UPDATING OF CALCULATION OF MATRIX OF THE FEEDBACK BY THE CONDITION FOR LINEAR MULTIVARIABLE OBJECTS
Abstract and keywords
Abstract (English):
The variant of updating of the algorithm of calculation of the feedback matrix by a vector of coordinates of the condition of the modal control system for linear multivariable, controlled and observable objects with equal number of inputs and outputs submitted in space of the condition is offered. The received multivariable system provides monotony of the transitive characteristic due to indemnification of a set of zeros of the own and mutual transfer functions in the system of modal control.

Keywords:
modal control, indemnification of zeros, updating of algorithm of feedback calculation, monotony of transitive characteristic
Text
Введение В современной теории автоматического управления, базирующейся на методах пространства состояний [1], наиболее распространены системы с модальным управлением (СМУ) [1–10] как для одномерных, так и для многомерных объектов управления. Однако в СМУ матрица обратной связи по состоянию (ОСС) удовлетворяет лишь одному требованию – размещению корней характеристического уравнения (известна как задача об управлении спектром полюсов [2]). Остальные требования, предъявляемые к системе управления, игнорируются при расчете матрицы ОСС многомерной системы. В системах модального управления до конца не решен вопрос о компенсации нулей собственных и взаимных передаточных функций [3]. В отечественной и зарубежной литературе методам компенсации таких нулей и управления ими уделено мало внимания применительно к СМУ [1, 2, 9]. Нескомпенсированные нули искажают результирующую переходную характеристику системы управления [9]. Избежать подобных недостатков позволяют различного рода модификации алгоритма вычисления матрицы ОСС, в которых вышеупомянутые нули передаточных функций скомпенсированы без ухудшения остальных показателей качества системы управления. Постановка задачи Рассмотрим многосвязный, полностью управляемый и наблюдаемый объект управления (ОУ) с равным числом входов и выходов, описываемый системой уравнений в пространстве состояний (1) где – -мерный вектор координат состояния; – -мерный вектор управляющих воздействий; – -мерный вектор выходных переменных, ; – собственная матрица объекта, – матрица управлений, ‒ матрица выхода; , , , , . Предполагается, что вектор координат состояния полностью доступен прямому измерению. Пусть для объекта (1) обратная связь по состоянию представима в виде , (2) где – матрица ОСС, , а – -мерный вектор входа СМУ. Задача нахождения матрицы в законе управления (2) для многомерного случая имеет неединственное решение [1, 6, 7], при этом могут быть предложены различные алгоритмы её вычисления. Рассмотрим передаточную матрицу для объекта управления, описанного системой (1), замкнутого обратной связью (2) − СМУ. В её состав входит передаточных функций. Потребуем, чтобы передаточные функции были сократимыми. В результате нули собственных и взаимных передаточных функций будут «скомпенсированными» для СМУ. Полюса зададим совпадающими и лежащими в точке (рис. 1), на левой действительной оси комплексной плоскости, чтобы обеспечить монотонность переходной характеристики. Рис. 1. Спектр полюсов СМУ Классическая процедура расчёта матрицы в законе (2) подразумевает нахождение матрицы преобразования от исходного базиса модели (1) к заданному базису [6, 7]. Потребуем, чтобы имелась возможность вычисления матрицы ОСС в законе (2) через матрицы , , объекта (1), т. е. в исходном базисе, для упрощения процедуры реализации полученного соотношения для матрицы на ЭВМ. Метод решения Рассмотрим -ю компоненту вектора выхода в (1), где – -я строка, , матрицы в модели (1). Учитывая, что , , ‒ единичная матрица, . Подставим в первое уравнение системы (1). Замкнем ОУ, описанный системой уравнений (1), обратной связью (2): . (3) В (3) индекс назовём минимальным индексом произведения матриц, который является целым положительным числом, . Потребуем, чтобы произведение матриц относительно вектора входа давало ненулевую блочную строку при одном из значений индекса из промежутка [5]. Перепишем дифференциальные уравнения, представленные выражением (3), учитывая теорему Келли – Гамильтона, записанную в следующем виде: . Имеем (4) где – коэффициенты, величина которых неизвестна и может быть задана при синтезе СМУ. Коэффициенты будем задавать для биномиального разложения [6], тогда переходные процессы на выходе системы управления будут носить монотонный характер и свидетельствовать о подавлении действия нулей собственных и взаимных передаточных функций СМУ: ,, где ‒ биномиальные коэффициенты (могут быть определены по схеме треугольника Паскаля); ‒ среднегеометрический корень, , определяющий быстродействие в синтезируемой системе [6]. Для нахождения матрицы обратной связи в законе управления (2) будем рассматривать выражение для матриц относительно вектора в (4), имеем: . (5) В результате получено соотношение для матрицы обратной связи, которое вычисляется напрямую через матрицы , , объекта (1), представленного в пространстве состояний в исходном базисе. По соотношению (5) матрица в законе управления (2) может быть «легко» вычислена при помощи ЭВМ [10]. Остаётся открытым вопрос – для какого класса объектов управления вида (1) выражение (5) может быть вычислено? Для этого будем рассматривать передаточную матрицу СМУ ‒, учитывая (4): , (6) где ‒ матричный полином СМУ, – мерная полиномиальная матрица; – характеристический полином СМУ; . Из правой части выражения (6) видно, что нули собственных и взаимных передаточных функций и полюса являются сократимыми. При этом число полюсов, по -й строке , равно , . Рассматривая методику вычисления полного множества нулей (см. например, [10]) для управляемого, наблюдаемого ОУ (1), имеющего равное число входов и выходов, имеем . (7) В выражении (7) ‒ нулевой полином; ; ‒ – мерная матрица Розенброка [8]; ‒ число нулей (1) [8]. Учитывая (7) и вышевведённые обозначения: , для (6), можно записать тождество конечных нулей: . (8) Перепишем тождество (8), учитывая (6). При этом рассматривается любая -я строка для матричного полинома , : . (9) Далее рассмотрим порядки полиномов в левой и правой частях выражения (9). Всего таких полиномов в системе . (10) Если ОУ вида (1) является управляемым и наблюдаемым и имеет нулей, то число «свободных» полюсов в раз меньше. В результате полюсов не подлежат сдвигу и являются инвариантными относительно ОСС, поэтому целесообразно выбирать такой класс ОУ вида (1) для которого . При этом все полюса системы с ОСС и матрицей (5) будут свободными и могут быть помещены в заданную точку на комплексной плоскости. Из выражения (7) видно, что если матрица Розенброка является унимодальной, то степень полинома равна нулю (). Наличие унимодальной матрицы Розенброка свидетельствует об отсутствии развязанных нулей, т. е. СМУ не имеет неуправляемых и ненаблюдаемых подсистем. Выражение (10) окончательно определяет класс рассматриваемых объектов вида (1), для которого может быть найдено выражение (5). На завершающем этапе алгоритма расчёта матрицы обратной связи по состоянию можно предложить блок-схему алгоритма расчета (рис. 2) в общем виде [10]. Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчёта многоканальной системы с матричным регулятором На первом этапе производим ввод матриц объекта управления согласно модели (1). На втором этапе производится оценка унимодальности матрицы Розенброка для (1). На третьем этапе выполняется расчёт матрицы ОСС по выражению (5) и выход из алгоритма расчета. Выводы Рассмотренная методика синтеза ОСС для многомерных ОУ позволяет помещать полюса в заданную точку на левой действительной оси комплексной плоскости. При этом вид переходной характеристики определяется совокупностью «желаемых» полюсов и не зависит от действия нулей собственных и взаимных передаточных функций, т. к. методика подразумевает их компенсацию. Это обстоятельство обеспечивает монотонность переходной характеристики на выходе СМУ, порождаемую биномиальным разложением. Преимущества данной методики заключаются в том, что она не требует вычисления матрицы перехода к канонической форме управляемости и построения ОУ в «новом базисе», как рекомендуется при классическом подходе к решению данной задачи [7]. Матрица обратной связи по вектору координат состояния вычисляется напрямую через матрицы , , объекта (1), представленного в пространстве состояний в исходном базисе. Апробация вышеизложенного алгоритма расчёта заключалась в составлении программного кода на языке MATLAB для расчета произвольных ОУ с равным числом входов и выходов [10]. При этом переходные характеристики всех тестируемых объектов, замкнутых ОСС, имели монотонный характер протекания. Это обстоятельство превосходит существующий ранее классический подход к решению данной задачи.
References

