Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Множество чисел Θ = {6λ ± 1; λ ∈ N } является полугруппой в силу замкнутости элементов относительно операции умножения. Рассматриваются свойства и представления четных чисел ζ > 8 в виде сумм двух элементов: θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 из множества Θ. Любое чётное число ζ > 8 сравнимо с одним из чисел m = (0, 2, -2) (mod 6). Согласно перечисленным остаткам m , чётные числа ζ > 8 делятся на 3 вида, и каждый вид имеет свой метод представления сумм из двух элементов множества Θ. Для любого четного числа ζ > 8 на отрезке [1 ÷ ν], где ν - параметр чётного числа, доказано, что всегда существует пара чисел (λ1,λ2) ∈ ∈ [1 ÷ ν], которые являются элементами из объединения множеств: параметров простых чисел близнецов и параметров (простых и составных) чисел множества Θ. Приводится вариант решения бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера для чётных чисел ζ > 8 во множестве простых чисел P . Бинарная проблемы Гольдбаха - Эйлера разрешима и во множестве простых чисел близнецов, если параметры чисел θ1 и θ2, т. е. λ1 и λ2 принадлежат к дополнению множества N \ FN , где FN - множество параметров составных чисел множества Θ на отрезке [1 ÷ ν].

Ключевые слова:
бинарная (сильная) проблема Гольдбаха, алгоритм решения, числа специального типа
Текст
Интерес к бинарной проблеме Гольдбаха - Эйлера в математике, а также её применение в смежных науках и технологиях актуальны и значимы в криптографии [1, 2]. В последнее 10-летие в области аддитивной теории чисел наблюдались значительные сдвиги, например, в 2013 г. Харальдом Хельфготтом была доказана тернарная проблема Гольдбаха. Бинарная проблема еще не решена, и многие считают, что она недоказуема. Это объясняется тем, что еще не найден закон распределения простых чисел во множестве натуральных чисел N, хотя распределение параметров простых чисел (PN) и составных чисел (CN) на базе полугруппы относительно операции умножения (Θ,*) = {6λ ± 1 / λ ∈ N} уже получено [3], в силу распределения параметров простых и составных чисел множества Θ во множестве натуральных чисел (см. [4, § 3, табл. 2] и программу PrNb [3]). Серийные номера id ∈ N в табл. 2 [4] являются параметрами следующих значащих подмножеств множества Θ: 1. PTw - множество параметров Tw (простых чисел близнецов) (табл. 2 [4], где F1 = «+», F2 = «+»). 2. PTwCN - множество параметров TwCN (составных чисел близнецов) (табл. 2 [4], где F1 = = «-», F2 = «-»). 3. PPCN - множество параметров PCN (просто простых и составных) чисел множества Θ (табл. 2 [4], где F1 = «±», F2 = «∓»). Рассматриваются свойства чётных чисел ζ > 8, ζ ≡ m (mod 6), где m = (0, 2, -2), и приводятся их представления в виде сумм двух чисел вида θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1. Для любого четного числа ζ > 8 в отрезках Λ1 = [1 ÷ ν \ 2] и Λ2 = [ν \ 2 ÷ ν], где ν = (ζ - m) \ 6 - параметр чётного числа, доказано, что всегда существует пара чисел λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 таких, что λ1, λ2 ∈ PTw ∪ PPCN. Нахождение возможных пар простых чисел, в сумме равных чётному числу ζ > 8, разрешимо и алгоритмически с помощью программ «Gold-P» и «Gold-Τw» [5] на базе свойств чисел