IMPROVING THE SHAPES OF PLANAR ANTENNA ARRAYS TO IMPROVE ACCURACY OF RADAR WITH SUPER-RESOLUTION
Authors:
1.
Bunin Yelets State University
(Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor; Professor of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
Russian Federation
Russian Federation
2.
Bunin Yelets State University
(Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
Russian Federation
Russian Federation
3.
Bunin Yelets State University
(Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
Russian Federation
Russian Federation
4.
Yelets State Ivan Bunin University
(Candidate of Pedagogic Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
5.
Bunin Yelets State University
(Senior Lecturer of the Department of Physics, Radio Engineering and Electronics)
Russian Federation
Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 38
to 50
Status:
Published
Received:
04.04.2022
Accepted:
15.07.2022
Published:
28.07.2022
Subject area:
UDK 621.396 Аппаратура и методы радиосвязи
Language:
Russian
Keywords:
radio signal source, planar antenna array, antenna component, direction finding, estimation of coordinates
Funding:
the research was funded by RFBR and Lipetsk Region, project number 20-47-48000.
Abstract (English):
A promising way to increase the bandwidth and noise immunity of modern wireless information transmission systems is the use of antenna arrays equipped with a digital signal processing unit, which include MIMO systems (Multiple Input Multiple Output), as well as adaptive (smart) antennas. The main advantage of this approach is the antenna’s spacing, which makes it possible to assess the angular coordinates of radio signals with further developing a radiation pattern. Gaps in studying the influence of the lattice geometry together with various kinds of antenna elements are known to be one of the factors of inaccuracy of such systems. The work is aimed at obtaining the shape of a planar antenna array with a higher direction finding accuracy. There is described an algorithm for calculating such an arrangement of antenna elements of flat antenna arrays, in which the standard deviation of the estimates of the angular coordinates of one and two radio signal sources is reduced. The proposed approach is based on the analysis of the influence of antenna location on the variance of estimates described by the lower boundary of Kramer-Rao. This value shows the influence of the location of antenna elements on the accuracy of estimating the direction of arrival of a joint assessment with two signal sources. It has been shown that the accuracy of the direction-of-arrival non-joint estimation is determined as the sum of squared differences between all coordinates of omnidirectional elements along the X- and Y-axis if one signal arrives. If two signals arrive, the accuracy of the direction-of-arrival joint estimation depends on the sum of cosines having the argument with the difference between sensor coordinates and signals radius-vectors. The optimal location of the antenna elements using the obtained expressions can be calculated very easily to reduce the direction-finding errors near particular sectors. In order to confirm the proposed method, there were studied the antenna arrays built after minimizing the boundary of Kramer-Rao, where the target functions are the new expressions. It is found out that the new shapes of antenna arrays based on the analytical expressions have better direction-of-arrival accuracy in comparison with the circular ones.
A promising way to increase the bandwidth and noise immunity of modern wireless information transmission systems is the use of antenna arrays equipped with a digital signal processing unit, which include MIMO systems (Multiple Input Multiple Output), as well as adaptive (smart) antennas. The main advantage of this approach is the antenna’s spacing, which makes it possible to assess the angular coordinates of radio signals with further developing a radiation pattern. Gaps in studying the influence of the lattice geometry together with various kinds of antenna elements are known to be one of the factors of inaccuracy of such systems. The work is aimed at obtaining the shape of a planar antenna array with a higher direction finding accuracy. There is described an algorithm for calculating such an arrangement of antenna elements of flat antenna arrays, in which the standard deviation of the estimates of the angular coordinates of one and two radio signal sources is reduced. The proposed approach is based on the analysis of the influence of antenna location on the variance of estimates described by the lower boundary of Kramer-Rao. This value shows the influence of the location of antenna elements on the accuracy of estimating the direction of arrival of a joint assessment with two signal sources. It has been shown that the accuracy of the direction-of-arrival non-joint estimation is determined as the sum of squared differences between all coordinates of omnidirectional elements along the X- and Y-axis if one signal arrives. If two signals arrive, the accuracy of the direction-of-arrival joint estimation depends on the sum of cosines having the argument with the difference between sensor coordinates and signals radius-vectors. The optimal location of the antenna elements using the obtained expressions can be calculated very easily to reduce the direction-finding errors near particular sectors. In order to confirm the proposed method, there were studied the antenna arrays built after minimizing the boundary of Kramer-Rao, where the target functions are the new expressions. It is found out that the new shapes of antenna arrays based on the analytical expressions have better direction-of-arrival accuracy in comparison with the circular ones.
