РОБАСТНАЯ СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ ЗА ЭТАЛОННЫМ СИГНАЛОМ ЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Предлагается робастная система управления объектом, динамические процессы в котором описываются линейным уравнением с распределенным запаздыванием. Дополнительно рассмотрен алгоритм управления для объектов с запаздыванием по состоянию, предложенный автором ранее, с целью его использования при разработке робастной системы управления с распределенным запаздыванием. Для решения задачи слежения за эталонным сигналом применяются специальным образом выбранные вспомогательный контур и наблюдатели переменных, что позволяет обеспечить выполнение цели управления с заданной динамической точностью. Приведен числовой пример системы слежения за эталонным сигналом линейного объекта с распределенным запаздыванием в условиях действия возмущений, произведено моделирование в Simulink Matlab. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность предложенной системы управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений. Математические модели, включающие распределенное запаздывание, используются в таких областях науки, как биология, нейрология, физика, экономика. Учет распределенного запаздывания позволяет сделать модели этих систем соответствующими реальности, что и обусловливает актуальность полученного результата.

Ключевые слова:
робастное управление, динамический объект, возмущение, динамическая точность, распределенное запаздывание
Текст
Введение Одной из современных задач в теории автоматического управления является разработка робастной системы управления динамическими объектами с распределенным запаздыванием. Математические модели, включающие распределенное запаздывание (предложены еще в [1]), используются в таких областях науки, как биология, нейрология, физика и экономика. Учет распределенного запаздывания позволяет сделать модели этих систем соответствующими реальности. Примером системы с таким видом запаздывания может служить, в частности, процесс изготовления металлизированной ткани в текстильной промышленности. Металлизированная ткань состоит из множества дискретных волокон, которые не меняют свою длину в ходе процесса, и только их положение по отношению друг к другу и количество волокон в сечении меняются в зависимости от скорости вращения технологических валов. Длина отдельных волокон является случайной величиной и варьируется от минимума до некоторого максимума, и это распределение длины волокон включает в себя распределенное запаздывание [2]. Выделение систем с распределенным запаздыванием в отдельный класс вызвано, прежде всего, большой сложностью их исследования по сравнению с системами, не содержащими запаздывания. Методы, разработанные для объектов без запаздывания, требуют дополнительного рассмотрения [3] с целью их использования при разработке робастных систем управления с распределенным запаздыванием. В этом случае центральной проблемой является построение робастного регулятора, учитывающего влияние запаздывающей составляющей в модели объекта и обеспечивающего достижимость цели управления. Компенсация действия внутренних и внешних возмущений на регулируемую величину -это один из подходов к построению робастной системы. В рамках нашего исследования с помощью подхода, предложенного в [4], решается задача управления с эталонной моделью для линейного динамического объекта с распределенным запаздыванием. Постановка задачи Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением (1) где и скалярные регулируемая переменная и управление; время запаздывания; непрерывная начальная функция;внешнее возмущающее воздействие; и числовые матрицы соответствующих порядков. Требуемое качество переходных процессов в объекте задается уравнением эталонной модели (2) где , и скалярные выход эталонной модели и задающее воздействие; и - числовые матрицы соответствующих порядков, начальные условия нулевые. Проектируемая система управления должна обеспечить выполнение целевого условия при (3) где некоторое достаточно малое число; время, по истечении которого с начала функционирования системы должно выполняться целевое условие. Предположения 1. Пара управляема. 2. Известны диапазоны возможных значений элементов матриц и . 3. Уравнение (1) является минимально-фазовым, т. е. полином гурвицев, где комплексная переменная в преобразовании Лапласа; транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы ; единичная матрица порядка . 4. Внешние возмущение и задающее воздействиеявляются гладкими ограниченными функциями. 