Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Решается задача параметрического синтеза ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Рассмотрены методики синтеза – на заданные степень и показатели колебательности ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Разработаны алгоритмы расчета предельных значений коэффициента усиления дифференциальной части регулятора, при которых граница области заданного запаса устойчивости имеет точку возврата. Применение критерия компенсации низкочастотных возмущений позволяет рассчитывать предельные значения степени колебательности и показателей колебательности. Для реализации предложенных алгоритмов разработаны программы в среде пакета символьных вычислений Maple. Применение разработанных алгоритмов позволяет сузить область поиска оптимальных параметров ПИД-контроллеров.

Ключевые слова:
ПИД-регулятор, дробный порядок, степень колебательности, показатель колебательности, Maple
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Введение

Ведущее место среди регуляторов, используемых в промышленных системах управления, по-прежнему занимают ПИД-регуляторы.

Процедура параметрического синтеза ПИД-регуляторов сводится к расчету трех настроечных параметров. Это коэффициент усиления , время интегрирования  и время дифференцирования , или эквивалентные им параметры , , . Часто  или  принимаются постоянными или определяются по формулам  и . Параметр α выбирается, например, в диапазоне α = 0,15 ÷ 0,6, причем часто эмпирически. В [1] значение α  принимается равным α = 0,25. В [2–12] приведены значения  и  для различных
методик синтеза ПИД-регуляторов. В [13] на базе критерия компенсации низкочастотных возмущений (КНВ) [14] получен алгоритм, позволяющий однозначно определять  как функцию  и параметров модели объекта. На этой основе разработан алгоритм параметрического синтеза ПИД-регулятора с идеальным дифференциатором на заданную степень колебательности . Здесь , а  – корни характеристического уравнения замкнутой системы регулирования. В [15, 16] метод использован для синтеза идеального ПИД-регулятора, c ограничениями на максимум функции чувствительности  или дополнительной чувствительности  (показателей колебательности).
В [17, 18] показано, что при расчете настроек ПИД-регулятора на заданную степень колебательности  и вид кривой D-разбиения (границы области заданного запаса устойчивости) и качество регулирования существенно зависят от значения параметра α. Кривая
D-разбиения строится в координатах ( ) (рис. 1) как функция частоты
w [13, 17].

 

Рис. 1. D-разбиение для разных α

 

Обычный вид кривой, ограничивающей область , изображен на рис. 1 штрихпунктирной линией. С увеличением α возможно самопересечение кривой D-разбиения, что соответствует пунктирной линии на рис. 1. Это сужает область заданного запаса устойчивости.
И, наконец, существует некоторое предельное значение , когда образуется точка возврата. Для типовых объектов и значений степени колебательности  и  в [17, 18] определены значения  и предложен алгоритм решения задачи.

В [19] приведен пример системы с ПИ-регулятором и ограничением на максимум ,
когда также имеется самопересечение граничной кривой.

Как показано ниже, для того же примера с ПИД-регулятором при выборе  по критерию КНВ также имеется самопересечение граничной кривой. В настоящей работе предложен новый, достаточно простой алгоритм определения  для ПИД-регуляторов целого и дробного порядка, отвечающих точке возврата при расчете систем управления на заданную степень колебательности и максимум функций чувствительности. Для случая, когда коэффициент  рассчитывается по критерию КНВ, решается задача определения предельных значений  
и  или  соответствующих точке возврата.

 

Постановка задачи и алгоритм решения

Рассматривается система регулирования с одним входом и одним выходом. Передаточная функция регулятора описывается передаточной функцией

                                                                              (1)

где  – коэффициенты усиления – настроечные параметры регулятора; ,  – время интегрирования и дифференцирования соответственно; если δ и β равны единице – регулятор целого порядка, если дробным неотрицательным действительным числам – регулятор дробного порядка.

Рассматриваются модели объектов с передаточными функциями вида

                                                                         

где  – пропорциональная часть модели объекта, ; ;  ‑
постоянные коэффициенты; ; ; τ – запаздывание, константа, в частном случае может равняться нулю.

Настройки регулятора определяются из условия минимума интегральных критериев
качества при ограничении на заданную степень колебательности m, или на функции чувствительности и дополнительной чувствительности .

Обычно задача расчета настроек разбивается на два этапа: 1) построение в плоскости настроек регулятора ,  границы области заданного запаса устойчивости; 2) определение
на границе области точки, минимизирующей критерий оптимальности [1, 13].

Коэффициенты дифференциальной части  или регулятора выбираются двумя способами:

                                              или                                                    (2)

традиционный способ – и по критерию КНВ [13]:

                                                                                                     (3)

где ; ; ; ;  – моменты передаточной функции .

