INTERPRETATION OF THE CLASSICAL TRANSFORMER AS AN AUTOMATIC CONTROL SYSTEM
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
№ 2
, 2017
Rubrics: MANAGEMENT, MODELING, AUTOMATION
Authors:
1.
Kazan State Power Engineering University
2.
Kazan State Power Engineering University
3.
Kazan State Power Engineering University
4.
Kazan State Power Engineering University
Type:
Article
Pages:
from 136
to 144
Status:
Published
Received:
05.04.2017
Accepted:
25.04.2017
Published:
25.04.2017
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.313
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.313
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
transformer, magnetic core, magnetic flux, magnetization curve
Abstract (English):
The article sets out reasons for necessity to use basic principles and rules of the theory of automatic control with respect to processes that take place in a typical transformer. The authors state that transformers can be referred to self-adjusting automated control systems. The article describes a transformer operating into resistive load. There are given equations describing current processes. In the course of the equation solving normal magnetization curve of the core material was taken as a magnetic characteristic. Equation solving is based on a linear part of a magnetization curve in view of the fact that degree of magnetization depends of the core material. Equation solving was carried out in the form of Laplace transform, structural-dynamic diagrams were built using principles of the automatic control theory. The authors infer that transformer magnetic core upgrading is one of the ways to add linearity to nonlinear characteristics of the transformer, which helps enhance its performance.
The article sets out reasons for necessity to use basic principles and rules of the theory of automatic control with respect to processes that take place in a typical transformer. The authors state that transformers can be referred to self-adjusting automated control systems. The article describes a transformer operating into resistive load. There are given equations describing current processes. In the course of the equation solving normal magnetization curve of the core material was taken as a magnetic characteristic. Equation solving is based on a linear part of a magnetization curve in view of the fact that degree of magnetization depends of the core material. Equation solving was carried out in the form of Laplace transform, structural-dynamic diagrams were built using principles of the automatic control theory. The authors infer that transformer magnetic core upgrading is one of the ways to add linearity to nonlinear characteristics of the transformer, which helps enhance its performance.
Keywords:
transformer, magnetic core, magnetic flux, magnetization curve
transformer, magnetic core, magnetic flux, magnetization curve
Введение Процессы, происходящие в классическом трансформаторе, работающем на активную нагрузку, вызывают много вопросов, убедительные ответы на которые до сих пор не найдены. Об этом свидетельствуют следующие примеры. 1. В основу работы трансформаторов положен принцип вычитания магнитных потоков, но, как это следует из формул, которые будут приведены ниже, фаза тока во вторичной обмотке зависит от значения нагрузки. Поскольку фаза тока, порождающая магнитный поток, определяет фазу последнего, можно сделать вывод, что токи в первичной и вторичной обмотках, разные по фазе, не могут создавать противофазные магнитные потоки, т. е. можно говорить о нарушении принципа вычитания магнитных потоков. 2. При включении трансформатора с нагрузкой (или даже без нагрузки) отмечаются скачки тока в первичной обмотке. Возникает вопрос: где не работает первый закон коммутации - в трансформаторе или просто в обмотке с магнитопроводом и почему? В этой связи возникла необходимость использовать применительно к процессам, происходящим в классическом трансформаторе, основные законы и правила теории автоматического управления, благодаря достижениям которой удается спроектировать точные или даже сверхточные системы управления (в технической литературе эти системы в последнее принято называть прецизионными). Целью нашего исследования явилось обоснование принципа работы трансформатора с точки зрения с теории автоматического управления и методики решения вопросов, связанных с намагниченностью трансформатора. Возможный способ рассмотрения работы трансформатора при определённых значениях индуктивности и тока На рис. 1 приведена схема