ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ С НЕКУЛОНОВСКОЙ МОДЕЛЬЮ СУХОГО ТРЕНИЯ В НАГРУЗКЕ
Авторы:
1.
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
Тип:
Статья
Страницы:
с 85
по 94
Статус:
Опубликован
Получено:
20.02.2016
Одобрено:
25.02.2016
Опубликовано:
25.02.2016
Классификаторы:
УДК 517.977.5
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 55.42 Двигателестроение
ГРНТИ 55.45 Судостроение
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
ГРНТИ 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
ГРНТИ 45.01 Общие вопросы электротехники
ГРНТИ 55.42 Двигателестроение
ГРНТИ 55.45 Судостроение
ГРНТИ 73.34 Водный транспорт
ГРНТИ 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Язык материала:
русский
Ключевые слова:
электродвигатель с жестко присоединенной нагрузкой, некулоновская модель сухого трения, внешнее трение, автоколебания, математическая модель, точечное отображение, разбиение пространства параметров
Аннотация (русский):
Известно, что предъявляемые к электроприводам повышенные требования в отношении точности воспроизведения управляющего сигнала, изменяющегося с малыми («ползучими») скоростями, нередко приводят к автоколебаниям, проявляющимся в прерывистом перемещении рабочего органа. Считается, что причиной возникновения автоколебаний является наличие отрицательного участка характеристики внешнего трения. На примере электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой возникновение автоколебаний демонстрируется и объясняется характеристикой внешнего трения без отрицательного участка, но с превышением сил трения покоя над силами трения движения при страгивании рабочего органа с места. Целью исследования являлось установление причинно-следственной связи между параметрами электродвигателя, нагрузки и параметрами трения в нагрузке и возникновением того или иного динамического поведения. Исследование было осуществлено методом точечных отображений на фазовой плоскости математической модели электродвигателя в окрестности состояния равновесия. Результаты исследования представлены в виде «разбиения» пространства параметров электродвигателя с нагрузкой на области качественно различного динамического поведения. Результаты аналитического исследования подтверждены вычислительным экспериментом.
Известно, что предъявляемые к электроприводам повышенные требования в отношении точности воспроизведения управляющего сигнала, изменяющегося с малыми («ползучими») скоростями, нередко приводят к автоколебаниям, проявляющимся в прерывистом перемещении рабочего органа. Считается, что причиной возникновения автоколебаний является наличие отрицательного участка характеристики внешнего трения. На примере электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой возникновение автоколебаний демонстрируется и объясняется характеристикой внешнего трения без отрицательного участка, но с превышением сил трения покоя над силами трения движения при страгивании рабочего органа с места. Целью исследования являлось установление причинно-следственной связи между параметрами электродвигателя, нагрузки и параметрами трения в нагрузке и возникновением того или иного динамического поведения. Исследование было осуществлено методом точечных отображений на фазовой плоскости математической модели электродвигателя в окрестности состояния равновесия. Результаты исследования представлены в виде «разбиения» пространства параметров электродвигателя с нагрузкой на области качественно различного динамического поведения. Результаты аналитического исследования подтверждены вычислительным экспериментом.
