STATIONARY STATES OF BIOTECHNOLOGICAL PROCESSES WITH NONLINEAR KINETICS OF GROWTH OF MICROORGANISMS. PLURALITY AT THE GIVEN VALUE OF SUBSTRATE CONCENTRATION IN THE INCOMING FLOW
Journal: VESTNIK OF ASTRAKHAN STATE TECHNICAL UNIVERSITY. SERIES: MANAGEMENT, COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS
Volume 2013 № 1
, 2013
Rubrics: MANAGEMENT AND MODELING
Authors:
1.
Moscow National University of Food Production
2.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow
3.
Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow
(Doctor of Technical Science, Professor; Professor of the Department of Processes and Apparatus for Chemical Technology)
Russian Federation
Russian Federation
4.
Mendeleev’s Russian Chemically-Technological University
Type:
Article
Pages:
from 21
to 28
Status:
Published
Received:
05.01.2013
Accepted:
25.01.2013
Published:
25.01.2013
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 004.94:576
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 30.16:28.072
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 004.94:576
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
BBK 30.16:28.072
Language:
Russian
Keywords:
biotechnology, stationary states, non-linear kinetics, the multiplicity
Abstract (English):
The stationary states of biotechnological processes with nonlinear kinetics of microbial growth are studied. The estimations for the existence of a multiplicity of stationary states with the given concentration of substrate in the incoming stream are obtained. The calculated ratio is given to determine the process indicators. Depending on the initial conditions three schemes, including the solution of nonlinear programming task, have been identified. The examples of calculation for all three options are presented.
The stationary states of biotechnological processes with nonlinear kinetics of microbial growth are studied. The estimations for the existence of a multiplicity of stationary states with the given concentration of substrate in the incoming stream are obtained. The calculated ratio is given to determine the process indicators. Depending on the initial conditions three schemes, including the solution of nonlinear programming task, have been identified. The examples of calculation for all three options are presented.
Keywords:
biotechnology, stationary states, non-linear kinetics, the multiplicity
biotechnology, stationary states, non-linear kinetics, the multiplicity
Введение Особенности процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микробиологического синтеза связаны с возможностью возникновения неустойчивости поведения в предельных и нестационарных режимах. Анализ прогнозирования существования подобных режимов возможен с использованием методов математического моделирования. Методология моделирования и алгоритмы решения показателей процесса для приграничных условий культивирования рассмотрены в [1, 2]. В то же время в неизолированных условиях культивированиия возможно существование множественности стационарных состояний. В [3] разработан алгоритм оценки существования множественности стационарных состояний для условий, когда задана величина протока D и величина продуктивности по целевому компоненту Qp. Алгоритм включает определение области существования множественности с учетом технологических ограничений, определение численных значений концентрации субстрата S на выходе из ферментёра при задании значения D, определение концентрации субстрата в поступающем потоке Sf и расчет показателей процесса для условий множественности. Одновременно определяются оптимальные условия проведения процесса, что позволяет сопоставить показатели для стационарных состояний множественности с показа-телями при оптимальных условиях. Разработанная схема расчёта применяется и в настоящем сообщении, однако в данном случае алгоритм является более