Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Описана проблема моделирования длинных ленточных конвейеров, используемых в горнодобывающей промышленности. Показаны недостатки существующих методов, особенно в отношении многоприводных конвейеров с перегрузкой руды. Существуют две разновидности методов: в одних вся нагрузка приводится к моменту на барабане, в других детально исследуется поведение ленты. Методы первой группы приводят к точечным моделям, позволяющим оптимизировать конвейер для работы в штатном режиме; методы второй группы позволяют рассчитать разрыв ленты, но динамика привода должна быть известна заранее. На основе достаточно простых представлений о физических процессах в многоприводном конвейере предложена распределенная модель динамики такого конвейера. Модель основана на разбиении ленты на малые элементы и интегрировании усилий вдоль всей ленты с учетом особенностей положения каждого элемента - на приводном или неприводном барабане, с грузом или без груза, на участках загрузки, перегрузки, выгрузки и т. д. Приняты допущения, упрощающие схему. Разработан алгоритм расчета сил и ускорений каждого элемента на основе метода простой итерации. Реализовано программное обеспечение, содержащее редактор схем конвейеров и моделирующую часть. Показана адекватность результатов моделирования в штатном режиме, режиме перегрузки одной из ветвей конвейера, режиме недостаточной натяжки ленты. Это позволяет использовать модель, уточненную по данным о конкретном конвейере, для синтеза системы управления, в частности, разработки программы пуска загруженного конвейера после аварийной остановки.