Ключевые слова:
электродвигатель с жестко присоединенной нагрузкой, некулоновская модель сухого трения, внешнее трение, автоколебания, математическая модель, точечное отображение, разбиение пространства параметров
электродвигатель с жестко присоединенной нагрузкой, некулоновская модель сухого трения, внешнее трение, автоколебания, математическая модель, точечное отображение, разбиение пространства параметров
Введение Задачи автоматизации судового энергетического оборудования характеризуются широким использованием в составе систем автоматического управления электроприводов различного назначения. Наиболее часто электропривод используется в качестве исполнительного устройства, преобразующего подводимый электрический сигнал в угловую скорость вращения (или угол поворота) приводного электродвигателя. С валом электродвигателя связан рабочий орган объекта управления, являющийся для электродвигателя нагрузкой и образующий с электродвигателем исполнительный механизм электропривода. В ряде случаев к электроприводам предъявляют повышенные требования в отношении точности воспроизведения управляющего сигнала, изменяющегося с малыми («ползучими») скоростями. Однако при этом нередко наблюдаются автоколебания, проявляющиеся в относительно быстрых, чередующихся с остановками, перемещениях рабочего органа, что является нежелательным проявлением работы электропривода. Известно, что сухое трение в подвижной части любого технического устройства может вызывать автоколебательный режим. Исключительное внимание к подобным режимам объясняется тем, что автоколебания являются помехой в работе большого количества приборов: измерительных и автоматических устройств, приводных двигателей, исполнительных механизмов и пр. Автоколебания, возникающие из-за наличия сухого трения, называются фрикционными. Фрикционным автоколебаниям посвящено достаточно много работ. В ряде известных классических работ [1, 2] причину возникновения автоколебаний видят в отрицательном участке характеристики внешнего трения. Он появляется в том случае, когда существующее в устройстве вязкое трение не может компенсировать «отрицательность» сухого трения: оно превалирует над вязким трением. В последнее время появился ряд работ [3, 4], показывающих на известных примерах с маятником Фроуда» [3] и тормозной колодкой [4], что причиной возникновения фрикционных автоколебаний может стать превышение сил трения покоя над силами трения движения - некулоновская модель сухого трения. В нашем исследовании на примере электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой демонстрируется и объясняется возникновение фрикционных автоколебаний характеристикой внешнего трения с превышением сил трения покоя над силами трения движения при страгивании (начале движения) ротора электродвигателя. Целью исследования является установление причинно-следственной связи между параметрами электродвигателя, параметрами нагрузки, параметрами трения в нагрузке и возникновением качественно различного динамического поведения электродвигателя. Решением данной задачи является нелинейный анализ, для успешного проведения которого необходимым условием является содержательная математическая модель исследуемого явления - возникновения фрикционных автоколебаний в электродвигателе с жестко присоединенной нагрузкой. Модель должна достоверно отражать его динамическое поведение и учитывать (с точки зрения целей исследования) основную физически значимую особенность закона сухого трения - превышение сил трения покоя над силами сухого трения при движении. Необходимым и достаточным условием успешного теоретического исследования служит выбор метода исследования, позволяющего провести достаточно полное аналитически строгое исследование модели в соответствии с поставленной целью, получить об изучаемом явлении новую информацию и выработать допускающие обобщения концепции. Для решения поставленной задачи был выбран метод точечных отображений, относящийся к эффективным методам исследования динамических систем [5]. Теоретический анализ В качестве динамической модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой примем следующее аналитическое описание: 1) уравнение электрического равновесия: ; (1а) 2) уравнения механического равновесия (с учетом сухого трения в нагрузке): (1б) где , , , - изображение производной по Ньютону. В структурном виде модель представлена на рис. 1, 2. Рис. 1. Структурная математическая модель электродвигателя с нагрузкой В модели (1а), (1б) и на рис. 1, 2 обозначено: U - входное напряжение (управляющий сигнал); Iя, Ω, θ - ток якоря, угловая