APPLYING ANALYTICAL METHOD TO DETERMINE DEPLANATION OF A MEASURING TOOL BY TORSION
Authors:
1.
Daghestan State Technical University
(prof.)
Makhachkala, Makhachkala, Russian Federation
Makhachkala, Makhachkala, Russian Federation
2.
Kuban State University
Type:
Article
Pages:
from 14
to 21
Status:
Published
Received:
20.05.2018
Accepted:
25.05.2018
Published:
25.05.2018
Subject area:
UDK 624.074.5
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Language:
Russian
Keywords:
measuring tool, tap, deplanation, torsion function, rod with complicated cross section
Abstract (English):
To analyze the vibrational motion when cutting metals it is necessary to create a mathematical model of the system. Mathematical model of the dynamic system is thought to be given when parameters of the system defining its status are known and the law of state-time history is specified. Therefore, defining parameters of the resonant circuits of the mathematical model should precede studying the oscillatory movements. Working part of a measuring instrument comprises the core of the complicated shape, thus, it is especially difficult to carry out such calculations. In the scientific literature there are no formulas acceptable for engineering practice, so the data on characteristics of the measuring instrument, in particular, deplanation, give considerable spreading. The purpose of this article is to obtain the calculated dependences of deplanation of the measuring tool. Methods of theory of elasticity are used in calculation. The method of determining deplanation function by torsion of a measuring instrument using analytical method has been developed. The functions obtained are used to find the variable component of a cut thickness by a measuring tool when cutting under vibration. The method was tested on the example of calculation of function of torsion in dependence on geometric characteristics of the cross-sections of taps. The calculated dependences with maximal accuracy help to set up the parameters of the system in analyzing the dynamics of metalworking process with measuring instruments.
To analyze the vibrational motion when cutting metals it is necessary to create a mathematical model of the system. Mathematical model of the dynamic system is thought to be given when parameters of the system defining its status are known and the law of state-time history is specified. Therefore, defining parameters of the resonant circuits of the mathematical model should precede studying the oscillatory movements. Working part of a measuring instrument comprises the core of the complicated shape, thus, it is especially difficult to carry out such calculations. In the scientific literature there are no formulas acceptable for engineering practice, so the data on characteristics of the measuring instrument, in particular, deplanation, give considerable spreading. The purpose of this article is to obtain the calculated dependences of deplanation of the measuring tool. Methods of theory of elasticity are used in calculation. The method of determining deplanation function by torsion of a measuring instrument using analytical method has been developed. The functions obtained are used to find the variable component of a cut thickness by a measuring tool when cutting under vibration. The method was tested on the example of calculation of function of torsion in dependence on geometric characteristics of the cross-sections of taps. The calculated dependences with maximal accuracy help to set up the parameters of the system in analyzing the dynamics of metalworking process with measuring instruments.
Keywords:
measuring tool, tap, deplanation, torsion function, rod with complicated cross section
measuring tool, tap, deplanation, torsion function, rod with complicated cross section
