ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ ЧЕЛОВЕКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОТЕЗИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Рассматривается комплексная математическая модель движения нижних конечностей человека. Модель, описывающая движение детерминированных элементов ноги человека, представлена в форме обыкновенной динамической системы. Полученные математические модели позволяют исследовать физические процессы, возникающие при движении человека, связанные с определением значений углов отклонения звеньев, вычислением усилий, генерируемых мышечной системой нижних конечностей человека. Их целесообразно использовать для определения параметров протезов и протезируемых систем с упругими элементами на ранней стадии их проектирования, а также для исследований систем управления подобных устройств. Приводится описание метода и результаты исследований сокращения мышц нижних конечностей человека.

Ключевые слова:
математическая модель, протезируемая система, нижние конечности человека, обыкновенная динамическая система
Текст
Введение Активное развитие высокотехнологичного протезостроения в мире привело к появлению все более совершенных конструкций протезов и протезируемых систем, проектирование и изготовление которых осуществляется с использованием жестких, а также на базе упругих элементов (тросовые и ременные передачи и др.). На первоначальном этапе проектирования подобных устройств особое внимание уделяется математическому моделированию их движения, которое должно быть проведено в соответствии с законами и принципами движения человека. Динамику перемещения нижних конечностей человека целесообразно рассматривать в комплексе, т. е. наряду с методами, позволяющими изучить и исследовать динамику детерминированных элементов его строения (например, кости и суставы), целесообразно применять методы, позволяющие исследовать законы движения его упругих элементов (мышцы и сухожилия). В процессе движения человека участвуют следующие группы мышц: 1. Для движения относительно тазобедренного сустава: брюшная - подвздошная, большая и малая ягодичные мышцы. 2. Для движения относительно коленного сустава: двуглавая и четырехглавая мышцы бедра. 3. Для движения относительно голеностопного сустава: икроножная мышца, наружные и передние мышцы голени. Обычно мышцы, осуществляющие сгибание (флексоры), находятся впереди, а производящие разгибание (экстензоры) - сзади от сустава. Только в коленном и голеностопном суставах передние мышцы производят разгибание, а задние - сгибание [1]. На рис. 1 представлена упрощенная схема строения нижних конечностей человека. Рис. 1. Структурная схема строения нижней конечности человека: 1 - тазобедренный сустав; 2 - коленный сустав; 3 - голеностопный сустав; 4 - тазовая кость; 5 - бедренная кость; 6 - кость голени; 7 - стопа; 8 - двуглавая мышца бедра; 9 - четырехглавая мышца бедра; 10 - икроножная мышца Кости бедра, голени, стопы и их суставы нами приняты за абсолютно детерминированные (жесткие) элементы, поэтому динамику их перемещения будем рассматривать в рамках обыкновенной динамической системы (ОДС). Динамику мышечной системы нижних конечностей человека можно исследовать методом конечных элементов, применяемым к устройствам с упругими элементами [2, 3]. Постановка задачи Цель исследований - создание математического комплекса описания перемещения человека, который позволит изучить динамику движения нижних конечностей человека и использовать полученные результаты моделирования в процессе проектирования протезируемых устройств. Достижение поставленной цели связано с решением следующих задач: 1. Осуществить математическое моделирование движения человека, которое описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. 2. Реализовать математическую модель сокращения мышц нижних конечностей человека с использованием метода конечных элементов. Математическое моделирование движения человека Схема, позволяющая провести математическое моделирование движения нижних конечностей человека в рамках ОДС, представлена на рис. 2. Наиболее эффективным методом исследования динамики движения детерминированных элементов нижней конечности человека на первоначальном этапе их моделирования является метод, предложенный И. Като [4]. Преимущества этого метода - простота системы дифференциальных уравнений, используемых для описания движения человека, и отсутствие необходимости использовать специализированное оборудование для измерения физических параметров движения человека. а б Рис. 2. Модель трехзвенной механической