Keywords:
radio signal source, planar antenna array, antenna component, direction finding, estimation of coordinates
radio signal source, planar antenna array, antenna component, direction finding, estimation of coordinates
Введение
Оценка пространственных координат источников радиосигналов (ИРС) представляет большой исследовательский интерес, т. к. позволяет существенно повысить скорость передачи информации телекоммуникационных систем, улучшить точность устройств специального назначения и т. п. [1, 2]. Для этого происходит оценка углов сигналов по азимуту с последующим формированием диаграммы направленности, максимум которой направлен на полезный источник, а нули – в направлениях помех. Таким образом, отношение мощности сиг-нала к мощности помех и шума повышается, в результате чего, согласно теореме Шеннона, повышается скорость передачи информации. В основе такого рода конструкций на базовом уровне – многоканальные антенные решетки (АР), сигналы
с выходов которых подвергаются обработке, как правило, в цифровом вычислительном модуле. На заре пространственной цифровой обработки сигналов были популярны однородные линейные АР, основный недостаток которых заключается в возможности оценки координат только по азимуту
[3–9]. Из проведенных исследований, в частности [10], стало известно, что геометрия АР (т. е. координаты антенных элементов (АЭ) в декартовой системе координат) оказывает значительное влияние на точность оценок угловых координат ИРС. Необходимо упомянуть, что в последние несколько лет приобрели некоторую потребность формы АР, благодаря которым появилась возможность определения пространственных координат сигналов, как по азимуту, так и углу места, такие как кольцевые
и концентрические [11–14]. Таким образом, понятно, что на величину ошибок определяющее влияние оказывает набор АЭ в декартовой системе координат. И тогда, задавая значения антенн вдоль осей
X, Y и Z, можно значительно повысить точность оценок координат ИРС.
В работах [15, 16] рассматривается проблема получения нижней границы Крамера – Рао (ГКР) для оценки пространственных координат по азимуту
и углу места с использованием АР с всенаправленными элементами. Они используют полярные координаты элементов АР и не дают точного выражения, которое учитывало бы как положение источника, так и местоположение в пространстве каждого АЭ. Этот подход не позволяет точно оценить влияние размещения АЭ на характеристики данных оценок и построить решетку с наилучшими характери-стиками в определенных секторах сканирования.
Далее в работе описывается подход по снижению дисперсии оценок угловых координат радиосигналов за счет оптимального размещения АЭ
в пространстве. Предложенный подход основан на выражении, описывающем зависимость точности пеленгации от координат АЭ в декартовой системе координат, на основании ГКР. Вычисление новой формы АР осуществляется путем оптимизации по заданным критериям, т. е. положения антенн вдоль осей X и Y. Кроме того, полученное уравнение будет очень полезно для анализа важных факторов, определяющих точность радиопеленгации при использовании АР такого рода. Влияние этих факторов позволит создать такую конфигурацию, которая будет обладать лучшими характеристиками точности и разрешающей способности методов радиопеленгации.
Описание антенных решеток
Прежде чем перейти к изложению информации, касающейся подходов к оценке дисперсии при определении угловых координат радиосигналов, необходимо сделать предварительные замечания. Пусть имеется АР (рис. 1), которая состоит из
N ненаправленных элементов, произвольным образом распределенным на плоскости XY. Кроме того, допустим, что в раскрыв АР падает электромагнитная волна источника сигнала s(t) на несущей частоте ω0 с пространственными координатами θ (азимут)
и φ (угол места) относительно осей X и Z.
Рис. 1. Плоская антенная решетка произвольной формы
Fig. 1. Planar antenna array of arbitrary shape
Выражение узкополосной волны имеет вид [7]
где u(t) – амплитуда; ω0 – несущая частота; v(t) – фаза в зависимости от времени. Так как сигнал узкополосный, задержка τi вызывает сдвиг фазы :
где c – скорость света; i – индекс сигнала; j – мнимая единица. И теперь, если сигналы на АЭ описываются как x1, x2, …, xN, они выглядят в векторной записи следующим образом:
где а – направляющий вектор; λ – длина волны; – волновое число; – радиус-вектор, указывающий на n-й АЭ; Т – транспонирование.