Ключевые слова:
многоприводный конвейер, моделирование, управление
Текст
Введение Ленточный конвейер - это транспортирующая машина для перемещения в горизонтальном и наклонном направлениях насыпных и штучных грузов непрерывным потоком без остановки для загрузки и выгрузки. Лента является тяговым и несущим органом одновременно. Она закольцована вокруг концевых барабанов, необходимое первоначальное натяжение ленты обеспечивается натяжным устройством. Груз перемещается на верхней ветви, нижняя ветвь ленты является холостой. На всем протяжении трассы ленту поддерживают роликоопоры верхней и нижней ветвей. Достоинствами конвейеров являются высокая производительность, простота конструкции, большая длина транспортировки, вплоть до 3-4 км, простота эксплуатации. Благодаря этим качествам ленточные конвейеры применяются в производстве строительных материалов, на открытых горных разработках, на металлургических предприятиях и т. д. [1]. Поступательное движение конвейер получает от фрикционного привода при огибании лентой приводного барабана или двухбарабанного привода. Груз поступает на ленту через одно или несколько загрузочных устройств. Разгрузка производится с концевого барабана в приемный бункер (концевая) или в любом пункте вдоль трассы конвейера с помощью барабанных или плужковых разгружателей (промежуточная). Очистка ленты от прилипших частиц груза осуществляется с помощью очистных устройств (в данной статье не рассматриваются). При расчете конвейеров, как правило, все усилие на ленте приводится к моменту на приводном барабане, из чего рассчитываются мощность привода, тяговое усилие, натяжение ленты, ее размерные и весовые характеристики. Далее методом обхода трассы по контуру уточняются тяговое усилие на барабанах и мощность приводов конвейера, проверяется прочность предварительно выбранной ленты, производятся окончательный расчет приводов, натяжных устройств и проверочные расчеты отдельных элементов и узлов [2]. Такой подход позволяет произвести проектные расчеты, но не позволяет исследовать особые режимы работы конвейера, например пуск неравномерно загруженной ленты. В то же время для длинных (1-3 км) шахтных конвейеров проблема управления приводами при пуске после аварийной остановки остается актуальной и малоизученной, хотя попытки модельного исследования этой и подобных задач предпринимались неоднократно. Некоторые авторы (например, [3]) применяли конечно-элементные методы для моделирования конвейеров и расчета отдельных показателей, таких как местные усилия на ленте с учетом ее взаимодействия с роликами [4]. Однако конечно-элементные методы в классическом исполнении несоразмерно сложны по сравнению с достигаемыми результатами. Упрощение элементного подхода, взятое за основу в [5], представляется перспективным, однако не доведено до возможности практического использования для многоприводных конвейеров. В [6] для моделирования ленты взяты за основу тела Фохта (Кельвина) и Максвелла. Однако реальные ленты конвейеров не обладают свойствами «чистых» моделей Максвелла или Фохта. Для их приближения к реальному состоянию ленты в модели вводят дополнительные элементы. Но модель все равно учитывает только деформацию ленты, пренебрегая ее другими свойствами и влиянием приводов. В [7] построена математическая модель, которая послужила основой для многих других работ [8, 9 и др.]. Автор [7] решает проблемы роста грузоперевозок и увеличения длины трасс конвейеров путем использования двухбарабанного привода. Основной принцип построения модели движения конвейерной ленты - принцип кусочно-линейной аппроксимации. Контур ленты разбивается на несколько участков. В границах каждого участка закон изменения скорости деформации по длине считается линейным. Усилия приводятся к моментам на барабанах, далее используется метод Лагранжа второго рода. Итоговая математическая модель складывается из дифференциальных уравнений кинетической и потенциальной энергии, а также уравнений обобщенной работы движущей силы привода, сил сопротивления движению ветвей ленты, сил сопротивления движению груза и внутреннего трения контура. Для плавного регулирования скорости ленты используется регулируемый асинхронный электродвигатель с частотно-векторным управлением. Модель построена во вращающейся системе координат, что позволило представить саму машину, преобразователи фаз и координат одной системой уравнений. Основным недостатком данного подхода является невозможность динамического моделирования частей ленты - провисов, разрыва, проскальзывания при пуске. Таким образом, задача моделирования конвейера очевидно является динамической и пространственной (распределенной). Переходные режимы конвейера, наиболее интересные с точки зрения исследования, волновые процессы в ленте и т. д. развиваются во времени. Как показано выше, переход к модели с сосредоточенными параметрами (моменту на приводном барабане) порождает проблемы с моделированием частей ленты, отдельных ее пространственных элементов. В предлагаемой статье кратко описывается модификация вышеперечисленных подходов, позволяющая снять некоторые ограничения на возможности моделирования многоприводных длинных ленточных конвейеров. Работа выполнена в рамках хозрасчетного задания на исследование пусковых режимов загруженного конвейера (пуск после аварийной остановки). Окончательной целью работы была оптимизация программы управления пуском многоприводного конвейера. В связи с этим, во-первых, были приняты некоторые допущения, свойственные моменту страгивания ленты; во-вторых, к сожалению, не все детали работы могут быть опубликованы по условиям договора. Однако промежуточный результат - упрощенная конечно-элементная модель длинного конвейера - представляется интересным сам по себе. Разработка модели конвейера на основе конечно-разностного подхода В основу предлагаемого подхода положена элементарная физическая модель, особенность которой заключается в интегрировании усилий вдоль ленты с учетом ее состояния и контакта с барабанами, а также реализации специальной модификации алгоритма простой итерации для уточнения параметров. Будем считать известными следующие исходные данные: координаты центров и радиусы барабанов (); коэффициент трения ленты на барабане ; коэффициент трения (сопротивления вращению) на роликоопорах ; удельный вес ленты ; момент инерции барабанов и двигателей ; коэффициент упругости ленты и остальные начальные значения, которые рассчитываются по проектной методике. Примем следующие допущения. 