METHOD OF DETERMINING A POSTERIORI ERROR ESTIMATION IN CALCULATIONS OF COMPOSITE SHELLS USING MULTIGRID FINITE ELEMENTS
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 4
, 2018
Rubrics: MANAGEMENT, MODELING, AUTOMATION
Authors:
1.
Novosibirsk State Technical University
Type:
Article
Pages:
from 16
to 25
Status:
Published
Received:
05.10.2018
Accepted:
25.10.2018
Published:
25.10.2018
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.65; 539.3
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.65; 539.3
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
a posteriori error estimates, L2 norm, discrete model, convergence of solution sequence, elasticity, cylindrical shell, multigrid finite elements
Abstract (English):
A numerical method of determining a posteriori error estimates of solutions created for composite cylindrical shells using multigrid finite elements (MFE) has been proposed. The suggested method is based on ZZ method proposed by O. C. Zienkiewicz and J. Z. Zhu for both energy norm and L 2 norm of solution errors estimates. In contrast to ZZ method, the suggested method uses MFE that takes into account complex shapes, heterogeneous and micro-heterogeneous body structures and forms small dimension discrete models for creating «precise» solutions. To give examples there was carried out analysis of error estimates for displacements and stresses in calculation of stress-strain state (SSS) of three-layer cylindrical shells with and without cutouts under local loading. It has been stated that analysis of SSS using MFE causes converging sequences of approximate solutions in norm L 2. Calculations that use mean square error for stresses in each finite element of the shell show that MFE allow to use arbitrarily small regular discretization grids all over the shell area without the necessity to tighten the grid in local areas for calculating SSS. This leads to simple algorithms of calculating SSS with the help of MFE and ensures considerable saving of computer resources. In the given examples the use of MFE decreases the dimension of the system of MFE algebraic equations and reduces computer memory volume by 1 500 and 8∙104 times respectively, compared to the finite elements base model that doesn’t use MFE.
A numerical method of determining a posteriori error estimates of solutions created for composite cylindrical shells using multigrid finite elements (MFE) has been proposed. The suggested method is based on ZZ method proposed by O. C. Zienkiewicz and J. Z. Zhu for both energy norm and L 2 norm of solution errors estimates. In contrast to ZZ method, the suggested method uses MFE that takes into account complex shapes, heterogeneous and micro-heterogeneous body structures and forms small dimension discrete models for creating «precise» solutions. To give examples there was carried out analysis of error estimates for displacements and stresses in calculation of stress-strain state (SSS) of three-layer cylindrical shells with and without cutouts under local loading. It has been stated that analysis of SSS using MFE causes converging sequences of approximate solutions in norm L 2. Calculations that use mean square error for stresses in each finite element of the shell show that MFE allow to use arbitrarily small regular discretization grids all over the shell area without the necessity to tighten the grid in local areas for calculating SSS. This leads to simple algorithms of calculating SSS with the help of MFE and ensures considerable saving of computer resources. In the given examples the use of MFE decreases the dimension of the system of MFE algebraic equations and reduces computer memory volume by 1 500 and 8∙104 times respectively, compared to the finite elements base model that doesn’t use MFE.
