METHODS OF MATHEMATICAL MODELING OF THERMODYNAMIC PROCESSES OF PISTON COMPRESSOR
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
Volume 2014 № 1
, 2014
Rubrics: MANAGEMENT, MODELING, AUTOMATION
Authors:
1.
Tambov State Technical University
2.
Tambov State Technical University
Type:
Article
Pages:
from 45
to 53
Status:
Published
Received:
05.01.2014
Accepted:
25.01.2014
Published:
25.01.2014
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.512/.513:536.7.001.57
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 31.762:22.317.24в631
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 621.512/.513:536.7.001.57
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 31.762:22.317.24в631
Language:
Russian
Keywords:
mathematical modeling, parameters of real gases, piston compressor, phase transitions
Abstract (English):
An approach to the mathematical modeling of thermodynamic processes of compression of gas or vapor in the cylinder of piston compressor with use of parameters of real gases is presented. A distinctive feature of this approach is an abandonment of equations of state, which are used in traditional models. Theses equations are replaced with the values obtained by interpolation of the experimental data for the individual substances of which the operational body is made. The mathematical model to determine the thermodynamic parameters of the operational body in the cylinder of piston compressor based on heat exchange with the structural members is developed.
An approach to the mathematical modeling of thermodynamic processes of compression of gas or vapor in the cylinder of piston compressor with use of parameters of real gases is presented. A distinctive feature of this approach is an abandonment of equations of state, which are used in traditional models. Theses equations are replaced with the values obtained by interpolation of the experimental data for the individual substances of which the operational body is made. The mathematical model to determine the thermodynamic parameters of the operational body in the cylinder of piston compressor based on heat exchange with the structural members is developed.
Keywords:
mathematical modeling, parameters of real gases, piston compressor, phase transitions
mathematical modeling, parameters of real gases, piston compressor, phase transitions
Введение Данное исследование посвящено разработке методики моделирования термодинамического состояния рабочего тела в цилиндре поршневого компрессора. Процесс сжатия рабочего тела в поршневом компрессоре в реальных условиях сопровождается целым комплексом взаимосвязанных явлений. К ним относятся: изменение объема, давления и температуры рабочего тела; изменение массы рабочего тела вследствие протечек через уплотнения; изменение фазового состава и массы газовой фазы при сжатии влажных паров; влияние тепловых эффектов фазовых переходов; теплообмен рабочего тела с конструкционными элементами. Данная проблема имеет большое практическое значение и неоднократно рассматривалась разными авторами. В зависимости от учитываемых параметров предложено множество разнообразных моделей, основанных на использовании подходящих для каждого конкретного случая уравнений состояния. Это уравнения состояния для идеальных газов или вириальные уравнения, которые, как правило, дают хорошие результаты в узкой области изменения параметров рабочего тела и практически непригодны для расчетов в областях с фазовыми переходами. При описании поведения газа в областях с фазовыми переходами или в окрестностях критических точек использование таких моделей приводит к систематическому накоплению ошибок вычисления и сводит на нет их применение для реальных расчетов. Именно поэтому решение данной проблемы остается одной из самых трудных и актуальных задач термодинамики. Отличительной особенностью предлагаемого подхода является отказ от уравнений состояния, использующихся в традиционных моделях, и их замена на значения, полученные интерполяцией экспериментальных данных для отдельных веществ, из которых состоит рабочее тело. Таким образом, при моделировании предлагается использовать только основные законы термодинамики, закон сохранения энергии и экспериментальные данные. В таком подходе есть свои плюсы и минусы. Минус в том, что мы отказываемся от хорошо известных уравнений состояния, описывающих поведение газов и жидкостей для большого количества веществ, и тем самым делаем шаг назад. Очевидно, что это приведет к излишней работе по поиску и обработке данных по термодинамическим свойствам веществ в различных агрегатных состояниях. Но, с другой стороны, при таком подходе: во-первых, увеличивается точность вычислений (т. к. вычислительные