Первое ограничение в (3) соответствует минимуму линейного интегрального критерия
качества  [1]. Формулы для , зависят от коэффициентов передаточной функции объекта (1) и точки приложения возмущения. Для возмущения, действующего на входе объекта, , для астатического объекта  и [13]. Если  и , получим известную формулу , . В дальнейшем ограничимся задачей компенсации возмущения действующего на входе объекта. Таким образом, при использовании КНВ выбор  зависит от свойств объекта и автоматически решается проблема выбора . Причиной появления самопересечения являются завышенные значения  и, как правило, чрезмерно заниженные значения  и . При синтезе ПИД-регулятора по методу доминирующих корней могут появиться корни с большой колебательностью [1].

Таким образом, задача расчета предельного значения α и предельных значений запасов устойчивости  и ,  имеет важное практическое значение.
Решение перечисленных задач приводится ниже.

 

Алгоритм расчета на заданную степень колебательности, случай α = const

Система с ПИД-регулятором целого порядка. Уравнение границы области  (кривую D-разбиения) находим из характеристического уравнения замкнутой системы подстановкой

                                                                          

где (здесь и в дальнейшем) ; ; .

 

В результате получаем уравнение

                                                   (4)

где  ‑ расширенная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) объекта.

Выделяя в (4) вещественную и мнимую часть и переходя к АФХ объекта, получим

                                                                               (5)

где  – инверсная АФХ объекта.

Решение системы типа (5) рассмотрено в [13] и имеет вид

                                                     (6)

где .

Задаваясь ω из (6), находим , затем и строим кривую D-разбиения.

Рассмотрим теперь задачу определения предельного α.

В точке возврата кривой D-разбиения справедливы равенства
[17, 20, 21]. Дифференцируя уравнения (5) по ω, считая  и  функциями ω, получим

                                                                                        (7)

Поскольку  уравнения (7) упрощаются. Присоединяя к ним уравнения (5), получим четыре уравнения для расчета критических параметров ( ):

                                                        (8)

где  

Система (8) линейна относительно , поэтому сначала находится значение ,
а затем по формуле (2) рассчитывается α. Ранг ее матрицы коэффициентов равен трем, поскольку минор 3-го порядка отличен от нуля, если  

                                                  .

И система совместна, если определитель  ее расширенной матрицы равен нулю:

                        .                                     

Вычисляя , после несложных преобразований получим

                                         .                                               (9)

Частота ω находится как корень уравнения (9). Для объектов 3-го порядка без запаздывания
и некоторых объектов 4-го порядка частота может быть выражена в явном виде как функция
m и параметров объекта, как показано ниже в примерах 1.1, 1.2. Алгоритм решения не зависит от коэффициентов передаточной функции объекта.

Коэффициенты регулятора находятся решением первых трех уравнений (8), например
методом Крамера, а  – из формулы (2):

                                            

Система управления с ПИД-регулятором дробного порядка. Амплитудно-фазовая
характеристика регулятора дробного порядка после подстановки  принимает вид

                           ,                               (10)

где          

Метод решения аналогичен случаю ПИД-регулятора целого порядка.

Уравнения (8) и расширенный определитель системы приводятся к виду

                                                                                   (11)

                                    (12)

Параметры регулятора находятся решением первых трех уравнений (11):

Значение α рассчитывается по формуле , ω – как корень (12).

 

Расчет на заданные функции чувствительности, α = const

Граница области М Мзад в плоскости параметров настройки определяется решением
системы уравнений [15, 16]

                                                                                               (13)

где  заданное значение  или ,  – соответствующая амплитудно-частот-ная характеристика (АЧХ) замкнутой системы.

Уравнения (13) есть необходимое условие максимума АЧХ, а также условия касания
АФХ разомкнутой системы «запретной окружности» [1, 15]. На рис. 2 приведена кривая заданного запаса устойчивости  (рис. 2, а) и АЧХ замкнутой системы (рис. 2, б) для случая, когда .

 

 

а

б

в

 

Рис. 2. Кривые для заданного показателя колебательности: кривые  (а, в);
АЧХ замкнутой системы (б)

 

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы имеет два резонансных пика одинаковой амплитуды при двух разных частотах. В точке возврата (рис. 2, в), когда , пики сливаются, гладкость АЧХ в точке резонанса увеличивается.

Условия наличия точки возврата для рассматриваемого случая можно получить, дополнив систему (13) двумя уравнениями [20–22]:

                                                                                              (14)

Имеем четыре уравнения относительно четырех неизвестных .

Здесь, как и в предыдущем случае, мы для простоты вместо α рассматриваем . Значение  рассчитывается по формуле .