Keywords:
a posteriori error estimates, L2 norm, discrete model, convergence of solution sequence, elasticity, cylindrical shell, multigrid finite elements
a posteriori error estimates, L2 norm, discrete model, convergence of solution sequence, elasticity, cylindrical shell, multigrid finite elements
При решении физических задач широко используется метод конечных элементов (МКЭ). В механике деформируемого твердого тела с помощью МКЭ исследуется напряженно-дефор-мируемое состояние (НДС) различных объектов, в частности оболочек, состоящих из однородных и композитных материалов [1-3]. Для расчета оболочек в последние десятилетия разработано большое число типовых конечных элементов (КЭ) [3-5]. В работах [6-8] рассмотрено проектирование и использование многосеточных КЭ (МнКЭ) для расчета однородных и композитных цилиндрических оболочек различной толщины. Исследована сходимость перемещений и эквивалентных напряжений, построенных с помощью МнКЭ, в характерных точках оболочек. Однако в ряде случаев возникает необходимость обобщенной оценки погрешностей (например в норме L2) полей перемещений и напряжений в конструкции. Это связано с тем, что погрешность решений является функцией координат и, кроме того, для различных точек области конструкции погрешности могут существенно (на порядок) отличаться. Поэтому мера интегральной погрешности [3] дает общую оценку точности решения и корректности выбранных параметров численных процедур, что важно для инженерных расчетов. Теория апостериорного контроля точности приближенных решений, полученных с помощью МКЭ, интенсивно развивается уже несколько десятилетий [9-14]. Суть методов апостериорного контроля связана с количественной оценкой отклонения приближенного решения от неизвестного точного по исходным данным задачи и имеющемуся приближенному решению. Использование методов оценки погрешностей необходимы для гарантии достоверности проведенных вычислений с помощью численных методов решения краевых задач механики сплошных сред. В построении апостериорных оценок при использовании МКЭ существует несколько подходов, которые рассмотрены в работе [15]. Наиболее широко распространенными классическими подходами являются методы взвешенных невязок и методы, основанные на сглаживании приближенных решений. Основное достоинство таких методов заключается в относительной простоте их реализации при небольшом объеме вычислений, что позволяет применять их в инженерной практике численных расчетов. В работе [16] предложен вариант простого в реализации метода оценки погрешностей решений, связанной с конечно-элементной дискретизацией. Этот метод по фамилиям авторов O. C. Zienkiewicz и J. Z. Zhu в литературе называют методом оценки погрешностей ZZ. В работах [17, 18] проведен теоретический анализ предложенного способа оценки ZZ и показано применение этого подхода к расчету однородных пластин и оболочек. Следует отметить, что существующие подходы и методы определения апостериорных оценок связаны с определением так называемого «точного» решения u*, которое обычно определяется приближенно с помощью конечно-элементного решения uh данной краевой задачи. Поэтому полученное таким образом «точное» решение u* имеет такой же порядок погрешности, как и приближенное решение uh. Кроме того, существующие процедуры определения «точных» решений трудно применять при расчете трехмерных композитных тел сложной формы. В этом случае при определении «точного» решения необходимо учитывать (в рамках микроподхода) неоднородную структуру и сложную форму тел, что приводит к построению дискретных моделей высокой размерности (порядка 107-1010) [6-8]. В данной работе на основе метода ZZ разработан численный метод определения апостериорных оценок погрешностей решений, построенных с помощью трехмерных МнКЭ. В предлагаемом методе для приближенного решения u(p), построенного с помощью p-сеточных КЭ, в качестве «точного» решения u* используем приближенные решения u(p-α), (α = 1, …, p - 