процедуры носят, как правило, итерационный характер, что приводит к накоплению ошибок вычислений при использовании классических уравнений состояния), а во-вторых, порой это единственный путь получить адекватное описание процессов с фазовыми переходами первого или второго рода с использованием параметров реальных газов. К настоящему времени накоплен огромный экспериментальный материал по свойствам веществ, представленный во многих справочниках и их электронных аналогах. Это, например, справочник Н. Б. Варгафтика, выдержавший множество изданий [1, 2]; электронные базы данных по теплофизическим свойствам веществ [3–5]. Современный уровень развития вычислительной техники позволяет получать прямой доступ к ним посредством использования облачных серверов [6]. Это позволяет достаточно легко преодолеть указанные выше недостатки. Методика моделирования термодинамических процессов с использованием параметров реальных газов Предлагаемая методика включает следующие этапы: 1. Поиск экспериментальных данных. Исходя из поставленных условий задачи, для каждого отдельного вещества, которое участвует в рассматриваемом процессе, производим поиск табличных зависимостей параметров состояния. 2. Обработка табличных зависимостей. Далее эти таблицы аппроксимируются аналитическими функциями. Если изначально удается оценить диапазон значений для температуры и давления, в котором будет решаться поставленная задача, то табличные данные берутся из этого диапазона с некоторым запасом. Это сильно упрощает таблицы, т. к. в большинстве справочников диапазон измеренных интервалов большой: например, давление принимает значения от 0,01 до 1000 атм, а температура – от 100 до 3000 К. Как известно, при фазовых переходах некоторые теплофизические характеристики, такие как плотность, вязкость, теплоемкость, претерпевают значительные скачкообразные изменения. В связи с этим возникает сложность аппроксимации данных характеристик и адекватного использования значений в математической модели, и поэтому для каждой задачи выбирается наиболее подходящий алгоритм аппроксимации (линейная, кубическая, сплайн-интерполяция), позволяющий без каких-либо существенных искажений использовать значения в данных областях. 3. Составление математической модели. Математическая модель включает полученные аппроксимационные зависимости, основные уравнения термодинамики и законы сохранения энергии. Таким образом, уравнения состояния заменяются аппроксимационными зависимостями табличных термодинамических параметров. В зависимости от конкретных условий в математической модели могут присутствовать дополнительные уравнения, учитывающие такие факторы, как теплообмен с конструкционными элементами, утечки рабочего тела через уплотнения, фазовые переходы, химические реакции и т. д. 4. Решение уравнений модели. Решение уравнений разработанной математической модели осуществляется итерационным методом, в результате чего определяются искомые параметры рабочего тела и энергетические характеристики текущих процессов. Рассмотрим этапы 1–4 более подробно на примере задачи определения термодинамических параметров водяного пара в цилиндре поршневого компрессора. Этап 1. Поиск экспериментальных данных На этом этапе (в соответствии с предложенной выше схемой) в качестве примера выбираем таблицы для теплоемкости воды и водяного пара [1] при различных значениях температуры и давления. Пример такой таблицы приведен на рис. 1. Рис. 1. Пример таблицы для теплоемкости воды и водяного пара (до обработки) Так как данные получены экспериментально, то значения представляют собой дискретный набор значений теплоемкости в зависимости от термодинамических параметров состояния. Этап 2. Обработка табличных зависимостей На этом этапе обрабатываем исходную таблицу и решаем вопрос, каким способом лучше всего произвести вычисление для промежуточных значений. Спектр возможностей достаточно велик – это разнообразные подходы по интерполяции и аппроксимации. Сложность в обработке данных таблиц состоит в том, что при фазовом переходе происходит существенный скачок значений теплофизических характеристик: так, например, значения теплоемкости для воды и пара (рис. 2) в непосредственной близости от линии фазового перехода отличаются в несколько раз. Рис. 2. Пример таблицы для теплоемкости воды и водяного пара (после обработки) Разобьем исходную таблицу на 2 части по линии фазового перехода. Принцип разбиения виден на рис. 2. Так, область, выделенная светлым серым, включает фазовый переход, а не выделенная область содержит параметры вещества только в одном фазовом состоянии. Обозначим эти зоны как I (светлый серый) и II. Для упрощения вычислений целесообразно для зоны II использовать метод простой