FINITE ELEMENT MODEL OF THE SPATIAL STRUCTURES FROM THIN-WALLED OPEN SECTION BARS. IN 2 PARTS. PART 1
Authors:
1.
Astrakhan Institute of Civil Engineering
2.
Astrakhan Institute of Civil Engineering
3.
Astrakhan State Technical University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Technique and Technology of Land Transport)
Astrakhan, Russian Federation
Astrakhan, Russian Federation
Type:
Article
Pages:
from 89
to 100
Status:
Published
Received:
20.05.2015
Accepted:
25.05.2015
Published:
25.05.2015
Subject area:
UDK 539.4(076.5)
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Language:
Russian
Keywords:
thin-walled open section bar, shift and torsion angle of cross sections, stiffness matrix, finite element method
Abstract (English):
The design analysis of the structures consisting of the thin-walled bars remains a subject of the research up to the present moment. The paper presents the theoretical foundations of designing the mathematical model of a thin-walled open section bar, which takes into account the impact of shifts and displacements of points and torsion angles of the cross sections on the size and nature of the distribution of internal forces. The mathematical relations for the construction of the stiffness matrix of thin-walled open section bar, which can be used for static and dynamic analysis of the structures calculated by finite element method.
The design analysis of the structures consisting of the thin-walled bars remains a subject of the research up to the present moment. The paper presents the theoretical foundations of designing the mathematical model of a thin-walled open section bar, which takes into account the impact of shifts and displacements of points and torsion angles of the cross sections on the size and nature of the distribution of internal forces. The mathematical relations for the construction of the stiffness matrix of thin-walled open section bar, which can be used for static and dynamic analysis of the structures calculated by finite element method.
Keywords:
thin-walled open section bar, shift and torsion angle of cross sections, stiffness matrix, finite element method
thin-walled open section bar, shift and torsion angle of cross sections, stiffness matrix, finite element method
Введение К технической инфраструктуре морских и речных портов предъявляются повышенные требования надежности и работоспособности, обусловленные необходимостью бесперебойной и круглосуточной работы. Большинство сооружений, эксплуатирующихся в портах (быстровозводимые склады закрытого хранения, грузоподъемные краны, эстакады и т. д.), представляют собой преимущественно стержневые конструкции, несущие элементы которых являются стержнями открытого или закрытого профиля. В создании технической теории тонкостенных стержней открытого профиля выдающаяся роль принадлежит В. З. Власову [1]. Разработанная им общая теория широко используется инженерами при проектировании строительных, машиностроительных и других конструкций. За последние годы теория расчета тонкостенных стержней непрерывно развивалась, уточнялись области её применения. Исследования последних лет напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля развиваются, как правило, в двух направлениях. Первое посвящено уточнённым теориям, в которых делается различие между координатами начального и конечного состояния тонкостенного стержня и учитывается влияние сдвигов и перемещений точек и углов закручивания поперечных сечений на величину и характер распределения внутренних усилий. Второе направление представлено приложением теории тонкостенных стержней открытого профиля к методам расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней в области как статического, так и динамического нагружения на основе достижений метода конечных элементов (МКЭ) [2]. Математическая модель тонкостенного стержня открытого профиля Исходя из предпосылок, представленных в [3], рассмотрим наиболее характерные стороны этой теории. В главах 1-5 изложена теория тонкостенных стержней открытого (гл. 3) и замкнутого профилей (гл. 4). Особенностью и новизной полученных решений является учет влияния сдвигов срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля на его напряженно-деформированное состояние (рис. 1). Следуя [4], учтем влияние деформации сдвига, включив в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня открытого профиля ту её часть, которая вызвана работой касательных напряжений, и установим ее влияние на «динамический портрет» стержня. Нормальные и касательные напряжения в точке А тонкостенного стержня будем