1), построенные с использованием (p - α)-сеточных КЭ. Предлагаемый метод используется для анализа НДС линейно упругих трехмерных композитных цилиндрических оболочек. Численный метод определения апостериорных оценок погрешностей Рассмотрим основные положения предлагаемого метода на примере нахождения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений, построенных для слоистой цилиндрической оболочки в случае применения трехсеточных КЭ (ТрКЭ) третьего порядка V(3). Трехсеточный КЭ V(3) состоит из M двухсеточных КЭ (ДвКЭ) V(2), каждый из которых, в свою очередь, состоит из N однородных односеточных КЭ (ОдКЭ) V(1) [6-8] (рис. 1). Рис. 1. Структура ТрКЭ V(3) Как известно из [6-8], при построении ТрКЭ используются три вложенных сетки. Мелкая сетка порождена базовым разбиением области ТрКЭ, состоящим из ОдКЭ, который учитывает сложную неоднородную структуру и форму ТрКЭ. Крупные сетки применяются для понижения размерности базового разбиения ТрКЭ. При построении ТрКЭ V(3) используются следующие соотношения: где а N(1), B(1), D - матрицы функций формы, деформаций, модулей упругости; F(1), q(1) - векторы объемных и поверхностных сил; V, S - область и поверхность КЭ V(1); , - матрицы вращения; K(p) - матрицы жесткости; P(p), δ(p) - векторы узловых сил и перемещений в локальных системах координат Opxpypzp для КЭ V(p) (p = 1, 2, 3 - номера вложенных сеток). Индексы n = 1, ..., N и m = 1, ..., M определяют порядковый номер ОдКЭ в ДвКЭ и номер ДвКЭ в ТрКЭ. Матрицы понижают размерность векторов перемещений в ДвКЭ и ТрКЭ (с помощью аппроксимирующих функций перемещений, построенных на крупных сетках ТрКЭ). Все векторы узловых перемещений КЭ (n = 1, ..., N), представленные в системе координат O2x2y2z2, выражаются через вектор узловых перемещений ДвКЭ V(2); все векторы узловых перемещений КЭ (m = 1, ..., M), представленные в системе координат O3x3y3z3, выражаются через вектор узловых перемещений δ(3) КЭ V(3). Отметим следующие особенности МнКЭ. 1. Как показывают численные эксперименты, погрешность решения u(p) (p ≥ 2) при использовании p-сеточных КЭ больше, чем погрешность решений u(p-α) (α = 1, …, p - 1), построенных с использованием (p - α)-сеточных КЭ. 2. Процедура построения m-сеточного КЭ сводится к нахождению матрицы жесткости K(p) и вектора узловых сил P(p) p-сеточного КЭ по уже найденным на предыдущем этапе расчета матрице K(p - 1) и вектору P(p - 1) (p - 1)-сеточного КЭ, p = 2, …, m. Матрица K(1) и вектор P(1) (p = 1) отвечают ОдКЭ базового разбиения МнКЭ [6-8]. 3. Более подробно процедура нахождения матриц жесткости K(p) и вектора узловых сил P(p) (p = 1, 2, 3) изложены в работах [6, 7], где показано, что МнКЭ способны учитывать неоднородную и микронеоднородную структуру и сложную форму трехмерных тел. Процедура построения МнКЭ позволяет найти вектор перемещений в узлах мелкой сетки, связанной с ОдКЭ (p = 1), решая только систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) малой размерности, соответствующую узлам крупной сетки ТрКЭ (p = 3). Перемещения в ТрКЭ позволяют восстановить узловые перемещения в каждом ДвКЭ (p = 2), входящем в состав ТрКЭ, и далее в каждом ОдКЭ, входящем в ДвКЭ [6-8]. Рассмотрим основные положения предлагаемого метода. Приведем соотношения, которые необходимы для проведения апостериорного контроля точности приближенного решения, полученного с применением МКЭ [16, 18]. Эти соотношения будут использованы для оценки погрешностей решений, полученных с помощью МнКЭ. Введем следующие обозначения: σ, u - тензор напряжений и вектор перемещений, которые являются точным решением дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости; σh, uh - соответствующие конечно-элементные решения исходной задачи; e = u - uh; eσ = σ - σh - погрешности перемещений и напряжений в расчетной области тела V. При использовании интегральных оценок погрешностей характеристик НДС широко применяются энергетическая норма и норма L2 [1, 16-18]. В данной работе для