SYNTHESIS OF LINEAR MULTICHANNEL REGULATORS USING STRUCTURAL TRANSFORMATIONS
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 4
, 2017
Rubrics: MANAGEMENT, MODELING, AUTOMATION
Authors:
1.
Novosibirsk State Technical University
2.
Novosibirsk State Technical University
Type:
Article
Pages:
from 7
to 20
Status:
Published
Received:
05.10.2017
Accepted:
25.10.2017
Published:
25.10.2017
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 681.513
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 681.513
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
linear multi-channel systems, automatic control systems, regulator synthesis, matrix polynomial representation, structural transformations, unimodal matrices
Abstract (English):
The paper considers the problem of using left and right matrix polynomial decompositions in the synthesis of regulators using modal method. The left matrix polynomial expansion is assumed. In the synthesis of regulators, the complexity of computations essentially increases when the inequality of the column/row degrees of the polynomial matrix of the "denominator" of the object. After transition from the left matrix polynomial expansion tothe right one, the authors propose to accomplish a number of unimodal transformations of the matrix of the object’s "denominator", which will result in bringing unimodal matrices into different sections of a structure chart. In this case, equivalent transformations are performed. They "equalize" the column/row degrees of the polynomial matrix of the "denominator" of the object (in order to retain equivalence there are introduced at once two unimodal matrices, opposite to each other). The proposed technique is illustrated by the example of a two-channel system corresponding to a dynamical system, which, in its turn is corresponding to a three-mass system with springs.
The paper considers the problem of using left and right matrix polynomial decompositions in the synthesis of regulators using modal method. The left matrix polynomial expansion is assumed. In the synthesis of regulators, the complexity of computations essentially increases when the inequality of the column/row degrees of the polynomial matrix of the "denominator" of the object. After transition from the left matrix polynomial expansion tothe right one, the authors propose to accomplish a number of unimodal transformations of the matrix of the object’s "denominator", which will result in bringing unimodal matrices into different sections of a structure chart. In this case, equivalent transformations are performed. They "equalize" the column/row degrees of the polynomial matrix of the "denominator" of the object (in order to retain equivalence there are introduced at once two unimodal matrices, opposite to each other). The proposed technique is illustrated by the example of a two-channel system corresponding to a dynamical system, which, in its turn is corresponding to a three-mass system with springs.
Keywords:
linear multi-channel systems, automatic control systems, regulator synthesis, matrix polynomial representation, structural transformations, unimodal matrices
linear multi-channel systems, automatic control systems, regulator synthesis, matrix polynomial representation, structural transformations, unimodal matrices
Введение В последнее десятилетие наряду с традиционными методами синтеза многоканальных линейных систем, таких как синтез в пространстве состояний и на основе матричных передаточных функций, получили развитие методы синтеза на основе полиномиального матричного левого/правого разложения объекта и регулятора [1, 2]. Синтез регуляторов в многоканальных системах при использовании полиномиальных представлений существенно усложняется в случаях, когда столбцовые/строчные степени полиномиальной матрицы знаменателя существенно отличаются. Для упрощения синтеза регуляторов предлагается перед этапом синтеза регулятора произвести серию эквивалентных преобразований полиномиального представления объекта с целью выравнивания столбцовых/строчных степеней полиномиальной матрицы знаменателя. В