линейной интерполяции. Изменение величин происходит равномерно, и данный метод дает высокую точность при вычислениях. Для зоны I линейная интерполяция неприемлема в связи с наличием разрыва первого рода. В результате исследований было установлено, что в данном случае целесообразно применение сплайн-интерполяции. На рис. 3 приведены примеры построения поверхности для зоны I и зоны II. Рис. 3. Пример обработки экспериментальных данных Этап 3. Составление математической модели На этапе 3 составляем математическую модель для определения термодинамических параметров рабочего тела в цилиндре поршневого компрессора. Рассмотрим этот этап более детально. При движении поршня изменяется объем рабочего пространства, масса рабочего тела в рабочем и дополнительном пространствах, фазовый состав рабочего тела, температура газовой и жидкой фракций, давление. Кроме того, при наличии фазового перехода учитывается теплота фазового перехода и изменение количества газообразной фракции. В связи с большим количеством факторов, подлежащих учету, данная задача была разбита на подзадачи, что позволило, последовательно усложняя систему уравнений, составить наиболее полную модель рассматриваемой задачи. Для рабочего пространства в области насыщенного пара запишем следующую систему уравнений. Работа сжатия газа: . (1) Изменение теплосодержания газа: . (2) Изменение теплосодержания жидкой фракции: . (3) Теплота фазового перехода: (4) Уравнение баланса: . (5) Условие насыщения: . (6) При решении данной задачи только с учетом того, что пар насыщенный, сложности не возникает, и нет необходимости в использовании уравнения состояния для идеального газа. Зависимости давления от температуры берутся непосредственно из экспериментальных данных. Если начальное состояние газа не соответствует состоянию насыщения, то необходимо добавление дополнительной зависимости. Это либо добавление уравнения Клайперона – Менделеева или его аналога, или его замена на полученные экспериментальным путем табличные зависимости удельного объема от давления и температуры. Дополнительное условие (уравнение Клайперона – Менделеева) . (7) Здесь P, V, T – соответственно текущие давление, объем и температура; P, T – соответственно изменения давления и температуры, вызванные изменением объема V; mg, mf, mu, ml, mlu – соответственно текущие массы газовой фракции; рабочего тела, совершившего фазовый переход; газообразного рабочего тела, вытесненного в дополнительное пространство; жидкой фракции; жидкой фракции, вытесненной в дополнительное пространство; – соответственно теплоемкость газовой и жидкой фракций при температуре Т и давлении Р; – удельная теплота фазового перехода как функция температуры; z – сжимаемость; Rc = R / μ ; μ – молекулярная масса рабочего тела. Размерность всех величин дана в системе СИ. Следующий этап составления системы уравнений – это описание рабочего пространства вне области насыщения. Для этого используются те же соотношения (1)–(7), в которых величины Qf, mf, ml, mlu, отвечающие за фазовые переходы, равны нулю. Работа нагнетания: (8) Изменение теплосодержания газа: (9) Изменение теплосодержания жидкой фракции: (10) Теплота фазового перехода: (11) Теплота с нагнетаемым рабочим телом: (12) Уравнение баланса: (13) Условие насыщения: (14) Дополнительное условие: (15) Здесь индекс а соответствует дополнительному объему; Тr – температура рабочего тела на выходе из дополнительного объема. Следующий этап позволяет учитывать изменения температуры конструкционных элементов в области насыщенного пара. Для учета влияния теплообмена с конструкционными элементами запишем уравнения для процессов сжатия и расширения рабочего тела в области насыщенного пара с использованием энтальпии процесса. Процесс расширения (процесс сжатия моделируется аналогично, меняются лишь знаки перед соответствующими компонентами уравнений). Работа расширения газа: (16) Изменение теплосодержания газовой фракции: (17) Изменение теплосодержания жидкой фракции: (18) Теплота, отданная конструкционными элементами за время τ: (19) Уравнение баланса: (20) Условие насыщения: (21) Дополнительное условие: (22) Таким образом, предложенная модель (1)–(22) учитывает все основные факторы данного процесса. Этап 4. Решение уравнений модели На последнем этапе – этапе 4 переходим к решению уравнений составленной модели. Фрагмент блок-схемы решения уравнений математической модели, относящийся к процессу сжатия в цилиндре поршневого компрессора, представлен на рис. 4. Здесь, в зависимости от начальных условий рассматриваемого процесса, задаются начальные данные (блок 2), зависящие от формы рабочего пространства, рабочего тела, характеристик процесса. В первую очередь это такие величины, как