносильно условию (6). Первая часть утверждения 2 доказана. Рассмотрим теперь возможные варианты функции v(x). 1. v(x) = 1. Тогда и для всех x, что очевидно влечет выполнение условия (6) и неравенства (8). 2. (k > 0). Тогда и , и условие (6) запишется в виде или Так как то условие влечет Поэтому для выполнения условия при достаточно выполнение неравенства В свою очередь, условие влечет и неравенство выполняется для всех x > 0. Отсюда, двигаясь в представленном анализе в обратном порядке, приходим к выводу, что при выполняется неравенство для всех x > 0. Но при имеем для всех x > 0, что влечет справедливость (9) и при . Неравенство (9) доказано. 3. (k > 0). Тогда и и условие (40) запишется как или Так как и то при любом k > 0 последнее неравенство выполняется только для достаточно больших x. Следовательно, функция (k > 0) не может быть использована в оценках (7) для любого x. 4. (a > 0). Тогда и и условие (44) запишется как или (11) Заметим, что при a = 1 последнее неравенство запишется в виде что очевидно выполняется для всех x > 0. Так как функция φ(х, а) при фиксированном x возрастает по a, то из последнего неравенства вытекает справедливость (10) для всех а ≥ 1. Наконец, при а < 1 второе слагаемое отрицательно и неограниченно растет по модулю, а первое слагаемое стремится к нулю с ростом x, и, следовательно, неравенство (11) не выполняется. Утверждение леммы 3 выполняется. Следствие 2. Для любого x > 0 справедливы неравенства (12) для любого a > 1; (13) (14) Доказательство. Проинтегрируем обе части (9) от 0 до x, положив k = 1: После приведения подобных членов получаем: откуда следует (12). Для доказательства (13) проводим аналогичные преобразования, используя (10) вместо (9); имеем при a >1: откуда выводим: что равносильно (13). Аналогично при a = 1 выводим: откуда следует (14). Лемма 3 доказана. Лемма 4. Для любого T > 0 и любого справедлива следующая оценка для интеграла ошибок : (15) В частности, справедлива оценка: (16) Доказательство. Сделав замену после интегрирования по частям получаем: (17) Отсюда очевидным образом выводится оценка (16): Однако оценка (17) бессодержательна при малых значения T (т. к. неограниченно растет), и поэтому продолжим цепочку преобразований, еще раз проинтегрировав по частям: Получили рекуррентное соотношение для I, откуда находим: откуда, оценив единицей, выводим: (18) Вычислим интеграл в правой части (18): на основе которого (10) переписывается в виде Далее, сделаем в последнем интеграле в (9) замену Тогда Отсюда, ввиду (9), следует: Последнее соотношение, совместно с (11), влечет (6). Лемма 4 доказана. Следствие 3. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами (a, σ). Тогда для любого ε > 0 при любом фиксированном δ > 0 Доказательство вытекает из равенства и соотношения (15). 2. Основной результат Пусть дана бесконечная последовательность положительных независимых одинаково распределенных случайных величин имеющих гамма-распределение с параметрами c > 0 и α > 0, т. е. для x > 0 (19) где P - знак вероятности и Г(α) - гамма-функция Эйлера. Тогда математическое ожидание каждой из случайных величин где M - знак математического ожидания. В силу закона больших чисел для любого x, являющегося точкой непрерывности предельного распределения справедливо соотношение (20) где - функция распределения постоянной (равной b) случайной величины. Представляет интерес оценка скорости сходимости в соотношении (20). Положим Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любого N > 0 выполнено неравенство: А. Пусть Тогда для любого α > 0 и любого N ≥ 1 при Nα > 1 справедливо неравенство (21) Если то (22) Б. Пусть Тогда для любого α > 0 и любого N ≥ 1 при Nα > 1 справедливо неравенство (23) Если то (24) В. Пусть тогда для любого α > 0 и любого N ≥ 1 справедливы неравенства: (25) Если то (26) где и Доказательство. Прежде всего отметим, что без ограничения общности можно считать, что c = 1. Действительно, пусть z = x ∙ c. Тогда из (19) после замены переменных tc = u имеем: или, если обозначить Отсюда выводим: Итак, без ограничения общности полагаем c = 1. Так как сумма гамма-распределенных случайных величин также имеет гамма-распределение, то случайная величина имеет гамма-распределение. Найдем его параметры. Второй параметр является суммой вторых