упрощенном варианте это можно представить как введение единичной матрицы на входе/выходе структурной схемы объекта, а также между матрицами «знаменатель - числитель» объекта. Затем единичную матрицу представляем как произведение полиномиальной матрицы на ее обратную и, далее, эти матрицы объединяем с предыдущей или последующей матрицами. Для того чтобы не выходить из множества полиномиальных матриц при разложении единичной матрицы на полиномиальные матрицы, используем унимодальные матрицы, отличительной особенностью которых является равенство детерминанта вещественному числу. Предлагаемая методика иллюстрируется на примере двухканальной системы, соответствующей динамической системе, которая, в свою очередь, соответствует трехмассовой системе с пружинами. Постановка задачи Цель исследования - существенно облегчить процедуру синтеза многоканальных регуляторов, используя унимодальные матрицы (unimodal matrices) как средство, позволяющее осуществлять эквивалентные преобразования объекта и регулятора, выравнивать столбцовые/строчные степени полиномиальных матричных описаний. К такой постановке задачи прийти несложно, если проанализировать примеры синтеза линейных многоканальных систем в случаях, когда вышеупомянутые степени полиномиальной матрицы знаменателя объекта значительно отличаются [3-9]. Для того чтобы преобразования были эквивалентными, при введении унимодальной матрицы необходимо ввести обратную унимодальную матрицу. Использование такого вида эквивалентных преобразований возможно для многоканальных линейных систем, использующих полиномиальное матричное представление. Возможность использования таких преобразований - это отличительная особенность полиномиального представление именно для многоканальных систем. Сложность введения таких унимодальных матриц состоит в необходимости «угадать» вид этих матриц. Эта проблема легко решается, если иметь некоторый опыт по использованию унимодальных матриц. Например, достаточно проанализировать несколько примеров вычисления правого полиномиального разложения по левому разложению [3-11]. Использование унимодальных матриц в многоканальных системах как средство осуществления эквивалентных преобразований Пусть задан объект в виде левого матричного полиномиального разложения объекта [4-7]: (1) Структурная схема, приведенная на рис. 1, соответствует формуле (1). Рис. 1. Структурная схема многоканального объекта, представленная в виде левого матричного полиномиального разложения Далее, для экономии места и наглядности в формулах и на рисунках, переменные, например , будем записывать без аргумента s. По левому разложению найдем правое матричное полиномиальное разложение [3-7, 10]. Для этого составляется блочная матрица из и : (2) над строчками и столбцами которой выполняются элементарные операции, соответствующие умножению матрицы (2) слева на унимодальные матрицы. В результате получим полиномиальную матрицу, являющуюся наибольшим общим матричным полиномиальным делителем и . Кроме того, совокупность унимодальных матриц позволяет вычислить правое матричное полиномиальное разложение объекта и . Таким образом, нами получена матричная передаточная функция объекта в виде откуда можно записать связь «вход - выход»: (3) Следует отметить, что получено взаимно простое правое разложение. Формуле (3) соответствует структура, приведенная на рис. 2. Рис. 2. Структурная схема многоканального объекта, представленная в виде правого матричного полиномиального разложения В качестве объекта возьмем левое матричное полиномиальное разложение: , соответствующее объекту, который состоит из трех масс и соединяющих их пружин с нулевым коэффициентом демпфирования. Для синтеза необходимо привести правое полиномиальное матричное разложение объекта, для вычисления которого мы воспользовались процедурой, описанной в [4-7]. . Для данного объекта имеем два управляющих сигнала - силы и , приложенные к массам и , и два выхода, соответствующие координатам и грузов и . В матрице столбцовые/строчные степени равны 2 и 4, что, по-видимому, может приводить к значительному усложнению процедуры расчета