После подстановки в (14) выражений для частотных характеристик объекта и регулятора уравнения (14) принимают вид

                                                (15)

где      

 – инверсная АФХ объекта;  
и , если и   , если .

Система (15) не линейна относительно . Для ее решения желательно задать диапазон начальных значений переменных. Для этого рассчитывается граница области заданного запаса устойчивости в плоскости ( ) для нескольких значений α. Для ее построения
достаточно уравнений (13) или двух первых уравнений системы (15) после подстановки . Метод решения этих уравнений рассмотрен в [15, 16].

Методика легко распространяется на случай ПИД-регулятора дробного порядка.

 

Алгоритм расчета предельных значений степени колебательности и функций чувствительности, случай КНВ

В рассматриваемом случае проблемы выбора  решаются автоматически, однако остается проблема предельных значений запасов устойчивости. Как отмечалось выше, при необоснованном выборе заданного значения степени колебательности m или показателей колебательности ,  возникают точки возврата или самопересечения граничных кривых. Алгоритм расчета предельных значений основан на уравнениях (8), (11) и (15).

В общем виде соответствующие уравнения записываются следующим образом:

                                                                                                                  

где β и δ известны, а  – искомые предельные значения mпред или Ms, Mp.

Алгоритм расчета предельной степени колебательности регулятора дробного порядка. Подставляя в уравнения (11) выражение для из (3), получим

              (16)

где А, В, C, D определяются формулами (10) и зависят от степени колебательности , ; ;  и их производные  также зависят от . 

Для оценки начальных приближений можно построить серию кривых равного запаса устойчивости для нескольких значений m в плоскости .

Значения  и  находятся как функции  решением первых двух уравнений (16) методом исключения, описанным в [13], аналогичным решению уравнений (6).

Алгоритм расчета предельного значения функции чувствительности Ms и Mp.
Ограничимся случаем ПИД-регулятора целого порядка. За основу примем уравнения (15).
Отметим особенность формул для коэффициентов в (15). В случае если решается задача определения , в формулах (15) , а  входит лишь в выражения для  в виде сомножителя . Определив X, найдем . В случае если определяется , учтем, что . Тогда, вычислив , находим . Подставляя из (3) в уравнения (15), получим систему из четырех уравнений относительно неизвестных , а затем  или .

Для определения начальных значений переменных по уравнениям (13) строится семейство кривых равного значения запасов устойчивости.

В случае ПИД-регулятора дробного порядка алгоритм решения задачи не изменяется, усложняется лишь вид коэффициентов уравнений.

 

 

Примеры

Рассмотренные задачи решались с помощью программ, разработанных в среде пакета символьных вычислений Maple.

1. Задана степень колебательности . Определение .

1.1. Объект , ПИД-регулятор целого порядка.

.

1.2. Объект , ПИД-регулятор целого порядка.

   

.

1.3. Объект , ПИД-регулятор дробного порядка;   .

 

2. Задан показатель колебательности . Определение .

Объект  ПИД-регулятор целого порядка. .

         

При  имеется точка самопересечения с координатами          (см. рис. 2).

3. Определение ,  находится по КНВ.

Объект , ПИД-регулятор дробного порядка, . Результат:       . Корни характеристического полинома замкнутой системы .

На рис. 3 изображены нормальная при  (пунктиром) и расширенная при  АФХ разомкнутой системы.

Рис. 3. Нормальная и расширенная АФХ разомкнутой системы,

 

Расширенная АФХ проходит через критическую точку с точкой возврата, что соответствует предельному запасу устойчивости.

4. Определение предельного значения ,  находится по КНВ [4].

Объект с передаточной функцией ; . Предельное значение       . При  имеется точка самопересечения.

Переходные характеристики замкнутой системы по возмущению при различных  приведены на рис. 4.

 

 

Рис. 4. Переходные характеристики замкнутых систем по возмущению
при разных значениях
Ms,

 

Качество регулирования при  несколько уступает случаям с , но это компенсируется большим запасом устойчивости (радиус  запретной окружности больше). Это позволяет системе функционировать без потери качества даже при заметных изменениях параметров объектов, т. е. повышает робастность системы.