определять по следующим формулам: , (1) , (2) в которых h - расстояние от точки А до срединной поверхности стержня толщиной d. Рис. 1. Тонкостенный стержень открытого профиля: а - исходное состояние; б - деформированное состояние в местной системе координат Крутящий момент Н, возникающий из-за неравномерного распределения касательных напряжений по толщине стенок d, выражается через угол закручивания Q формулой . (3) В (1)-(3) G - модуль упругости при сдвиге; - депланация, производная угла закручивания; , геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции для стержней круглого поперечного сечения, а последние слагаемые в (1) и (2) sw и tw - нормальные и касательные напряжения в стержне открытого профиля, обусловленные, соответственно, его стесненным изгибом и кручением, в которых Вw - бимомент, имеющий внешнюю аналогию с выражением внутреннего изгибающего момента, с тем отличием, что в (4) плечо, на которое умножается элементарная внутренняя сила swdA, заменено секториальной координатой w (размерность см2): , (4) Укажем, что для удобства вычислений обычно строят эпюру секториальных координат w в соответствии с принятым для них правилом знаков, на которой их значения откладывают по нормам, а их знак зависит от расположения главной секториальной нулевой точки М0. Очевидно, что в (1) и (2) Iw - секториальный момент инерции (размерность см6, м6): , который, как известно, является геометрической характеристикой сечения, аналогичной осевым моментам инерции Ix и Iy; Мw - изгибно-крутящий момент, соответствующий напряжениям tw из (2). В сумме с моментом чистого кручения М0 они создают в сечении стержня внутренний крутящий момент Мкр, который уравновешивает момент внешних сил Мz: Мz = Мкр = Мw + М0, (5) в котором . (6) Кроме обозначенных выше величин тонкостенного стержня, в (2) Sw - секториальный статический момент сечения (размерность см4, м4): , Из рассмотрения (4) и (6) следует: , поэтому Вw и Мw и, как следствие, sw и tw не могут быть определены без вычисления угла закручивания Q = f(z), что является характерной особенностью расчета тонкостенных стержней открытого профиля, работающих в условиях стесненного кручения. Для определения Q = f(z) подставим в (5) значение (6): , (7) а далее, с учетом первой производной от (7), получим уравнение угла закручивания: , где k - изгибно-крутильная характеристика стержня (размерность см-1, м-1): , а m - распределенный внешний крутящий момент. Потенциальная энергия внутренних сил выражается через напряжения σ и τ из (1) и (2) равенством , которое, после преобразований, принимает вид (8) где , входящие в (8), равны: . (9) Для симметричных профилей, если сечение тонкостенного стержня симметрично относительно оси х, в (8) Kxy = Kyw = 0. Если осью симметрии является ось у, то Kxy = Kхw = 0. Если же сечение симметрично относительно обеих главных осей, то Kxy = Kхω = Kyω = 0. Пусть ξ, η, ζ - перемещения точек линии центров изгиба стержня в направлении осей x, y и z. Учитывая известные зависимости и подставляя их в (8), получим (10) Далее получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учётом сдвига срединной поверхности. Пусть на стержень действует распределённая нагрузка qx(z), qy(z), qz(z), не изменяющая своего направления в процессе деформирования стержня. Тогда работа внешних сил будет . (11) После чего функционал полной энергии с учетом (10) и (11) примет вид . (12) Из условия экстремума функционала полной энергии системы (12) уравнения изгиба и кручения в перемещениях будут выглядеть следующим образом: . (13) Подставляя в (13) выражения (10) и (11), получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности [5]: (14) в которых, согласно (3) и (6), L = H + Mw, Полагая в уравнениях (14) Kxx, Kyy, Kxy, Kxω, Kyω равными нулю, получим уравнения без учёта сдвига срединной поверхности, приведенные в [6]. Из уравнений (14) следует, что задачи об изгибе и кручении стержней с учётом сдвига срединной поверхности являются связанными. Если в некоторых случаях задача о кручении может быть решена независимо от задачи об изгибе, то решение задачи об изгибе невозможно без решения задачи о кручении [5]. Выполним оценку вклада сдвига срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля в его «динамический портрет», для чего воспользуемся известным решением С. П. Тимошенко [7], которое относится лишь к поперечным колебаниям призматических стержней с симметричным профилем, при этом колебания тонкостенного стержня будем рассматривать только в плоскости симметрии. Уравнение поперечных колебаний С. П. Тимошенко [7], записанное с учётом поперечной силы