регуляторов, обеспечивающих, например, заданное расположение полюсов системы. Попытаемся при помощи структурных преобразований многоканальной линейной системы выравнять столбцовые/строчные степени матрицы . Выравнивание столбцовых/строчных степеней Dr(s) В структурную схему объекта (рис. 2) добавим две унимодальные матрицы - и . В результате получим структурную схему (рис. 3). Рис. 3. Структурная схема объекта после введения единичной матрицы На рис. 3 блок слева, выделенный штриховой линией, соответствует передаточной функции , которую обозначим как , т. е. . Для второго выделенного блока (по аналогии) передаточная функция равна , обозначим ее как , т. е. . Таким образом, структурная схема на рис. 3 преобразована в структуру, приведенную на рис. 4. Рис. 4. Структурная схема объекта после введения унимодальных матриц и Проведем масштабирование матриц и , а именно первые столбцы матриц и поделим на 16 и первые столбцы этих матриц умножим на и прибавим ко вторым столбцам, что в дальнейшем позволит избавиться от четвертой степени s в матрице . Соответствующая матрица приведена в вычислениях ниже: . В результате умножения матриц получим В структурную схему, представленную на рис. 4, добавим единичную матрицу, соответствующую произведению двух унимодальных матриц: . Соответствующая структурная схема приведена на рис. 5. Рис. 5. Преобразованная структурная схема на рис. 4 после введения двух унимодальных матриц Передаточная функция части структурной схемы, выделенной штриховой линией, равна . Выше мы перемножили матрицы и и полученное произведение назвали Таким образом, в матрицу вошли матрицы и . В соответствии с рис. 5 передаточная функция объекта после введения унимодальных матриц и равна (4) Тогда формула (4) преобразуется следующим образом: . (5) После перемножения матриц (5) получим , (6) что соответствует структурной схеме, представленной на рис. 6. Это легко обосновать, если вернуться к рис. 5. Рис. 6. Структурная схема объекта после выполнения унимодальных операций Таким образом, в результате ряда унимодальных операций, соответствующих эквивалентным структурным преобразованиям многоканальной системы, которая представлена в виде матричного полиномиального разложения, получен требуемый результат: степени столбцов и строк матрицы оказались равными трем (6).Таким образом, задача выравнивания степеней решена. Однако описание объекта отличается от правого матричного полиномиального разложения дополнительным множителем . Синтез регулятора В соответствии с рис. 6 передаточная функция объекта равна Временно забудем про матрицу (на входе объекта) и будем считать, что передаточная функция объекта, представленная в виде правого матричного полиномиального представления, равна Пусть матричная передаточная функция регулятора в виде левого матричного полиномиального представления имеет следующий вид: Как известно, характеристический матричный полином системы (на входе объекта не учитываем матрицу!) может быть записан следующим образом [3-7]: , (7) где как обозначен характеристический матричный полином системы. Если учтем, что объект двухканальный (откуда следует, что и регулятор двухканальный), можем получить матрицы - полиномы знаменателя и числителя регулятора: , , где элементы матриц и - полиномы. Потребуем автономности каналов системы автоматического управления, т. е. характеристическая матрица системы должна быть диагональной: . Из уравнений (6) несложно получить матрицы и в виде матричных полиномов , . (8) Воспользуемся уравнением (6) и запишем матрицы и , где и : , , , , (9) , , . Учтем размеры матриц в (7) и подставим значения матриц и : Зададим степени матриц и минимальными: , (10) . (11) Так как степень полиномиальной матрицы равна трем, а степень полиномиальной матрицы равна единице, выбираем степень характеристической матрицы равную четырем: (12) В формуле (12) звездочками помечены элементы, которые определяют характеристические полиномы первого и второго каналов. Эти полиномы будут заданы ниже. Подставим (8), (10)-(12) в (7): (13) Раскроем уравнение (13): . Приравняв коэффициенты членов полиномов