сложным в силу необходимости на различных этапах вычислений использовать численные методы, в том числе методы нелинейного программирования. Задача формулируется следующим образом. Задана величина продуктивности непрерывного процесса: Qp = (D·P), г/(л·ч). Задана концентрация субстрата в поступающем потоке Sf, г/л. Необходимо оценить возможность существования множественности стационарных состояний, определить параметры стационарных состояний процесса для условий множественности. Иными словами, если существует множественность стационарных состояний, необходимо определить величину протока D, обеспечивающую условия множественности при заданном значении Sf , и вычислить показатели процесса S, X, P. В расчетах приняты следующие условные обозначения: µmax – максимальная удельная скорость роста биомассы, ч–1; S, X, P – концентрации субстрата, биомассы и продукта соответственно, г/л; Pm – максимально возможная концентрация продукта, г/л; Km – константа насыщения, г/л; Ki – константа ингибирования, г/л; Q – объёмная скорость потока, л/ч; D = Q/V, величина протока, ч–1; V – объем заполнения реактора, л; Yx/s – стехиометрический коэффициент, г/г; α – константа, г/г; β – константа, ч-1. Математическая модель процесса представлена уравнениями: ; (1) ; (2) ; (3) . (4) Для формирования области существования множественности необходимо найти граничные значения D и Sf для заданного значения Qp. Зависимость Qp от D и S имеет вид , (5) где . В [3] для вычисления максимального и минимального значения D для любого значения Qp по (5): ; (6) . (7) Используя решение (5) относительно S и уравнения материального баланса (1)–(4), получим уравнения для Sf1 и Sf2 в зависимости от значения D: ; (8) , (9) где . (10) Оба уравнения – (8) и (9) – формируют в плоскости Sf – D область существований множественности. Условие (11) определяет граничные значения для Sf при любом D: , откуда следует, что для любого D будет иметь место равенство . Решение (11) относительно D даёт . (12) Полученные соотношения (12) полностью совпадают с (6) и (7), т. е. граничные значения по D для (8) и (9) равны Dmax и Dmin. Таким образом, поскольку граничные значения D известны – формулы (6) и (7) или (12), можно вычислить значения Sf для граничных значений D: ; (13) , (14) где . Область существования множественности формируется уравнениями (8) и (9) с координатами на границах Dmin и Dmax: . На рис. 1 показаны линии постоянного значения Qp в плоскости Sf – D для Qp = 3,0; 3,5; 4,0 г/(л·ч). Видно, что зависимость Sf от D имеет максимум по уравнению (8) и минимум по уравнению (9), т. е. существуют предельные значения для Sf, при которых имеет место множественность. Рис. 1. Линии постоянного значения Qp = 3,0; 3,5; 4,0, г/(л·ч–1) Для поиска экстремума значений Sf удобно использовать метод нелинейного программирования для функции одной переменной – метод половинного деления [4]. Поиск максимального значения Sf осуществляется в области D: . (15) Критерий поиска: . (16) Поиск минимального значения Sf осуществляется в той же области D (15). Критерий поиска: . (17) В результате поиска определяются значения D1 и Smax и значения D2 и Sf min. На рис. 2 показана линия постоянного значения Qp = 3,0 г/(л·ч) и отмечены границы области по D(Dmin, Dmax) и по Sf(Sf min, Sf max). На этом же рисунке показаны возможные варианты задания Sf (см. постановку задачи). Рис. 2. Линия постоянного значения Qp = 3 г/(л·ч–1). Возможные варианты задания Sf (1, 2, 3) Задание Qp для существования множественности, очевидно, должно удовлетворять условию , где Qpmax вычисляется для оптимальных условий [5]. На рис. 2 показаны три возможных варианта задания Sf : – линия 1, линия 2 и линия 3. Для линии 1: . (18) Для линии 2: . (19) Для линии 3: . (20) Пересечения линий 1, 2 и 3 с линией, ограничивающей область множеств, есть решение задачи, т. е. дают координаты множественности