1. Andreev Yu. N. Algebraicheskie metody prostranstva sostoyaniy v teorii upravleniya lineynymi ob'ektami // Avtomatika i telemehanika. – 1977. – № 3. – S. 5–49.

2. Borkovskaya I. M., Marchenko V. M. Modal'noe upravlenie sistemami s raspredelennym zapazdyvaniem // Avtomatika i telemehanika. – 1993. – № 8. – S. 40–52.

3. Voronov A. A. Sintez minimal'nyh modal'nyh regulyatorov, deystvuyuschih ot izmerimyh vhoda i vyhoda lineynogo ob'ekta // Avtomatika i telemehanika. – 1993. – № 2. – S. 34–51.

4. Gubarev V. F. Modal'nyy analiz i sintez upravleniya v sistemah s neizvestnoy apriori model'yu // Teoriya i sistemy upravleniya. – 2003. – № 2. – S. 20–33.

5. Krevencov E. G. Kompensaciya mnozhestva konechnyh nuley mnogomernyh ob'ektov s ravnym chislom vhodov i vyhodov pri sinteze modal'nym metodom // Aktual'nye problemy elektronnogo priborostroeniya. – Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2008. – T. 7. – S. 178–181.

6. Kuzovkov N. T. Modal'noe upravlenie i nablyudayuschie ustroystva. – M.: Mashinostroenie, 1976. – 112 s.

7. Pupkov K. A., Egupov N. D. Metody klassicheskoy i sovremennoy teorii avtomaticheskogo upravleniya. – M.: MGTU im. N. E. Baumana, 2004. – T. 1. – 400 s.

8. Smagina E. M. Voprosy analiza lineynyh mnogomernyh ob'ektov s ispol'zovaniem ponyatiya nulya sistemy / Tomsk. gos. un-t. – Tomsk, 1990. – 160 s.

9. Surovcev V. N., Donskoy N. V. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya: ucheb. posobie.– Cheboksary: Izd-vo Chuvash. un-ta, 2005. – 184 s.

10. A. s. o gosudarstvennoy registracii programmy dlya EVM. Programma rascheta astaticheskoy SAC s matrichnym regulyatorom v obratnoy svyazi po vektoru koordinat sostoyaniya / E. G. Krevencov (Rossiya). – № 2011614126; zayavl. 10.02.201; opubl. 26.05.2011.