SOLUTION OF ILL-CONDITIONED MODELS, DUAL TO LEONTIEV - FORD’S MODEL, TAKING INTO ACCOUNT THE DISPOSAL OF HAZARDOUS WASTES
Authors:
1.
Karachai-Cherkess State University named after U. D. Aliev
Type:
Article
Pages:
from 87
to 93
Status:
Published
Received:
05.07.2016
Accepted:
25.07.2016
Published:
25.07.2016
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.8
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.8
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
dual model, regularization method, analysis of profitability
Abstract (English):
The paper presents a model, dual to Leontiev - Ford’s model, taking into account the disposal of hazardous wastes. The case, when in practice while constructing the model its elements can be defined inaccurately, that can greatly affect the result of the solution, is studied. The technique of non-negative solution of the described model by means of regularization method (by A. N. Tikhonov) for those cases, when it is ill conditioned, is developed. The efficiency of the chosen method of solution is shown. Based on the methodology, the algorithm of non-negative solution of the studied model is developed. Software implementation of this algorithm in the form of programming product "Regularized 3" in Delphi 7 is made. A detailed analysis of profitability of the balance model of the closed joint-stock company "Karachai brewery" based on the software product "Regularized 3", taking into account the funds spent on recycling allocated to the production of gross product and the money spent on the destruction of wastes, newly emerged in the course of recycling, is described. Software implementation of the results of the researches should be used for the detailed analysis of profitability of the balance model (of large size) of business entities in case of their ill-conditioning.
The paper presents a model, dual to Leontiev - Ford’s model, taking into account the disposal of hazardous wastes. The case, when in practice while constructing the model its elements can be defined inaccurately, that can greatly affect the result of the solution, is studied. The technique of non-negative solution of the described model by means of regularization method (by A. N. Tikhonov) for those cases, when it is ill conditioned, is developed. The efficiency of the chosen method of solution is shown. Based on the methodology, the algorithm of non-negative solution of the studied model is developed. Software implementation of this algorithm in the form of programming product "Regularized 3" in Delphi 7 is made. A detailed analysis of profitability of the balance model of the closed joint-stock company "Karachai brewery" based on the software product "Regularized 3", taking into account the funds spent on recycling allocated to the production of gross product and the money spent on the destruction of wastes, newly emerged in the course of recycling, is described. Software implementation of the results of the researches should be used for the detailed analysis of profitability of the balance model (of large size) of business entities in case of their ill-conditioning.
Keywords:
dual model, regularization method, analysis of profitability
dual model, regularization method, analysis of profitability
Введение В некоторых случаях, переработав отходы, появляющиеся во время производства полезной продукции, можно дополнительно получить полезную продукцию. В процессе такой переработки вновь появляются вредные отходы, подлежащие уничтожению. Как в первом, так и во втором случае необходимы некоторые затраты. На практике при разработке балансовой модели могут быть введены неточные исходные данные, что может привести к существенным изменениям полученных результатов. Согласно [1-4], такую задачу будем называть некорректно поставленной. В работах [1-3] при решении некорректно поставленных задач используется метод регуляризации Тихонова [4]. В этих работах предложены программные продукты, рассчитанные на решение задач большой размерности (до 1000). Их актуальность обосновывалось тем, что в отношении большой размерности задачи решались при построении матриц специально разработанным генератором матриц. Нам не удалось найти информации о программных продуктах, рассчитанных на решение задач большой размерности, с помощью которых можно было бы провести анализ прибыльности предприятия с учетом затрат на переработку производственных отходов и затрат на утилизацию отходов, появившихся