Анализ динамических процессов в строительных конструкциях показывает, что рассеяние энергии (затухание) особенно сильно влияет на системы с периодом и декрементом собственных колебаний Т ≤ 0,5 с, ≤ 0,2. При Т ≥ 0,5 с и ≥ 0,7 влияние затухания значительно меньше [1]. Апериодические колебания машиностроительных конструкций кранов следует рассматривать как последовательность переходных состояний, которые характеризуются случайно распределенными участками возрастания и убывания амплитуд, поэтому механизм рассеяния энергии не вполне аналогичен явлениям, изучаемым при циклическом (гармоническом) нагружении конструкций. Согласно гипотезе Фойгта, логарифмический декремент колебаний зависит от частоты колебаний, что частично противоречит экспериментальным данным [1]. В связи с этим в качестве характеристики демпфирования более правильно в первом приближении принять величину . Тогда коэффициент затухания колебаний (коэффициент потерь) [2] (1) совпадает с коэффициентом рассеяния энергии , применяемым в гистерезисной теории затухания Е. С. Сорокина [3, 4], которая также приводит к выводу о постоянной величине декремента для всех форм колебаний системы со многими степенями свободы. Величины коэффициента и декремента зависят от вида материала и особенностей конструкций и в инженерных расчетах используются в качестве параметров демпфирования по формам колебаний системы. Как будет показано ниже, матрица форм колебаний системы со многими (n) степенями свободы (2) и собственные частоты получаемые из диагональной матрицы собственных значений (3) определяются из уравнения для собственных значений конструкции где характеризует форму колебаний системы (2). Несмотря на обилие значений и , опубликованных в научной литературе [5], для машиностроительных конструкций грузоподъемных кранов однозначный выбор величин пока затруднителен (табл.). Декременты колебаний металлических конструкций кранов [5]* Материал или вид конструкции Логарифмический декремент колебаний, Источник Мостовые краны средней грузоподъемности 0,02–0,12 [6–8] Козловые краны средней и большой грузоподъемности 0,1–0,2 Коробчатые крановые мосты 0,05–0,12 [9] Металлические конструкции козловых кранов 0,10–0,22 [7] Металлические конструкции стреловых устройств портальных кранов 0,05 [10] Металлические конструкции портала портальных кранов (включая опорно-поворотное устройство, ходовые тележки и крановые пути) 0,35–0,45 Механизмы подъема груза и поворота портальных кранов 0,30–0,50 Механизмы изменения вылета стрел портальных кранов 0,15–0,40 При крутильных колебаниях груза на канатном подвесе металлургического крана 0,04–0,20 [11] При колебаниях грейфера из плоскости стрелы портального крана 0,135 [12] * Для крановых мостов с практически достаточной точностью , где – период собственных колебаний моста с тележкой без груза, расположенной в середине пролета, с [13]. При расчетном анализе и проектировании машиностроительных конструкций [14, 15] матрицу сил затухания в матричном уравнении движения n-го порядка (4) формируют пропорциональной матрице масс (5) или жесткостей (6) или одновременно пропорциональной обеим матрицам с учетом (5) и (6): . (7) В (7) коэффициенты пропорциональности имеют следующий вид: ; , (8) где – соответственно декремент и частота низшей формы колебаний системы. Матрица сил затухания (5)–(7) позволяет разделить связанные уравнения (4) на независимые, используя нормальные координаты и метод сложения форм колебаний [15]. Анализ в (8) показывает, что т. к. – постоянный коэффициент в (5), то частоты затухающих колебаний для высших m-х форм приближаются к частотам незатухающих колебаний из (3), а декремент обратно пропорционален частоте что противоречит экспериментальным данным [1, 3, 4], согласно которым декремент колебаний практически не зависит от частоты, а высшие формы колебаний затухают раньше основного тона. На рис. 1 (линия а) представлена зависимость декремента от частоты при использовании матрицы затухания, пропорциональной матрице масс по (5). При решении практических задач уравнение (4) принимает вид (9) и приводит к увеличению влияния высших