оценки погрешностей приближенных решений используем норму L2. Как известно, норма L2 погрешностей перемещений и напряжений e, eσ определяется соотношениями Далее в тексте индекс L2 в обозначении нормы опускаем. Значение нормы погрешностей для всей области V, состоящей из N КЭ, складывается из суммы норм погрешностей , , определенных для n-го КЭ, n = 1, ..., N, т. е. Для оценки суммарной погрешности результатов, %, вводятся безразмерные параметры [16] (1) (2) При численных расчетах значения η, ησ, %, в формулах (1), (2) определяются соотношениями [18] В работе [16] приведена формула для определения среднеквадратичного значения погрешности (удельного квадрата погрешности) напряжений в виде (3) В расчетах по МКЭ погрешность (3) целесообразно использовать не для всей области конструкции V, а для каждого КЭ дискретной модели. Это позволяет корректировать выбранный закон дискретизации для получения допустимой погрешности в каждом КЭ. В этом случае среднеквадратичная погрешность в определении напряжения ∆σn. в каждом КЭ, подсчитанная по формуле (3), должна быть меньше определенной допустимой величины . Эта величина может быть выбрана в виде доли от максимально допустимого напряжения или от среднеквадратичного значения напряжения по всей конструкции. При этом сетка дискретизации является приемлемой для расчета с выбранным допустимым напряжением, если для всех элементов выполняется неравенство [16] (4) При нарушении неравенства (4) в каких-либо КЭ дискретной модели необходимо локальное измельчение сетки дискретизации в районе этих элементов или общее измельчение по всему телу для выполнения неравенства (4) по всей области V [3, 16]. Отметим, что точное решение исходной задачи для композитных тел сложной формы обычно неизвестно. В связи с этим в методе ZZ в приведенных выше формулах вместо точного решения σ, u используется приближенное, так называемое «точное» решение u*, σ*. В этом случае соотношения для погрешностей e, eσ имеют вид Как правило, значения u*, σ* определяются путем минимизации взвешенных невязок с применением значений σh, uh в предположении, что распределение напряжений выражается через те же функции формы, что и перемещения [16]. Для мелких разбиений наиболее простая процедура определения u*, σ* сводится к усреднению значений σh, uh, при котором значения перемещений u* и напряжений σ* для каждого узла дискретной модели тела являются средним значением перемещений и напряжений в соседних узлах. Отметим, что построенные по вышеизложенным процедурам метода ZZ «точные» решения u*, σ* несущественно отличаются от приближенных решений σh, uh. Таким образом, возникает проблема разработки алгоритмов определения более точных решений u*, σ*, чем существующие. Кроме того, метод ZZ затруднительно использовать при расчете композитных тел. Применение МнКЭ позволяет определять решения u*, σ*, которые значительно точнее приближенных решений σh, uh. В предлагаемом методе определения апостериорных оценок погрешностей, который особенно эффективен при расчете трехмерных тел сложной формы, имеющих неоднородную и микронеоднородную структуру, для приближенного решения u(p), построенного с помощью КЭ V(p), в качестве «точного» решения u* используем приближенные решения u(p - α) (α = 1, …, p - 1), построенные с использованием КЭ V(p - α). Например, при использовании ТрКЭ можно принять u* = u(2) или u* = u(1), где u(1), u(2) - решения, полученные для оболочки с помощью ОдКЭ или ДвКЭ . Достоинства предлагаемого варианта построения «точных» решений состоят в следующем. Так как процедура определения решения u(p) и оценка погрешностей включает нахождение матриц K(p - α) и векторов P(p - α), то это позволяет одновременно с нахождением u(p) строить решения u(p - α) (α = 1, …, p - 1), которые можно использовать для определения «точного» решения u*. Это особенно важно для композитных тел, поскольку решения u(p - α) учитывают сложную структуру материала, что обеспечивает близость u* к точному