и инерции вращения, является частным случаем общего решения [8], следуя которому запишем третье уравнение системы (6) из [8]: , (15) в котором координаты центра изгиба ax и ay, а также коэффициент Кху из выражения (10) равны нулю. Решение однородного уравнения (15), при однородных граничных условиях, которое определяет собственные числа и собственные функции краевой задачи о свободных изгибных колебаниях стального тонкостенного стержня открытого профиля (r = 7,85 т/м3), представим в виде . (16) После подстановки (16) в (15) получаем , (17) в котором (18) Решение (17) ищем в виде (19) После подстановки (19) в (17), с учетом (18) получим характеристическое уравнение , (20) соответствующее дифференциальному уравнению (17) и имеющее четыре корня: , в которых (21) Следовательно, общее решение (17), с учетом (19) и (21), примет вид . На основе решения выражений(16)-(21) рассмотрим консольный стальной широкополочный двутавр, для которого использование граничных условий , приводит уравнение (20) к трансцендентному уравнению относительно его собственной круговой частоты w, рад/с, , (22) где, с учетом (9), Для частного случая, когда не учитываются сдвиг и инерция поворота (К1 = 0, Кхх = 0), и, кроме того, в (21) , где К принимается по (18), уравнение (22) принимает известный из [7] вид ch (al) cos (al) = -1, наименьший корень которого al = 1,8751. Отсюда находим частоту w первого тона: . (23) Для широкополочного двутавра с параметрами длины l = 0,6 м, b = h = 12 см, dnолки = dстенки = 1 см, у которого А = 34 см2, Ix = 809 см4 (ось х параллельна полкам), Е = 2,1×105 МПа, GId = 10,9 кН×м2, r = 7,85 т/м3, решение выражения (22), с учетом сдвига срединной поверхности с применением Mathcad [9], привело к собственной частоте первого тона w1 = 2142 с-1, в то время как без учета сдвига по (23) w1 = 2464 с-1. Таким образом, учет сдвигов срединной поверхности в тонкостенных стержнях открытого профиля даёт уменьшение частоты первого тона колебаний на 13 %, что, по нашему мнению, не рекомендуется считать неучитываемым фактором для динамических систем. Кроме того, уравнения изгиба и кручения (14) позволяют строить матрицы жесткости [К] и масс [М] тонкостенного стержня открытого профиля, которые легко встраиваются в любой вычислительный комплекс, реализующий расчет пространственных конструкций по МКЭ. Матрица жесткости [К]14´14 тонкостенного стержня jk открытого профиля, с учетом сдвига срединной поверхности, имеет вид . (24) Деформации конечного элемента будем определять перемещениями граничных поперечных сечений узлов j и k в виде вектора перемещений в местной системе координат (МСК) Оxyz, которая на рис. 2 не совпадает с общей системой координат ОXYZ: . (25) Очевидно, что в (25) Т - индекс транспонирования; dx(y,z) - линейные перемещения узла; jx(y) - углы поворота; - депланация (производная от угла закручивания ); подстрочные индексы x, y и z в выражении (25) обозначают оси МСК; надстрочные индексы (j) и (k) указывают на начало j и конец k стержневого КЭ. Знаки компонент узловых перемещений (25) для стержневого КЭ определяются в соответствии с рис. 2. Рис. 2. Правило знаков для узловых перемещений КЭ jk в МСК Оxyz Вектору перемещений (25) соответствует вектор внутренних усилий в дискретных граничных узлах: , (26) где и - внутренние поперечные и продольная силы; и - изгибающие и крутящий моменты; B - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (26) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (25). Как следует из вектора (26) и рис. 2, стержневой КЭ имеет 14 степеней свободы и его пространственное положение определяется вектором обобщенных координат (25). В качестве компонентов перемещений примем следующие аппроксимирующие функции Эрмита с учетом сдвига срединной поверхности [6]: (27) в которых qs - узловое перемещение, соответствующее вектору (25); s = 1,14 - степени свободы КЭ. Таким образом, для стержневого КЭ с двумя осями симметрии, жестко защемленного по концам, в (27) следует принять: (28) где . При выводе выражений (28) использовались результаты из [10], согласно которым функции y6,i(z), y7,i(z), y13,i(z), y14,i(z), (i = x, y, w) являются приближенными. Используя выражения (28), любой элемент матрицы жесткости тонкостенного стрежня открытого профиля (24) в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности определяется по формуле в которой V - потенциальная энергия деформации (8), для определения которой использована формула (2). Очевидно, что если в выражении (28) устранить влияние сдвига, то функции Эрмита примут более простой вид [10]: (29) Ниже, с учетом , приведены элементы