в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений, которую можно записать в матричном виде: . (14) Здесь , , (15) . (16) Таким образом, нами получена система матричных уравнений с четырьмя матричными неизвестными и пятью матричными уравнениями. Подставим значения и из (9) в (16): . (17) В строчке над матрицей указаны номера столбцов, а в столбце справа от матрицы - номера строчек матрицы. Ранг матрицы равен восьми, откуда следует, что есть линейно зависимые столбцы. Если, например, выбросим первый столбик из матрицы , то произведение из матрицы размерами станет матрицей размерами и, соответственно, матрица в правой части уравнения (14) размерами станет матрицей размерами. Можно проверить, действительно ли, если у матрицы выбросить столбцы 1 и 2, то ранг остается равным восьми. Матрица имеет размеры . При этом матрица «укоротится» на первый и второй столбцы и будет размерами . После вычеркивания столбцов у матрицы и матрицы назовем их и соответственно. Таким образом, уравнение (14) преобразовано в невырожденное уравнение . (18) Обусловленность и значение детерминанта матрицы удовлетворительные: , . В уравнение (18) подставим , из (15) и матрицу , полученную вычеркиванием первого и второго столбцов матрицы : В строчке над матрицей отсутствуют номера 1 и 2, что соответствует вычеркиванию этих столбцов из матрицы . Осталось подставить матрицы . Зададим полюса у первого и второго контуров равными , что соответствует характеристическим полиномам . Кроме того, потребуем автономности контуров, из чего следует, что желаемая характеристическая матрица системы имеет следующий вид: . Найдем параметры регулятора из уравнения (18): . В результате вычислений получим . Нашли матрицы регулятора , и , . Выпишем полиномиальные матрицы и с точностью два знака после запятой: , . Кратко эти матрицы могут быть записаны следующим образом: , . (19) Найдем полюса регулятора, для чего вычислим определитель матрицы : откуда получаем полюса . Сделаем проверку, а именно, зная матрицы и , вычислим их произведение: . Другими словами, . Но , т. е. мы вычислили характеристическую матрицу системы, в которой числа, существенно меньшие единицы, заменены на нули. Матрицы и приведены с точностью два знака после запятой. Такое округление допустимо, т. к. при учете большего числа знаков коэффициенты полинома и значения корней меняются незначительно. Вспомним, что на входе объекта была матрица (рис. 6). Для того чтобы учесть эту матрицу, но сохранить эквивалентность этих схем, на выходе регулятора добавим матрицу . На структурной схеме (рис. 7) приведен регулятор с учетом унимодальной матрицы . Сначала выпишем регулятор с учетом формулы (19): Здесь выходной сигнал - , а если учесть матрицу , то формула реализации регулятора будет иметь следующий вид: (20) Данная схема реализуемая, т. к. . Реализация алгоритма управления (20) приведена на структурной схеме (рис. 7). Рис. 7. Структурная схема регулятора с учетом Последний блок на структурной схеме вставлен из-за того, что в структурной схеме на рис. 6 слева стоит матрица , а для компенсации на выходе регулятора нами было вставлено звено . Выходной сигнал регулятора равен . (21) Преобразуем уравнение (21)таким образом, чтобы представить через линейную комбинацию и : , откуда , или . Для окончательного решения введем числовую матрицу , тогда . Получили требуемое представление: . (22) Преобразуем структурную схему на рис. 7 с учетом (22) и с учетом элементарных структурных преобразований. Преобразованная структурная схема показана на рис. 8. Рис. 8. Структурная схема регулятора с учетом после структурных преобразований Вернемся к модели объекта (рис. 1-6). Для моделирования объекта воспользуемся левым разложением. Но ввиду неравенства столбцовых/строчных степеней матрицы матричное структурное представление объекта для левого разложения нереализуемо. Для выравнивания степеней можно воспользоваться эквивалентными структурными преобразованиями, аналогичными преобразованиям над . После ряда эквивалентных преобразований можно получить еще один вид структуры, соответствующей данному объекту (рис. 9). Рис. 9. Структурная схема объекта в