1. В не учитывается подъем груза на ролик. При движении вперед отрезок ленты поднимается на ролик, преодолевает его и провисает между следующими двумя роликами до тех пор, пока не попадет на барабан. Из-за сложности расчета сопротивление движению подъему на ролик приведем к коэффициенту трения на роликоопорах. Кроме того, известно, что в момент страгивания загруженного конвейера после аварийной остановки этим сопротивлением вообще можно пренебречь, т. к. основные динамические нагрузки создаются из-за разгона груженой ленты. 2. Допустимое растяжение ленты достаточно мало для того, чтобы сохранялась возможность интегрировать вдоль нерастянутой ленты. Обычно растяжение ленты составляет не более 0,25 %, однако, зная удлинение всех элементов на ленте, можно узнать общее растяжение каждой ветви ленты и провис ленты. 3. При расчете натяжения оно считается неизменным по всей ширине ленты, что позволяет избавиться от координаты «поперек ленты». 4. Центробежное ускорение не учитывается, жесткость ленты, ее сопротивление изгибу не учитываются. Лента конвейера делится на элементы, для каждого из которых решаются далее уравнения динамики. Их количество зависит от конкретного конвейера, но находится в пределах от десятков тысяч до нескольких миллионов. Например, для конвейера с общей длиной ленты 4 км предлагается разбиение на элементы по 0,1 м, т. е. 40 000 элементов. Увеличение числа элементов замедляет вычисление и повышает требования к производительности вычислительной системы, но дает большую точность моделирования. Пространственной осью, вдоль которой движутся динамические элементы, является геометрическое место точек непровисшей ленты в соответствии с допущением 2 (см. выше). Интегрирование уравнений динамики происходит в проекции на направление данной пространственной оси: ветви конвейера или барабана. Следовательно, действие сил и расчеты разнятся в зависимости от положения элементов, т. е. формулы для расчета элемента ленты на барабане будут отличаться от формул для несущей ветви и т. п. Выделим шесть возможных вариантов расположения элементов ленты, которые изображены на рис. 1. Рис. 1. Варианты расположения ленты конвейера: А - лента в области загрузки на роликах - элемент находится на несущей ветви, которая движется по роликоопорам; B - лента на приводном барабане, с грузом или без груза (будем считать, что элемент находится на барабане, если на барабане находится его центр); C - лента на неприводном барабане с постоянным сопротивлением движению (натяжной барабан является частным случаем неприводного); D - лента в области разгрузки - может двигаться как по роликоопорам, так и без них (ветвь между двумя приводным барабанами не нуждается в роликоопорах); E- процесс перегрузки - груз может двигаться по одному конвейеру с перегрузкой на другую несущую ветвь этого же конвейера; F - зона загрузки или разгрузки - теоретически может находиться в любом месте конвейера На рис. 2 изображены действия сил на элемент ленты, находящийся на барабане. а б Рис. 2. Действие сил на элемент ленты: а - на барабане; б - на ленте Запишем уравнения сил, действующих на элемент, находящийся на барабане, при заданном на рис. 2, а направлении вращения, в проекциях на оси X и Y: (1) где - сила реакции опоры; углы a и указаны на рис. 2; - масса элемента ленты (с грузом или без груза); - сила трения данного элемента; - ускорение элемента ленты; и - усилия, действующие на элемент. Знак «±» у силы трения обусловлен типом барабана. Трение на приводном барабане разгоняет ленту, т. е. имеет знак «+», тогда как трение на неприводном барабане тормозит ленту, т. е. имеет знак «-». Силу трения можно выразить также как произведение силы реакции опоры и коэффициента трения , где μ - соответствующий коэффициент трения. В нормальном режиме лента движется без проскальзывания, поэтому коэффициент от скорости не зависит, а при проскальзывании в статическом режиме конвейер должен быть остановлен. При определении возможности проскальзывания необходимо принимать во внимание, что лента на приводном барабане может проскальзывать только вся целиком (все элементы ленты, находящиеся в данный конкретный момент времени на барабане), поэтому для определения возможности проскальзывания формула суммируется для всех элементов, находящихся на барабане. В пределе, при бесконечно малых элементах и принятии допущений и при невесомой ленте, придем к известной формуле Эйлера [10 и др.], где - натяжение ленты в статическом режиме работы конвейера; φ - угол охвата ленты. При численном расчете угол α не является бесконечно малым, что повышает погрешность, однако при расчете реакции опоры учитывается и вес элемента ленты тоже, а формула Эйлера выведена для невесомой нити. Следовательно, предлагаемый здесь метод определения проскальзывания, с одной стороны, является более грубым, чем метод Эйлера, но с другой - более точным. Формула для расчета силы реакции опоры: (2) где и - усилия, воздействующие на элемент ленты; - сумма массы участка ленты (или всей ленты) и массы груза на участке ленты (или на всей ленте) , где - масса участка ленты; - масса груза на участке ленты. Силы направлены перпендикулярно реакции опоры и на нее не влияют. На рис. 2, б изображено действие сил на элементы ленты, не находящейся на барабане. Исходя из этого, можно составить уравнения равновесия на ленте: (3) где, в данном случае, - сила трения от ролика в те моменты времени, когда лента находится на ролике (). Для расчета пускового режима загруженного конвейера, задача о котором поставлена выше, силой трения на роликах можно