5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются. Преобразуем уравнения (1) и (2) в форму «вход-выход» и применим преобразование Лапласа: где ; Полиномы нормированы; изображения по Лапласу, связанные с начальными условиями. Составим уравнение для ошибки : где Применим алгоритм деления Евклида к многочленам и : , , Разложим полиномы и: и разделим на многочлен В дальнейшем изложении будут представлены требования для гурвицева полинома В результате этих преобразований уравнение ошибки в изображениях по Лапласу примет вид где Выделим целые составляющие в следующих выражениях: Преобразуем уравнение (4) в операторную форму: (5) где оригиналы от изображений Лапласа; оператор дифференцирования; В случае доступности измерения производных управляющего воздействия зададим закон управления в виде Тогда уравнение (5) примет следующий вид: (6) В случае невозможности измерения производных управляющего воздействия закон управления зададим в виде (7) где оценка сигнала, получаемая с наблюдателя [5]: . (8) Здесь матрица в форме Фробениуса с нулевой нижней строкой; . Параметры выбираются так, чтобы матрица была гурвицевой, . Подставив (7) в (5), получим уравнение , (9) где Выберем полином так, чтобы передаточная функция . Тогда уравнение (9) преобразуется к виду (10) где В сигнале сконцентрировалась вся неопределенность параметров объекта управления и внешних возмущений. Введем вспомогательный контур (11) и, принимая во внимание (10), (11), составим уравнение для рассогласования . Таким образом, если измерению доступны производные сигнала и первая производная регулируемой величины , то, сформировав в виде , (12) получим, что закон управления (7), (12) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (5), (7), (12) по переменной , а уравнение замкнутой системы будет иметь вид . В случае невозможности измерять необходимые производные сигнала , сигнал , вместо (12), формируем в виде где оценка, получаемая с наблюдателя [5]: (13) Утверждение Пусть выполнены условия предположений 1-5. Тогда для любого в (1) существуют числа такие, что для и для системы (1), (7), (8), (12), (13) выполнено целевое условие (3) и все переменные в системе ограничены. Доказательство утверждения аналогично доказательству утверждения, которое приведено в [4]. Числовой пример Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид , Класс неопределенности задан следующими неравенствами: Уравнение эталонной модели Выберем полином , , . Вспомогательный контур вводится в виде , а уравнения наблюдателей (8), (13) имеют следующий вид: Управляющие воздействия формируются в следующем виде: На рис. 1 представлены переходные процессы по ошибке слежения, выходам объекта управления и эталонной модели. Рис. 1. Переходные процессы по ошибке слежения , выходам объекта управления и эталонной модели На рис. 2 представлен переходный процесс по управлению. Рис. 2. Переходный процесс по управлению Таким образом, для объекта, рассмотренного в примере, предложенная схема формирования управляющего воздействия обеспечивает выполнение цели управления (3) с ошибкой слежения . Отметим, что в данном алгоритме управления применяются вспомогательный контур и наблюдатели переменных [5]. В отличие от схемы формирования управляющего воздействия, описанной в [6], в предложенной схеме используются два наблюдателя, что позволяет скомпенсировать погрешность наблюдения первого фильтра. Заключение В ходе исследований решена задача слежения за эталонным сигналом для объекта управления, динамические процессы в котором описываются линейным уравнением с распределенным запаздыванием. В предложенном алгоритме управления применяются специальным образом выбранные вспомогательный контур и наблюдатели переменных. Такая схема формирования управляющего воздействия позволяет учесть влияние распределенного запаздывания по выходу, а также обеспечить выполнение цели управления с заданной динамической точностью. Приведен числовой пример системы слежения за эталонным сигналом линейного объекта с распределенным запаздыванием в условиях действия возмущений, произведено моделирование в Simulink Matlab. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность предложенной системы управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений.
Список литературы

1. Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

2. Zitek P. Anisochronic internal model control of time-delay systems / P. Zitek, J. Hlava // Control Engineering Practice. 2001. Vol. 9, no. 5. P. 501-516.

3. Цыкунов А. М. Робастное управление с последействием / А. М. Цыкунов. М.: Физматлит, 2014. 264 с.

4. Имангазиева А. В. Робастное управление линейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию / А. В. Имангазиева, А. М. Цыкунов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 12. С. 2-6.

5. Atassi A. N. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems / A. N. Atassi, H. K. Khalil // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, no. 9. P. 1672-1687.

6. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.