состояний Sf и D, по которым вычисляются остальные показатели процесса: X, P, S. Таким образом, если заданное значение Sf находится в области (18), координаты стационарных состояний вычисляются по условию минимизации функции . (21) При этом находятся два решения в области D: ; , где D1 – значение D при максимальном значении Sf. Если заданное значение Sf находится в области (19), первое стационарное состояние определяется условием минимизации функции F2: . В области D . Второе решение вычисляется минимизацией F1 в области D: , где D2 – значение D в точке минимума Sf. Если заданное значение Sf находится в области (20), оба стационарных состояния вычисляются минимизацией F2 в области D: ; . Данными для расчета являются: значения параметров кинетического соотношения (табл.), величина продуктивности Qp, г/(л·ч) и концентрация субстрата в поступающем потоке Sf, г/л. Таблица Параметр Yx/s α β µm Pm Km Ki Значение 0,4 г/г 2,2 г/г 0,2 ч-1 0,48 ч-1 50 г/л 1,2 г/л 22 г/л Принимаем заданное значение Qp и Sf для одного из трёх вариантов в соответствии с (18), (19) и (20): Qp = 3,0 г/(л·ч): 1. Sf = 34,23 г/л (по (18)). 2. Sf = 19,26 г/л (по (19)). 3. Sf = 14,66 г/л (по (20)). Вычисляем максимальное значение Qp [5]: г/(л·ч). Показатели процесса: S = 5,138 г/л; P = 25,0 г/л; X = 7,304 г/л; Sf = 23,4 г/л; D = 0,1636 ч-1. 1. Проверяется условие: Qp < Qpmax, если имеет место Qp = Qpmax – решение единственное; если Qp > Qpmax – решения не существует. 3,0 < 4,09 – условие выполняется. 2. Вычисляется минимальное и максимальное значение D по формулам (6) и (7): Dmin = 0,0791 ч-1; Dmax = 0,2481 ч-1 . 3. Вычисляем значения Sf в точках Dmin и Dmax по формулам (10), (13), (14): Sf(Dmin) = 25,18 г/л Sf(Dmax) = 15,175 г/л. 4. Вычисляем максимальное значение Sf и минимальное значение Sf, используя метод половинного деления для функции Sf1 (16) и Sf2 (17). Получаем: (D1, Sf max) и (D2, Sf min) D1 = = 0,11 ч-1; Sf max = 37,31 г/л D2 = 0,22 ч-1; Sf min = 13,51 г/л. 5. Расчёт стационарных состояний: а) для варианта (18): Sf = 34,24 г/л. 25,18 < 34,24 < 37,31. Минимизация F1 по (21) даёт два значения D. Стационарное состояние 1: D = 0,09; Sf = 34,24. Вычисляем X, S, P по (1)–(3): X = 7,54 г/л; S = 15,39 г/л; P = 33,33 г/л. Стационарное состояние 2: D = 0,1424 ч-1; X = 5,85 г/л; S = 19,6 г/л; P = 21,13 г/л. б) для варианта (19): Sf = 19,26 г/л. 15,175 < 19,26 < 25,18. Стационарное состояние 1: D = 0,10 ч-1; X = 7,14 г/л; S = 1,40 г/л; P = 30,0 г/л. Стационарное состояние 2: D = 0,232 ч-1; X = 4,223 г/л; S = 8,702 г/л; P = 12,931 г/л. в) для варианта (20): Sf = 14,66 г/л. 14,66 < 15,175. Стационарное состояние 1: D = 0,17 ч-1; X = 5,23 г/л; S = 1,59 г/л; P = 17,65 г/л. Стационарное состояние 2 D = 0,25 ч-1; X = 4,036 г/л; S = 4,497 г/л; P = 12,146 г/л.
1. Gordeeva Yu. L., Ivashkin Yu. A., Gordeev L. S. Modelirovanie periodicheskogo processa mikrobiologicheskogo sinteza s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. - 2011. - № 1. - S. 37-42.
2. Gordeeva Yu. L., Ivashkin Yu. A., Gordeev L. S. Algoritmy rascheta pokazateley processa mikrobiologicheskogo sinteza v periodicheskih usloviyah kul'tivirovaniya // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. Ser.: Upravlenie, vychislitel'naya tehnika i informatika. - 2011. - № 2. - S. 7-14.
3. Gordeeva Yu. L., Scherbinin M. Yu., Gordeev L. S. Stacionarnye sostoyaniya biotehnologicheskih processov s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoy velichine protoka // Enciklopediya inzhenera-himika. - 2012. - № 8. - S. 23-27.
4. Ivashkin Yu. A. Sistemnyy analiz i issledovanie operaciy v prikladnoy biotehnologii. - M.: MGUPB, 2005. - 196 s.
5. Gordeeva Yu. L., Scherbinin M. Yu., Glebov M. B. Povyshenie effektivnosti biotehnologicheskih processov s nelineynoy kinetikoy rosta mikroorganizmov // Enciklopediya inzhenera-himika. - 2012. - № 8. - S. 28-31.
