Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
A modified method for calculating the life of high-speed ball bearings is presented, developed specifically for responsible marine power plants where high-speed operation is a typical mode. Classical calculation methods based on the Hertz and Palmgren – Lundberg theories (ISO 281:2007 standard) do not fully take into account inertial and centrifugal effects, which become dominant at high rotational speeds, which leads to a significant overestimation of the predicted service life. The proposed method integrates three correction coefficients into the ISO 281:2007 formula, taking into account the inertial load, rotational speed and inertial pressure at the point of contact. The model also includes a refined description of friction, taking into account the Strieback effect and the viscous properties of the lubricant. It is shown that neglecting inertial corrections leads to an overestimation of the estimated resource by up to 25% in the nominal mode and up to 400% when the speed is doubled. The methodology identifies three bearing safety zones depending on the ratio of operating speed to nominal speed, which is especially important for planning maintenance of marine units. The proposed approach provides a transition from empirical estimates to physically sound reliability forecasting, which is critical for ensuring trouble-free operation of gearboxes, turbines and other high-speed components of modern marine equipment. Further research may be aimed at adapting the model to specific types of bearings and their operating conditions in ship systems, taking into account the loads typical of marine operation, as well as at developing specific improvements to the design of rolling bearings to smooth out the presented effects.
rolling bearings, high rotation speeds, reliability factor, contact stresses, dynamic model, bearing service life
Введение
Современные методы расчета подшипников качения основаны на теориях Герца и Палмгрена – Лундберга, представленных в работах по их модернизации [1, 2], широко используются для различных прикладных применений и заложены в основу современных стандартов, например ISO 281:2007 [3]. Однако, как подтверждают результаты исследований [4–6], с ростом скоростей вращения в авиационных, энергетических и других ответственных агрегатах традиционно считавшиеся второстепенными инерционные и центробежные эффекты начинают доминировать, приводя к существенному перераспределению нагрузок в телах качения.
Согласно исследованию тел качения и верчения в работах [7, 8], инерционные поправки в подшипниках можно интерпретировать не как изолированные силовые факторы, а как проявление общей нелинейной динамики системы «тело качения – дорожка – смазочный слой», где сухое трение и эффект Стрибека (выявленные в экспериментах с волчком) играют критическую роль наряду с центробежными силами.
Существующие комплексные динамические модели [9–11], хотя и учитывают эти факторы, зачастую слишком громоздки для инженерного прогнозирования ресурса в условиях изменяющихся режимов работы. В связи с этим актуальной является задача разработки адаптированной методики расчета, которая, базируясь на классическом подходе [1–3], интегрировала бы поправки на инерционную нагрузку, изменение трения и теплового режима, оставаясь удобной для практического применения.
Целью настоящей работы является разработка и верификация модифицированной методики расчета ресурса высокоскоростных шарикоподшипников, основанной на комплексном учете инерционных возмущений и нелинейных эффектов трения, аналогичных выявленным при исследовании динамики роторных систем.
Материалы и методы исследования
В рамках исследования была разработана и применена усовершенствованная методика расчета контактных напряжений, трения и долговечности шарикоподшипников, работающих в условиях высоких скоростей вращения, с учетом инерционных и центробежных эффектов. Методика построена на модификации классической теории контактных напряжений Герца и ее модификации, основанной на ранее проведенных экспериментальных исследованиях [7, 8].
Верификация предложенной модифицированной методики и численные расчеты выполнены для типового представителя высокоскоростных подшипников качения – шарикоподшипника радиального однорядного № 206 (ГОСТ 8338-75), масса тела качения mi = 0,01 кг, радиус дорожки качения наружного кольца R = 30 мм, количество тел качения Z = 9, номинальная угловая скорость ωном = 300 рад/с. Выбор данного типоразмера обусловлен его широким применением в судовых вспомогательных механизмах.
Контактные напряжения и критическая угловая скорость определялись с учетом динамических поправок. Для прогнозирования ресурса была модифицирована стандартная формула ISO 281:2007 путем введения трех корректирующих коэффициентов, учитывающих инерционную нагрузку, скорость и инерционное давление. Адаптация модели к конкретным условиям обеспечивалась процедурой экспериментальной корректировки коэффициентов. Значимость инерционных эффектов подтверждена сравнительным анализом с классическими методами в широком диапазоне скоростей вращения.