форм колебаний и, следовательно, к повышению общего запаса прочности рассчитываемой конструкции, что нельзя считать большим недостатком. Поэтому при расчетах конструкции на динамические воздействия учет затухания по уравнению (5) вполне допустим, особенно если можно достоверно определить декремент колебаний . Из этого также не следует, что предпосылка о пропорциональности сил сопротивления скорости перемещения , выраженная уравнением (9), противоречит фактам. Рис. 1. Зависимость декремента колебаний от частоты при различных способах формирования матрицы затухания диссипативной системы: а – ; б – ; в – ; г – Уравнение затухающих колебаний (4) с использованием матрицы затухания (6) [16] принимает следующий вид: , (10) для которого частота затухающих колебаний по m-й форме в обобщенных координатах в этом случае может оказаться меньше частоты предыдущей гармоники с номером (m – 1), а при движение становится невозможным. Эти результаты не согласуются с данными натурных испытаний сооружений и вызывают логические противоречия [1]. В практических расчетах [17, 18] определяют по параметрам низшей собственной частоты колебаний по формуле (8). Решение уравнения (10) с матрицей затухания (6) не удовлетворяет требованию независимости декремента колебаний от частоты (рис. 1, линия б), однако матрица (6) находит применение при расчете непрерывных систем с распределенными параметрами. Рассмотрим решение уравнения (4) с матрицей рассеяния энергии (7). В этом случае уравнение движения по m-й форме колебаний в обобщенных координатах имеет частоту затухающих колебаний . Последнее слагаемое в подкоренном выражении неограниченно возрастает с увеличением порядка гармоники, поэтому при любых соотношениях между и и достаточно большом m периодическое движение становится невозможным. Декремент колебаний по m-й форме колебаний неограниченно возрастает (рис. 1, линия в), но закон изменения декремента зависит от соотношения между и , которые рекомендуется определять по (8) [19, 20] или в долях от критического затухания [21]. Кроме матриц затухания, задаваемых формулами (5)–(7), рассмотрим определение матрицы затухания в соответствии с заданной системой параметров демпфирования (1) и по формам колебаний [14, 15]. Сущность метода заключается в анализе матрицы обобщенных коэффициентов затухания, которые определяются умножением матрицы затухания слева и справа на матрицу форм колебаний (на основе условия ортогональности форм колебаний матрице затухания): , (11) где и из (3) – диагональные матрицы порядка ; T – индекс транспонирования: ; , (12) а диагональная матрица обобщенных масс определяется из условия ортогональности форм колебаний матрице масс , где и – соответственно матрицы сосредоточенных и распределенных масс расчетной динамической модели конструкции крана. После чего . (13) Поскольку из (13) матрица форм колебаний обратна произведению трех матриц: (14) а матрица затухания из (11) имеет вид (15) то с учетом (14) матрица затухания (15) запишется в виде (16) Подставим обобщенную матрицу затухания (11) в (16): или, после преобразований, (17) Очевидно, что матрица затухания (17), удовлетворяющая условию ортогональности собственным формам колебаний (2), приводит преобразование связанных уравнений (4) с помощью недемпфированных обобщенных координат к системе несвязанных уравнений, причем для практических расчетов демпфированной системы следует использовать параметры затухания в виде распределенного внутреннего трения, характеризуемые коэффициентами затухания (1) для каждой m-й формы собственных колебаний: (18) В (18) – независимый вклад затухания колебаний по m-й форме из (2) (пропорциональный параметрам затухания) в матрицу затухания (17) полной системы. Поэтому любая недемпфированная форма колебаний не оказывает влияния на матрицу затухания (17), в которую включаются только те формы, которым свойственно затухание. Здесь следует ожидать, что наибольший вклад в величину динамической реакции конструкции крана вносят обобщенные координаты с самыми низкими частотами из (12). Тогда при расчетном анализе конструкции крана как демпфированной