РОБАСТНАЯ СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ
Журнал: ВЕСТНИК АСТРАХАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ: УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
Том 2013 № 1
, 2013
Рубрики: УПРАВЛЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Авторы:
1.
Астраханский государственный технический университет
Тип:
Статья
Страницы:
с 65
по 73
Статус:
Опубликован
Получено:
05.01.2013
Одобрено:
25.01.2013
Опубликовано:
25.01.2013
Классификаторы:
ВАК 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 681.5
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ББК 32.965.9
ВАК 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
ВАК 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
ВАК 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
ВАК 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
ВАК 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
УДК 681.5
ГРНТИ 20.01 Общие вопросы информатики
ГРНТИ 28.01 Общие вопросы кибернетики
ГРНТИ 49.01 Общие вопросы связи
ГРНТИ 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
ГРНТИ 82.01 Общие вопросы организации и управления
ББК 32.965.9
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
робастное управление, вектор состояния, возмущения
Аннотация (русский):
Решается задача стабилизации объекта с запаздыванием по состоянию, когда на него действуют ограниченные внешние возмущения, а параметры математической модели неизвестны. Получен алгоритм управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние ограниченные возмущения. Приводится числовой пример и результаты моделирования.
Решается задача стабилизации объекта с запаздыванием по состоянию, когда на него действуют ограниченные внешние возмущения, а параметры математической модели неизвестны. Получен алгоритм управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние ограниченные возмущения. Приводится числовой пример и результаты моделирования.
Ключевые слова:
робастное управление, вектор состояния, возмущения
робастное управление, вектор состояния, возмущения
Введение Задача компенсации возмущений в системах регулирования является одной из основных в теории управления. Наличие запаздывания в математической модели объекта управления существенно усложняет задачу проектирования алгоритмов управления как при аналитических исследованиях, так и при технической реализации. Задача робастного управления объектами с запаздыванием исследована в работах [1–3]. В [4–6] решены задачи робастного управления для объектов с запаздыванием нейтрального типа. В [7, 8] запаздывающие составляющие принимаются как внутренние возмущения и их влияние на регулируемые переменные компенсируется. В результате уравнения замкнутой системы не содержат запаздывающих составляющих. Однако такой подход не всегда применим в реальных условиях. Для многих технических и технологических объектов запаздывающие составляющие нельзя компенсировать, что связано с техническими и технологическими условиями автоматизируемого объекта. В данной статье рассматривается задача робастной стабилизации объектом с запаздыванием по состоянию, когда запаздывающие составляющие должны присутствовать в уравнениях замкнутой системы. Постановка задачи Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид , (1) где – регулируемая переменная и управляющее воздействие; – внешнее возмущение; – дифференциальный оператор; – линейные дифференциальные операторы порядка соответственно; -e производные; – непрерывные начальные функции; – известное постоянное время запаздывания. Сформулируем хорошо известную задачу стабилизации. Требуется спроектировать алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевого условия , когда, (2) где – время, по истечении которого с момента начала работы системы должно выполняться целевое неравенство (2). Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях. Предположения 1. Известны порядки полиномов , <, >, где – комплексная переменная в преобразовании Лапласа. При этом полиномы и являются нормированными. 2. Коэффициенты дифференциальных операторов и высокочастотный коэффициент усиления являются неизвестными величинами. Известны величина и множество возможных значений , компонентами которого являются диапазоны возможных значений неизвестных коэффициентов. 3. Полином – гурвицев для любых возможных его коэффициентов из множества Ξ. 4. Внешнее возмущение является ограниченной непрерывной функцией времени. 5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются. Метод решения Для решения сформулированной задачи будем пользоваться методом, предложенным в [8]. Применим алгоритм деления Евклида к полиномам и : (3) где Полиномы и разложим на суммы двух составляющих: (4) Здесь . Полиномы и выбираются так, чтобы были выполнены следующие условия: 1. Полином должен быть гурвицевым. 2. при . . (5) Условия (5) являются [9] необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости при любом конечном запаздывании системы с математической моделью (6) Принимая во внимание (3) и (4), преобразуем уравнение (1): , (7) где . Введем новое управляющее воздействие : , (8) и преобразуем уравнение (7) в векторно-матричную форму: . (9) Здесь , где – единичная матрица порядка – нулевая матрица порядка . В дальнейшем матрицы, имеющие вид , будем обозначать этими же буквами, если их порядок будет очевидным из текста. Возьмем вспомогательный контур, динамические процессы в котором описываются уравнением , (10) где . Составим уравнение для вектора рассогласования , вычитая (10) из (9): . (11) В функции сконцентрированы априорная неопределенность параметров математической модели (1) и информация о внешнем возмущении. Принимая во внимание структуру матриц в уравнении (11), получим , поэтому идеальный закон управления описывается уравнением , (12) где – последняя компонента вектора . Тогда уравнение замкнутой системы будет иметь вид (6), т. е. система будет асимптотически устойчивой. Однако, в соответствии с пятым условием предположений, алгоритм (12) нереализуем, поэтому будем формировать управляющее воздействие в соответствии с формулой (13) Здесь – последняя компонента вектора состояния наблюдателя [10]. , (14) где ,,. Числа b1, ..., bϒ+1 выбираются так, чтобы матрица была гурвицевой; – малое положительное число; , . Преобразуем уравнение (11), введя новую переменную: . (15) Здесь Тогда . Вектор является оценкой вектора . Следует отметить: порядок вектора на единицу больше, чем это необходимо при технической реализации, что сделано для удобства аналитических преобразований. Введем вектор нормированных отклонений , где . Из уравнений (14) и (15) получим уравнение для нормированных отклонений : (16) Подставим формулу (13) в (9) и (10), учитывая (15), формулу и равенство : (17) где . Теорема. Пусть выполнены условия предположений, а полиномы и выбраны из условий (5). Тогда существует число такое, что при выполнении неравенства для системы (16), (17) выполнено целевое условие (2). Для доказательства теоремы докажем лемму, которая является аналогом леммы [11], справедливой для систем без запаздывания. Лемма. Пусть математическая модель системы имеет вид , (18) где , ,, – банахово пространство непрерывных функций на отрезке ; – непрерывная начальная функция; – непрерывное отображение из , липшицево по . Пусть система (18) имеет ограниченную область диссипативности : где – гладкий непрерывный положительно-определенный функционал на . Предположим, что для некоторых значений выполнено условие при : (19) при . Тогда для достаточно малых значений таких, что , область диссипативности остается областью диссипативности системы (18). Доказательство леммы. Введем обозначение при . В силу того, что функционал является гладким, а отображение непрерывное по , функция будет непрерывной по . Так как выполнено условие (19), т. е. , то будет существовать такое, что при выполнении неравенства будет выполнено условие . Это означает, что область диссипативности остается прежней. Доказательство теоремы. Запишем уравнение (16) в виде (20) Система (17), (20) является сингулярно-возмущенной, если – малое число. Воспользуемся леммой. Если , то первые уравнения (17) и (20) являются асимптотически устойчивыми по переменным и , т. к. выполнены условия (5) и матрица является гурвицевой. Покажем, что все остальные переменные в системе являются ограниченными. Так как , то функция является ограниченной. Из (13) следует: . Разрешив это уравнение относительно , получим , откуда следует ограниченность переменной . Тогда из второго уравнения (17) следует ограниченность переменных и , но тогда ограничена переменная . Таким образом, при все переменные в системе (17), (20) являются ограниченными. Определим область притяжения системы (17), (20), когда . Возьмем функционал Ляпунова – Красовского , где положительно-определенные матрицы являются решением матричных уравнений: (21) Следует отметить, что при выполнении условий (5) всегда существует матрица такая, что решением этого уравнения является положительно-определенная матрица . Вычислим производную от функционала на траекториях системы (17), (20): Воспользуемся тождествам и оценками: . Подставив эти оценки в правую часть производной от функционала и принимая во внимание уравнения (21), получим . Если выбрать число из условия , то в области система асимптотически стремится к области притяжения: . Справедливость целевого условия вытекает из следующей цепочки неравенств: . Из этого неравенства видно, что всегда существует число , обеспечивающее выполнение целевого условия. Пример Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид . Класс неопределенности задан неравенствами: . Принимая во внимание то, что , выберем полиномы , . Возьмем числа . Тогда уравнения (8) и (9) примут вид , . Уравнения вспомогательного контура (10) и наблюдателя (14) запишутся следующим образом: , . Управление формируется в соответствии с формулой , где – нелинейность с насыщением, которое равно . Эта функция вводится для ограничения управляющего воздействия, которое может быть очень большим в начальный момент времени при использовании данного наблюдателя, что отмечается его автором [10] как недостаток. На рисунке приведены результаты моделирования при следующих исходных данных: . Переходные процессы по выходу и управлению Таким образом, нами рассматривался неустойчивый объект с запаздыванием по состоянию. Предложенный алгоритм обеспечивает стабилизацию с точностью 0,005 через 10 с и компенсацию параметрической неопределенности и внешнего ограниченного возмущения. Заключение Предложен простой подход к проектированию робастных систем стабилизации, в которых компенсируются параметрическая неопределенность и внешние ограниченные возмущения с требуемой точностью. При этом составляющая с запаздыванием не компенсируется, а устанавливается такая, какая необходима по техническим требованиям к замкнутой системе.
1. Park P. A delay-dependent stability for systems uncertain time-invariant delays // IEEE Trans. on Automat. Control. - 1999. - Vol. 44. - P. 876-887.
2. Zhang W., Allgover F., Liu T. Controller parameterization for SISO and MIMO plants with delay // Journal of Process Control. - 2006. - Vol. 55, N 10. - P. 794-802.
3. Gao H., Chen T., Lam J. A new delay system approach to network based control // Automatica. - 2008. - Vol. 44, N 1. - P. 38-52.
4. On delay dependent stability of neutral systems / D. Ivanescu, S. I. Niculescu, L. Dugard et al. // Automatica. - 2003. - Vol. 39, N 2. - P. 255-261.
5. Stability analysis of neutral systems with mixed delays. X. G. Li, X. J. Zhu, A. Cela, A. Reama // Automatica. - 2008. - Vol. 44, N 11. - P. 2698-2772.
6. Sensitivity to infinitesimal delays in neutral equations SIAM / W. Mishiels, K. Engelbarghs, D. Roose, D. Dochain // J. Control Optim. - 2002. - Vol. 40, N 4. - P. 1134-1158.
7. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.
8. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М.: Физматлит, 2009. - 268 с.
9. Цыпкин Я. З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. - 1946. - Т. 7, № 2, 3. - С. 107-129.
10. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.
11. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.