вида ζ ≡ r (mod 12). Бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера разрешима и во множестве простых чисел близнецов, если параметры чисел вида θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 лежат в дополнениях, т. е. λ1 и λ2 ∈ ∈ N \ FN, где множество FN = FN- ∪ FN+ есть объединение параметров составных чисел вида 6λ ± 1 на отрезке [1 ÷ ν] [4, § 2]. Для мощностей множеств FN-, FN+, PTw в отрезках Λ1 и Λ2 справедливы следующие неравенства: |FN+| ≤ |PTw ∪ FN-|, |FN-| ≤ |PTw ∪ FN+|. Цель работы - доказательство разрешимости диофантова уравнения ζ = x + y в области целых чисел Z > 0, где ζ - любое чётное число большее двух и слагаемые (x, y) ∈ P - простые числа. I. Представление чётных чисел ζ > 8 в виде сумм двух элементов из множества Θ Cвойства и представление чётных чисел ζ > 8 в виде сумм двух элементов множества Θ вытекают из следующих лемм: Лемма 1. Чётные числа ζ > 8 сравнимы с (0 или 2 или -2) (mod 6). Из формулы четных чисел ζ = 2n, где n ∈ N, имеем 2n / 6 = n / 3, т. е. число n имеет следующую форму: 3ν + α, где ν ∈ N и очевидно, что остатки α = (0, 1, 2). Пусть: 1. α = 0 → ζ = 2n = 2(3 ν + 0) = 6 ν + 0 → m = 0, т. е. делится на 6 с остатком 0. 2. α = 1 → ζ = 2n = 2(3 ν + 1) = 6 ν + 2 → m = 2, делится на 6 с остатком 2. 3. α = 2 → ζ = 2n = 2(3 ν + 2) = 6 ν + 4 или (μ = ν + 1) 6μ - 2 → m = -2 делится на 6 с остатком -2. Лемма 2. Любое четное число ζ > 8 представимо суммами двух элементов из множества Θ. Рассмотрим виды разложения четных чисел ζ > 8, сравнимые c остатками (0, 2, -2) (mod 6). 1. ζ = 6ν + 0, пусть ν = λ1 + λ2 → ζ = 6λ1 + 6λ2 (добавим и отнимем 1) = (6λ1 + 1) + (6λ2 - 1) = = θ1+ + θ2-. 2. ζ = 6ν + 2, пусть ν = λ1 + λ2 → ζ = 6λ1 + 6λ2 + 2 = (6λ1 + 1) + (6λ2 + 1) = θ1+ + θ2+ (θ1+, θ+) ∈ Θ. 3. ζ = 6ν - 2, пусть ν = λ1 + λ2 → ζ = 6λ1 + 6λ2 - 2 = (6λ1 - 1) + (6λ2 - 1) = θ1- + θ2- (θ1-, θ2-) ∈ Θ. Так как подмножество PCN ⊂ Θ является объединением множеств просто простых и составных чисел множества Θ, то очевидно, что PPCN = PCN ∪ PPN, где PCN - множество параметров составных чисел множества Θ [4, формула (8)]) и PPN - множество параметров простых чисел множества Θ [4, формула (10)]), откуда параметры PCN = FN+ ∪ FN - и PPN = (FN- \ PTwCN) ∪ ∪ (FN+ \ PTwCN) = (FN+ ∪ FN-) \ PTwCN. Итак, PPCN = (FN+ ∪ FN-) \ PTwCN. Следовательно, для элементов 6λ ± 1 подмножества PCN справедливы следующие утверждения: (1) Из табл. 2 [3] заметим, что каждому серийному номеру id ∈ N (по построению) соответствуют элементы подмножеств (Tw, TwCN, PCN) ⊂ Θ. Тогда мы вправе утверждать, что любое число n ∈ N есть параметр одного из перечисленных подмножеств множества Θ, т. е. N = PTw ∪ PTwCN ∪ PPCN.. (1’) Поскольку параметры составных чисел близнецов PTwCN лежат на пересечениях образов функций (5) [4], то число их параметров на отрезке [1 ÷ N] по определению пересечения множеств будет меньше, чем число образов самих функций. Следовательно, на отрезке [1 ÷ N] для параметров подмножеств Tw, TwCN, PCN выполнимо следующее неравенство: PTwCN < PPCN ∪ PTw. (2) Рассмотрим по аналогии к остаткам m = (0, 2, -2) разложение чётных чисел ζ > 8 в виде сумм θ1 + θ2. Пусть параметры (λ и ν) ∈ N, добавим к чётным числам типа ζ = 6ν + m и отнимем от них числа вида 