трансформатора, которая положена в основу последующего анализа. Согласно [1], уравнения классического трансформатора, изображенного на рис. 1, имеют следующий вид: (1) где u1, u2 - напряжение в функции времени на первичной и вторичной обмотках соответственно; i1, i2 - ток в первичной и вторичной обмотках; Ｌ1, L2 - индуктивность первичной и вторичной обмоток; - коэффициент взаимной индуктивности трансформатора; ω - угловая частота; R1, R2 - активное сопротивление первичной и вторичной обмоток трансформатора. В системе уравнений (1) все параметры, кроме R1 и R2, являются функциями времени, в том числе и значения индуктивности в обмотках. Например, если (2) то (3) где L0 - индуктивность магнитопровода, которая определяется материалом магнитопровода; L1 - индуктивность обмотки, зависящая ещё и от значения тока, протекающего по ней. На рис. 1 электрические параметры (напряжений, токов) указаны в действующих значениях. Рис. 1. Схема трансформатора Индуктивности L1, L2 определяют ориентацию магнитных спин-атомов материала магнитопровода в направлении магнитных полей, порождаемых токами, протекающими по обмоткам. Члены в системе уравнений (1) вида L1ωi1, L2ωi2 определяют постоянную составляющую намагниченности магнитопровода, относительно которой происходит изменение индуктивности по гармоническому закону. Полярность постоянной составляющей намагниченности зависит от начальной фазы тока в первичной обмотке [2]. Поскольку индуктивность всегда препятствует изменению тока, то ее установившееся значение может быть достигнуто только через n периодов, т. е., проинтегрировав выражение (2) от нуля до nТ, где Т - время одного периода, с, можно получить среднее установившее значение индуктивности при заданном токе: (4) где индекс 01 указывает на конкретную амплитуду тока, протекающего по обмотке. Аналогичное решение можно получит и для L2. Для последующего решения системы уравнений (1) преобразуем по Лапласу, т. е. (5) где S - оператор Лапласа; U1, U2, I1, I2 - напряжения и токи в изображении по Лапласу соответствующих обмоток. Согласно выражению (3), определитель системы имеет вид (6) Частные определители: где откуда (7) Приведенные выражения соответствуют случаю, когда 0 < Rн < ∞, т. е. нагрузка во вторичную цепь подключена и определяется зависимостью [3]: (8) При коротком замыкании вторичной обмотки наблюдается полное размагничивание магнитопровода, т. е. L1ω = L2ω = 0. Воспользовавшись известной формулой энергии магнитного поля для постоянного тока (9) и руководствуясь действующими значениями переменных токов и напряжений, находим: (10) откуда , где L10, L20 - статические значения индуктивности первичной и вторичной обмоток, измеренной классическим LC-метром при трансформаторе, отключенном от первичной цепи и нагрузки. Согласно выражениям (4)-(6), активные сопротивления обмоток R1, R2 проявят себя как в виде активных потерь, так и в виде потерь в стали магнитопровода - по причине создания дополнительных смещений по фазам между токами и напряжениями. Тем не менее, с целью сокращения записи и выявления общих динамических свойств трансформатора, рассмотрим идеальный случай, т. е. будем предполагать, что R1 = R2 = 0. В этом варианте выражения для токов Ι1, Ι2 в изображении по Лапласу, согласно (5), примут следующий вид: (11) где , . Примем, что . Тогда, переходя от изображения по Лапласу к оригиналу, получим: (12) (13) где (14) U1 - действующее значение в первичной обмотке. Ток холостого хода трансформатора (при Rн = ∞) рассчитывается по выражению (15) где Если в формулы (8)-(10) подставить данные параметров, которые были получены нами на основе экспериментальных исследований трансформатора ТАН-56, то результаты расчета при ωL10 >> R1 и ωL20 >> R2 будут совпадать с данными эксперимента и окажутся достаточно близкими, когда ωL10 = R1, ωL20 = R2. Индуктивность L10, L20 получила название статической. Она измеряется обычным LC-метром при полностью отключенном трансформаторе: L10 - статическая индуктивность первичной обмотки, L20 - вторичной обмотки. Они могут быть определены экспериментально. При изменении напряжения на первичной обмотке (при отключенной нагрузке, Rн = ∞) будет изменяться ток холостого хода I1х. При каком-то значении этого тока (I10) индуктивность обмотки окажется равной L10, измеренной с помощью LC-метра. Дальнейшее увеличение напряжения на первичной обмотке будет связано с резким увеличением тока в первичной обмотке при сохранении коэффициента трансформации, что свидетельствует о полной магнитной насыщенности магнитопровода. Значение тока I10 