Выражение дисперсии оценок радиопеленгации
Нижняя ГКР, связанная с концепцией информации Фишера, представляет собой теоретический предел средней точности оценки угловых координат радиосигналов для конкретной АР. При условии, что это объективная оценка вектора параметров, основанная на выборках, нижняя ГКР для произвольного числа сигналов и их параметров
(в первую очередь, определение азимута и угла места) выведена в работе [17]. Таким образом, матрица дисперсии ошибок оценок пространственных координат по азимуту и углу места может быть записана [18]
где – дисперсия шума; Tr – след матрицы;
– действительная часть; – поэлементное умножение; K – число отсчетов корреляционной матрицы; ; ; ; ; ; H – эрмитово сопряжение, S – корреляционная матрица сигналов;
A – матрица направляющих векторов;
R – корреляционная матрица сигналов и шума.
Покажем далее матрицы более подробно:
(1)
Далее необходимо раскрыть выражение (1) путем определения производных направляющих по азимуту и углу места:
здесь RT – матрица радиус-векторов антенн.
Для дальнейшего упрощения (1) на первом этапе определяем производную направляющего вектора по азимуту для k-го сигнала на n-м АЭ [12]:
(2)
где ψ – фаза сигнала.
На следующем этапе, подобно выражению (2), определим производную направляющего вектора относительно координаты по углу места для k-го сигнала на n-м АЭ:
(3)
После объединения выражений (2) и (3) получим дисперсию ошибок для одного сигнала:
(4)
где I – единичная матрица.
В более упрощенном виде формула (4) будет выглядеть следующим образом:
(5)
Оценка дисперсии для решеток с ненаправленными элементами
Подводя итог вышесказанному и на основании выражений (4) и (5), можно сделать вывод, что точность пеленгации по азимуту и углу места
в основном определяется координатами АЭ, а именно коэффициентом AR (5). В частности, для АР из двух элементов и единственного ИРС поступающего сигнала получается [18]:
(6)
Если имеется плоская АР, состоящая из трех элементов в плоскости XY и одного источника сигнала с произвольными координатами θ, φ, то [18]:
(7)
Согласно формулам (6), (7), точность радиопеленгации определяется суммой квадратов разностей координат антенн.
Два источника сигнала – три антенных
элемента
Далее рассмотрим сценарий, в котором есть
2 ИРС, а также 3 всенаправленных АЭ. Из линей-ной алгебры хорошо известно, что нельзя брать менее трех АЭ, поскольку в этом случае, как видно из выражения (4), обратная матрица внутри квадратных скобок становится сингулярной. Поэтому для совместной оценки координат двух источников сигнала необходимо иметь 3 или более антенн. Тогда можно записать:
Здесь матрица A имеет размерность 3 × 2, т. е.
3 антенны и 2 источника. Рассмотрим получение PN более детально:
Рассмотрим среднюю часть внутри квадратных скобок матрицы PN подробнее:
где коэффициент C равен
(8)
Чтобы получить уравнение (8) без мнимых
частей, применим следующее свойство:
После учета коэффициента C матрица PN
принимает следующие значения:
1.1
2.1
3.1
1.2
2.2 (9)
3.2
1.3
2.3
3.3 .
Элементы матрицы PN (9) занимают следующие позиции:
Принимаем следующие обозначения:
и
Для получения оценки нижней ГКР первой координаты сигнала необходимо выражение для матрицы PN производных D. В данном конкретном случае нас в первую очередь интересует следующее выражение:
Полученное выражение для AR для первого сигнала равно:
(10)
Предположим, что выражение коэффициента AR для второго сигнала равно
(11)
Тогда получается, что окончательное выражение для матрицы D1, которое в основном определяет точность оценки пеленгов, будет выглядеть так:
Обратная матрица D1 будет выглядеть следующим образом:
(12)
Поскольку выше было сказано, что нужны только значения первого и второго сигналов, то необходимо учитывать только элементы главной диагонали матрицы. Значения за пределами глав-ной диагонали отвечают за взаимное влияние между координатами двух сигналов, следовательно
и (13)
поэтому последние выражения после подстановки формул (10)–(12) в (13) будут определять точность оценок координат с помощью трехэлементной планарной АР в случае совместного пеленгационного измерения двух сигналов. Из двух последних формул можно сделать вывод, что для уменьшения погрешностей пеленгования как можно меньше, при условии, что известны приблизительные сек-торы обработки, AR11 и/или AR22 должны быть как можно большими:
и/или (14)
Рассмотрим ситуацию с двумя источниками сигналов, координаты которых имеют следующие значения: θ1 = 25°, φ1 = 45° и θ2 = 85°, φ2 = 45°.