параметров случайных величин по всем n от 1 до N, т. е. равен Nα. Тогда математическое ожидание случайной величины равно, где CN - первый параметр этой случайной величины. С другой стороны, Получаем равенство: откуда находим значение первого параметра Таким образом, случайная величина имеет ФР Отсюда выводим (см. (19)): что после замены переменных t = Nu дает (27) Найдем максимальное значение функции входящей в состав подынтегральной функции в (19). Пусть N достаточно велико, так что Nα > 1. Имеем: (28) откуда выводим: является точкой экстремума. Так как из (28) следует, что при и при то точка является точкой максимума. Пусть вначале . Тогда Заметим также, что после замены переменных получаем: С учетом последнего равенства и соотношения имеем: (29) где (30) Рассмотрим вначале случай Nα ≤ 1. Выберем произвольное и преобразуем интеграл в правой части (30), сделав замену или (31) Так как θ произвольно, то найдем такое значение θ, при котором правая часть в (31) принимает минимально возможное значение. Функция достигает своего минимального значения при выполнении условия т. е. при Поскольку , то Отсюда вытекает, что минимальное значение выражения равно , что позволяет переписать неравенство (31) в виде Ввиду (29) и (30), находим: что влечет (22) после замены . Рассмотрим теперь основной случай Nα > 1. Так как то подынтегральная функция при убывает. Для оценки интеграла в правой части (30) воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (1): для любых u и u0 На основе последнего соотношения из (30) выводим: Примем u0 = α. Поскольку то после замены и подстановки значения α вместо u0 из последнего соотношения получаем: (32) После замены переменных (откуда ) получаем: (33) На основе последнего соотношения из (32) выводим: (34) Ввиду неравенства имеем: на основе которого из (33) получаем: Поскольку то (35) что позволяет вывести из (34) неравенство (36) Для оценки последнего интеграла сделаем замену . Тогда s изменяется от (соответствует ) до 1 (соответствует ). Выражая переменную v через s из замены переменных, получая два решения квадратного уравнения, выбираем поскольку в этом случае для всех Тогда интеграл в (36) перепишется в виде (37) Производная функции равна Следовательно, в области s > 0 функция g(s) достигает своего максимального значения при , что влечет оценку для всех . Последняя оценка позволяет переписать (37) в виде Очевидно, функция возрастает, поэтому при эта функция не превосходит величины . Далее, т. к. производная то функция убывает по s и, следовательно, не превосходит своего значения в точке s0. С учетом сказанного, последнее неравенство можно переписать в виде Воспользовавшись (10), отсюда выводим: (38) Из (36) и (37) на основе (38) выводим: при На основе (29) и (30) из (29) находим: Воспользовавшись формулой Стирлинга [8, с. 371]: где , из последнего неравенства получаем: при и (39) откуда после замены z = xc вытекает (21). Теорема 1 для случая доказана. Пусть теперь Тогда и соотношение (29), ввиду (30) и определения функции K( ), перепишется в виде (40) где Рассмотрим, как и выше, вначале случай Из (40) после замены переменных получаем: что после замены z = xc влечет (24). Рассмотрим общий случай Из определения , аналогично (32), получаем: Полагая и сделав замену имеем: После замены во внутреннем интеграле, имеем (): Ввиду неравенства получаем: (41) Используя (35), соотношение (41) можно оценить в виде что позволяет из (41) получить следующее неравенство: По аналогии со случаем z > α (см. (36) и далее) сделаем замену Тогда s изменяется от (соответствует ) до 1 (соответствует v = 1). Выражая переменную v через s из замены переменных, получая два решения квадратного уравнения, выбираем поскольку в этом случае (42) возрастает с ростом s. Поскольку интеграл в (41) перепишется в виде Поскольку убывает, а возрастает с ростом s, то из последнего выражения с использованием равенства (42) получаем: или На основе последней оценки и (40), аналогично выводу (39) получаем: (43) откуда после замены вытекает (23). Рассмотрим теперь случай . Так как то ввиду (27) и определения функции K( ) получаем: Воспользовавшись формулой Стирлинга, преобразовав интегральные выражения аналогично выводу (32), из последнего соотношения получаем : (44) Для оценки сверху выражения (44) рассмотрим