Математическая модель
Расчет контактных напряжений в точке контакта может быть проведен согласно теории Герца [1]. Для этого выведена эквивалентная нагрузка в точке контакта тела качения с учетом инерционной нагрузки:
где X, Y – коэффициенты преобразования радиальной и осевой нагрузки в эквивалентную; Fr, Fa – радиальная и осевая нагрузки, Н; mi – масса тела качения, кг; Ri – текущий радиус вращения, м; ω – угловая скорость, рад/с; ωном – номинальная угловая скорость, рад/с; vотн – относительная скорость тела качения, м/с; kинерц – коэффициент инерционности.
Уточненная модель учитывает трение качения с учетом вязкой составляющей по смазке и эффект Стрибека по [7], а также инерционные нагрузки:
где ξкач, ξвяз, ξстриб, ξинерц – коэффициенты трения качения, трения вязкого в смазке, трения от эффекта Стрибека и трения от инерционных нагрузок;
– приведенный радиус кривизны; β1, β2 – экспериментальные коэффициенты адаптации под конкретные условия работы; hmin – минимальная толщина смазывающей пленки; v – скорость окружная, м/с; Ф – режим работы подшипника относительно критической угловой скорости; αs = 0,028, βs = 0,012 с/рад, γs = 3,5 · 10−10 м²/Н – коэффициенты поправочные экспериментальные; Ac – площадь контакта по Герцу, м2; Id – момент инерции шарика; δ – коэффициент динамичности.
Контактные напряжения получены с учетом инерционных поправок и на основании (1), (2):
где Φраспр – коэффициент распределения; ε – полный эллиптический интеграл второго рода; 
– приведенный модуль Юнга; k = a/b – параметр эллиптического контакта.
В стадии эллиптического контакта наблюдается максимальная диссипация и износ, что также выносит вопрос о расчете критических параметров, прежде всего критической угловой скорости:
где ωкрит0 – базовая критическая угловая скорость без учета инерционных поправок, рад/с; km – критерий влияния массы; kξ – критерий влияния трения.
Мощность трения с учетом (1)–(4) может быть получена с целью необходимости теплового расчета подшипника:
где Zэфф = 0,9Z – эффективное число тел качения; αтепл – коэффициент теплоотдачи охлаждающей поверхности, Вт/(м2 · К); Аохл – площадь охлаждаемой поверхности, м2; αинтенс – коэффициент интенсификации теплообмена.
Вязкостно-температурная зависимость при этом имеет вид:
На основании полученных результатов может быть спрогнозирован ресурс подшипника и коэффициент надежности, по ISO 281:2007 [3]:
где k1 – коэффициент инерционной нагрузки; k2 – коэффициент скорости; k3 – коэффициент инерционного давления; k4 – коэффициент трения (изменение режима смазки и рост потерь):
где α1, α2, α3, α4 – калибровочные коэффициенты.
Выбор мультипликативной формы для (5) для корректирующих коэффициентов k1, k2 и k3 обусловлен предположением о независимости влияния рассматриваемых физических факторов (инерционной нагрузки, скорости вращения и инерционного давления) на ресурс подшипника. Центробежные силы (учитываемые k1), диссипация энергии (k2), контактное давление (k3) и изменение режима смазки (k4) представляют собой независимые физические механизмы, каждый из которых вносит свой вклад в повреждаемость материала. В рамках линейной механики накопления повреждений (гипотеза Палмгрена – Майнера) итоговый ресурс определяется произведением поправок, что подтверждается структурой стандартной формулы ISO 281:2007. Альтернативные формы связи (например, аддитивная) не имеют физического обоснования для данного набора факторов, т. к. отсутствие одного из них обнуляет ресурс, что адекватно отражает реальность (приближение любого из коэффициентов к нулю показывает невозможность работы подшипника).