пренебречь, т. к. инерция груза очень велика, но в общем случае ее учитывать необходимо. Кроме того, строго говоря, не является константой, т. к. это сумма коэффициентов сопротивления качения подшипников ролика и сопутствующих процессов, которая зависит от скорости ленты и сопротивления от подъема ленты с грузом на ролик, зависящего от неравномерного распределения груза по ленте. Вероятно, именно поэтому в классических методиках расчета конвейеров этот коэффициент все же принимают константным, определенным эмпирически для разных видов лент, загрузок и роликоопор [11]. Для моделирования необходимо спроецировать действие сил элементов ленты на прямую, нерастянутую ленту. Таким образом, от формулы (1) придем к формуле (4) В формуле (4) знак «±» зависит от направления движения по барабану, т. е. при подъеме на барабан выражение имеет знак «-», а при спуске с барабана - знак «+», т. к. при подъеме на барабан сила тяжести действует в обратном подъему направлении, а при спуске - в том же направлении. В формуле (4) присутствует , а т. к. сила для движения передается от барабана к ленте фрикционным способом, то (5) где - окружная сила приводного барабана; - сила трения; - сила реакции опоры. Как отмечалось выше, здесь сила трения суммируется для всех элементов, центры которых в данный момент находятся на барабане. Иначе говоря, (6) где M - момент на барабане; R - радиус барабана. Если минимумом оказалось значение то в этом случае лента не проскальзывает на барабане и, следовательно, не горит, а если минимальным оказывается значение - это означает проскальзывание ленты. Вращающий момент на приводном барабане известен. В формуле (4) усилия можно рассчитать по формуле (7) где - усилие i-го элемента ленты; - коэффициент упругости ленты; - удлинение i-го элемента ленты. Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно поверхности. Для расчета силы реакции опоры необходимо в (2) спроецировать ее перпендикулярно ленте: (8) Подставив выражения (6) и (8) в формулу (4) получим (9) Аналогичное выражение для элемента, не находящегося на приводном барабане, из выражения (3) в проекции вдоль ленты будет иметь вид (9а) Из формул (3) и (4) пропадает реакция опоры, т. к. она не оказывает влияния на ускорение ленты. При расчете ускорений и усилий в момент страгивания ленты загруженного конвейера трением на роликоопорах можно пренебречь ввиду его малости по сравнению с инерцией груза, поэтому (9б) С помощью (9) можно рассчитать ускорение каждого элемента и затем использовать его для определения новой скорости и нового положения элемента с помощью общеизвестных формул кинематики: (10) где - изменение скорости i-го элемента; - ускорение i-го элемента; - изменение времени; - новая скорость i-го элемента; - новое положение i-го элемента (на данном шаге по времени); - старое положение i-го элемента (на предыдущем шаге по времени); - скорость i-го элемента на предыдущем шаге; - ускорение i-го элемента на предыдущем шаге; - удлинение i-го элемента. Перед началом моделирования необходимо задать положение барабанов, их диаметры или радиусы, направление действия привода и приводной момент на нем. Необходимо обозначить участки ленты, направление их движения, несущие и холостые ветви. На ветвях необходимо указать зону загрузки, зону разгрузки и точку перегрузки - точку, в которой груз переходит с одной ветви конвейера на другую ветвь этого же конвейера. В зоне загрузки к массе ленты прибавляется масса груза. Если центр элемента попадает в точку загрузки, считаем весь элемент находящимся в зоне загрузки. Масса груза равномерно делится на количество элементов в зоне загрузки. Аналогично моделируется зона разгрузки с той разницей, что из массы ленты вычитается масса груза. В точке перегрузки груз мгновенно исчезает с одного элемента ленты и появляется на другом. Если центр элемента попадает в зону перегрузки, значит, весь элемент считаем находящимся в зоне перегрузки. Вид формул для разбиения ленты на n элементов зависит от положения элемента. Элемент может быть расположен либо на ленте, либо на барабане. Если центр элемента попадает на барабан, считаем, что весь элемент относится к барабану. Для прямого участка используется формула а на барабане где - координаты x, y в точке i; - координаты x, y барабана; - координаты начальной точки; . Так как все элементы имеют одинаковую длину, считаем, что масса ленты равномерно распределена, что позволяет вычислить массу ленты каждого элемента по формуле (11) Если на момент начала моделирования на ленте находится груз, необходимо равномерно распределить его массу на элементы, на которых он находится. Далее учитывается добавление груза при загрузке (перегрузке). После расчета масс элементов по формулам (4)-(6) необходимо рассчитать ускорение каждого элемента методом простой итерации. Контур ленты является замкнутым, поэтому можно воспользоваться методом простой итерации для нахождения всех усилий на элементах в формулах (9). Изначально имеем три неизвестных для элемента: два усилия и ускорение. На первом шаге необходимо приравнять одно из усилий F1 к некоему начальному значению, тогда как второе усилие остается неизвестным; ускорения необходимо приравнять к нулю. Тогда можно вычислить усилие . Зная усилие , можно перейти к следующему элементу с тем же набором неизвестных. Пройдя последовательно по всем элементам ленты, можно получить все усилия. Зная их на первом шаге, можно уточнить усилие на втором шаге. Зная усилие (первое усилие на втором шаге) и (последнее усилие первого шага), можно вычислить ускорение на втором шаге ( Далее можно вычислять усилия и уточнять ускорения следующих элементов. Данные шаги следует повторять, пока где - заданная погрешность. Зная ускорения, можно по формулам (10) рассчитать изменение скорости, растяжение и новую скорость каждого элемента. При этом начальная скорость известна либо равна нулю. Помимо этого, необходимо определить проскальзывание ленты на приводных барабанах по формуле (6). Если условие , (12) где - сумма сил трения всех