решению задачи u, повышают достоверность оценки погрешностей и используют дискретные модели тела малой размерности [6-8]. Следует отметить, что использование МнКЭ позволяет снизить размерность СЛАУ в 102-106 раз и снизить объем используемой памяти ЭВМ в 102-108 раз. Результаты численных экспериментов Рассмотрим модельную задачу деформирования 3-слойной упругой цилиндрической оболочки длиной 2L. Оболочка, защемленная с двух торцов, расположена в декартовой системе координат Oxyz. При y = 0; 2L перемещения u = v = w = 0. Радиус оболочки по срединной поверхности R = 48, для толстой оболочки (R/H = 5) толщина оболочки H = 9,6, для тонкой оболочки (R/H = 15) толщина H = 3,2; длина 2L = 72. Слои оболочки представляют собой изотропные однородные тела толщиной H/3. Модули Юнга 3-х слоев (начиная с нижнего) равны 10, 50, 100 соответственно. Коэффициент Пуассона равен 0,3. На внешней поверхности оболочки 3L/4 ≤ y ≤ 5L/4 с углом раствора α = π/2, которая симметрична относительно плоскости Oxy, действует равномерно распределенная сжимающая радиальная нагрузка . В оболочке имеются четыре выреза, симметричные относительно плоскостей Oxy, Oyz и плоскости y = L, угол раствора каждого выреза α = π/2, длина - L/4 (рис. 2). Рис. 2. Левая симметричная часть оболочки Так как форма, нагружение и закрепление оболочки симметричны относительно плоскостей Oyz и y = L, то в расчетах используем 1/4 часть оболочки. Базовые дискретные модели Rk оболочки состоят из криволинейных однородных ОдКЭ 1-го порядка V(1). Сетка модели Rk имеет размерность , где а - размерности сетки в тангенциальном, осевом и радиальном направлениях оболочки. На базовых моделях Rk строятся многосеточные дискретные модели из ДвКЭ и ТрКЭ. При k = 1 ДвКЭ и ТрКЭ имеют характерные размеры и , где ; - размеры КЭ V(1) по направлениям х, у, отвечающие дискретной модели R1; α1 = π/432; R - радиус нижней цилиндрической поверхности ОдКЭ V(1). В ТрКЭ используются полиномы Лагранжа, которые имеют третий порядок по координатам x3, y3 и третий порядок по координате z3, что соответствует количеству слоев по толщине рассматриваемой оболочки. Как показывают численные эксперименты, если узлы крупных сеток ДвКЭ и ТрКЭ лежат на общих границах разномодульных слоев, то дискретные модели Rk обеспечивают быструю сходимость последовательности конечно-элементных решений. В табл. 1, 2 представлены результаты расчетов оценок погрешностей ηk, ησ,k, по формулам (1), (2), (4) для полей перемещений и напряжений для толстых (R/H = 5) и тонких (R/H = 15) трехслойных оболочек с вырезами и без них в случае последовательного измельчения сеток дискретизации, соответствующих четырем моделям Rk (k = 1, …, 4). Таблица 1 Результаты оценки погрешностей расчетов оболочки с вырезами для моделей Rk (R/H = 5; 15) при a = 0,05 R/H 5 15 Rk R1 R2 R3 R4 R1 R2 R3 R4 ηk 1,847 3 0,623 4 0,275 3 0,191 5 5,712 7 1,586 0 0,896 2 0,568 1 ησ,k 10,600 7 7,576 3 4,692 7 3,914 6 18,053 7 11,084 8 8,142 1 6,630 6 0,809 2 0,256 0 0,0912 0,052 7 1,640 8 0,404 4 0,173 0 0,102 2 Таблица 2 Результаты оценки погрешностей расчетов оболочки без вырезов для моделей Rk (R/H = 5; 15) при a = 0,01 R/H 5 15 Rk R1 R2 R3 R4 R1 R2 R3 R4 ηk 0,791 8 0,373 2 0,030 2 0,016 1 1,293 4 0,425 2 0,161 1 0,090 6 ησ,k 6,154 0 4,538 8 1,591 8 1,168 8 9,795 3 5,244 7 3,428 8 2,572 2 0,225 2 0,125 9 0,016 2 0,009 1 0,585 9 0,124 6 0,051 5 0,028 9 При вычислении максимального значения по всем дискретным элементам тела величина допустимого значения в формуле (4) определяется соотношением , где а выбирается произвольно и задает величину доли среднеквадратичного значения напряжения во всем объеме V. Как следует из расчетов, погрешности решений, построенные с помощью ДвКЭ V(2), меньше погрешностей решений, которые отвечают дискретным моделям, состоящим из ТрКЭ V(3). В данном примере значения u*, σ*, которые мы считаем «точными» решениями, отвечают решению, построенному с применением ДвКЭ V(2). В табл. 1, 2 