В качестве эталона используем трехэлементную стандартную кольцевую АР с радиусом r = 0,0442 м. Далее, применив любой алгоритм оптимизации, будем одновременно максимизировать полученные выражения (14) относительно радиус-векторов r1, r2 и r3. Кроме того, предполагается, что приблизительные сигнальные секторы известны, а координаты x и y ограничены радиусом r. После оптимизации (14) получаем следующие координаты новой АР для приема и обработки сигналов из описанных выше зон θ1, φ1 и θ2, φ2: x1 = 0,0405, x2 = –0,0301,
x3 = –0,0246, y1 = –0,0182, y2 = 0,0328, y3 = –0,0369 (рис. 2).
Рис. 2. Схема стандартной кольцевой «○» и оптимизированной «●» решеток
Fig. 2. Scheme of standard ring “○” and optimized “●” arrays
Ниже приведены оценки ГКР полученной АР
в сравнении со стандартной традиционной кольцевой АР для различных ситуаций, т. е. для одного (рис. 3) и двух сигналов в зависимости от отношения сигнал/шум (ОСШ) (рис. 4), кроме того, приведен график разницы ошибок между оптимизированной и стандартной АР (рис. 5).
Рис. 3. Граница Крамера – Рао антенных решеток: сплошная кривая «○» – обычная решетка;
пунктирная кривая «◊» – оптимизированная решетка (см. рис. 2) с одним сигналом: θ1 = 0°–180°, φ1 = 45°
Fig. 3. Cramer-Rao boundary of antenna arrays: solid curve “○” - ordinary array;
dotted curve “◊” - optimized array (see Fig. 2) with one signal: θ1 = 0°–180°, φ1 = 45°
Рис. 4. Граница Крамера – Рао антенных решеток: сплошная кривая «○» – обычная решетка;
пунктирная кривая «◊» – оптимизированная решетка (см. рис. 2)
в зависимости от ОСШ; два сигнала: θ1 = 25°, φ1 = 45° и θ2 = 85°, φ2 = 45°
Fig. 4. Cramer-Rao boundary of antenna arrays: solid curve “○” - ordinary array;
dotted curve “◊” - optimized array (see Fig. 2) depending on SNR; two signals: θ1 = 25°, φ1 = 45° and θ2 = 85°, φ2 = 45°
Рис. 5. Разница между совместной оценкой границы Крамера – Рао двух координат сигналов
оптимизированной АР и стандартной кольцевой АР
Fig. 5. Difference between joint estimation of Cramer-Rao boundary of two signal coordinates
of an optimized antenna array and a standard ring antenna array
Два сигнала поступают в новую АР (см. рис 3), которая построена таким образом, что минимум ошибок приходится на целевой диапазон предполагаемых азимутальных местоположений сигналов,
т. е. несовместная оценка здесь выполняется. Кроме того, на графиках рис. 4, 5 проиллюстрировано, что сумма ошибок совместной оценки координат по азимуту через новую решетку немного ниже, чем при использовании стандартной кольцевой решетки.
Рассмотрим другую ситуацию с двумя источниками сигналов: θ1 = 50°, φ1 = 45° и θ2 = 140°,
φ2 = 45°. Также за эталонную принимаем трехэлементную стандартную кольцевую АР радиусом
r = 0,0442 м. После оптимизации (14) получаем следующие координаты новой АР: x1 = 0,0419,
x2 = –0,0079, x3 = –0,0042, y1 = 0,0142, y2 = 0,0373,
y3 = –0,0440 (рис. 6).
Рис. 6. Схема стандартной кольцевой «○» и оптимизированной «●» решеток
Fig. 6. Scheme of standard ring “○” and optimized “●” arrays
Ниже приведены рис. 7–9, иллюстрирующие результаты исследования случая с двумя источниками сигналов.