Для адаптации модели под конкретный расчет требуется экспериментальная корректировка коэффициентов для учета влияния возмущений. Корректировка коэффициентов имеет вид:
где αi – коэффициент чувствительности (или весовой коэффициент) для i-го параметра; Dэксп – экспериментально измеренное значение параметра; Dтеор – теоретическое значение параметра, под параметром в первую очередь понимается отклонение деформации тела качения.
Сравнение с классической теорией и значимость в подшипниках разного масштаба приведено на рис. 1; влияние инерционных поправок на реальный ресурс подшипника и влияние каждого фактора – на рис. 2.
Рис. 1. Сравнение модернизированного расчета с классическим (а) и влияние массы подшипника по сериям (б) (масса тел качения по отношению к подшипнику № 206 по сериям: легкая – 0,1; средняя облегченная – 0,5; средняя базовая – 1,0; тяжелая – 2,0; особо тяжелая – 5,0)
Fig. 1. Comparison of the upgraded calculation with the classical one (a) and the bearing mass effect by series (б) (mass of rolling elements in relation to bearing No. 206 by series: light – 0.1; medium-light – 0.5; average basic – 1.0; severe – 2.0; especially severe – 5.0)
Анализ представленных графиков подтверждает, что инерционные эффекты, традиционно считавшиеся второстепенными, становятся доминирующим фактором, определяющим долговечность узла на высоких частотах вращения. Уже при превышении скорости в 70 % от номинальной (ω > 0,7ωном) классические методы расчета, такие как формула Палмгрена, начинают систематически и существенно завышать прогнозируемый ресурс, что может привести к неожиданным отказам ответственных механизмов.
На представленном графике (рис. 2, а) четко выделяются три зоны безопасности, определяемые отношением рабочей скорости к номинальной. Безопасная зона (ω < 0,7ωном) характеризуется плавным снижением ресурса и минимальным влиянием инерции. Рисковая зона (0,7 ≤ ω / ωном < 1,3) демонстрирует резкое, почти линейное падение кривой, где ресурс сокращается с 85 до 40 %. Именно здесь центробежные силы и инерция давления начинают кардинально перераспределять нагрузки в контакте. Критическая зона (ω ≥ 1,3ωном) отмечена катастрофическим спадом кривой, где при скорости в 1,5 раза выше номинальной сохраняется менее половины (около 40–45 %) от расчетного ресурса, а при двукратном превышении – лишь 10 %.
Падение ресурса объясняется не одним, а совокупностью четырех физических механизмов, действующих по мультипликативному закону. Наиболее значимым является влияние центробежных сил (компонент k1), которые увеличивают радиальную нагрузку на наружное кольцо. Скоростная поправка (k2) отражает рост диссипации энергии, а инерция давления (k3) приводит к росту контактных напряжений в зоне взаимодействия тел качения с дорожкой. Наконец, компонент трения (k4) учитывает изменение режима смазки и рост потерь. Их синергетическое взаимодействие приводит к тому, что даже при номинальной скорости совокупный поправочный коэффициент составляет около 0,75.
Рис. 2. Влияние инерционных поправок на ресурс подшипника (а) и на ресурс каждого компонента (б)
Fig. 2. The effect of inertial corrections on the bearing life (a) and on the life of each component (б)
Заключение
Проведенное исследование подтвердило, что инерционные и центробежные эффекты становятся основным фактором, определяющим долговечность подшипников качения при высоких скоростях вращения, что особенно актуально для судовых энергетических установок, работающих в экстремальных условиях. Пренебрежение этими эффектами, как доказало сравнение с классической моделью, ведет к завышению расчетного ресурса – на 25 % на номинальном режиме и до 400 % при двукратном превышении скорости.
Внедрение предложенных трех корректирующих коэффициентов (инерционной нагрузки, скорости и инерционного давления) в расчетную формулу ISO 281:2007 обеспечивает переход от эмпирических оценок к физически обоснованному прогнозированию надежности. Выделение трех зон безопасности (безопасной, рисковой и критической) на основе отношения рабочей скорости к номинальной дает инструмент для оценки состояния подшипниковых узлов и планирования периодического ремонта.
