МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ КОРАБЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Расчетный анализ корабельных, крановых и других машиностроительных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней замкнутого профиля, на основе теории тонкостенных сварных и горячекатаных стержней, до настоящего времени остается предметом исследований. Приведены теоретические основы построения математической модели тонкостенного стержня замкнутого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности. Получены математические соотношения для построения матрицы жесткости тонкостенного пространственного стержня замкнутого профиля, которая может быть использована при статическом и динамическом расчетном анализе корабельных конструкций методом конечных элементов.

Ключевые слова:
корпус судна, пространственный тонкостенный стержень замкнутого профиля, матрица жесткости, математическая модель, метод конечных элементов
Текст
Введение Корпус судна проектировщики ранее считали абсолютно жестким, недеформируемым телом. В теории корабля интерес представляла только внешняя форма обводов корпуса, соответственно, изучалось влияние этой формы на отдельные мореходные качества. В настоящее время в строительной механике корабля [1] корпус плавающего судна рассматривается как тонкостенная балка переменного по длине коробчатого сечения (рис. 1, а). а б в г д Рис. 1. Тонкостенные элементы корабельных конструкций замкнутого профиля: тонкостенная балка по длине судна коробчатого сечения (а); днищевые перекрытия из коробчатых балок поперечной системы набора (б, в); продольной системы набора (г); коробчатое сечение корпуса танкера по бортовому отсеку (д) Под действием совокупности внешних и внутренних сил различной природы эта балка деформируется, в ее элементах возникают нормальные и касательные напряжения, следовательно, она должна обладать достаточной прочностью, которую можно определить как несущую способность корпуса воспринимать, не разрушаясь, нагрузки, возникающие в процессе эксплуатации судна. Корпус должен обладать и достаточной жесткостью, т. е. его деформации должны быть относительно невелики и не оказывать влияния на мореходные качества судна. Обеспечение прочности и жесткости корпуса при наименьшей затрате материала - одна из основных задач, решаемых при строительстве судна. Кроме корпуса судна, как тонкостенной балки коробчатого сечения, отдельные элементы корпуса - перекрытия - представляют собой близкие к плоскостным конструкции, составленные листами обшивки и балками набора. Участки обшивки, опирающиеся на балки, имеют коробчатую прямоугольную форму. Кроме того, поперечные и продольные системы набора днищевых перекрытий (рис. 1, б-г) представляют собой тонкостенные стержни замкнутого профиля. Особенно часто замкнутые профили применяются для поперечных сечений корпусов танкеров по бортовому отсеку (рис. 1, д). Следует отметить, что основным этапом расчета сложных пространственных машиностроительных конструкций произвольного вида, составленных из тонкостенных стержней замкнутого профиля методом конечных элементов в перемещениях, является формирование матриц жесткости и масс отдельного стержня, находящегося в условиях пространственного деформирования в местной системе координат (МСК). Математическая модель тонкостенного стержня замкнутого профиля Следуя методике, изложенной в [2], посвященной стержням открытого профиля, получим матрицу жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля. Положительные направления узловых перемещений и усилий в стержне указаны на рис. 2, согласно которому компоненты вектора перемещений (по узлам j и k) примут вид . (1) Рис. 2. Правило знаков для узловых перемещений тонкостенного стержня замкнутого профиля В (1) - линейные перемещения узла; - углы поворота; - производная от угла закручивания (депланация); подстрочные индексы x, y и z обозначают оси МСК; надстрочные индексы j и k указывают на начало (н) и конец (к) стержневого конечного элемента (КЭ); Т - индекс транспонирования матриц и векторов. Вектору перемещений (1) соответствует вектор внутренних усилий в дискретных граничных узлах j и k: , (2) где и - внутренние поперечные и продольная силы; и - изгибающие и крутящий момент; B - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (2) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (1). Стержень считаем элементом с четырнадцатью степенями свободы, пространственное положение которого определяется вектором обобщенных координат (1). Значения элементов искомой матрицы жесткости при прочностном расчете зависят от жесткостных параметров КЭ и принятого закона изменения компонентов перемещений, в качестве которых примем аппроксимирующие функции Эрмита [3, 4]: (3) В выражениях (3) qs - узловое перемещение, соответствующее вектору (1); ys(z) - аппроксимирующие функции Эрмита, которые для тонкостенного стержня замкнутого профиля с двумя осями симметрии, жестко защемленного по концам, с учетом сдвига срединной поверхности принимают вид [5]: (4) . (5) При выводе выражений (4) использовались результаты работы [5], согласно которой функции , являются приближенными. Кроме того, поскольку функции в (4) получены для тонкостенного стержня открытого профиля [6], для тонкостенного стержня замкнутого профиля в (4) и (5) необходимо произвести замену . (6) Таким образом, матрица жесткости для пространственного тонкостенного стержня замкнутого профиля имеет размер . Чтобы построить элементы этой матрицы, воспользуемся вариационными принципами, для чего будем следовать методике, изложенной в работе [7]. Выпишем формулы для нормальных и касательных напряжений в стержне ; (7) , (8) причем в (8) полный крутящий момент Mz будем определять как сумму , (9) в которой момент чистого кручения H выражается через угол закручивания Θ формулой , (10) а бимомент В в (7) и момент стесненного кручения в (8), согласно полусдвиговой теории А. А. Уманского [8], связываются с мерой депланации β (11) соотношениями (12) Кроме того, в (11) , m - коэффициента депланации; - распределенная бимоментная нагрузка, зависящая от координаты z; - направленный момент инерции сечения (рис. 3), определяемый по формуле ; (13) - крутильный момент инерции сечения стержня однозамкнутого профиля, принимается, как в формуле (10): , (14) где - удвоенная площадь, охватываемая срединной линией поперечного сечения стержня (рис. 3). а б Рис. 3. Распределение касательных напряжений в тонкостенных стержнях замкнутого профиля при свободном кручении: общий вид обобщенного профиля (а); замкнутый силовой многоугольник погонного касательного усилия (б) Дополнительно укажем, что в (7), (8) и (12) - секториальный момент инерции сечения стержня замкнутого профиля, который имеет вид , где d, как и ранее, - толщина контура поперечного сечения тонкостенного стержня; определяется по формуле . (15) Введенная формулой (15) функция дуговой координаты называется обобщенной секториальной координатой и играет важную роль во всей теории тонкостенных стержней замкнутого профиля, роль которой такая же, как роль обычной секториальной координаты в теории стержней открытого профиля [2, 7]. Обратим внимание на одно существенное свойство обобщенной секториальной координаты из (15), а именно: обобщенная секториальная координата не зависит от выбора точки начала отсчета дуговой координаты s (рис. 3). Укажем, что величина в (15) характеризует распределение депланационных перемещений вдоль сечения замкнутого профиля при чистом кручении тонкостенного стержня. Именно поэтому именуют функцией депланации (11), в которой принимается согласно формуле (14), а - момент инерции чистого кручения сварного стержня, составленного из вертикалов и полок с параметрами : , где . Для получения матрицы жесткости тонкостенного стрежня замкнутого профиля вычислим потенциальную энергию внутренних сил через напряжения σ и τ из (7) и (8): . (16) Подстановка (7) и (8) в (16), с учетом (9) и (10), после преобразований дает [9] . (17) Коэффициенты формы сечения в (17) определяются по формулам ; ; ; ; (18) ; . В (17) и (18) и - это полярный момент инерции и полярный радиус инерции стержня соответственно; - геометрическая характеристика сечения стержня, определяемая по формуле [9]: . (19) Дополнительно укажем, что входящие в состав (18) и (19) функции, как и из (15), ; ; , (20) не зависят от выбора начала отсчета дуговой координаты s и являются однозначной характеристикой всякой точки, принадлежащей профилю поперечного сечения стержня (рис. 4). Рис. 4. Равновесие выделенного элемента тонкостенного стержня замкнутого профиля Как следует из рис. 4, в (19) и (20) представляют собой площадь и статические моменты отсеченной части сечения, расположенной между начальной точкой сечения О и текущей точкой М с координатой S. Величина называется секториальным статическим моментом отсеченной части сечения тонкостенного стержня замкнутого профиля (рис. 4). Очевидно, что . Пусть ξ, η, ζ - перемещения точек линии центров изгиба стержня в направлении осей x, y и z его МСК. Подставим (4) с заменой коэффициентов по (5) и (6) в (3) и учтем известные дифференциальные зависимости в которых - направленный момент инерции (13), а также формулы (12) и, подставляя (3) в (17), после преобразований получим потенциальную энергию внутренних сил [7] тонкостенного стержня замкнутого профиля с учетом сдвига срединной поверхности: (21) Далее представим выражение для потенциальной энергии деформации (21) квадратичной формой обобщенных перемещений , которое можно записать в виде двойной суммы . (22) Из (22) следует, что любой элемент матрицы жесткости можно получить как вторую производную от V из (21): . (23) Формирование матрицы жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля Определение элементов матрицы жесткости по формуле (23) позволило сформировать матрицу жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля в МСК при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности: , (24) симметрично ненулевые элементы которой представлены формулами: где приняты следующие обозначения: . (25) Выводы В заключение отметим, что для целей практических расчетов корабельных, крановых и других машиностроительных конструкций при формировании матриц жесткости полной системы со многими степенями свободы матрицу (24) отдельного стержня следует представить в блочном виде, для случая, в расчетной модели конструкции, когда номер узла k не следует за номером узла j: , (26) в которой, как известно, . Кроме того, при использовании матрицы (26) следует учитывать возможность получения из формул (25) матрицы жесткости конечного элемента массивного стержня размером , широко представленную, в том числе в нормативной литературе [10], для чего в формулах (25) следует исключить влияние на ее компоненты как стесненного кручения, так и сдвига срединной поверхности, обусловленного касательными напряжениями (8).
Список литературы