разность (45) Воспользуемся леммой 3 для проведения оценок в (45). Из трех представленных вариантов оценивания, приведенных в лемме 3, выберем неравенство (8) для оценивания ввиду его простоты, хотя оно в 2 раза завышает асимптотический порядок в отличие от (9) и (10). Оценим сверху разность интегралов в последнем выражении в (45). Имеем (): (46) Отсюда, после последовательных замен переменных (), выводим (обозначено ): (47) Разложим на простые дроби подынтегральные выражения в последних двух интегралах: Отсюда вытекает: что позволяет оценить интеграл в (46) с учетом (47) в следующем виде: На основе последней оценки из (8), полагая с учетом того, что минимум функции на промежутке достигается при v = 0, выводим: (48) Далее, как и выше, рассмотрим два случая: и При после замены переменных получаем: (49) Из (44) и (45) выводим следующую цепочку оценок: (50) Ввиду неравенства из последних неравенств имеем: (51) Оценим каждое слагаемое в правой части (50). Пусть вначале Тогда из (49) следует (52) Для оценки второго слагаемого воспользуемся неравенством (x >0): (53) Аналогично оценивается третье слагаемое (): (54) Оценим последнее слагаемое: Воспользовавшись неравенством (15), из последней оценки выводим: Ввиду неравенства () получаем оценку: (55) Из (51) на основе (52)-(55) выводим: что совпадает с оценкой (26). Рассмотрим теперь случай , включающий также случай . Из (48) имеем: откуда после замены получаем: (56) Неравенство (51) перепишем в виде (57) Аналогично (52)-(54) модифицируются оценки в (57). Именно, второе слагаемое в последнем выражении в (50) оценивается следующим образом (): (58) Для третьего слагаемого получаем следующую оценку: (59) Четвертое слагаемое в (57) оценивается на основе (15) следующим образом (см. вывод (55)): (60) Из (57) на основе (56), (58)-(60)получаем: что влечет (25). Теорема 1 доказана. Замечание 2. В оценках (21) и (23) константа 16 может быть заменена на 8, если отбросить последний множитель в этих оценках. Это следует из оценок при выводе (38) и (43), если не пользоваться неравенством (10), а просто отбросить последнее экспоненциальное выражение . Однако при указанном оценивании теряется дополнительная зависимость от x, входящая в указанный множитель, что в ряде задач может представлять интерес. Наконец, вместо (10) можно воспользоваться (11) или (12), но при этом усложнятся и без того громоздкие оценки (21) и (23). Замечание 3. Как видно из теоремы 1, во всех случаях, кроме случая скорость сходимости имеет экспоненциальный порядок, причем эта скорость сходимости определяется величиной То есть чем ближе xc к параметру α, тем медленнее сходимость. Случай соответствует ситуации, когда рассматривается значение функции распределения суммы в точке скачка предельного распределения - в этом случае ее аргумент равен среднему значению, к которому, по ЗБЧ, сходится усредненная сумма. При скорость сходимости наиболее слабая: имеет место порядок где N - количество случайных слагаемых в сумме. Таким образом, интегральная оценка скорости сходимости, не зависящая от x, определяется случаем . Именно эта скорость сходимости обычно рассматривается во многих приложениях ЗБЧ, в частности, при имитационном моделировании. Последнее обстоятельство порождает значительные проблемы при практическом использовании методов имитационного моделирования и получении результата с заданной точностью, особенно когда исходная имитационная модель громоздка и требует больших временнх или ресурсных затрат при моделировании. В этом случае для увеличения точности результата на один порядок необходимо увеличить число итераций при моделировании в 100 раз, что часто практически неприемлемо. Непосредственно из теоремы 1 нетрудно вывести следствие 4. Следствие 4. Для любых и и любого справедливо соотношение Напомним, что класс гамма-распределений обладает следующим свойством замкнутости: если случайные величины ξ и независимы и имеют гамма-распределение с параметрами и соответственно, то случайная величина также имеет гамма-распределение с параметрами В силу данного свойства, если случайные величины независимы и имеют гамма-распределение с параметрами , то сумма имеет гамма-распределение с параметрами . В силу данного свойства случайная величина имеет распределение что на основе перехода к