в первичной обмотке должно быть отправным моментом при исследовании трансформатора в режиме короткого замыкания и при расчете нагрузки Rн. Реальный ток в первичной обмотке I1 должен удовлетворять условию I1 ≤ I10, лучшее I1 = I10. Согласно выражениям (8)-(10) и результатам экспериментальных исследований [1, 4-6], трансформатор имеет лучшие технические характеристики, когда индуктивность L1, обусловленная первичной обмоткой, имеет большее значение, чем индуктивность L2. В общем случае индуктивность определяется выражением где N - число витков обмотки, размещенной на магнитопроводе; μ - абсолютная магнитная проницаемость материала магнитопровода; S - площадь сечения; l - средняя длина магнитопровода. Из выражения (11) следует, что заданную индуктивность можно обеспечить различным способами. В принятой в настоящее время теории проектирования трансформатора используются в основном два понятия - габаритная мощность и число витков в обмотках. Вместе с тем экспериментально установлено, что если избегать прямых углов при пересечении ярм магнитопроводов и увеличить площадь их поперечных сечений, то за счет округления и увеличения площади сечения обмоток удаётся повысить индуктивность до 15 %. Это снимает многие проблемы, и закономерно возникает вопрос, нельзя ли такой подход использовать в стационарных трансформаторах. На основании анализа решений уравнений (8)-(10) можно сделать следующие выводы: Во-первых, при включении трансформатора с нагрузкой (0 < Rн < ∞) должны отмечаться скачки тока в первичной обмотке. Согласно (7), при t = 0 ← ∆t, где ∆t → 0, ток i1(t) ≠ 0. Не равен нулю и ток во вторичной обмотке i2(t). Отметим, что отношение токов в переходном режиме (I2/I1) может в разы превышать их номинальное значение. При R1 = 0 для тока холостого хода (10) такие скачки нехарактерны. При этом следует иметь в виду начальную фазу напряжения, подключаемого к первичной обмотке: в момент коммутации трансформатора оно может определиться как u1(t) = Uм sin ωt, а вполне возможно и u1(t) = Uм sin (ωt - 0), где 0 ˂ Θ < 160°. Другими словами, величина скачков токов может меняться при подключении трансформатора к одному и тому же напряжению U1 (рис. 1), но в разные моменты времени. Во-вторых, никакими изменениями индуктивности магнитопровода (11) невозможно изменить соотношение Т1/Т2, а следовательно, каким-то образом повлиять на динамические свойства трансформатора. В-третьих, по физике процессов, происходящих в трансформаторах, трансформаторы можно отнести к системам автоматического управления (САУ): есть потребитель (нагрузка Rн), нуждающийся в электрической энергии; есть источник энергии (первичная обмотка с протекающим током). В соответствии с нагрузкой меняется ток в первичной обмотке. Иначе говоря, процесс в трансформаторе можно рассматривать с позиции САУ, используя при этом правила и положения, сложившиеся в теории САУ. В частности, воспользуемся структурно-динамическим анализом, который позволяет выявить особенности систем и выработать соответствующие решения для достижения определенной технической цели. На рис. 2, в соответствии с зависимостями (12)-(15), приведена структурно-динамическая схема (СДС) трансформатора, где ток I12 - это ток I1, выраженный через ток I2, физический смысл которого заключается в том, что если I2 = 0, то и I12 = 0: (16) На СДС (рис. 2), как и в вышеприведенных формулах, не учтены активные сопротивления обмоток R1, R2. Их влияние на динамические свойства трансформатора по сравнению с влиянием индуктивных сопротивлений обмоток L1ω, L2ω незначительно. Тем не менее, согласно выражениям (11), они влияют на значения параметров Т1 и Т2, но практически не оказывают влияния на их отношение (Т1/Т2, или Т2/Т1). Из анализа СДС (без учета пунктирной связи по Wо.с (передача точной функции по обратной связи)) следует, что трансформатор, который рассматривается как САУ, имеет особенность, которая заключается в том, что в классических САУ обычно приходится иметь дело с отрицательными обратными связями (ООС) и крайне редко - с положительными обратными связями (ПОС). Последние используются, как правило, для поддержания энергетических возможностей систем (например, в электронных генераторах). Отметим, что ПОС в таких системах строго рассчитываются, в противном случае системы могут оказаться неустойчивыми, т. е. в итоге - саморазрушающимися. В трансформаторе токи в первичной и вторичной обмотках, согласно результатам, полученным в [2, 7-9], и формуле (16), связаны между собой ПОС - увеличение тока в одной обмотке ведет к увеличению тока в другой