6λ ± 1. α) Для чисел вида ζ = 6ν + 0, где параметр ν = (ζ - 0) \ 6, имеем: 6ν + 0 + (6λ - 1) - (6λ - 1) = = (6λ - 1) + (6(ν - λ) + 1). И точно так же для чисел вида 6λ + 1 имеем: 6ν + 0 + (6λ + 1) - (6λ + 1) = = (6λ + 1) + (6(ν - λ) - 1). Обозначим параметры слагаемых соответственно λ1 = λ и λ2 = ν - λ1, следовательно, чётные числа, делящиеся нацело на 6, имеют следующий вид: или (3) Выполнимо и следующее тождество: (3’) Пусть ζ = 96, 6ν = 96, ν = [96 \ 6] = 16, при λ1 = 1, λ2 =16 - 1 = 15 из (3) → θ1- = 5, θ2+ = 91 или θ1+ = 7, θ2- = 89. β) Для чисел вида ζ = 6ν + 2, где параметр ν = (ζ - 2) \ 6, имеем: 6ν + 2 + (6λ +1) - (6λ +1) = = (6λ + 1) + (6(ν - λ) + 1). Обозначим параметры слагаемых соответственно λ1 = λ и λ2 = ν - λ1, значит, чётные числа ζ > 8 имеют вид (4) Выполнимо также и тождество (4’) Пусть ζ = 98, 6ν + 2 = 98, ν = [(98 -2) \ 6] = 16, при λ1 = 2, λ2 = 14 из (4) → θ1+ = 13, θ2+ = 85, ζ = θ1+ + θ2+. γ) Для чётных чисел вида ζ = 6ν - 2, где параметр ν = (ζ + 2) \ 6, имеем: 6ν - 2 + (6λ - 1) - - (6λ - 1) = (6λ - 1) + (6(ν - λ) - 1). Обозначим параметры слагаемых: λ1 = λ и λ2 = ν - λ1, следовательно, чётные числа ζ > 8 вида (5) Выполнимо также и тождество (5’) Пусть ζ = 100, 6ν - 2 = 100, ν = [(100 + 2) \ 6] = 17, при λ1 = 3, λ2 = 14 из (5) → θ1- = 17, θ2- = 83, ζ = θ1- + θ2-. Из свойств α), β), γ) следует, что чётные числа ζ > 8 представимы суммами (6λ1 ± 1) + (6λ2 ± 1), где λ1 ∈ Λ1 и λ2 = (ν - λ1) ∈ Λ2 и параметр любого чётного числа (ζ > 8) равен (6) II. Бинарная (сильная) проблема Гольдбаха - Эйлера Разложение четных чисел ζ ≤ 8 на сумму двух простых чисел проверяется непосредственно, поэтому рассмотрим решение бинарной или сильной проблемы Гольдбаха - Эйлера для чётных чисел ζ > 8. Предварительно введём определение и докажем ряд лемм. Определение. Для чисел вида θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 величины λ1 и λ2 назовём соответствующими параметрами чётного числа ζ > 8, если λ1 ∈ Λ1, λ2 = (ν - λ1) ∈ Λ2 и ζ = θ1 + θ2. Например, найти соответствующие параметры чётного числа ζ = 30. Так как число 30 ≡ 0 (mod 6), то параметр чётного числа ν = (30 - 0) / 6 = 5, следовательно, параметры λ1 ∈ Λ1 = = [1, 2] и λ2 ∈ Λ2 = [3, 4, 5]. 1. λ1 = 1 и λ2 = ν - λ1 = 5 - 1 = 4 → θ1 = 6 ∙ 1 - 1 = 5 и θ2 = 6 ∙ 4 + 1 = 25 или θ1 = 6 ∙ 1 + 1= 7 и θ2 = 6 ∙ 4 - 1= 23. Так как 5 + 25 = 7 + 23 = 30, то соответствующие параметры (λ1; λ2) = (1; 4). 2. λ1 = 2 и λ2 = ν - λ1 = 5 - 2 = 3 → θ1 = 6 ∙ 2 - 1 = 11 и θ2 = 6 ∙ 3 + 1 = 19 или θ1 = 6 ∙ 2 + 1 = 13 и θ2 = 6 ∙ 3 - 1 = 17. Так как 11 + 19 = 13 + 17 = 30, то соответствующие параметры (λ1; λ2) = (2; 3). Итак, четное число ζ = 30 имеет два соответствующих параметра: (λ1; λ2) = {(1; 4), (2; 3)}. Лемма 3. Для любого чётного числа ζ > 8 в отрезках Λ1 и Λ2 всегда существует пара чисел λ1 ∈ Λ1 и λ2 = (ν - λ1) ∈ Λ2, которые принадлежат объединению множеств PTw ∪ PPCN и являются искомыми соответствующими параметрами чётного числа. Доказательство. Параметры составных чисел близнецов являются возрастающими, поскольку пересечение образов функций (5) [4] возрастающие, тогда в отрезках Λ1 и Λ2, естественно, они будут различными. Так как в отрезке Λ1 натуральные числа начинаются с параметров простых чисел близнецов PTw = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, ...