Разработанная методика, учитывающая комбинированное влияние центробежных сил, роста диссипации энергии, увеличения контактных напряжений и изменения режима смазки, позволяет прогнозировать ресурс высокоскоростных подшипников в составе судовых редукторов, турбогенераторов, насосных агрегатов и других ответственных механизмов. Это способствует повышению общей надежности судовых установок, оптимизации межремонтных интервалов и снижению рисков отказов. Дальнейшие исследования могут быть направлены на адаптацию модели к конкретным типам подшипников и условиям их работы в составе судовых систем с учетом нагрузок, характерных для морской эксплуатации.
1. Ghosh U., Roy S., Biswas S., Raut S. A non-autonomous fractional granular model: Multi-shock, Breather, Periodic, Hybrid solutions and Soliton interactions. Chaos, Solitons and Fractals, 2024, vol. 187, p. 115393. DOIhttps://doi.org/10.1016/j.chaos.2024.115393.
2. Lazović T., Marinković A., Atanasovska I., Sedak M., Stojanovic B. From innovation to standardization – A century of rolling bearing life formula. Machines, 2024, vol. 12, no. 7, p. 444. DOIhttps://doi.org/10.3390/machines12070444.
3. ISO 281:2007. Podshipniki kacheniya. Dinamicheskaya gruzopod"emnost' i raschetnyj resurs [ISO 281:2007. Rolling bearings. Dynamic load capacity and estimated resource]. Zheneva, Shvejcariya, Mezhdunarodnaya organizaciya po standartizacii (ISO), 2007. 51 p.
4. Harris T. A., Kotzalas M. N. Advanced concepts of bearing technology: rolling bearing analysis. CRC Press, 2006. 1022 p. DOIhttps://doi.org/10.1201/9781420006582.
5. Klebanov Ya. M., Urlapkin A. V., Adeyanov I. E., Pugacheva T. M., Polyakov K. A., Brazhnikova A. M. Dinamicheskie nagruzki i dolgovechnost' massivnyh sepa-ratorov podshipnikov kacheniya [Dynamic loads and durability of massive rolling bearing separators]. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie, 2024, no. 11 (776), pp. 3-13.
6. Shaposhnikov K. V., Nizametdinov F. R., Degtyarev S. A., Leont'ev M. K. Sovremennye metody sozdaniya cifrovyh modelej aviacionnyh dvigatelej dlya raschetov dinamiki rotorov [Modern methods of creating digital models of aircraft engines for calculating rotor dynamics]. Dinamika i vibroakustika, 2025, vol. 11, no. 3, pp. 7-31.
7. Andreev A. I., Semenov A. E., Slavin B. M., Chanchikov V. A. Dinamika precessii volchka Tompsona [Dynamics of precession of the Thompson top]. Izvestiya Rossijskoj akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2025, no. 3, pp. 229-244. DOIhttps://doi.org/10.31857/S1026351925030129.
8. Andreev A. I., Chanchikov V. A., Slavin B. M., Perekrestov A. P., Semenov A. E. Issledovanie dinamiki sily i momenta treniya pri precessii volchka Tompsona [Investigation of the dynamics of force and moment of friction during precession of a Thompson top]. Transportnoe, gornoei stroitel'noe mashinostroenie: nauka i proizvodstvo, 2024, no. 24, pp. 17-22. DOIhttps://doi.org/10.26160/2658-3305-2024-24-17-22.
9. Chubenko E. F. Organizaciya sistemy smazki podshipnikov kacheniya [Organization of the rolling bearing lubrication system]. Territoriya novyh vozmozhnostej. Vestnik Vladivostokskogo gosudarstvennogo universiteta, 2010, no. 1 (5), pp. 39-44.
10. Sawalhi N., Randall R. B. Simulating gear and bearing interactions in the presence of faults: Part I. The combined gear bearing dynamic model and the simulation of localised bearing faults. Mechanical Systems and Signal Processing, 2008, vol. 22, no. 8, pp. 1924-1951. DOIhttps://doi.org/10.1016/j.ymssp.2007.12.001.
11. Wang C., Tian J., Zhang F. L., Ai Y. T., Wang Z. Dynamic modeling and simulation analysis of inter-shaft bearing fault of a dual-rotor system. Mechanical Systems and Signal Processing, 2023, vol. 193, p. 110260. DOIhttps://doi.org/10.3390/coatings12111735.