матрицы жесткости (24) КЭ jk, учитывающие сдвиг срединной поверхности, при определении которых в первом приближении касательные напряжения в выражении (2) равны нулю. (30) где . (31) Для оценки решения (30) сравним значение коэффициента матрицы , полученного с применением функции и из (29), с точным решением, полученным на основе (28). Точное решение, полученное на основе [10], вычисляется по формуле , (32) где . Приближенное решение для выражения (32) имеет вид (см. (30)): . (33) Вычислим для стержневого элемента длиной l = 0,6 м с поперечным сечением в виде широкополочного двутавра с размерами b = h = 12 см, δnолки = δcтенки = 1 см, у которого А = 34 см2,Ix = 809 см4 (ось х параллельна полкам), Iω = 8700 см6, Е = 2,1·105 МПа, GId = 10,9 кН×м2. Предварительно по (9) вычисляем: Kxx = 3,33; Kωω = 0,0562 см-2 = 562 м-2. Для рассматриваемого двутавра точное решение по выражению (32) дало: = -28,13 кН×м, приближенное решение по (33): = -28,28 кН×м. Расхождение составило 0,53 %. Кроме того, с помощью матрицы (31) были определены перемещения свободного конца консольного стержня при плоском поперечном изгибе (рис. 3). Рис. 3. Поперечный изгиб консольного стержня Прогиб и угол поворота (рис. 3) в символьном виде равны: что совпало с известным решением, приведенным в [10]. Для рассмотренного ранее стержня двутаврового профиля (при l = 0,6 м) характеристика Ах = 1,807 (32) и прогиб конца консоли . По сравнению с прогибом без учета деформацией сдвига прибавка составила 16,6 %. В заключение укажем, что, по нашему мнению, матрица жесткости (24), представленная компонентами (30), легко встраивается по алгоритму МКЭ в любой программный конечно-элементный комплекс с целью как статического , так и динамического расчетного анализа пространственных металлических конструкций, составленных из тонкостенных стержней открытого профиля с n степенями свободы: (34) для практической реализации которого, очевидно, необходимо получить для выражения (34) матрицу масс [М]n´n, составленную из матриц масс отдельных jk КЭ [3]. Заключение Несмотря на достаточно давно разработанные основные положения теории тонкостенных стержней, в расчетной практике они применяются редко. Использование математической модели тонкостенных стержней открытого профиля при проведении расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней как в области как статического, так и динамического нагружения приводит к уточнению получаемых результатов при описании их жесткостных характеристик, а также при определении напряженно-деформированного состояния. Приведенные в статье формулы для матрицы жесткости тонкостенного КЭ позволяют использовать математическую модель тонкостенного стержня открытого профиля при расчетах любых пространственных конструкций с использованием МКЭ.
1. Vlasov V. Z. Tonkostennye uprugie sterzhni / V. Z. Vlasov. M.: Fizmatgiz, 1959. 566 s.
2. Panasenko N. N. Raschetnoe obosnovanie seysmostoykosti gruzopod'emnyh kranov / N. N. Panasenko, A. V. Sinel'schikov // Pod'emnye sooruzheniya: special'naya tehnika. V 3 ch. Odessa. Ch. 1: 2010. № 10. S. 23-27. Ch. 2: 2010. № 12. S. 19-22. Ch. 3: 2011. № 1. S. 23-26.
3. Yuzikov V. P. Stroitel'naya mehanika tonkostennyh sterzhney / V. P. Yuzikov, N. N. Panasenko; pod red. d-ra tehn. nauk N. N. Panasenko. Volgograd: Volgograd. nauch. izd-vo, 2013. 361 s.
4. Vorob'ev L. N. Vliyanie sdviga sredinnoy poverhnosti na velichinu deformaciy i napryazheniy v tonkostennyh sterzhnyah otkrytogo profilya s nedeformirovannym konturom / L. N. Vorob'ev // Tr. Novocherkas. politehn. in-ta. 1955. № 26 (40). S. 92-111.
5. Yuzikov V. P. Raschet tonkostennyh sterzhney otkrytogo profilya s uchetom sdviga sredinnoy poverhnosti / V. P. Yuzikov, O. B. Zav'yalova // Izv. vuzov. Stroitel'stvo. 2011. № 1. S. 108-115.
6. Slivker V. I. Stroitel'naya mehanika. Variacionnye osnovy: ucheb. posobie / V. I. Slivker. M.: Izd-vo Associacii stroit. vuzov, 2005. 736 s.
7. Timoshenko S. P. Kolebaniya v inzhenernom dele / S. P. Timoshenko. M.: Fizmatgiz, 1987. 582 s.
8. Vorob'ev L. N. K voprosu ob izgibno-krutil'nyh kolebaniyah tonkostennyh sterzhney / L. N. Vorob'ev, L. V. Yaickiy // Prochnost', ustoychivost' i kolebaniya inzhenernyh sooruzheniy. Novocherkassk, 1972. T. 223. S. 43-50.
9. Semenov P. I. Raschet prochnosti i deformativnosti anizotropnyh tonkostennyh sterzhney otkrytogo profilya / P. I. Semenov. Kiev: Vischa shk., 1974. 184 s.
10. Panasenko N. N. Dinamika i seysmostoykost' pod'emno-transportnogo oborudovaniya atomnyh stanciy: dis. … d-ra tehn. nauk / N. N. Panasenko: v 2 ch. Ch. 1. Novocherkassk: NGTU, 1992. 475 s.