}, то все элементы промежутка Λ1, очевидно, не могут быть параметрами составных чисел близнецов. Пусть все элементы отрезка Λ2 являются параметрами составных чисел близнецов, тогда по (2) имеем противоречие, ибо суммарное число элементов PTwCN на отрезке [1 ÷ ν] может быть больше, чем число элементов PPCN ∪ PTw. Значит, допущение неверное, т. е. в отрезках Λ1 и Λ2 число параметров |PTwCN | < |PTw ∪ PPCN |. Если в Λ1 число параметров составных чисел близнецов |PTwCN | равно k1 и в Λ2 равно k2, то в Λ1 число параметров |PTw ∪ PPCN| будет δ1 = (ν \ 2 - k1), а в Λ2: δ2 = (ν \ 2 - k2). Пусть k1 < k2, очевидно, что δ1 > δ2. Пусть параметры (1λ1, 2λ1, ... , k1λ1) ∈ Λ1 ∈ PTwCN , и допустим, что (для усиления утверждения Леммы 3) соответствующие им параметры (1λ2, 2λ2, ... , k1λ2) в Λ2 являются элементами PTw ∪ PPCN. Тогда число параметров | PTw ∪ PPCN | в отрезке Λ2: δ2 = (ν \ 2 - k2) - - k1 = ν \ 2 - (k1 + k2), где (k1 + k2) показывает число соответствующих параметров, один из которых - параметр составного числа близнеца TwCN на отрезке [1 ÷ ν]. Поскольку в отрезках Λ1 и Λ2 число параметров составных чисел близнецов меньше, чем число элементов |PTw ∪ PPCN |, то, естественно, всегда в Λ1 и Λ2 найдётся пара чисел λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 такие, что (λ 1 и λ 2) ∈ PTw ∪ PPCN и являются соответствующими параметрами четного числа ζ > 8. Лемма 4. В отрезке [1 ÷ ν], где ν ∈ N число элементов | PTw ∪ FN- | ≥ |FN+ | и |PTw ∪ FN+| ≥ FN- |. Доказательство. Из содержания процедуры построения табл. 1 [4] очевидно, что элементы множеств FN+ = Jm f11 (x, y) ∪ Jm f12 (x, y) и FN - = Jm f21(x, y) ∪ Jm f22(x, y) в каждой строке порождают по 2 элемента, т. е. в отрезке [1 ÷ ν] число элементов |FN+ | ~ |FN-|. Потому справедливы неравенства | PTw ∪ FN- | ≥ |FN+ | и |PTw ∪ FN+| ≥ |FN- |. Теорема 1. Любое четное число ζ > 8 разложимо на сумму двух простых чисел. Доказательство. Так как рассматриваются чётные числа ζ > 8, то из (6) следует, что значения параметров чётных чисел ν ≥ 1, ибо при остатках m = (0, 2, -2) выражение [(ζ - m) / 6] ≥ 1. Тогда, по аналогии к остаткам m, четные числа ζ > 8 представимы суммами θ1 + θ2, где θ1 = 6 λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 и параметр λ2 = ν - λ1. По видам разложений четных чисел ζ > 8 (Лемма 2) или по свойствам α), β), γ) имеем следующие структуры соответствующих форм разложения чётных чисел ζ > 8: а) ζ = 6ν + 0: θ1 = {6 λ1 ± 1 / λ 1 ∈ Λ1} и θ2 = {6 λ2 ± 1 / λ2 ∈ Λ2}; б) ζ = 6ν + 2: θ1 = {6 λ1 + 1 / λ1 ∈ Λ1} и θ2 = {6 λ2 + 1 / λ2 ∈ Λ2}; (7) в) ζ = 6ν - 2: θ1 = {6 λ1 - 1 / λ1 ∈ Λ1} и θ2 = {6 λ2 - 1 / λ2 ∈ Λ2}. Исследуем элементы отрезка [1 ÷ ν] на принадлежность к множествам PTw, PTwCN, PPCN и выясним, при каких значениях параметров λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 из перечисленных множеств числа вида θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 являются простыми и при каких составными. Поскольку при элементах PTwCN числа θ1 и θ2 всегда являются составными, то они не рассматриваются. Однако, по Лемме 3, существуют всегда элементы λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 такие, что λ1, λ2 ∈ PTw ∪ PPCN, тогда λ1, λ2 ∈ PTw ∪ (FN- ∪ FN+) \PTwCN. Следовательно, остаётся проверить элементы λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 на принадлежность к множествам PTw и FN- ∪ FN+ с удаленными параметрами составных чисел близнецов во всем отрезке [1 ÷ ν]. Имеем: A. λ1 ∈ PTw и λ2 ∈ PTw. Тогда слагаемые θ1 и θ2 чётного числа ζ > 8 являются простыми числами, как составляющие элементы простых чисел близнецов θ1 = (p1 = 6λ1 - 1 и p1 = 6λ1 + 1) и θ2 = (p2 = 6λ2 - 1 и p2 = 6λ2 + 1). Следовательно, согласно соответствующим формам в (7), имеем ζ = p1 + p2. B. λ1 ∈ PTw и λ2 ∈ (FN- ∪ FN+). Пусть параметр λ1 ∈ PTw, значит, слагаемое θ1 есть простое число как составляющие элементы простых чисел близнецов θ1 = (p1 = 6λ1 - 1 и p1 = 6λ1 + 1). И второе слагаемое θ2 = 6λ2 ± 1 по формуле (1) в одном из вариантов форм θ2 = (p2 = 6λ2 - 1 или p2 = 6λ2 + 1) есть простое число. Тогда, прибавляя к полученному простому числу θ2 = p2 простое число θ1 = p1 (по аналогии с соответствующей формой из (7)), получаем ζ = p1 + p2. C. λ1 ∈ (FN- ∪ FN+) и λ2 ∈ PTw, т. е. случай обратный B. D. λ1 ∈ (FN- ∪ FN+) и λ2 ∈ (FN- ∪ FN+). Тогда, для того чтобы слагаемое θ1 чётного числа ζ > 8, в зависимости от соответствующей формы определенное в (7) и по (1), было простым числом, достаточно установить принадлежность параметра λ1 к одному из множеств (FN- или FN+). Для слагаемого θ2, параметр которого λ2 = ν - λ1 на отрезке [1 ÷ ν] могут соответствовать, очевидно, параметры PTw или опять элементы из множества (FN- ∪ FN+). Если λ2 ∈ PTw , то проблем нет, иначе по тождествам (3’), (4’) и (5’) соответственно по типу четного числа 6ν + m определяется следующий параметр λ1, который, очевидно, является элементом либо PTw , либо FN- ∪ FN+. Но поскольку по Лемме 4 число параметров |PTw ∪ FN- | ≥ |FN+| и |PTw ∪ FN+| ≥ |FN- |, то в Λ1 и Λ2 повторится один из пунктов (A, B, C). Итак, разложение четного числа ζ > 8 на сумму двух чисел ζ = θ1 + θ2, где числа вида θ1 = (6λ1 ± 1) и θ2 = (6λ2 ± 1), параметры которых λ1, λ2 ∈ PTw ∪ PPCN в любом из перечисленных вариантов (A, B, C, D), всегда приводят к формам 6λ1 ± 1 и 6λ2 ± 1 простых чисел. И поскольку сумма чисел θ1 + θ2 четна либо 6(λ1 + λ2), либо 6(λ1 + λ2) ± 2, то бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера (ζ = p1 + p2) в любом случае решается положительно. III. Процедура разложения чётного числа ζ > 8 на суммы двух простых чисел В силу Леммы 2 представление четных чисел ζ > 8 в виде сумм двух элементов θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6λ2 ± 1 всегда выполнимо, но поскольку числа θ1 и θ2 могут быть и составными, и простыми, то проблема разложения четного числа ζ > 8 на сумму двух простых чисел, очевидно, усложняется. Однако, по Лемме 3, в отрезках Λ1 и Λ2 всегда существуют параметры λ1 и λ2 ∈ ∈ (PTw U PPCN), такие, что числа θ1 и θ2 в одном из вариантов (A, B, C, D) являются простыми числами, тогда разложение четного числа ζ > 8 на сумму двух простых чисел выполнимо. Из нижеследующих процедур легко и просто определить все возможные пары простых чисел, которые в сумме равны четному числу ζ. 1. Распознавание типа чётного числа ζ > 8. Определение форм слагаемых в разложении ζ = θ1 + θ2. Определение типа 6ν + m четного числа ζ > 8 производится путём деления четного числа ζ на 6. И установление форм слагаемых θ1 + θ2 = ζ производится согласно типам четного числа в (7). 