пределу при в утверждениях теоремы 1 влечет утверждение следствия 1. Следствие 5. Справедливы следующие предельные соотношения: где R не зависит от x, при хс < α, при хс > α, и Замечание 4. Отметим, что в случае , определяющем скорость сходимости в общем случае без учета значений x, из следствия 5 следует неравенство Доказательство. Следует из (21), (23) и (25) с учетом замечания 2, оценок и равенства при Оценки (21)-(26) имеют достаточно сложный вид, что усложняет их практическое использование. Поэтому ниже, в следствии 6, приводится их более грубая, но упрощенная версия. Следствие 6. Пусть . Тогда справедливы неравенства: а) при б) при в) при 3. Оценка параметра объема гамма-распределения на основе заданного требования по точности приближения В предыдущем разделе получена оценка для скорости сходимости в ЗБЧ. Однако во многих приложениях часто приходится решать обратную задачу: необходимо найти наименьший набор случайных величин, такой, чтобы среднее их значение отличалось от точного с вероятностью не меньше заданной величины. Например, указанная задача очень важна при имитационном моделировании: найти минимальное количество итераций - такое, чтобы точность результирующей средней оценки не превышала заданной величины. Формализуем указанную задачу в рамках рассмотренной выше постановки ЗБЧ. Пусть бесконечный набор независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих бета-распределение с параметрами ; заданы точность ошибки при использовании средней оценки в качестве результирующей и величина уровня доверия к конечному результату, где близко к нулю. Тогда одна из классических формализаций рассматриваемой задачи формулируется следующим образом: требуется найти наименьшее число N - такое, чтобы (61) Заметим, что для всех . Соотношение (46) может быть переписано следующим образом: или Последнее неравенство выполняется, в частности, если выполняются одновременно следующие два неравенства: Как видно из следствия 6, все полученные оценки для разностей при представимы в виде где K1, K2 - некоторые неотрицательные константы и Именно (): ; при ; ; при ; ; при Тогда поставленная задача сводится к нахождению минимального решения неравенства (62) где - требуемая точность конечного результата и для замкнутости множества решений неравенства мы заменили строгое неравенство на нестрогое. Отметим, что при решение неравенства (62) дается соотношением . Поэтому ниже предполагается, что . При известных значениях констант K1, K2, ε имеются достаточно эффективные алгоритмы численного решения неравенства (62), что важно для многих практических применений полученных результатов; в частности, для решения задачи (61). Однако для изучения переходных явлений, связанных со сходимостью в ЗБЧ, желательно иметь аналитическое выражение (даже приближенное) для минимального решения неравенства (62). Опишем предлагаемый алгоритм нахождения этого решения. Из (62) выводим: или , (63) где . Пусть А есть минимальное решение неравенства (63). Положим , где T - решение (63). Так как для любого решения T, то можно считать, что . Тогда неравенство (63) перепишется в виде или . (64) Чем ближе T к A, тем меньше x. Поэтому необходимо выбрать значение x как можно ближе к нулю. Тогда нахождение минимального решения неравенства (63) равносильно нахождению максимального решения x второго неравенства (64). Воспользуемся неравенством, вытекающим из разложения в ряд Тейлора функции , причем чем меньше x, тем точнее правая часть приближает левую. Нетрудно выяснить, что если выполнено неравенство , то выполнено и (64). Максимальное решение последнего неравенства равно (65) Основные требования к решению (65): - (дискриминант неотрицателен); - ; - (т. е. x0 должно быть как можно ближе к нулю для того, чтобы решение T было как можно ближе к A). Воспользовавшись (при ) неравенством, справедливого для всех z > 0 и , из (65) получаем: , откуда следует, что A таково, что (т. е. приблизительно равно, одновременно удовлетворяя соответствующему неравенству), или . Обозначая , последнее сравнение можно переписать в виде , т. е. решение y находится как абсцисса точки пересечения логарифмической кривой и линейной функции. Из взаимного расположения графиков указанных функций заключаем, что если величина достаточно велика (что может выполняться