Для обработки отверстий используются следующие мерные инструменты: свёрла, мётчики, развёртки, зенкеры. Если сравнивать указанные инструменты, то можно заметить, что они имеют много общих характерных черт. У всех инструментов много лезвий с большим количеством режущих кромок; рабочая часть инструмента имеет, как правило, две части - режущую и калибрующую; размеры инструмента ограничены размерами обрабатываемого отверстия; и, самое главное, рабочая часть инструмента представляет собой некруглый стержень, и на него распространяется известное положение Сен-Венана о кручении некруглых стержней [1, 2]. Согласно этому положению все точки поперечного сечения некруглого стержня при закручивании, кроме поворота вокруг оси кручения, получают ещё соответствующие перемещения вдоль оси, что вызывает искривление поперечного сечения или депланацию сечения. Величина депланации пропорциональна нагрузкам, действующим на инструмент в процессе работы. Изгиб поперечного сечения, например мётчика, ведёт к повороту и изгибу зубьев, угол подъёма винтовой нарезки в пределах зуба изменяется и не соответствует расчётному [3]. Зубья мётчика при повороте своими боковыми гранями будут срезать дополнительную стружку, увеличивая общую площадь среза [4]. Изменение площади среза приводит к изменению сил резания. Этот факт необходимо учитывать при исследовании вибраций при резании [5, 6]. Методика решения Определение депланации поперечного сечения стержня произвольного сложного сечения является сложной задачей. Её решение может быть получено различными методами. Из численных методов наиболее популярным является метод конечных элементов, который предполагает дискретизацию всей площади поперечного сечения [7]. В методе граничных элементов дискретизация производится для контура поперечного сечения, а внутри области используется аналитическое решение. В данной работе для определения функции кручения используется аналитический метод, задающий формулы контура поперечного сечения. Мерный инструмент представляет собой упругий стержень, режущая часть которого в поперечном сечении имеет сложную конфигурацию. Изгиб поперечного сечения можно определить через коэффициент депланации δ. Как правило, задача о кручении стержней произвольного сечения сводится к поиску решения уравнения Лапласа (гармонической функции) ∇2ψ = 0, при условии, что функция ψ принимает на контуре значения (1) или к нахождению функции напряжения Прандтля F(x, y) из решения уравнения Пуассона ∇2F = -2 при нулевых значениях функции напряжения на контуре [8]. При этом между функциями ψ и F существует однозначное соответствие: Естественно предположить, что угол скручивания θ пропорционален расстоянию l рассматриваемого сечения до нижнего основания Θ = τкl, где τк - степень закручивания или крутка постоянная, которая изменяет угол взаимного поворота поперечных сечений, отстоящих друг от друга на единицу высоты (угол закручивания на единичной длине инструмента). Продольное перемещение а при скручивании можно определить по формуле, предложенной в [9] а = τкδ(х, у), где δ(х, у) - коэффициент депланации или функция Сен-Венана, которая характеризует перемещение точек поперечного сечения из его плоскости. Функция кручения удовлетворяет равенству и находится из дифференциальных соотношений Коши-Римана . Тогда для функции δ(х, у) с учётом формулы (1) получим выражение (2) где интегралы J1 и J2 берутся по контуру поперечного сечения. Из формулы (2) видно, что, задав форму контура поперечного сечения инструмента точными геометрическими формулами, можно определить значение функции Сен-Венана, не прибегая к приближенным графическим методам. На рис. 1 представлена расчётная схема к исследованию депланации поперечного сечения мерного инструмента на примере мётчика. Рис. 1. Поперечное сечение режущей части мётчика Наиболее нагруженные точки сечения инструмента при закручивании лежат на контуре. Это несколько упрощает задачу и позволяет отыскивать только контурные значения функции кручения. Тогда формулу (2) целесообразно переписать в виде суммы трёх интегралов (3) где L1, L2, L3- длины кривых DAB, ZNM, LEF соответственно. Эта формула вытекает из условия равенства нулю функции кручения на участках BZ, ML, ED, где выполняется равенство где d - наружный диаметр инструмента. Кривую L1 можно представить в виде суммы кривых L1= ++ + CD, где - длины соответствующих дуг; CD - длина соответствующего прямого отрезка кривой. Уравнение дуги окружности с центром в точке О1 задаётся формулой где - абсцисса и ордината дуги окружности с центром в точке О1; r1 - радиус. Величина абсциссы и ординаты центра определяются по