ноги: а - фаза опоры; б - фаза переноса Зависимости суставных моментов имеют следующий вид [4]: а) для фазы опоры: (1) б) для фазы переноса: (2) где соответствующие массы звеньев; расстояния между суставами; расстояния между центрами тяжести звена и соответствующего сустава; расстояния между центрами тяжести звена и соответствующей точкой опоры; вес звеньев; суставные моменты; угловые координаты, измеренные от вертикали. Из систем уравнений (1) и (2) составим системы дифференциальных уравнений для определения углов вращения относительно тазобедренного и коленного суставов: а) для фазы опоры: (3) где , , , , , , , , ; б) для фазы переноса: (4) где , , , , , , . При решении приведенных систем на основании зависимости суставных моментов от массы и длины звеньев нижних конечностей человека было принято, что Системы дифференциальных уравнений (3) и (4) решались с использованием программной среды Matlab. В процессе решения получены зависимости (рис. 3-5). Из приведенных зависимостей видно, что максимальное отклонение коленного сустава в фазах опоры и переноса составляет не более 30°; максимальное отклонение для тазобедренного сустава в фазе опоры - не более 45° и фазе переноса - не более 25°, что соответствует естественному движению человека. Полученная математическая модель позволяет определить максимальное значение углов вращения суставов нижних конечностей человека, которое можно использовать в дальнейшем исследовании рассматриваемой нами группы мышц. a б Рис. 3. Зависимость для голеностопного сустава: а - фаза опоры; б - фаза переноса а б Рис. 4. Зависимость для коленного сустава: а - фаза опоры; б - фаза переноса а б Рис. 5. Зависимость для тазобедренного сустава: а - фаза опоры; б - фаза переноса Математическое моделирование сокращения мышц нижних конечностей человека Целью моделирования являлось определение максимальных значений внешних и внутренних сил и момента, генерируемых мышечной системой нижних конечностей человека, что позволит исследовать изменение усилий, формируемых мышечной системой человека в процессе его движения. В процессе моделирования сокращения и растяжении мышц нижних конечностей человека приняты следующее допущения. 1. Поскольку величины прогиба, растяжения и сжатия четырехглавой мышцы бедра, брюшной - подвздошной мышцы, наружной и передней мышц голени в процессе рассмотрения динамики сокращения и растяжении мышц нижних конечностей человека малы, ими можно пренебречь. Тогда мышцы, отвечающие за сгибание и разгибание свободных сочленений нижних конечностей человека, относительно суставов будут распределены следующим образом: относительно голеностопного сустава - икроножная мышца; относительно коленного сустава - двуглавая мышца бедра; относительно тазобедренного сустава - большая и малая ягодичные мышцы. 2. Большая и малая ягодичные мышцы представлены в виде одной мышцы - ягодичной. 3. Примем, что форма поперечного сечения икроножной и двуглавой мышцы бедра - круг, а форма поперечного сечения ягодичной мышцы - прямоугольная. 4. Примем, что на конце мышцы сосредоточен точечный груз массой равной сумме свободных сочленений нижних конечностей человека. 5. Кинематическая схема деформации сокращения мышц нижних конечностей человека представлена на рис. 6. Рис. 6. Кинематическая схема деформации мышцы человека: 1 - сустав; 2 - мышца; 3 - точечный груз; X0 Y0 Z0 - общая система координат; α - угол поворота сустава; l - длина мышцы; ∆l∆х - величины деформации мышцы; m - масса груза; N - усилие, генерируемое мышцей Нами исследовались физические процессы, возникающие в результате сокращения мышц человека, распределение внешнего и внутреннего усилий, генерируемых мышцей человека по всей её длине. Исследование проводилось методом разбиения рассматриваемой мышцы на конечные элементы с дальнейшим определением усилий в каждом элементе. Усилия, генерируемые мышцами человека, можно вычислить с использованием уравнения Лагранжа II рода [2]: (5) (6) где - матрица масс мышцы в общей системе координат; - матрица жесткости мышцы в общей системе координат; - матрица масс -го конечного элемента в общей системе координат; - матрица жесткости -го конечного элемента в общей системе координат; - вектор перемещения конечного элемента; - вектор внешних сил, генерируемых конечным элементом; - вектор внутренних сил конечного элемента; - конечный элемент мышцы человека. Учитывая, что движение человека является колебательным процессом, переменные , и можно представить в форме гармонических колебаний: , , , (7) где амплитуды векторов перемещения, внешних