значения ηk, ησ,k для последовательностей решений, соответствующих моделям дискретизации Rk (k = 1, …, 4), демонстрируют хорошую асимптотическую сходимость перемещений и напряжений при измельчении сетки дискретизации (h - сходимость [3]). Для толстой оболочки использование МнКЭ дает меньшую погрешность определения НДС оболочки, чем для тонкой оболочки. Появление в оболочечной конструкции вырезов ухудшает эффективность применения МнКЭ. Отметим, что уже модель дискретизации R1 (R2 - для тонкой оболочки с вырезами) демонстрирует эффективность построенной сетки дискретизации ( для всех КЭ), т. е. ситуацию, когда значение среднеквадратичной погрешности найденных напряжений в каждом КЭ не превышает допустимого значения. Дальнейшее измельчение сетки сопровождается снижением значений обобщенных параметров ηk, ησ,k, что характеризует повышение точности определения НДС в исследуемой области конструкции. Проведенные апостериорные оценки погрешностей полученных в расчетах перемещений и напряжений можно подтвердить проверкой сходимости последовательности решений в произвольно выбранной точке А оболочки. Результаты расчетов для дискретных моделей Rk (k = 1, …, 4) представлены в табл. 3, где wk, и σk, - радиальное перемещение и эквивалентное напряжение в точке А для оболочки с вырезами и без вырезов соответственно. Таблица 3 Прогибы и эквивалентные напряжения в точке А для оболочки с вырезами (wk ,σk) и без вырезов () для моделей Rk (R/H = 5; 15) R/H 5 15 Rk R1 R2 R3 R4 R1 R2 R3 R4 0,572 0 0,428 3 0,575 5 0,429 2 0,576 4 0,429 4 0,576 8 0,429 5 1,794 1 1,820 2 1,760 8 1,820 3 1,754 7 1,820 2 1,752 8 1,820 2 - 0,608 2 0,209 7 0,156 1 0,046 6 0,069 3 0,023 3 - 1,891 2 0,005 5 0,347 6 0,005 5 0,108 4 0,0 0,665 5 0,614 6 0,693 8 0,635 8 0,702 2 0,641 7 0,706 3 0,644 7 1,778 1 2.247 8 1.741 2 2,263 4 1,732 5 2,269 3 1,729 1 2,272 4 - 4,079 0 3,334 4 1,196 2 0,919 4 0,580 5 0,465 3 - 2,119 2 0,689 2 0,502 2 0,260 0 0,196 6 0,136 4 Напряжения σk, определяем по 4-й теории прочности. Значения относительных погрешностей δw,k, δσ,k, %, находим по формулам (5) (6) Значения , , %, рассчитываются по формулам, аналогичным (5), (6). Характер изменения величин δw,k, δσ,k и , , %, в табл. 3 демонстрирует быструю сходимость эквивалентных напряжений σk, и перемещений wk, . С точки зрения практики можно считать, что для тонкой оболочки перемещения и напряжения в точке A определены с погрешностью менее 0,2 %, для толстой оболочки перемещения в точке A определены с погрешностью менее 0,1 %, а напряжения - с погрешностью менее 0,6 %. Численные эксперименты показывают, что если бы выбранная точка A являлась особой (концентратором напряжений), то сходимость последовательности решений была бы более медленной, а значения δw,k, δσ,k, %, составляли бы более 10-12 %. Отсюда следует, что полный анализ погрешностей при расчете НДС и проведении прочностного расчета не может ограничиться оценкой погрешностей в норме L2, а требует анализа НДС в каждой особой точке оболочки. Отметим эффективность применения МнКЭ с точки зрения экономии вычислительных ресурсов на примере оболочки без вырезов. Размерность базовой дискретной модели R4 равна 163 387 943 (более 1,63∙108), ширина ленты СЛАУ - 94 760. Соответствующая трехсеточная модель имеет 110 012 узловых неизвестных, ширина ленты СЛАУ - 1 764. Реализация МКЭ для многосеточной модели снижает размерность СЛАУ приблизительно в 1 500 раз и требует в 8∙104 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели R4. Количество используемых КЭ уменьшается примерно в 52 500 раз. Заключение Из проведенных численных экспериментов следует, что использованные ТрКЭ порождают последовательности решений, которые асимптотически стремятся к точному решению данной задачи. Предложенный метод является эффективным средством апостериорной оценки погрешностей решений при использовании МнКЭ, и дополняет традиционный анализ допустимых напряжений и перемещений в отдельных точках конструкции.