выражениям (4) (5) где dc - диаметр сердцевины поперечного сечения инструмента. С учётом формул (4) и (5) для интегралов J1, J2, после интегрирования по формуле (2) получим по длине дуги где Расчёт интегралов ведётся в интервале (хн; хв) - нижнего и верхнего предела интегрирования по длине дуги. Аналогично путём геометрических расчётов определяются значения интегралов и для остальных дуг. Координаты пределов интегрирования находим из совместного решения уравнений: - с точки В: (6) - с точки А: ; (7) - с точки С: (8) - с точки D: (9) По аналогии находим координаты других точек E, F, G, L, M, N, K, Z. В выражениях (6)-(9) принято обозначение r = АО2. На прямолинейных участках значение функции Сен-Венана определяется по формуле Зная величины интегралов J1, J2, по длинам дуг L1, L2, L3 можно определить значение функции Сен-Венана по длине контура поперечного сечения мётчика по формуле (3). Результаты расчёта Результаты расчёта значений δ(х, у) на микро-ЭВМ приведены в таблице. Зависимость функции кручения от геометрических параметров поперечного сечения трёхпёрого мерного инструмента d, мм dc, мм δ (х, у), мм2/рад 6 3,2 1,6625 8 3,6 1,802 8 4 2,021 8 4,4 2,211 10 4,5 2,8489 10 5 3,212 10 5,5 3,529 10 6 3,7895 10 6,5 4,0033 12 5,4 4,1493 14 6,3 5,7984 16 7,2 7,2217 Графики зависимости функции кручения δ(х, у) от величин d и dс трёхпёрого мётчика приведены на рис. 2, 3. Рис. 2. Зависимость функции кручения от диаметра мётчика в диапазоне размеров М8-М16 Рис. 3. Зависимость функции кручения от диаметра сердцевины dc мётчика М10 Для проверки правильности выведенных формул был проведён эксперимент. Мётчик нагружался моментом Мкр с использованием образцово-механического динамометра с погрешностью ±0,5 %, и с помощью инструментального микроскопа фиксировалось продольное перемещение зубьев мётчика при кручении. Величина δ(х, у) определялась по формуле где С - коэффициент жёсткости. На рис. 4 представлен график зависимости депланации поперечного сечения мётчика от величины крутящего момента Мкр. Рис. 4. Зависимость депланации мётчика от момента кручения Мкр Расхождение теоретических и экспериментальных значений составляет 5-28 %. Хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов исследования позволяет широко использовать их в инженерных расчётах. Заключение Разработана методика определения депланации поперечного сечения мерного инструмента аналитическим методом. Методика достаточно проста и может быть использована в расчётах при исследовании динамики процесса резания и точности обработки. Также было выяснено, что зависимость депланации от геометрических параметров инструмента, в частности от наружного диаметра и диаметра сердцевины инструмента, имеет нелинейный характер. Депланация зависит от формы контура стружечных канавок, что указывает на возможность влияния на переменную составляющую силы резания и точность обработки за счёт изменения формы и геометрии последних. Депланация зависит от момента закручивания и имеет различный характер для разных типоразмеров мерного инструмента.
1. Mushelishvili N. I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti. M.: Nauka, 1966. 192 s.
2. Vardanyan G. S. Soprotivlenie materialov s osnovami teorii uprugosti i plastichnosti. M.: Assoc. stroit. vuzov, 1995. 572 s.
3. Guseynov R. V., Guseynova M. R. Obosnovanie bazy dannyh dlya issledovaniya dinamicheskih processov pri rezanii // Vestn. Dagestan. gos. tehn. un-ta. Tehnicheskie nauki. 2014. № 4. T. 35. S. 36-44.
4. Matveev V. V. Narezanie tochnyh rez'b. M.: Mashinostroenie, 1978. 88 s.
5. Guseynov R. V. Vibracii pri obrabotke otverstiy rezaniem // Metalloobrabotka. 2017. № 4 (100). S. 23-28.
6. Guseynov R. V., Guseynova M. R. Raschetnaya model' dinamiki nelineynyh sistem // Vestn. Dagestan. gos. tehn. un-ta. Tehnicheskie nauki. 2015. № 1 (36). S. 24-30.
7. Brebbiya K., Uoker S. Primenenie metoda granichnyh elementov v tehnike. M.: Mir, 1982. 248 s.
8. Fung Y. C. Foundations of Solid Mechanics. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965. Pp. 162-170.
9. Guseynov R. V., Rustamova M. R. Issledovanie processa obrabotki otverstiy na osnove nelineynoy dinamiki // Vestn. Dagestan. gos. tehn. un-ta. Tehnicheskie nauki. 2012. № 26. S. 77-80.