и внутренних сил соответственно; w - частота гармонических колебаний. Так как сокращение мышцы человека формирует угол поворота его сустава, то примем, что частота мышечного усилия равна частоте вращения сопрягаемого сустава. Матрицы масс и жесткости в общей системе координат можно определить, используя следующие соотношения [3]: , , где - квазидиагональная матрица жесткости мышцы человека; - кавазидиагональная матрица масс мышцы человека; - матрица соответствия конечных элементов мышцы. Квазидиагональные матрицы масс и жесткости представляются в виде диагональных матриц с размерностью , где . Элементами обеих матриц являются матрицы жесткости и масс, представленные в общей системе координат. Матрица соответствия формируется объединением матриц преобразования конечных элементов и является матрицей-столбцом с размерностью , где . Матрицы жесткости и масс конечного элемента в общей системе координат могут быть получены из соотношения [3]: где матрица ортогонального преобразования координат конечного элемента; матрицы жесткости и масс r-го элемента соответственно. Матрица ортогонального преобразования координат конечного элемента мышцы человека имеет следующий вид: , где матрица направляющих косинусов. Так как мышцы человека подвергаются сокращению и растяжению, то матрицы жесткости и масс конечных элементов мышцы могут быть сформированы следующим образом [3]: , , где длина конечного элемента; площадь поперечного сечения конечного элемента; модуль упругости мышцы человека; момент инерции конечного элемента; погонная масса мышцы. Подставляя формулу (7) в выражения (5) и (6), получим: , . В процессе моделирования сокращения мышц нижних конечностей человека приняты следующие исходные данные и получены следующие результаты: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . В результате моделирования определены максимальные значения внешних и внутренних сил и момента, генерируемых мышечной системой нижних конечностей человека, которые позволяют исследовать изменение усилий, формируемых мышечной системой человека в процессе его движения. Внешние и внутренние усилия, а также момент, генерируемые мышечной системой, можно представить в векторной форме: , , где усилия и момент, генерируемые мышцей человека; усилие и момент, генерируемые конечным элементом мышцы: а) двуглавая мышца бедра: ; ; ; ; ; ; ; ; ; б) икроножная мышца: ; ; ; ; ; ; ; ; ; в) ягодичная мышца: ; ; ; ; ; ; ; ; . Согласно результатам моделирования динамики сокращения мышц нижних конечностей человека, можно сделать вывод, что внешние силы, генерируемые мышцами нижних конечностей, распределяются равномерно, внутренние силы мышечной системы имеют постоянную величину до первого элемента, на котором сосредоточен точечный груз, равный сумме масс свободных сочленений. Максимальный момент сил, генерируемый мышечной системой человека, относительно коленного сустава составляет 24 Н∙м, голеностопного сустава - 1,1 Н∙м, тазобедренного - 104,5 Н∙м, что соответствует значениям момента сил, формируемых электроприводами протезируемой системы, и естественному движению человека. Результаты математического моделирования могут быть использованы в процессе проектирования протезов и протезируемых устройств с упругими элементами передачи движения, а также при проведении исследований динамики сокращения мышечной системы человека. Заключение Таким образом, в результате выполненной работы получен математический комплекс движения нижних конечностей человека, который позволяет исследовать физические процессы, возникающие при движении человека, связанные с определением значений углов отклонения звеньев, вычислением усилий, генерируемых мышечной системой нижних конечностей человека. Полученные математические модели целесообразно использовать для определения параметров протезов и протезируемых систем с упругими элементами на ранней стадии их проектирования, а также для исследований систем управления подобных устройств.
Список литературы

1. Биология для поступающих в вузы / под ред. В. Н. Ярыгина. М.: Высш. шк., 2001. 492 с.

2. Саад Загхлюл Саид Аль-Кхаиит. Динамический анализ различных геометрических форм исполнения звеньев робота / Саад Загхлюл Саид Аль-Кхаиит // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Технические науки. 2009. № 3. С. 14-18.

3. Дьяков И. Ф. Метод конечных элементов в расчетах стержневых систем / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов, А. Н. Черный. Ульяновск: УлГТУ, 2010. 133 с.

4. Kato I. Modeling and Control of the Biped Gait / I. Kato. Waseda Univ., Tokyo, 1970.