Рис. 7. Граница Крамера – Рао антенных решеток: сплошная кривая «○» – обычная решетка;
пунктирная кривая «◊» – оптимизированная решетка (см. рис. 6); один сигнал: θ1 = 0°–180°, φ1 = 45°
Fig. 7. Cramer-Rao boundary of antenna arrays: solid curve “○” - ordinary array;
dotted curve “◊” - optimized array (see Fig. 6); one signal: θ1 = 0°–180°, φ1 = 45°
Рис. 8. Граница Крамера – Рао антенных решеток: сплошная кривая «○» – обычная решетка;
пунктирная кривая «◊» – оптимизированная решетка (см. рис. 6) в зависимости
от ОСШ; два сигнала: θ1 = 50°, φ1 = 45° и θ2 = 140°, φ2 = 45°
Fig. 8. Cramer-Rao boundary of antenna arrays: solid curve “○” - ordinary array;
the dotted curve “◊” is the optimized array (see Fig. 6) depending on
the signal-to-noise ratio; two signals: θ1 = 50°, φ1 = 45° and θ2 = 140°, φ2 = 45°
Рис. 9. Разница между совместной оценкой границ Крамера – Рао двух сигналов координат
оптимизированной АР и стандартной кольцевой АР
Fig. 9. Difference between joint estimation of Cramer-Rao boundary of two coordinate signals
of an optimized antenna array and a standard ring antenna array
Из кривых на рис. 7 оценки точности пеленгации одного сигнала видно, что элементы новой АР расположены для оптимального приема и обработки сигналов, приходящих из секторов ≈ 20° и 140° по азимуту с помощью пеленгаторных методов. Общие ошибки радиопеленгации через новую решетку немного ниже по сравнению с обычной кольцевой решеткой после использования совместной оценки координат сигналов по азимуту, как показано на рис. 8. Кроме того, на рис. 9 показано, что разница между ошибками через новые АР меньше по сравнению со стандартными кольцевыми, поскольку графики в целевых секторах имеют отрицательные значения.
Таким образом, можно сделать вывод, что точность пеленгации может быть повышена только за счет оптимального расположения АЭ в пространстве без привлечения дополнительных вычислительных средств и методов.
Заключение
В работе рассмотрены планарные АР, состоящие из всенаправленных элементов и размещенные на плоскости XY. Основное назначение подобных решеток в современной связи – оценка координат пеленгации по азимуту. Однако в настоящее время очень актуальна проблема выбора наилучшей конфигурации решетки для радиопеленгации. Это уменьшает погрешности пеленга и количество АЭ и, таким образом, снижает вычислительные затраты. Нижняя ГКР является критерием оптимальности способности конкретной решетки оценивать координаты сигналов. Получены точные общие выражения ГКР для планарных АР. Формулы описывают зависимость точности пеленгования по азимуту или углу места от положения элементов антенны. Выявлено, что при наличии источника сигнала выражение в общем случае квадратичное. С другой стороны, две волны с произвольными координатами поступают на решетку, и зави-симость между точностью оценки пеленгации
и расположением АЭ выглядит как сумма косинусов разностей волновых чисел. Полученные выражения позволяют расположить АЭ так, чтобы ошибки пеленга были значительно уменьшены в секторе сканирования цели, превышая при этом измерения круглых АР.
Представленный подход использован для создания двух- и трехэлементных АР путем минимизации полученных точных выражений ГКР для оценки пеленгации по азимуту в случае одного источника и в случае двух одновременных волн. Было показано и доказано, что дисперсия оценок радиопеленгации снижается на 0,3–0,5° по сравнению с круговым массивом. Более того, рассматриваемый подход может быть расширен как на произвольное количество антенн, так и на угол места.
1. Elkamchouchi H., Mohamed D., MohamedO., Ali W. Multiuser Detection Using Blind Robust Beamforming in Multipath Environment for LTE System // International Journal on Communications Antenna and Propagation (IRECAP). 2016. N. 6 (5). P. 291-298. DOI:https://doi.org/10.15866/irecap.v6i5.10006.
2. Samarah K. Localization of Mobile Stations from ONE Base Station in GSM Systems // International Review on Computers and Software (IRECOS). 2016. N. 11 (5). P. 427-435. DOI:https://doi.org/10.15866/irecos.v11i5.9367.