при малом значении требуемой точности ε конечного результата), то y находится на интервале (1; C), причем существенно ближе к C. Поэтому, обозначая и разлагая логарифм в ряд Тейлора (взяв 2 члена разложения), получаем соотношение , откуда . Возвращаясь к переменной A, последнее соотношение переписывается в виде (напомним, ) (66) Соотношение (66) и предлагается использовать в качестве приближенного значения минимального решения (62), а также в качестве начального приближения А0 для нахождения более точного решения этого неравенства. В действительности может оказаться, что значение не является минимальным решением неравенства (62). Для проверки того, является ли А0 минимальным решением неравенства (62), и в случае, если оно не является таковым, нахождение минимального решения (на основе А0), может быть использована следующая процедура. Напомним, нас интересует не точное минимальное решений T неравенства (62), а натуральное число N, связанное с T соотношением . Обозначим ; - доля, на которую изменяется текущий вариант решения неравенства ; (параметр метода). Так как , значение N найдено, если текущие значения двух соседних вариантов решений отличаются меньше, чем на 1 при , либо меньше, чем на при Предварительный шаг. 0. Полагаем m = 0; a0 = A0; Найдем границы интервала, внутри которого и расположено решение неравенства. 1. Если , то полагаем , и возвращаемся к началу шага 1; в противном случае переходим к шагу 3. 2. Если , то полагаем и возвращаемся к началу шага 2; в противном случае переходим к шагу 4. 3. Полагаем . Если и , то переходим на шаг 5; в противном случае при полагаем и переходим на начало шага 3, а при полагаем и переходим на шаг 4. 4. Полагаем . Если и , то переходим на шаг 5; в противном случае при полагаем и переходим на начало шага 4, а при полагаем и переходим на шаг 3. 5. В качестве минимального решения неравенства (62) выводится значение . Тогда соответствующее значение N равно , где ]x[ - верхняя целая часть числа x, т. е. наименьшее целое число, которое . Пример. Приведем пример реализации описанной процедуры. Пусть ; ;; c = 1. Тогда . Возьмем . Так как , то ; и . По формуле (66) Так как то в соответствии с шагом 1 приведенной процедуры находим и Вновь находим и . Таким образом, корень находится на промежутке (30,767; 36,92). При этом В соответствии с шагом 3 процедуры полагаем и находим Так как и , то переходим к шагу 4, положив . В соответствии с шагом 4 находим . Так как и , то переходим к шагу 5, полагая N = ]30,964[ = 31. Таким образом, процедура завершена. Отметим, что относительная погрешность оценки N на основе (66) в примере равна , т. е. 16 %. Заключение В работе получены текущие и асимптотические оценки скорости сходимости в законе больших чисел в случае, когда исходные случайные величины независимы и одинаково распределены с функцией распределения, принадлежащей классу гамма-распределений. Также рассмотрена обратная задача нахождения минимального объема набора случайных величин, обеспечивающая близость среднего их значения к предельному с вероятностью не меньше заданной. Предложено соотношение для приближенной оценки решения обратной задачи, а также процедура нахождения точного ее решения.
1. Petrov V. V. Summy nezavisimyh sluchaynyh velichin. M.: Fizmatlit, 1972. 416 s.
2. Zolotarev V. M. Sovremennaya teoriya summirovaniya nezavisimyh sluchaynyh velichin. M.: Nauka, 1986. 410 s.
3. Baklanov E. A. Dopolnitel'nye glavy teorii veroyatnostey. Novosibirsk: Izd-vo MMF NGU, 2012. 18 s.
4. Petrov V. V. Ob absolyutnoy shodimosti ryadov sluchaynyh velichin pochti navernoe // Zapiski nauchnyh seminarov POMI. 2014. T. 431. S. 140-144.
5. Yudin M. D. Predel'nye raspredeleniya summ zavisimyh sluchaynyh velichin i vektorov: dis. … d-ra fiz.-mat. nauk. Minsk: Belorus. gos. un-t, 1997. 144 s.
6. Popov G. A. K skorosti shodimosti v zakone bol'shih chisel (tez. dokl.) // Tr. 5-y Mezhdunar. konf. po teorii veroyatnostey i matem. statistike. Vil'nyus, 1989. T. 3. S. 178-179.
7. Bugrov Ya. S., Nikol'skiy S. M. Vysshaya matematika: ucheb. dlya vuzov v 3-h t. / pod red. V. A. Sadovnichego. M.: Drofa, 2004. T. 2: Differencial'noe i integral'noe ischislenie. S. 284.
8. Fihtengol'c G. M. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya. M.: Nauka, 1970. T. 2. 800 s.