2. Вычисление ν (параметра четного числа ζ > 8). Вписывание элементов множеств PTwCN, PTw и PPCN, лежащих на отрезке [1 ÷ ν]. Вычисление значения параметра ν четного числа ζ > 8 производится по формуле ν = (ζ - m) / 6. И поскольку по (1’) элементы отрезка [1 ÷ ν] являются параметрами следующих множеств: PTw [4, табл. 5], PTwCN [4, табл. 6] и PPCN = (FN- ∪ FN+) \ PTwCN [4, табл. 1], где множества FN+ = Jm f 11 (x, y) ∪ Jm f 12 (x, y) и FN- = Jm f 21 (x, y) ∪ Jm f 22 (x, y). Вписывание элементов множеств PTwCN, PTw, PPCN берутся из соответствующих таблиц работы [4] от 1 до ≤ ν. 3. Расписывание элементов λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2. Принадлежность элементов в промежутках Λ1 и Λ2 к множествам PTwCN, PTw и PPCN производится следующим образом: - параметры простых чисел близнецов PTw (подчеркиваются снизу); - параметры составных чисел близнецов PTwCN (в левом верхнем углу числа ставится знак «*»); - параметры чисел FN+ (в левом верхнем углу числа ставится знак «+»); - параметры чисел FN- (в левом верхнем углу числа ставится знак «-»). 4. Выбор соответствующих пар параметров λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2 По значениям параметров λ1 ∈ Λ1 определяются соответствующие параметры λ2 ∈ Λ2 по типу: λ2 = ν - λ1. В соответствующих парах параметров λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2, если хотя бы один из параметров со звёздочкой, то пара не рассматривается, ибо соответствующие им числа θ1 и θ2 составные числа [4, формула (9)]. Вычеркиваем все такие пары чисел из отрезка [1 ÷ ν]. Для оставшихся пар параметров получим из вариантов (A, B, C, D) простые числа. 5. Исследование и проверка значений слагаемых θ1 + θ2 = ζ на простоту. Выбрав соответствующие пары параметров λ1 ∈ Λ1 и λ2 ∈ Λ2, проводим анализ на их принадлежность к одной из групп (A, B, C, D) сочетаний из подмножеств PTw, PTwCN, PPCN, приведенных в Теореме 1. Проверка полученных значений слагаемых θ1 и θ2 на простоту выполняется Primality 6κ ± 1 [4, § 8] или любой таблицей простых чисел (p ≥ 5). Приведем числовые примеры для реализации описанной процедуры. Пример 1. Пусть чётное число ζ = 360. Вычислим остаток m от деления четного числа ζ на 6. По Лемме 1 найдём тип четного числа 6ν + 0, и по (7), соответственно, имеем строку (7, а). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа ζ > 8, имеем числа вида θ1 = 6λ1 ± 1 и θ2 = 6 λ2 ± 1. Вычисляем параметр четного числа по формуле ν = (ζ - m) / 6, где остаток m = 0, откуда ν = 60. Выпишем элементы подмножеств PTwCN, PTw, PPCN из соответствующих таблиц на отрезке [1 ÷ 60]: PTwCN = {20, 24, 31, 34, 36, 41, 48, 50, 54, 57} [4, табл. 6]. PTW = Ch = N \ FN = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58} [4, табл. 5]. FN- = {6, 11, 13, 16,*20, 21,*24, 26, 27,*31,*34, 35,*36, 37,*41, 46, *48,*50, 51,*54, 55, 56,*57} [4, табл. 1]. FN+ = {4, 8, 9, 14, 15, 19, *20, 22,*24, 28, 29,*31,*34,*36,39,*41, 42, 43, 44,*48, 49,*50, 53,*54, 55,*57, 59, 60}. Разложим элементы соответствующих пар параметров λ1 ∈ [1 ÷ 30], λ2 ∈ [30 ÷ 60] с учетом