виде левого матричного полиномиального представления после ряда эквивалентных преобразований Матричное структурное моделирование объекта стало возможным после выравнивания столбцовых степеней. Другими словами, . Значения матриц , и имеют следующие значения: , , , , , , , . В структурной схеме системы (рис. 10) для моделирования объекта используется структура, приведенная на рис. 9, а для моделирования регулятора - на рис. 8. Рис. 10. Структурная схема системы регулирования Переходные процессы системы на рис. 10 для и приведены на рис. 11. Рис. 11. Переходные процессы системы На рис. 11 графики, отмеченные цифрой 1, соответствуют первому выходу системы, а цифрой 3 - второму выходу системы. Для сравнения приведен выход системы с передаточной функцией по каждому каналу. Из рис. 11 следует, что время переходного процесса соответствует заданному. Следует обратить внимание на то, что статический режим является неудовлетворительным ввиду статизма системы. Для удовлетворительного поведения системы в статическом режиме надо либо ввести интегратор в регулятор, либо повысить степень регулятора с целью обеспечить достаточно большой коэффициент усиления разомкнутой системы. Заключение При решении задачи синтеза регуляторов в многоканальных линейных системах при использовании полиномиальных матричных разложений, как следует из анализа примеров расчета регуляторов, задача существенно усложняется при существенном различии столбцовых степеней матрицы знаменателя объекта. Чтобы упростить решение этой задачи, предложено использовать новый вид структурных преобразований многоканальных систем, сводящийся к введению унимодальных матриц в различные участки структурной схемы. Для сохранения эквивалентности вводятся сразу две унимодальные матрицы, взаимно обратные друг другу. Унимодальные матрицы при работе с матричными полиномами используются давно (например, вычисление правого полиномиального разложения по левому и наоборот). Работ с использованием унимодальных матриц с целью эквивалентных структурных преобразований обнаружено не было, что подтверждает актуальность предпринятого исследования.
1. Gayduk A. R., Kolokolova K. V. Sintez sistem avtomaticheskogo upravleniya neustoychivymi mnogomernymi ob'ektami // Nauch. vestn. Novosibirsk. gos. tehn. un-ta. 2017. № 1 (66). S. 26-40.
2. Gayduk A. R. Teoriya i metody analiticheskogo sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya (polinomial'nyy podhod). M.: Fizmatlit, 2012. 360 s.
3. Voevoda A. A. Matrichnye peredatochnye funkcii (Osnovnye ponyatiya). Konspekt lekciy po kursu «Proektirovanie sistem upravleniya» dlya 4-5 kursov AVTF; pod red. A. S. Vostrikova. Novosibirsk: NGTU, 1994. 94 s.
4. Voevoda A. A., Shoba E. V. O razreshimosti zadachi avtonomizacii mnogokanal'noy sistemy. Ch. 1 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2010. № 2 (60). S. 9-16.
5. Voevoda A. A., Shoba E. V. O razreshimosti zadachi avtonomizacii mnogokanal'noy sistemy. Ch. 2 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2010. № 3 (61). C. 41-50.
6. Voevoda A. A., Shoba E. V. O razreshimosti zadachi avtonomizacii mnogokanal'noy sistemy. Ch. 3 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2010. № 4 (62). C. 3-12.
7. Voevoda A. A., Shoba E. V. O razreshimosti zadachi avtonomizacii mnogokanal'noy sistemy. Ch. 4 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2011. № 3 (65). C. 11-18.
8. Shoba E. V. Modal'nyy metod sinteza mnogokanal'nyh dinamicheskih sistem s ispol'zovaniem polinomial'nogo razlozheniya: dis. … kand. tehn. nauk. Novosibirsk: NGTU, 2013.192 s.
9. Voronoy V. V. Polinomial'nyy metod rascheta mnogokanal'nyh regulyatorov ponizhennogo poryadka: dis. … kand. tehn. nauk. Novosibirsk: NGTU, 2013. 173 s.
10. Shoba E. V. Raschet dvuhkanal'nogo regulyatora dlya stabilizacii polozheniya kabiny lifta s uchetom zhestkosti kanata i dvumya upravlyayuschimi vozdeystviyami // Sb. nauch. tr. NGTU. 2012. № 4 (70). S. 45-52.
11. Shoba E. V. Raschet mnogokanal'nogo regulyatora dlya podderzhaniya zadannoy temperatury v kamere polimernoy pokraski // Sb. nauch. tr. NGTU. 2012. № 4 (70). S. 53-60.
