АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВЕННОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Разработаны алгоритмы оценки показателей биотехнологического процесса непрерывного способа получения молочной кислоты в условиях множественности. Первый алгоритм формирует область существования множественности (значения величин протока и концентрации субстрата в поступающем потоке). Второй алгоритм ориентирован на расчет показателей стационарных состояний при заданной величине протока, обеспечивающих заданное значение продуктивности по молочной кислоте. Третий алгоритм предназначен для расчета показателей множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке. Приведены численные данные расчетов реализации алгоритмов.

Ключевые слова:
биотехнология, стационарные состояния, множественность
Текст
Введение Изучение непрерывных биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов и получения целевых продуктов показало, что для таких процессов существует множественность стационарных состояний [1–3]. Понятие множественности означает следующее. Если для заданной величины продуктивности по целевому продукту Qp г/(л ∙ ч) задана величина протока D ч-1, то возможно наличие двух значений концентраций субстрата в поступающем потоке Sf г/л, обеспечивающих заданное значение продуктивности. И наоборот, если задана концентрация субстрата в поступающем потоке Sf г/л, то возможно существование двух значений величины протока D ч-1, обеспечивающих заданное значение продуктивности. Для возможности оценки показателей процесса в условиях множественности необходимо определить область существования множественности, т. е. оценить предельные значения Sf и D, которыми ограничена указанная область. Таким образом, алгоритмы оценки множественности должны включать определение области существования множественности и, соответственно, по заданным Qp и D – алгоритм вычисления двух значений Sf или при заданных значениях Qp и Sf – алгоритм вычисления двух значений D. Для разработки указанных алгоритмов используем математическую модель непрерывного биотехнологического процесса получения молочной кислоты [3–5]: , (1) , (2) , (3) где , , . (4) , , , (5) , (6) , (7) . (8) Соотношения (1)–(8) положены в основу разработки указанных выше алгоритмов. Алгоритм формирования области существования множественности Смысл данного анализа заключается в выявлении показателей технологического процесса Qp, Sf и D, для которых может иметь место множественность. Прежде всего необходимо сформировать пределы значений Qp. В [4] получено выражение для максимального Qp (оптимального по Sf и D) в виде . (9) Значения Dopt и Sfopt: , (10) , (11) где Xopt вычисляется по (3), a, b и c вычисляются по (4)–(8) при . (12) Величина продуктивности Qp, очевидно, не может быть больше maxQp. В то же время при maxQp имеется единственное решение для D по (10) и Sf по (11). Таким образом, существование множественности возможно только при значении Qp, удовлетворяющему неравенству . (13) Будем полагать, что в дальнейшем в соотношениях значение Qp принимается по условию (13). Запишем выражение для Qp, используя (1): . (14) Решение (14) относительно S получаем из уравнения . Решение имеет вид , (15) и , (16) где . (17) Таким образом, в зависимости от D для любого принятого значения Qp существуют две функции S, обеспечивающие одинаковое значение Qp. Значение Sf для любого D может быть вычислено по уравнениям (1)–(3) с использованием (4)–(8), (15)–(17). Решение (15), (16) определяет предельное значение A(D) по соотношению . (18) Из (18) имеем . (19) В (19) следует принять знак «+». Тогда, с учетом (17), получаем . (20) Решение (20) относительно D дает два предельных значения: , (21) , (22) где . Отметим, что если подкоренное выражение в (21) и (22) равно нулю, то значение Qp = maxQp, естественно, при одном значении D: . Таким образом, для принятого Qp получаем граничные значения по D: D1 и D2 по (21) и (22) при одном значении S0: . (23) Используя значения