элементов, находящихся в данный момент времени на барабане, выполняется, это обозначает проскальзывание ленты на приводном барабане. Из формулы (7) можно вычислить растяжение i-го элемента . С его помощью можно проверить участок ленты на разрыв, сравнив вычисленное растяжение с максимально допустимым растяжением, т. е., если выполняется условие , то произойдет разрыв ленты. Суммировав растяжения элементов, находящихся на одной ветви, получим общее растяжение ветви, из которого можно определить провис . Таким образом, алгоритм моделирования ленточного конвейера следующий: - выделить ветви, барабаны, обозначить зону загрузки и разгрузки; - разбить трассу ленты на конечное число элементов одинаковой длины; - вычислить массу одного элемента ленты без учета груза на ленте (11); - если на ленте есть груз до начала моделирования, распределить массу груза равномерно на элементы, на которых находится груз; - воспользовавшись формулами (4) и (8), по методу простых итераций рассчитать ускорения и усилия каждого элемента; - рассчитать растяжение каждого элемента; - определить возможность разрыва ленты на каждом элементе; - рассчитать растяжение каждой ветви; - с помощью формул (10) вычислить новую скорость элемента, его перемещение и новое положение; - определить проскальзывание ленты на приводных барабанах по формуле (12); - повторить алгоритм для следующего отрезка времени. Программная система, реализующая модель, разработана на JavaScript. Она включает элементарный редактор схем (рис. 3) и собственно моделирующую часть. Масштаб барабанов и вертикальный масштаб отличаются от горизонтального для наглядности. Рис. 3. Схема тестового многоприводного конвейера В пусковом режиме или при изменении момента на приводных барабанах данный алгоритм позволяет наблюдать волновые явления в ленте, что отличает его и от традиционных методик расчета, где используются интегральные формулы скорости распространения упругих волн в ленте, и от сложных конечно-элементных методов, обычно позволяющих детально исследовать волну на очень ограниченном участке ленты (во всяком случае, не на километровом). Для проведения эксперимента в программном обеспечении был собран шахтный ленточный конвейер 4КЛ1400А-1000-4А-У5, проектируемый для использования в Южно-Якутском угольном бассейне. Данный конвейер содержит 4 приводных барабана, 1 отклоняющий барабан, 1 натяжной барабан и 1 неприводной барабан. Длина ленты конвейера, рассчитанная на основании координат центров барабанов, составляет чуть менее 2 км. Лента конвейера разбивается на 4 000 элементов длиной по 0,481 м. Начальные усилия определены как нулевые, после запуска метода простых итераций усилия придут к реальным стартовым значениям. На рис. 3 видно, что несущая ветвь конвейера делится на две части: короткую, которая завершается пунктом перегрузки после двухбарабанного привода, и длинную, которая завершается разгрузкой конвейера. Точка загрузки конвейера мала по сравнению с ветвью конвейера, поэтому можно свести точки загрузки, разгрузки и перегрузки в одну точку. Считаем также, что груз появляется на ленте равномерно. Рассмотрим на модели сценарий штатной нагрузки конвейера и его нормальной работы в установившемся режиме, без разрывов ленты и проскальзывания ленты на приводных барабанах. При данном сценарии график усилий и сумм сил должен быть похож на график натяжений тягового расчета. На рис. 4 отображен график усилий в зависимости от номера элемента ленты. На нем видны два пика там, где находятся элементы, набегающие на барабан. Нагрузка на втором приводе больше, чем на первом, т. к. вторая часть ветви длиннее первой и именно на нее в большей степени влияет второй привод. Данные результаты адекватны и соответствуют расчету натяжения конвейерной ленты в статическом режиме по [1, 4]. Рис. 4. График усилий при нормальном режиме работы В качестве примера исследовано поведение конвейера при пуске с предварительно расположенным на нем грузом, масса которого превышает возможности транспортировки (рис. 5). Рис. 5. График тяговых усилий при приближении к разрыву ленты На рис. 5 видна огромная разница в усилиях на первом и втором приводах. При этом усилия принимают и отрицательные значения. Это говорит о том, что произошло превышение максимально допустимого усилия и, как следствие, разрыв ленты. Программа отображает только первую точку, в которой произошло превышение допустимого усилия. На аналогичном графике, где отображены суммы сил, действующих на элементы, суммы сил на барабанах значительно меньше, чем можно было бы предполагать, исходя из условий задачи, и даже отрицательные. На элементах ленты в холостой ветви конвейера также ненормально малые силы натяжений (рис. 6). Рис. 6. График сумм сил на элементах в момент после разрыва ленты Отрезки графика с отрицательными значениями показывают наиболее вероятные точки разрыва ленты. При обычном тяговом расчете отрицательные значения натяжений не имеют физического смысла. Однако в разработанной модели скачки сумм сил возникают из-за динамических процессов при разрыве ленты конвейера и, собственно, указывают те отрезки ленты, на которых наиболее вероятен разрыв. В итоге получено превышение натяжения ленты начиная с элемента 1427, которое приводит к обрыву и обратному вращению неприводных барабанов. Программа также позволяет моделировать проскальзывание ленты на приводных барабанах при недостаточной натяжке, что позволяет исследовать износостойкость ленты. Важность этой задачи подчеркивается многими исследователями, в частности в [8]. Заключение Созданное программное обеспечение принципиально позволяет исследовать некоторые интересные режимы работы длинных конвейеров за счет использования большей вычислительной мощности современного персонального компьютера, чем в более ранних работах [12]. Такая модель, несложная по сути, но предполагающая очень большой объем вычислений, может использоваться также для синтеза системы управления конвейером в нештатных ситуациях в интересах конкретных заказчиков.
Список литературы