при переработке старых. По всей видимости, эта задача не исследовалась. Постановка задачи Основными задачами исследования явились: - разработка методики неотрицательного решения модели, двойственной к модели Леонтьева - Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов, методом регуляризации Тихонова для тех случаев, когда модель плохо обусловлена; - разработка, на основании данной методики, алгоритма и его реализация в программе на языке программирования Delphi 7 «Regularized 3»; - численный анализ прибыльности балансовой модели хозяйствующего субъекта с помощью созданной программы. Описание модели Рассмотрим двойственную модель, учитывающую утилизацию вредных отходов, по аналогии с двойственной моделью, описанной в работе [1]. Пусть - вектор цен продуктов, производимых отраслями; - вектор стоимости утилизации вредных отходов, возникающих в процессе производства и подлежащих уничтожению для поддержания соответствующего уровня экологического состояния; - вектор добавленной стоимости; - вектор, характеризующий величину ущерба (измеряемого в денежных единицах), наносимого окружающей среде отходами, которые не могут быть ликвидированы; , , , , , - матрицы, транспонированные по отношению к матрицам , , , , , модели Леонтьева - Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов; - вектор издержек (затрат в денежных единицах) на производство товара; - вектор издержек на утилизацию вредных отходов, получаемых при выпуске полезного продукта; - вектор издержек при уничтожении вредных отходов; - вектор издержек затрат на утилизацию отходов; - вектор издержек на утилизацию вредных веществ, вновь получаемых при уничтожении старых; - вектор издержек объема вредных веществ, вновь получаемых при утилизации старых; - вектор общих издержек на производство товара и утилизацию вредных отходов, получаемых в процессе его производства; - вектор (суммарный) остаточной стоимости утилизации вредных отходов, оставшихся после переработки, и издержек на утилизацию вредных веществ, вновь получаемых при уничтожении старых. Приравнивая к , к , получим или (1) Система (1) называется моделью, двойственной к модели Леонтьева - Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов. Метод и результаты исследования Нижеописанная методика, как и в работах [1-3], будет опираться на результаты исследований плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений методом регуляризации. Модель (1) называется прибыльной, если имеет неотрицательное решение , т. е. . Формально модель (1) можно записать в виде , (2) где - блочный вектор: ; - квадратная матрица, которая состоит из четырех блоков: ; (3) - блочный вектор: . Из (2) следует, что , (4) где - единичная матрица тех же размеров, что и блочная матрица . По аналогии с работой [2] рассмотрим случай, когда при построении модели (4) на практике элементы блочной матрицы и элементы блочного вектора не могут быть заданы точно, т. е. случай, когда незначительные ошибки в определении элементов , существенно влияют на решение модели . Задачу построения такой модели, согласно [4], будем называть некорректно поставленной. Для удобства обозначим: , тогда (4) примет вид . (5) Будем предполагать, что вместо точных значений элементов блочной матрицы и блочного вектора имеем их приближенные значения , , т. е. . (6) Будем предполагать, что , . Здесь , . Для поиска приближенного решения модели (6) будем применять известный метод регуляризации Тихонова. Из [4, с. 94, 95; 5, с. 47] следует, что поиск решения (5) на базе модели (6) сводится к нахождению вектора , минимизирующего сглаживающий функционал (функционал Тихонова): , , (7) где - стабилизирующий функционал; - параметр регуляризации. Подставляя значение стабилизирующего функционала в (7), получим , , (8) При этом, как показано в [4, с. 94-97; 5, с. 46-48], существует один вектор валового выпуска , который может быть определен при всяком фиксированном из системы , . (9) Путем некоторых преобразований в формуле (9) получим , (10) Таким образом, чтобы найти приближенное решение системы (6), достаточно найти вектор валового выпуска , минимизирующего сглаживающий функционал , и соответствующее значение . При этом параметр регуляризации подбирается таким образом, чтобы решение было по возможности оптимальным в смысле удачного согласования левой и правой частей системы (6) (что определяется малостью невязки ) и устойчивости его вычисления (что связано с величиной стабилизатора ). Следует отметить, что чем меньше и , тем меньшим должно быть значение . Указанные результаты используем для построения алгоритма решения системы (5) методом регуляризации [1-3]: 1. Вводятся размерности , . 