скорость и угол поворота нагрузки соответственно; см, се - параметры, передаточные коэффициенты электродвигателя по току и по скорости; M - момент, приложенный непосредственно к нагрузке; - параметры, характеризующие индуктивное и активное сопротивления обмотки ротора соответственно; - параметр, характеризующий приведенную к нагрузке инерционность ротора электродвигателя () с присоединенной нагрузкой (); - момент сил трения при движении; - момент сил вязкого трения; - момент сил сухого трения при движении; - момент сил трения покоя; - параметр, момент сил сухого трения при остановке (); - параметр, характеризующий величину вязкого трения; - передаточное число редуктора; - предыстория (предыдущее значение инерции на момент определения последующего значения). Рис. 2. Структура алгоритма функционирования логического элемента в модели Модель относится к моделям логико-динамического класса. Логическая часть в модели отражена логическим элементом ЛЭ с заданным алгоритмом функционирования (рис. 2). Состояниям равновесия (статике) будет соответствовать точка пересечения (рис. 3) механической характеристики электродвигателя (2) с характеристикой внешнего трения (3) Рис. 3. Статические характеристики электродвигателя Координаты точки пересечения , определяются совместным решением уравнений (2) и (3). В силу присутствия сухого трения, при установившееся движение электродвигателя может возникнуть только при , однако при движение будет существовать и при (рис. 3). Согласно теории бифуркации на плоскости [5] появление устойчивого предельного цикла связано с раздвоением (бифуркацией) полуустойчивого цикла (рис. 4). Рис. 4. Бифуркация на фазовой плоскости (M, Ω) модели электродвигателя с нагрузкой Уравнение движения относительно состояния равновесия, например, в переменных состояния , , будет определяться следующим выражением: , (4) где . Для принятой модели состояния равновесия всегда устойчивы («устойчивый узел» или «устойчивый фокус»). При выполнении условия (5) состояние равновесия - «устойчивый фокус», при невыполнении - «устойчивый узел». Для сокращения числа параметров введем два обобщенных параметра: , , и , . Умножим выражение (4) на параметр J и произведем «масштабирование» времени τ = t/J (где τ - «новое» время), в результате получим уравнение движения в следующем виде: , где - изображение производной по масштабированному времени. Поскольку состояние равновесия устойчиво, то, согласно правилу чередования, внутренний предельный цикл будет неустойчивым, а наружный цикл - устойчивым. Область притяжения состояния равновесия ограничена неустойчивым предельным циклом, вся остальная фазовая плоскость является областью притяжения устойчивого предельного цикла (см. рис. 4). Таким образом, возникновению фрикционных автоколебаний соответствует наличие на фазовой плоскости полуустойчивого предельного цикла, который существует, если существует фазовая траектория, выходящая из точки 1 с координатами , и входящая в точку 2 с координатами , (см. рис. 4). Как показал предварительный анализ [6-8], такая фазовая траектория возможна только при состоянии равновесия типа «устойчивый фокус», т. е. при выполнении условия (5) или условия . (6) Уравнением фазовой траектории для уравнения (4) при выполнении условия (6) будет , (7) где , (рис. 5). Рис. 5. Фазовая траектория Для осуществления точечного отображения точки в 1 в точку 2 (рис. 5) согласно уравнению фазовой траектории (7) необходимо подставить в (7) координаты этих точек. В результате получим уравнение граничной поверхности, отделяющей в пространстве параметров электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой область, где подобные фрикционные автоколебания присутствуют при выполнении условия (6) (состояние равновесия типа «устойчивый фокус»), от области, где подобных автоколебаний быть не может. Граничная поверхность будет определяться следующим трансцендентным уравнением (8) Структура «разбиения» пространства параметров электродвигателя, осуществленная по уравнению (8), представлена на рис. 6. Рис. 6. Структура разбиения пространства параметров , , модели электропривода с жестко присоединенной нагрузкой Вычислительный эксперимент Для численного примера возьмем электродвигатель ДПР-72 со следующими паспортными данными: Uн = 27 B - номинальное напряжение питания; - номинальный вращающий момент двигателя; - номинальный ток в обмотке якоря; - номинальная частота вращения; - электрическая постоянная времени электродвигателя; - электромеханическая постоянная времени электродвигателя. По паспортным данным рассчитаем