3. Hosseini S. M., Sadeghzadeh R. A., Virdee B. S. DOA estimation using multiple measurement vector model with sparse solutions in linear array scenarios // EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking. 2017. Article number: 58. DOI:https://doi.org/10.1186/s13638-017-0838-y.
4. Chetan R. D., Jadhav A. N. Simulation study on DOA estimation using MUSIC algorithm // Intl. J. Tech. Eng. Sys. 2011. V. 2. N. 1. P. 54-57.
5. Ikeda K., Nagai J., Fujita T., Yamada H., Hirata A., Ohira T. DOA estimation by using MUSIC algorithm with a 9-elements rectangular ESPAR antenna // Proc. of Intl. Symp. on Antennas and Propagat. Aug. 2004. P. 45-48.
6. Chen Sun, Karmakar N. C. Direction of arrival estimation based on a single port smart antenna using MUSIC algorithm with periodic signals // Intl. J. Signal Process. 2004. V. 1. N. 3. P. 153-162.
7. Schmidt R. O. Multiple emitter location and signal parameter estimation // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1986. V. 34. P. 276-280. DOI:https://doi.org/10.1109/tap.1986.1143830.
8. Belhoud F. A., Shubair R. M., Al-Mualla M. E. Modelling and performance analysis of DOA estimation in adaptive signal processing arrays // Proc. IEEE Intl. Conf. on Electron., Circuits and Sys., Dec. 2003. P. 340-343. DOI:https://doi.org/10.1109/ICECS.2003.1302046.
9. Cadzow J. A. A high resolution direction-of-arrival algorithm for narrow-band coherent and incoherent sources // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1998. V. 36. N. 7. P. 965-979. DOI:https://doi.org/10.1109/29.1618.
10. Abouda H. M., El-Sallabi, Haggman S. G. Impact of antenna array geometry on MIMO channel eigenvalues // Proc. IEEE Intl. Symp. on Personal, Indoor and Mobile Radio Comm. 2005. V. 1. Sep. P. 568-572. DOI:https://doi.org/10.1109/PIMRC.2005.1651500.
11. Chen J., Guan S., Tong Yi., Yan L. Two-Dimensional Direction of Arrival Estimation for Improved Archimedean Spiral Array With MUSIC Algorithm // IEEE Access. 2018. V. 6. P. 49740-49745. DOI:https://doi.org/10.1109/ACCESS.2018.2867460.
12. Nechaev Yu. B., Peshkov I. W., Fortunova N. A. Estimation of the Cramer-Rao Bound for Radio Direction-Finding on the Azimuth and Elevation of Planar Antenna Arrays of the Symmetric Form // IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS). 2018. R. 1-5. DOI:https://doi.org/10.1109/EWDTS.2018.8524799.
13. Wu B. Realization and simulation of DOA estimation using MUSIC algorithm with uniform circular arrays // The 4th Asia-Pacific Conf. on Environmental Electromagnetics. 2006. P. 908-912. DOI:https://doi.org/10.1109/CEEM.2006.258099.
14. Nechaev Yu. B., Peshkov I. V. Evaluating Cramer-Rao Bound for 2D direction-finding via planar antenna arrays // Visnyk NTUU KPI. Seriia - Radiotekhnika Radioaparatobuduvannia. 2016. N. 67. P. 12-17. DOI:https://doi.org/10.20535/RADAP.2016.67.12-17.
15. Gazzah H., Marcos S. Cramer-Rao bounds for antenna array design // Signal Processing, IEEE Transactions. 2006. N. 54. R. 336-345. DOI:https://doi.org/10.1109/TSP.2005.861091.
16. Baysal Ü., Moses R. On the geometry of isotropic arrays // Signal Processing, IEEE Transactions. 2003. N. 51. R. 1469-1478. DOI:https://doi.org/10.1109/TSP.2003.811227.
17. Nechaev Yu. B., Peshkov I. V. Ocenka granicy Kramera-Rao dlya cilindricheskih antennyh reshetok s napravlennymi elementami dlya radiopelengacii cifrovymi antennymi reshetkami // Telekommunikacii. 2019. № 4. S. 18-26.
18. Nechaev Yu. B., Peshkov I. V. Optimizaciya formy maloelementnyh antennyh reshetok po azimutu ili uglu mesta posredstvom minimizacii obobschennogo vyrazheniya nizhney granicy Kramera-Rao // Antenny. 2019. № 5 (259). S. 53-64.