системы использование выражения (17) позволяет рассмотреть лишь ограниченное число несвязанных уравнений. При решении уравнения движения (4) любым приемлемым по точности методом динамического анализа в геометрических координатах матричная формула (17) примет более простой вид: (19) в которой – фундаментальная матрица недемпфированных форм колебаний (2), получить которую, как показывает опыт авторов по расчетному анализу подъемных сооружений [22], проще, чем решить сложную задачу по определению собственных значений диссипативной системы . Если воспользоваться преобразованием то матрица демпфирования (19) приводится к матрице затухания с частотно-независимым внутренним трением А. И. Цейтлина [23, 24]: (20) в которой – матрица потерь Цейтлина. Для дискретных систем с распределенным внутренним трением [2, 24] , (21) а для конструкций кранов, моделируемых дискретными узлами внутреннего трения (виброизоляторы, демпферы и пр.) [2, 23, 24] матрица потерь (21) принимает более простой вид: . Здесь – матрица, получаемая из матрицы жесткости из (4) заменой коэффициентов жесткостей связей на , где – коэффициенты затухания связей. Для однородных крановых конструкций, в частности кранов мостового типа, , (22) где – общий коэффициент потерь. Напомним, что коэффициент потерь (22) связан с коэффициентом внутреннего неупругого сопротивления (или внутреннего трения) по гистерезисной теории Е. С. Сорокина [3, 4] зависимостью , (23) откуда . Инженерной практикой авторов статьи [22] подтверждено, что при правильном выборе декрементов колебаний амплитуды колебаний крановой конструкции, определенные по двум моделям – гистерезисной теории [3, 4] и частотно-независимому внутреннему трению [23, 24], получаются практически одинаковыми. Кроме того, следует учесть, что матрица затухания (20) с учетом (22) приводится к матрице затухания, использованной в практических задачах В. Т. Рассказовским [1] и А. И. Мартемьяновым [25, 26]: . (24) В связи с этим в [1] показано, что уравнение (4) с матрицами затухания (19), (20) и (24) разрешимо в обобщенных (главных) координатах, причем частота затухающих колебаний по m-й форме меньше частоты незатухающих колебаний, а коэффициент уменьшения частоты (25) (25) не зависит от частоты и остается постоянным для всех форм колебаний. На рис. 2 представлены примеры расчетно-динамических моделей различных типов грузоподъемных кранов, на основе которых была проверена конечно-элементная модель демпфирования колебаний металлоконструкций кранов, описанная в статье. Рис. 2. Расчетно-динамические модели грузоподъемных кранов: а – мостовой кран зав. № 6860 рег. № 39039 г/п 15 т (ОАО ПСК «Строитель Астрахани»); б – портальный кран «ABUS» рег. № 34323 г/п 10 т ( ССЗ ОАО «Красные Баррикады»); в – башенный кран КБ-408.21 зав. № 665 рег. № 39340 г/п 10 т (ОАО ПСК «Строитель Астрахани») [27] В заключение укажем, что, согласно формуле (1), декремент затухания колебаний имеет постоянную величину для всех форм колебаний и не зависит от частоты (рис. 1, линия г), что практически совпадает с данными экспериментов [22]. Известно, что величина (1) практически не превосходит величины 0,2, при которой коэффициент уменьшения частоты (25) равен 0,995. Так как в наихудшем случае ошибка составляет 0,5 %, можно принять для всех форм колебаний, а критическое значение , при котором периодическое движение невозможно, будет равно 2 (см. (23)). В теории колебаний известно, что силы неупругого сопротивления в режиме вынужденных колебаний конструкций зависят не только от внешнего воздействия, которым определяется кинетическая энергия колебаний, но и от механических свойств системы, выраженных прежде всего частотой ее собственных колебаний (3). В связи с этим уравнение движения (4) непериодических эксплуатационных колебаний кранов, в котором диссипативные силы зависят от частоты собственных колебаний, , больше согласуется с теорией крановых сооружений [22], чем уравнение, применяемое для описания циклических процессов с гистерезисным затуханием [1]: , где силы неупругого сопротивления зависят от частоты внешнего воздействия ; t – время.