1. Жинкин В. Б. Теория и устройство корабля: учебник / В. Б. Жинкин. СПб.: Судостроение. 2002. 336 с.

2. Юзиков В. П. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности / В. П. Юзиков, О. Б. Завьялова // Изв. вузов. Строительство. 2011. № 1. С. 108-115.

3. Клаф Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Дж. Пензиен. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

4. Синельщиков А. В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: дис. … канд. техн. наук / А. В. Синельщиков. Астрахань: АГТУ, 2000. 276 с.

5. Семенов П. И. Расчет прочности и деформативности анизотропных тонкостенных стержней открытого профиля / П. И. Семенов. Киев: Выща шк., 1974. 184 с.

6. Панасенко Н. Н. Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. В 2-х частях. Ч. 1 / Н. Н. Панасенко, В. П. Юзиков, А. В. Синельщиков // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2015. № 2. С. 89-100.

7. Юзиков В. П. Строительная механика тонкостенных стержней / В. П. Юзиков, Н. Н. Панасенко; под ред. д-ра техн. наук Н. Н. Панасенко. Волгоград: Волгоград. науч. изд-во, 2013. 361 с.

8. Уманский А. А. Строительная механика самолета / А. А. Уманский. М.: Оборонгиз, 1961. 529 с.

9. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы: учеб. пособие / В. И. Сливкер. М.: Изд-во Ассоциации строит. вузов, 2005. 736 с.

10. РД 24-090-83-87. Нормы расчета пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов атомных станций на эксплуатационные и сейсмические воздействия