1. Akin J. E. Finite element analysis with error estimators. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. 512 p.
2. Reddy J. N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis. New York: CRC Press, 2004. 831 r.
3. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. 715 p.
4. Golovanov A. I., Tyuleneva O. I., Shigabutdinov A. F. Metod konechnyh elementov v statike i dinamike tonkostennyh konstrukciy. M.: Fizmatlit, 2006. 392 s.
5. Kuz'min M. A., Lebedev D. L., Popov B. G. Raschety na prochnost' elementov mnogosloynyh kompozitnyh konstrukciy. M.: Izd-vo MGTU, 2012. 341 s.
6. Matveev A. D., Grishanov A. N. Raschet kompozitnyh cilindricheskih obolochek s primeneniem mnogosetochnyh elementov // Vestn. Sib. gos. aerokosm. un-ta. 2016. № 3. S. 587-594.
7. Matveev A. D., Grishanov A. N. Trehmernye kompozitnye mnogosetochnye konechnye elementy obolochechnogo tipa // Izv. Altays. gos. un-ta. 2017. № 4. S. 120-125.
8. Matveev A. D., Grishanov A. N. Multigrid finite elements in the calculations of multilayer cylindrical shells // Siberian Journal of Science and Technology. 2018. N. 1. P. 27-36.
9. Gratsch T., Bathe K.-J. A posteriori error estimation techniques in practical finite element analysis // Computers and Structures. 2005. Vol. 83. P. 235-265.
10. Frolov M. E. Realizaciya funkcional'nogo podhoda k aposteriornomu kontrolyu tochnosti resheniy trehmernyh zadach teorii uprugosti // Nauch.-tehn. vedom. Sankt-Peterb. gos. politehn. un-ta. Ser.: Fiz.-mat. nauki. 2011. № 2. S. 137-142.
11. Korneev V. G. Prostye algoritmy vychisleniya klassicheskih aposteriornyh ocenok pogreshnosti chislennyh resheniy ellipticheskih uravneniy // Uch. zap. Kazan. un-ta. Ser.: Fiz.-mat. nauki. 2011. № 4. S. 11-27.
12. Frolov M. E. O realizacii kontrolya tochnosti resheniy ploskih zadach teorii uprugosti pri pomoschi smeshannyh konechnyh elementov // Vychislitel'naya mehanika sploshnyh sred. 2014. № 1. S. 73-81.
13. Ainsworth M., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. New York: John Wiley & Sons, 2000. 240 p.
14. Szabo B., Babuska I. Introduction to finite element analysis: Formulation, verification and validation. New York: John Wiley & Sons, 2011. 364 p.
15. Babuska I., Whiteman J. R., Strouboulis T. Finite elements. An introduction to the method and error estimation. Oxford: Oxford University Press, 2011. 336 p.
16. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1987. Vol. 24. P. 337-357.
17. Ainsworth M., Zhu J. Z., Craig A. W., Zienkiewicz O. C. Analysis of the Zienkiewicz-Zhu a-posteriori error estimator in the finite element method // Int. J. Numer. Methods Eng. 1989. Vol. 28. P. 2161-2174.
18. Yunus S. M., Pawlak T. P., Wheeler M. J. Application of the Zienkiewicz-Zhu error estimator for plate and shell analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1990. Vol. 29. P. 1281-1298.