давление, температура, начальный объем, занимаемый рабочим телом, состав фаз (количество рабочего тела, находящегося в жидкой и газообразной форме), величина перемещения поршня x. В зависимости от используемого рабочего тела, для заданных веществ ищутся следующие таблицы (блок 2): таблица зависимости давления от температуры и объема, зависимость удельной теплоемкости рабочего тела. В случае, когда присутствует фазовое равновесие, используется таблица зависимости температуры от давления для насыщенного пара. В зависимости от особенностей процесса опционально используются также таблицы значений вязкости, плотности, коэффициента сжимаемости рабочего тела как функции основных термодинамических величин. Рис. 4. Блок-схема расчета параметров системы на этапе сжатия рабочего тела в цилиндре поршневого компрессора Далее (блок 3) эти табличные зависимости аппроксимируются аналитическими функциями. Если изначально удается оценить диапазон изменения температуры и давления в рассматриваемом процессе, то табличные данные берутся из этого диапазона с некоторым запасом. Это сильно упрощает таблицы, т. к. в большинстве справочников диапазон измеренных интервалов очень большой, например давление принимает значения от 0,01 до 1000 атм, а температура – от 100 до 3000. На этапе ввода исходных данных определяется значение теплоемкости рабочего тела C0 как функции начальных значений температуры T0 и давления P0 (блок 4). Далее в цикле (блоки 5–8) происходит вычисление текущих значений объема рабочего тела при смещении поршня на величину h. Vi = V0 + i h S (S – площадь поршня), где I = L/h, L – перемещение поршня; i – количество шагов. Для текущего значения объема рабочего тела решается следующая система уравнений. Работа сжатия газа: (23) Изменение теплосодержания газа: (24) Изменение теплосодержания жидкой фракции: (25) Теплота фазового перехода: (26) Уравнение баланса: (27) Используя аппроксимационную зависимость температуры и давления рабочего тела от удельного объема, вычисляем новые значения давления и температуры (блок 7): и . Далее, на основе пересчитанных значений для температуры и давления, пересчитываем значения для теплоемкости в соответствии с табличными значениями (блок 8). Эти вычисления повторяются до окончания цикла по i. В результате определяем термодинамические параметры рабочего тела поршневого компрессора при любом положении поршня. Сравнение результатов решения Результаты математического моделирования процесса сжатия реального газа в поршневом компрессоре с использованием данного подхода и с использованием уравнений для идеального газа приведены в [7]. Анализ полученных результатов показывает, что в областях при низком давлении и без фазовых переходов расчетные кривые совпадают, но расходятся в областях с фазовыми переходами. Это объясняется тем, что уравнения идеального газа в данных областях менее точные, чем в предложенном нами подходе. Заключение Таким образом, разработана методика математического моделирования процесса сжатия реального газа или пара в цилиндре поршневого компрессора с учетом теплообмена с конструкционными элементами. Особенностью разработанной методики является замена уравнения состояния для рабочего тела на аппроксимационные зависимости соответствующих табличных данных, приводимых в справочной литературе.
1. Vargaftik N. B. Spravochnik po teplofizicheskim svoystvam gazov i zhidkostey / N. B. Vargaftik. M.: Nauka, 1972. 720 c.
2. Vargaftik N. B. Handbook of physical properties of liquids and gases. Pure substances and mixture / N. B. Vargaftik, Yu. K.Vinogradov, V. S.Yargin. New York: Begel House, 1996. 1358 p.
3. Lemmon E. W. REFPROP - Reference Fluid Thermodynamic and Transport Properties / E. W. Lemmon, M. L. Huber, M. O. McLinden // CD ROM of the Seventeenth Symp. on Thermophys. Prop. Boulder, Colorado, USA, 2009. 599 p.
4. Aleksandrov A. A. Web-versiya spravochnika «Teplofizicheskie svoystva rabochih veschestv teploenergetiki» / A. A. Aleksandrov, K. A. Orlov, V. F. Ochkov [Elektronnyy resurs]: http://twt.mpei.ac.ru/rbtpp/index.html.
5. NIST Reference Fluid Thermodynamic and Transport Properties Database (REFPROP): Version 9.1 [Elektronnyy resurs]: http://www.nist.gov/srd/nist23.cfm.
6. Ochkov V. F. Oblachnyy servis po svoystvam rabochih veschestv dlya teplotehnicheskih raschetov / V. F. Ochkov, K. A. Orlov, L. M. Frenkel', A. V. Ochkov, V. E. Znamenskiy // Teploenergetika. 2012. № 7. S. 79-86.
7. Tugolukov E. N. Podhod k modelirovaniyu termodinamicheskih processov s ispol'zovaniem parametrov real'nyh gazov / E. N. Tugolukov, E. S. Egorov // Matematicheskie metody v tehnike i tehnologiyah «MMTT-25»: cb. tr. Mezhdunar. nauch. konf. Saratov, 2012. T. 8. S. 106-108.