 

Заключение

В работе рассматриваются некоторые особенности задачи параметрического синтеза ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Показано, что от величины α в формулах или , где значение α может изменяться в широких пределах, существенно зависит характер области заданного запаса устойчивости (корневого или частотного) в плоскости  . При чрезмерном увеличении α возможно самопересечение граничной кривой и сужение области заданного запаса устойчивости, в частности уменьшение максимально возможного значения коэффициента усиления системы k1. От величины k1, как известно, зависит интегральный критерий IE [1]. В работе представлены алгоритмы расчета предельного значения α и соответствующих значений , когда граничная кривая имеет точку возврата. В случае корневого запаса устойчивости предельная частота находится как корень нелинейного уравнения, а  – решением системы линейных уравнений. Замкнутая система имеет две пары комплексно сопряженных корней вида . Важно, что  зависит от параметров объекта и ограничивает диапазон возможных значений α. В случае, когда  или  однозначно определяются по КНВ и зависят от свойств объекта, решена задача расчета предельных значений корневого и частотных запасов устойчивости . Предельные значения находятся как решения четырех нелинейных уравнений. Для определения начальных значений переменных разработаны оригинальные алгоритмы построения кривых заданного запаса устойчивости в плоскости ( ). Для реализации предложенных алгоритмов разработаны программы в среде пакета символьных вычислений Maple. Работоспособность алгоритмов иллюстрируется примерами расчетов предельных значений параметров.

Список литературы

1. Åström K. J., Hägglund T. Advanced PID control. Research Triangle Park, NC: ISA-The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 2006. 460 p.

2. Ang K. H., Chong G., Li Y. PID control system analysis, design, and technology // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2005. V. 13. N. 4. P. 559–576.

3. Wallén A., Åström K. J., Hägglun T. Loop-shaping design of PID Controllers with constant Ti/Td ratio // Asian Journal of Control. 2008. V. 4. N. 4. P. 403–409.

4. Åström K. J., Hägglund T. The Future of PID Control // IFAC Proceedings Volumes. 2000. V. 33. N. 4. P. 19–30.

5. Tan W., Liu J., Chen T. Comparison of some well-known PID tuning formulas // Computers & Chemical Engineering. 2006. V. 30. N. 9. P. 1416–1423.

6. Tang W., Wang Q. G., Lu X., Zhang Z. Why Ti=4Td for PID Controller Tuning // Robotics and Vision 2006 9th International Conference on Control, Automation. Singapore: IEEE, 2006. P. 1–2.

7. O’Dwyer A. An Overview of Tuning Rules for the PI and PID Continuous-Time Control of Time-Delayed Single-Input, Single-Output (SISO) Processes // PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London: Springer London, 2012. P. 3–44.

8. Yadaiah N., Malladi S. An optimized relation between Ti and Td in Modified Ziegler Nichols PID controller tuning // 2013 IEEE International Conference on Control Applications (CCA). 2013. P. 1275–1280.

9. Leva A., Maggio M. Model-Based PI(D) Autotuning // PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London: Springer London, 2012. P. 45–73.

10. Pecharromán R. R., Pagola F. L. Control Design for PID Controllers Auto-Tuning Based on Improved Identification // IFAC Proceedings Volumes. 2000. V. 33. N. 4. P. 85–90.

11. Смирнов Н. И., Сабанин В. Р., Репин А. И. Чувствительность и робастная настройка ПИД-регуляторов с реальным дифференцированием // Теплоэнергетика. 2007. № 10. С. 15–23.

12. Ozyetkin M. M., Onat C., Tan N. PID Tuning Method for Integrating Processes Having Time Delay and Inverse Response // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. N. 4. P. 274–279.

13. Аязян Г. К., Новоженин А. Ю., Таушева Е. В. Параметрический синтез ПИД-регуляторов на заданную степень колебательности // XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. P. 147–159.

14. Аязян Г. К. Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами регулирования. Уфа: Изд-во УНИ, 1989. 136 с.

15. Аязян Г. К., Таушева Е. В., Шаймухаметова М. Р. Применение системы символьных вычислений Maple для параметрического синтеза регуляторов // Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО17): материалы VI Междунар. конф. Улан-Удэ – Байкал, 2017. С. 59–64.

16. Ayazyan G., Tausheva E. Parametric Synthesis of PID Controllers for Systems in Case of Low-Frequency Disturbances // 2019 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). IEEE, 2019. P. 1–6.

17. Волгин В. В. К определению оптимальных настроек ПИД-регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 23. № 5. С. 620–629.

18. Сафронова И. Н., Волгин В. В. Метод кратных корней при оптимизации систем регулирования с ПИД-алгоритмом // Теплоэнергетика. 1989. № 10. С. 65–68.

19. Åström K. J., Panagopoulos H., Hägglund T. Design of PI controllers based on non-convex optimization // Automatica. 1998. V. 34. N. 5. P. 585–601.

20. Брус Дж. У., Джиблин П. Дж. Кривые и особенности: геометрическое введение в теорию особенностей. М.: Мир, 1988. 262 с.

21. Лорд И. А., Уилсон С. Б. Введение в дифференциальную геометрию и топологию. Математическое описание вида и формы. М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. 304 с.

22. Залгаллер В. А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975. 104 c.