необходимые параметры электродвигателя: - активное сопротивление якоря; - индуктивное сопротивление якоря; - коэффициент передачи по скорости; - коэффициент передачи по току; - параметр, характеризующий инерционные свойства ротора электродвигателя. Допустим, к ротору двигателя через редуктор () присоединена нагрузка с параметрами: - характеризует инерционные свойства нагрузки; - характеризует сопротивление перемещению нагрузки (вязкое трение). Тогда параметр . Обобщенные параметры: , . По полученным значениям параметров (, , ) электродвигатель находится в области наличия фрикционных автоколебаний (см. рис. 6). Допустим, на практике установлено, что страгивание двигателя происходит при , а для поддержания движения необходимо . Тогда , . Произведем вычислительный эксперимент - численное интегрирование исходных уравнений (1а), (1б) с учетом полученных значений параметров, входящих в уравнения движения. Результаты численного интегрирования исходных уравнений в виде графиков представлены на рис. 7 и 8, а-г. Рис. 7. Фрикционные автоколебания в модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой Существуют следующие пути, позволяющие не допустить возникновения фрикционных автоколебаний в электродвигателе даже при наличии сильного сухого трения в нагрузке: - увеличение параметра , например, до значения (см. рис. 5 и 8, а). На практике этого можно добиться, установив на валу двигателя «крыльчатку» - устройство, которое помимо охлаждения оборудования дополнительно будет создавать вязкое трение; - увеличение параметра J, например, до значения J = 0,07 H · м · с2/рад - B = 7 H · м · с/рад (см. рис. 5 и 8, б). На практике этого можно добиться, установив на валу электродвигателя маховик; - уменьшение параметра J, например, до значения - (см. рис. 5 и 8, в). На практике это требует замены существующей нагрузки более легкой, что трудно осуществимо; - уменьшение параметра (передаточное число редуктора), например, для значения , при этом (см. рис. 5 и 8, г), что приведет к изменению выходной скорости электродвигателя с редуктором, что не всегда допустимо. а б в г Рис. 8. Отсутствие фрикционных автоколебаний в модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой Графики переменных физических величин - скорости вращения нагрузки и - угла поворота нагрузки, представленные на рисунках 7 и 8, а-г, получены численным интегрированием уравнений динамики (1а), (1б). Графики подтверждают результаты теоретического анализа, представленного в виде диаграммы разбиения пространства параметров на области качественно различного динамического поведения электродвигателя (см. рис. 6). Заключение Представленная структура «разбиения» пространства параметров электродвигателя с нагрузкой позволяет понять и оценить влияние каждого параметра на динамическое поведение электродвигателя и при этом легко рассчитать значения параметров, при которых возникнет тот или иной режим. В тех случаях, когда по условиям эксплуатации электродвигателей необходимо учитывать сухое трение, полученные результаты позволяют сформировать новые концепции учета сухого трения в динамических моделях электродвигателей, что значительно упростит их проектирование, настройку и эксплуатацию.
1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 915 с.
2. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний / Л. И. Мандельштам. М.: Наука, 1972. 470 с.
3. Шамберов В. Н. Фрикционные автоколебания в механических системах (еще раз о маятнике Фроуда) / В. Н. Шамберов // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (5). С. 2610-2611.
4. Шамберов В. Н. Фрикционные автоколебания в механических системах (еще раз о тормозной колодке) / В. Н. Шамберов // Тр. IX Всерос. науч. конф. им. Ю. И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.). Нижний Новгород: Наш дом, 2012. С. 997-1002.
5. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. М.: Наука, 1990. 488 с.
6. Хлайнг М. В. Моделирование и исследование динамики электропривода с инерционной нагрузкой и сухим трением / М. В. Хлайнг // Тр. Санкт-Петербург. гос. мор. техн. ун-та. 2015. Вып. 3. С. 41-49.
7. Хлайнг М. В. Моделирование и исследование динамики электропривода с сухим трением в нагрузке / М. В. Хлайнг, В. Н. Шамберов // Сб. тр. VIII Междунар. науч. конф. «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 21-26 сентября 2015 г.). Воронеж, 2015. С. 374-377.
8. Хлайнг М. В. Математическая модель с жестко присоединенной инерционной нагрузкой / М. В. Хлайнг, В. Н. Шамберов // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. 2015. Т. 11, № 5. С. 67-72.