2. Вводится матрица (). 3. Вводится матрица (). 4. Вводится матрица (). 5. Вводится матрица (). 6. Вводится матрица (). 7. Вводится матрица (). 8. транспонируется в . 9. транспонируется в . 10. транспонируется в . 11. транспонируется в . 12. транспонируется в . 13. транспонируется в . 14. Вводится - вектор добавленной стоимости. 15. Вводится - вектор, характеризующий величину ущерба (измеряемого в денежных единицах), наносимого окружающей среде отходами, которые не могут быть ликвидированы. 16. Задается параметр регуляризации: . 17. Вычисляется . 18. Вычисляется . 19. Создается блочная матрица из (3). 20. Создается блочный вектор из векторов и . 21. Вычисляется . 22. Находится решение системы (10) при заданном значении параметра регуляризации . 23. Вычисляется значение минимизирующего сглаживающего функционала (8) при известных значениях параметра регуляризации и . 24. Задается параметр регуляризации: , . 25. Находится решение системы (9) при заданном значении параметра регуляризации . 26. Вычисляется значение минимизирующего сглаживающего функционала (8) при известных значениях параметра регуляризации и . 27. Если выполняется условие , то осуществляются действия, указанные в п. 29. 28. Если выполняется условие , то считается, что . 29. Задается параметр регуляризации , . 30. Находится решение системы (10) при заданном значении параметра регуляризации . 31. Вычисляется значение минимизирующего сглаживающего функционала (8) при известных значениях параметра регуляризации и вектора валового выпуска . 32. Если , то выполняются действия, указанные в п. 34. 33. Если , то считается, что . 34. Задается параметр регуляризации , . И так далее. Данный процесс продолжается до тех пор, пока на -м шаге не найдем , , при которых . В этом случае полагается и прекращается процесс вычислений. Разработанный алгоритм использован для создания программы «Regularized 3» на языке программирования Delphi 7. С помощью программы «Regularized 3» проведем численный анализ прибыльности модели ЗАО «Карачаевский пивзавод» г. Карачаевска Карачаево-Черкесской Республики. Из работ [1, 2] известно: ; ; ; . Допустим, что ; ; ; . Задав параметр регуляризации , введя значения , , , , , , в разработанную программу «Regularized 3», получим решение, приведенное на рисунке. Результат решения программы «Regularized 3» Из рисунка видно: - параметр регуляризации; - блочный вектор; - блочная матрица. Результат решения: . Таким образом, ЗАО «Карачаевский пивзавод» должен был произвести: пивоваренный цех - продукцию на сумму 52 348,8 тыс. руб., цех розлива пива - на сумму 150 776,2 тыс. руб., безалкогольный цех - на сумму 126 363,4 тыс. руб., цех розлива минеральной воды - на сумму 465 398,3 тыс. руб. Общий объём затрат, требуемых для уничтожения вредных отходов, составит 4 861,5 тыс. руб. Заключение Таким образом, в ходе исследования получены следующие результаты. 1. Разработана методика, позволяющая найти положительное решение некорректно поставленной задачи, что невозможно осуществить точными методами. 2. Предложен алгоритм, разработанный на основе методики. 3. Программную реализацию алгоритма можно применить для анализа прибыльности плохо обусловленных балансовых моделей, с учетом расходов, необходимых для переработки производственных отходов и утилизации отходов, вновь появившихся в процессе такой переработки. 4. Приведен конкретный пример применения программной реализации результатов исследования для анализа прибыльности предприятия.
1. Ashakova F. H., Laypanova Z. M. Reshenie modeli, dvoystvennoy k modeli Leont'eva - Forda, metodom regulyarizacii (po Tihonovu) // Gumanitarnye i social'no-ekonomicheskie nauki. 2016. № 1. S. 120-124.
2. Ashakova F. H. Analiz balansovoy modeli zakrytogo akcionernogo obschestva «Karachaevskiy pivzavod» metodom regulyarizacii // Gumanitarnye i social'no-ekonomicheskie nauki. 2014. № 5. S. 145-149.
3. Ashakova F. H. Analiz balansovyh modeley ekonomicheskih sub'ektov Karachaevo-Cherkesskoy Respubliki s primeneniem metoda regulyarizacii // Izv. Ros. gos. ped. un-ta im. A. I. Gercena. 2008. № 36. S. 15-17.
4. Tihonov A. N., Arsenin V. Ya. Metody resheniya nekorrektnyh zadach: ucheb. posobie dlya vuzov. M.: Nauka, 1986. 288 s.
5. Verzhbickiy V. M. Osnovy chislennyh metodov: ucheb. dlya vuzov. M.: Vyssh. shk., 2002. 840 s.