1. Зенков Р. Л., Ивашкин И. И., Колобов Л. Н. Машины непрерывного транспорта. М.: Машиностроение, 1987. 432 с.

2. Каримов И. Ш. Детали машин. Уфа: БГАУ, 2011. 467 с.

3. Fedorko G., Ivančo V., Molnár V., Husáková N. Analysis of influence of conveyor belt overhang and cranking on pipe conveyor operational characteristics // Measurement. 2015. Vol. 63. P. 168-175.

4. Fedorko G., Ivančo V., Molnár V., Husáková N. Simulation of Interaction of a Pipe Conveyor Belt with Moulding Rolls // Procedia Engineering. 2012. Vol. 48. P. 129-134.

5. He Q., Li H. Review of Dynamic Modeling and Simulation of Large Scale Belt Conveyor System // Intelligent Computing and Information Science. Series: Communications in Computer and Information Science. 2011. Vol. 134. P. 167-172.

6. Schmidt Th., Leiking L. A novel simulation model for the dimensioning of cover band conveyors // Mechanism and Machine Theory. 2009. Vol. 44, iss. 9. P. 1795-1805.

7. Дмитриева В. В. Моделирование пуско-тормозных режимов ленточного конвейера // Горный информ.-аналит. бюл. 2014. № S. С. 65-72.

8. Бухаров Р. А. Разработка и компьютерное моделирование алгоритма управления для оптимизации процесса торможения магистрального ленточного конвейера // Горные науки и технологии. 2014. № 3. С. 27-38.

9. Шешко Е. Е., Степанова А. Ю., Мостаков В. А. Обоснование величины прижимного усилия на крутонаклонном конвейере с прижимной лентой // Горный информ.-аналит. бюл. 2014. № S6. С. 134-146.

10. Васильев К. А., Николаев А. К., Сазонов К. Г. Транспортные машины и оборудование шахт и рудников. СПб.: Лань, 2012. 544 с.

11. Шахмейстер Л. Г., Дмитриев В. Г. Теория и расчет ленточных конвейеров. М.: Машиностроение, 1987. 336 с.

12. Затонский А. В. Теоретический подход к управлению социально-техническими системами // Программные продукты и системы. 2008. № 1. С. 29-32.