обмотке. Иначе говоря, трансформаторы можно отнести к классу самонастраивающихся САУ. Однако эта связь является нелинейной - при нагрузке Rн = ∞ ток холостого хода должен быть равным нулю или иметь какую-то минимальную величину; при увеличении тока в первичной обмотке этого не происходит. Следует отметить, что все это непосредственно связано с КПД (η) трансформаторов. Потери в трансформаторе определяются разностью электромагнитных энергий ΔW, порожденных токами в первичной Wэ1 и вторичной Wэ2 обмотках, т. е. где для удобства примем обозначения Δω = ΔW. Действующие значения токов I1, I2 в (12) рассчитываются по выражениям (7) и (8) в предположении, что переходный процесс закончился, т. е. (например, t = 6Т2). Рис. 2. Структурно-динамическая схема трансформатора Оптимизируя решение задачи, нетрудно показать, что наибольшим КПД трансформатора будет тогда, когда коэффициенты передачи по токам кi равны коэффициентам передачи (трансформации) по напряжениям к, т. е. . Это же подтверждается и экспериментальными данными (табл.). Экспериментальные данные Нелинейность трансформатора обусловлена нелинейностью основной кривой намагничивания, т. е. ограниченностью магнитной насыщенности магнитопровода трансформатора. Этот фактор способствует устойчивой работе трансформатора при наличии ПОС. Вместе с тем наибольшее значение КПД соответствует только одному значению тока. Если подсчитать среднее значение η за рабочий день, окажется, что оно не превысит 0,8. Для современного состояния науки и техники такие потери недопустимы. Исходя из вышеизложенного, прежде всего следует стремиться к совершенствованию материала магнитопровода трансформатора, добиваться, чтобы в окрестности рабочей точки L0 [10] на кривой намагничивания, соответствующей номинальному току, выполнялось условие или при µ = В/Н, где Н - напряженность магнитного поля; В - магнитная индукция. Отметим, что В и Н в окрестности рабочей точки являются функциями тока [10, 11] и, соответственно, времени. Заключение Таким образом, нами предложен способ обеспечения линейности нелинейных характеристик классического трансформатора, который реализуется при выполнении равенства Отметим, что предложенный вариант не является единственным способом обеспечения линейности нелинейных характеристик трансформатора. В практике построения прецизионных САУ для решения таких задач используются ООС. В трансформаторостроении аналог такого подхода имеется [12]. Линейный трансформатор, запатентованный в 2006 г., выполнен по схеме СДС (рис. 2) с учётом обратной связи по вторичной обмотке, показанной на СДС пунктирной линией, где Wо.с - передаточная функция отрицательной обратной связи. Не вдаваясь в детали оценки Wо.с (насколько она оптимальна, как удачно выбраны (рассчитаны) ее параметры), отметим, что экспериментальные образцы трансформаторов, выполненные по такой схеме, имеют ток холостого хода в 2 раза меньше, чем при отсутствии Wо.с, и их КПД на 5-7 % выше. Надо полагать, что при отработке методики подхода к выбору передаточной функции Wо.с и расчету ее оптимальных параметров технические характеристики таких трансформаторов будут ещё более улучшены.
1. Vol'dek A. I., Popov V. V. Elektricheskie mashiny. Vvedenie v elektromehaniku. Mashiny postoyannogo toka i transformatory. SPb.: Piter, 2008. 320 s.
2. Grischenko A. V., Kozachenko E. V. Novye elektricheskie mashiny lokomotivov. M.: Ucheb.-metod. centr po obraz. na zheleznodor. transporte, 2008. 271 s.
3. Ivanov-Smolenskiy A. V. Elektricheskie mashiny: ucheb. dlya vuzov. M.: Izd-vo MEI, 2006. T. 1. 652 s; T. 2. 532 s.
4. Akimov E. G. Vybor asinhronnyh dvigateley obschego naznacheniya. Metodicheskie rekomendacii. M.: Izd-vo MEI, 2009. 29 s.
5. Kacman M. M. Spravochnik po elektricheskim mashinam. M.: Akademiya, 2005. 458 s.
6. Sechin V. I., Moiseeva O. V. Obmotki elektricheskih mashin i transformatorov. Habarovsk: Izd-vo DVGUPS, 2008. 166 s.
7. Ignatovich V. M., Royz Sh. S. Elektricheskie mashiny i transformatory. M.: Yurayt, 2016. 182 s.
8. Bespalov V. Ya., Kotelenec N. F. Elektricheskie mashiny. M.: Akademiya, 2006. 316 s.
9. Konoplev K. G. Impul'snoe regulirovanie sinhronnyh generatorov. Sevastopol', SevNTU, 2008. 258 s.
10. Kacman M. M. Elektricheskie mashiny. M.: Vyssh. shk.; Akademiya, 2001. 463 s.
11. Grischenko A. V., Strekopytov V. V. Elektricheskie mashiny i preobrazovateli podvizhnogo sostava. M.: Akademiya, 2005. 319 s.
12. Pat. RF № 56064. Lineynyy transformator / Ermakov I. I., Kiselev V. V., Mulyukin K. N., Popov Yu. I.; zayavl. 15.05.2006; opubl. 27.08.2006.