D1, D2 и S0 по (23) и уравнения материального баланса (1)–(3), получаем: , (24) . (25) где j = 1, 2; a, b, c вычисляются для S0, рассчитанному по (23). В результате определяем координаты границы области множественности по D: . Вычислив разность , получаем условие . Обращаясь к соотношениям (15) и (16), отметим, что область множественности ограничена по S этими двумя функциями в пределах D2, D1, которые используются для максимального и минимального значения Sf в области множественности. В дальнейшем максимальное значение Sf обозначим и соответствующее значение D – через D1, минимальное значение Sf обозначим и соответствующее значение D – через D2. Значения , , D1 и D2 находятся численно – по одному из известных методов нелинейного программирования для поиска экстремума функции одной переменной. Поскольку аналитически функции Sf в области определения по D не заданы, для их вычисления и решения задачи оптимизации используются уравнения материального баланса (1)–(3) и соотношения (4)–(8). Завершается формирование области множественности получением следующих показателей: – граница области по D: D1 и D2; соответствующие значения по Sf: Sf1 и Sf2; – граница области по Sf: и ; соответствующие значения по D: D1 и D2; – принятое значение . На рис. 1 показана блок-схема алгоритма вычисления указанных показателей. В качестве исходных данных используются кинетические параметры, а также значение Qp, которое принимается по условию (13) после предварительного вычисления maxQp по формуле (9), и S0, вычисленное по (12). В блок-схеме алгоритма задача оптимизации решается методом сканирования (это не исключает возможность использования любого другого метода). Численные расчеты в соответствии с блок-схемой (рис. 1) выполнены для данных табл. 1. Максимальное значение продуктивности maxQp = 12,42 г/(л ∙ ч); значение S0 = 20,032 г/л; значение Qp, принятое в расчетах, – 11 г/(л ∙ ч). Таблица 1 Числовые значения кинетических параметров Для образования биомассы Для утилизации субстрата Для образования продукта mmax, ч-1 Ksx, г/л Kix, г/л Pix, г/л Pmx, г/л 1,10 1,32 304 1,39 49,9 qsmax, г/(г ∙ч) Kss, г/л Kis, г/л Pis, г/л Pms, г/л 3,42 2,05 140 47,1 95,5 a, г/г qpmax(= b), г/(г ∙ ч) Ksp, г/л Kip, г/л Pip, г/л Pmp, г/л 0,39 3,02 2,05 140 47,1 95,5 Рис. 1. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса, формирующих область существования множественности Получено: D1 = 0,329 ч–1; D2 = 0,667 ч–1; Sf1 = 56,34 г/л; Sf2 = 37,55 г/л; D1 = 0,43 ч–1; D2 = 0,58 ч–1; = 106,78 г/л; = 27,48 г/л. На рис. 2 показана область существования множественности для Qp = 11 г/(л ∙ ч). Рис. 2. Область существования множественности Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине протока Исходные данные включают: – значение Qp, которое принимается по условию (13), где maxQp рассчитывается по соотношению (9); – значение D, удовлетворяющее условию , где D1 рассчитывается по соотношению (21), D2 – по соотношению (22); – значение P, рассчитанное по соотношению . Принятые значения Qp, D и P вносятся вместе с кинетическими константами в исходные данные алгоритма. Результаты реализации алгоритма дают значения показателей стационарного процесса: – стационарное состояние 1: Qp, D, P, S1, X1, Sf1; – стационарное состояние 2: Qp, D, P, S2, X2, Sf2, где Sf1 и Sf2 – значения Sf в стационарных состояниях. Блок-схема алгоритма показана на рис. 3. Приведем численные результаты расчета в соответствии с блок-схемой (рис. 3) для Qp = = 11 г/(л ∙ ч). Значение maxQp = 12,42 г/(л ч); D1 = 0,329 ч–1; D2 = 0,667 ч–1; принятое значение D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л. Стационарное состояние 1: Qp = 11 г/(л ∙ ч); D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л; S1 = 49,19 г/л; X1 = = 3,01 г/л; Sf1 = 68,65 г/л. Стационарное состояние 2: Qp = 11 г/(л ∙ ч); D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л; S2 = 8,16 г/л; X2 = 2,84 г/л; Sf2 = 27,66 г/л. Рис. 3. Блок-схема вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной величине протока Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине концентрации субстрата в поступающем потоке Подготовка исходных данных включает расчет значения Qp, которое принимается по условию (13), где maxQp рассчитывается по соотношению (9). В исходные данные заносятся результаты реализации алгоритма, определяющего границы области множественности: , где D1 и D2 – границы множественности по D; и – границы области множественности по Sf. В исходные данные заносится значение , величина которого определяется условием . На рис. 4 показана блок-схема алгоритма вычисления показателей процесса при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке . Алгоритм формируется в зависимости от условий задания : - если , то в расчете первого и второго стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (15); - если , то в расчете первого и второго стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (16); - если , то в расчете первого стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (16), второго – с значение S, вычисленное по соотношению (15). Рис. 4. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке (см. также с. 15) Рис. 4. Окончание Заключение В заключение приведем таблицу результатов численных расчетов показателей процесса в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке . Отметим, что с технологической точки зрения для одного и того же значения продуктивности по молочной кислоте Qp для разных состояний в условиях множественности такие показатели, как количество образуемой биомассы в единицу времени Qx = DX г/(л ∙ ч) и количество остаточного (неиспользованного) субстрата Qs = DS г/(л ∙ ч) различаются. Численные значения, приведенные в табл. 2, получены для Qp = 11 г/(л ∙ ч) с данными для границ множественности, полученными ранее. Таблица 2 Численные значения показателей процесса № п/п Условия, , г/л D, ч–1 X, г/л S, г/л P, г/л Qx, г/(л ∙ ч) Qs, г/(л ∙ ч) Расход субстрата, % l Состояние 1 0,55 3,27 62,82 19,96 1,7985 34,551 25,2 Состояние 2 0,35 3,71 49,67 31,51 1,2985 17,385 40,8 ll Состояние 1 0,53 3,11 5,90 20,78 1,6483 3,127 78,9 Состояние 2 0,61 2,79 8,98 18,03 1,7019 5,478 67,9 III Состояние 1 0,34 3,46 9,90 32,35 1,1764 3,366 78,0 Состояние 2 0,66 2,69 27,32 16,69 1,7754 18,031 39,3 Из табл. 2 следует, что наименьшее количество использованного субстрата получается для условий I. Поскольку цель процесса заключается в получении заданной продуктивности, концентрация продукта P в данном случае значения не имеет. Количество же образуемой биомассы в единицу времени лежит в пределах от 1,17 до 1,80 г/л. Таким образом, расчет показателей множественности дает дополнительную информацию по выбору условий реализации технологического процесса.
Список литературы

1. Kumar P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya, M. Chidambaram // Can. J. Chem. Eng. 1993. N 71. P. 766–770.

2. Гордеева Ю. Л. Информационные системы в биотехнологии. Множественность стационарных состояний / Ю. Л. Гордеева, С. А. Понкратова, Л. С. Гордеев // Вестн. Казан. технол. ун-та. 2011. Т. 14, № 18. С. 137–145.

3. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологического процесса получения молочной кислоты при заданной величине протока / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев // Теорет. основы хим. технологии. 2013. Т. 47, № 2. С. 196–200 [Gordeeva Yu. L., Ivashkin Yu. A., Gordeev L. S. Steady states of a biotechnological process for producing lactic acid at a given dilution rate. Theor. Found. Chem. Eng. 2013. Vol. 47, N 2. P. 149.]

4. Boonmee M. Batch and continuous culture of Lactococcus Lactis NZ133: experimental date and model development / M. Boonmee, N. Leksawasdi, W. Bridge, P. L. Rogers // Biochem. Eng. J. 2003. N 14. P. 127–135.

5. Гордеева Ю. Л. Алгоритмы оптимизации непрерывного процесса биосинтеза молочной кислоты / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев // Программные продукты и системы. 2012. № 3 (99). С. 244–249.