их принадлежности к множествам параметров PTw , PTwCN и PPCN согласно пункту 3 в разделе III. Λ1 = {1, 2, 3,+4, 5, -6, 7,+8, +9, 10, -11, 12, -13, +14, +15, -16, 17, 18, +19,*20, -21, +22, 23, *24, 25, -26, -27, +28, +29, 30}. Λ2 = {*31, 32, 33, *34, -35, *36, -37, 38, +39, 40, *41, +42, +43, +44, 45, -46, 47, *48, +49, *50, -51, 52, +53, *54, -55, -56,*57, 58, +59, +60}. Количество соответствующих пар параметров (λ1, λ2): Пsum = [ν \ 2] = [60 \ 2] = 30 и, естественно, что при параметрах чисел PTwCN соответствующие слагаемые являются составными. Потому необходимо будет выбрать из Λ1 и Λ2 те параметры, которые принадлежат к объединению множеств PTw ∪ PPCN = PTw ∪ (FN+ ∪ FN-) \ PTwCN. Например, пусть значения параметров: 1. λ1 = 2 ∈ P Tw, λ2 = 58 ∈ PTw: α. 6 λ1 - 1 = 11 ∈ PN-, 6λ2 + 1 = 349 ∈ PN+ β. 6λ1 + 1 = 13 ∈ PN+, 6λ2 + 1 = 347 ∈ PN-. 2. λ1 = 25 ∈ PTw, λ2 = 35 ∈ FN-: α. 6 λ1 - 1 = 149 ∈ PN-, 6λ2 + 1 = 211 ∈ PN+ β. 6λ1 + 1 = = 151 ∈ PN+, 6λ2 - 1 = 209 ∈ CN-. 3. λ1 = 5 ∈ PTw, λ2 = 55 ∈ FN+: α. 6 λ1 - 1 = 29 ∈ PN-, 6λ2 + 1 = 331 ∈ CN+ β. 6λ1 + 1 = = 31 ∈ PN+, 6λ2 - 1 = 329 ∈ PN-. 4. λ1 = 46 ∈ FN-, λ2 = 14 ∈ FN+ : α. 6 λ1 - 1 = 275 ∈ CN-, 6λ2 + 1 = 85 ∈ CN+ β. 6λ1 + 1 = = 277 PN+, 6λ2 - 1 = 83 ∈ PN-. 5. λ1 = 39 ∈ FN+, λ2 = 21 ∈ FN-: α. 6 λ1 - 1 = 233 ∈ PN-, 6λ2 + 1 = 127 ∈ PN+ β. 6λ1 + 1 = = 235 ∈ CN+, 6λ2 - 1 = 125 ∈ CN-. Поскольку на отрезке [1 ÷ 30] параметры λ1 = 1, 2, 23, ... ∈ PTw, тогда числа вида θ1 = 6λ1 ± 1 простые как числа близнецы, т. е. (5↔7, 11↔13, 137↔139), и соответствующий параметр λ2 ∈ [30 ÷ 60] в одном из вариантов форм θ2 = 6λ2 - 1, либо θ2 = 6λ2 + 1 есть простое число в силу (1). Итак, 360 разложимо на суммы простых чисел: 11 + 349, 13 + 347, 149 + 211, 29 + 331, 277 + 83, 233 + 127. Пример 2. Пусть чётное число ζ = 362. Вычислим остаток m от деления четного числа ζ на 6, по Лемме 1 найдём тип четного числа 6ν + 2, по (7), соответственно, имеем строку (7, б). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа ζ > 8, имеем числа вида θ1 = 6λ1 + 1 и θ2 = 6 λ2 + 1. Вычислим параметр четного числа по формуле ν = (ζ - m) / 6, где остаток m = 2, откуда ν = 60. Выписываем элементы подмножеств PTwCN, PTw, PPCN из соответствующих таблиц на отрезке [1 ÷ 60]. Очевидно, что значения параметров множеств PTw, PTwCN, FN-, FN+ и Λ1, Λ2 остаются неизменными, как и в Примере 1, но т. к. числа здесь однотипные, то для того чтобы θ1+ и θ2+ были простыми, необходимо, чтобы параметры λ1 и λ2 брались из множеств PTw или FN- \ PTwCN. 1. λ1 = 23 ∈ PTw, λ2 = 37 ∈ FN- : β. 6λ1 + 1 = 139 ∈ PN+, 6λ2 + 1 = 223 ∈ PN+. 2. λ1 = 27 ∈ FN-, λ2 = 33 ∈ PTw : β. 6λ1 + 1 = 163 ∈ PN+, 6λ2 + 1 = 199 ∈ PN+. 3. λ1 = 46 ∈ FN+, λ2 = 14 ∈ FN-: β. 6λ1 + 1 = 277 ∈ PN+, 6λ2 + 1 = 85 ∈ CN+. 4. λ1 = 47 ∈ PTw, λ2 = 13 ∈ FN-: β. 6λ1 + 1 = 283 ∈ PN +, 6λ2 + 1 = 79 ∈ PN-. Итак, число ζ = 362 разложимо на суммы двух простых чисел: 139 + 223, 163 + 199, 283 + 79. Пример 3. Пусть чётное число ζ = 364. Вычислим остаток m от деления четного числа ζ на 6, по Лемме 1 найдём тип четного числа 6ν - 2 и по (7), соответственно, имеем строку (7, в). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа ζ > 8, имеем числа вида θ1 = 6λ1 - 1 и θ2 = 6 λ2 - 1. Вычислим параметр четного числа по формуле ν = (ζ - m) /6, где остаток m = -2, откуда ν = 61. Тогда значения параметров множеств PTw, PTwCN, FN-, FN+ и Λ, Λ2 остаются почти неизменными, как и в Примере 1, только к параметрам добавляется еще число 61, т. е. отрезок [1 ÷ 61]. Поскольку и здесь числа одного вида, то для того, чтобы числа вида θ1- и θ2- были простыми числами, очевидно, по Лемме 3, параметры λ1 и λ2 должны принадлежать к одному из множеств - PTw или FN+ \ PTwCN. 1. λ1 = 2 ∈ PTw , λ2 = 59 ∈ FN+: α. 6λ1 - 1 = 11 ∈ PN-, 6λ2 - 1 = 353 ∈ PN- . 2. λ1 = 19 ∈ FN+, λ2 = 42 ∈ FN+ : α. 6λ1 - 1 = 113 ∈ PN-, 6λ2 - 1 = 251 ∈ PN+. 3. λ1 = 46 ∈ FN-, λ2 = 15 ∈ FN+ α. 6λ1 - 1 = 275 ∈ CN-, 6λ2 - 1 = 89 ∈ PN-. Итак, число ζ = 362 разложимо на суммы двух простых чисел: 11 + 353, 113 + 251. В примерах 2 и 3 имеем однотипные числа θ1 и θ2. И так как неравенство (2) всегда выполнимо на Λ1 и Λ2, то элементы множеств PTw, FN - и FN+ присутствуют всегда в Λ1 и Λ2. Потому справедливость бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера в целом остается справедливой для всех четных чисел ζ > 8. Заключение Комплексное исследование бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера, включающее теоретическое исследование, её программное обеспечение и численный анализ, позволило дать полную картину о представлении и о свойствах чётных чисел ζ > 8. Любое чётное число ζ > 8 имеет форму ζ = 6ν + m, где ν = (ζ - m) \ 6 параметр четного числа. Чётные числа ζ > 8 представимы суммами двух элементов θ1 = 6λ ± 1 и θ2 = 6(ν - λ) ± 1 соответственно по остаткам m = (0, 2, -2). Доказано, что для любого четного числа ζ > 8 на отрезке [1 ÷ ν] всегда существует пара чисел λ1 ∈ [1 ÷ ν \ 2] и λ2 ∈ [ν \ 2 ÷ ν] таких, что оба являются элементами из множества объединений параметров простых чисел близнецов и параметров простых и составных чисел множества Θ, т. е. λ1, λ2 ∈ PTw ∪ (FN+ ∪ FN-) / PTwCN. Доказано, что любое четное число ζ > 8 разлагается на сумму двух простых чисел, и т. к. разложение четных чисел ζ ≤ 8 проверяется непосредственно, то бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера для четных чисел ζ > 2 доказана.
Список литературы

1. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.

2. Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. М.: УРСС: Книжный дом «Либроком», 2011. 664 с.

3. Чермидов С. И. Распределение простых чисел. Алгоритм чисел близнецов и их бесконечность // Научный журнал КубГАУ. 2015. № 110 (06). С. 414-436. URL: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf.

4. Чермидов С. И. Распределение простых и составных чисел и их алгоритмические приложения // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 3. С. 48-64. DOI: 10.24143/2072-9502-2017-3-48-64.

5. Чермидов С. И. Бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера в множестве Θ = {6Κ + 1 / Κ ∈ N} // Междунар. журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 5 (ч. 2). С. 207-215. DOI: 10.17513/mjpfi.9223.

6. Чермидов С. И. Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау). Бесконечность близнецов составных чисел // Междунар. журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 1 (ч. 2). C. 135-143. URL: https://www.applied-research.ru/pdf/2016/1-2/8336.pdf. DOI: 10.17513/mjpfi.8336.